Strona główna › Procenty › Jakim procentem jednej liczby jest druga liczba

Jakim procentem jednej liczby jest druga liczba

Q: Jak obliczyć, jakim procentem jednej liczby jest druga?

Podziel część przez całość i pomnóż przez 100 %. Dla pytania „jakim procentem 40 jest 10” całością jest 40, częścią 10, więc liczymy 10/40 · 100 % = 25 %. Uwaga na kolejność: w polskim zdaniu całość pada jako pierwsza, a we wzorze stoi na dole.

To drugi z trzech typów zadań procentowych: znasz część i całość, a szukasz procentu. Rachunek jest krótki — dzielisz część przez całość i mnożysz przez sto. Trudność leży gdzie indziej: w rozpoznaniu, która z dwóch liczb jest całością. Zamiana ich miejscami daje zupełnie inny wynik, a zdanie brzmi niemal tak samo.

Dział: ProcentyPoziom: klasy 7–8Zadań z matury: 5

Przejdź od razu do zadań (5) ↓

1Wzór i to, co w nim naprawdę trudne

Wzór

\text{procent} = \frac{\textcolor{#2F80D8}{\text{część}}}{\textcolor{#16A06A}{\text{całość}}} \cdot 100\,\%

Część na górze, całość na dole. Cała reszta strony jest o tym, jak nie pomylić tych dwóch miejsc.

Całość to liczba, z którą porównujemy — ta, która w zdaniu stoi zwykle po słowie „z”, „spośród” albo „na”. Część to liczba, którą porównujemy.

W pytaniu „jakim procentem $40$ jest $10$ ” całością jest $40$ , a częścią $10$ . Zwróć uwagę, że w polskim zdaniu całość pada jako pierwsza, a część na końcu — odwrotnie niż we wzorze. To jest źródło większości pomyłek w tym typie zadań.

\frac{\textcolor{#2F80D8}{10}}{\textcolor{#16A06A}{40}} \cdot 100\,\% = 0{,}25 \cdot 100\,\% = 25\,\%

Wynik ma sens: dziesiątka jest wyraźnie mniejsza od czterdziestki, więc procent musi wyjść mniejszy od stu. Gdyby ktoś podzielił odwrotnie, dostałby $400\,\%$ — i to natychmiast widać jako absurd, o ile się sprawdza.

2Jak rozpoznać całość w zadaniu z treścią

W zadaniach szkolnych całość prawie zawsze daje się wskazać jednym pytaniem: czego jest to część?

zadanie	całość	część	działanie
W klasie jest $25$ uczniów, w tym $15$ dziewcząt. Jaki to procent?	$25$ (cała klasa)	$15$ (dziewczęta)	$\frac{15}{25} \cdot 100\,\%$
Z $80$ zadań uczeń rozwiązał $60$ . Jaki to procent?	$80$ (wszystkie zadania)	$60$ (rozwiązane)	$\frac{60}{80} \cdot 100\,\%$
Cena spadła ze $200$ zł o $50$ zł. O ile procent?	$200$ (cena przed)	$50$ (obniżka)	$\frac{50}{200} \cdot 100\,\%$

Trzeci wiersz jest podchwytliwy i wart uwagi. Przy zmianach — obniżkach, podwyżkach, wzrostach — całością jest wartość sprzed zmiany, nigdy po. To ona jest punktem odniesienia, względem którego mierzymy zmianę.

Praktyczna wskazówka: całość to zwykle liczba większa, bo część rzadko przekracza całość. Jeśli w zadaniu liczba większa wypada w liczniku, sprawdź, czy nie pomyliłeś miejsc — chyba że zadanie faktycznie dotyczy wzrostu ponad wartość wyjściową.

3Trzy kroki, zawsze te same

wskaż całość — czego jest to część? ta liczba idzie do mianownika,
zapisz ułamek część przez całość i policz go jako liczbę dziesiętną,
pomnóż przez $100\,\%$ , czyli przesuń przecinek o dwa miejsca w prawo.

Krok trzeci to nic innego jak zamiana ułamka na procent — i można go zrobić dowolną z metod opisanych tam. Gdy mianownik dzieli sto, szybsze bywa rozszerzenie: $\frac{15}{25} = \frac{60}{100} = 60\,\%$ bez żadnego dzielenia.

Wynik nie zawsze wychodzi okrągły. $\frac{1}{3}$ da $33{,}3\,\%$ w przybliżeniu — wtedy obowiązuje znak $\approx$ i zaokrąglenie do miejsca podanego w poleceniu, najczęściej do części dziesiątych.

Bywa też, że wynik przekracza sto procent. To poprawne wszędzie tam, gdzie część jest większa od punktu odniesienia — na przykład gdy tegoroczna sprzedaż przewyższa zeszłoroczną.

4„Ile procent” a „o ile procent”

Te dwa pytania wyglądają podobnie i dają różne odpowiedzi. Rozróżnienie jest warte osobnej uwagi, bo w zadaniach o cenach pojawia się stale.

pytanie	co liczymy	przykład: cena ze $200$ zł na $150$ zł
ile procent ceny wyjściowej wynosi nowa cena	nowa wartość ÷ stara	$\frac{150}{200} \cdot 100\,\% = 75\,\%$
o ile procent cena spadła	zmiana ÷ stara	$\frac{50}{200} \cdot 100\,\% = 25\,\%$

Obie odpowiedzi są prawdziwe i opisują tę samą sytuację: nowa cena to $75\,\%$ starej, czyli spadła o $25\,\%$ . Przy obniżce obie liczby dają razem sto procent i to jest najprostszy sposób sprawdzenia, czy nie pomyliło się pytań.

Przy wzroście kontrola wygląda inaczej — i tu łatwo się naciąć. Gdy wartość rośnie, zmiana się dokłada zamiast ubywać, więc obie odpowiedzi nie sumują się do stu, tylko różnią o sto. Zakup $20 \to 30$ komputerów z ostatniego przykładu: „ile procent” daje $150\,\%$ , „o ile procent więcej” — $50\,\%$ , a $150\,\% - 50\,\% = 100\,\%$ . Reguła w obu przypadkach jest ta sama: stan minus zmiana daje sto procent, tylko przy spadku zmiana wchodzi ze znakiem minus i dlatego wygląda to jak dodawanie.

Słowo „o” sygnalizuje zmianę, a jego brak — stan. „Cena wynosi $75\,\%$ poprzedniej” to stan; „cena spadła o $25\,\%$ ” to zmiana. W poleceniu wystarczy podkreślić to jedno słowo, żeby nie liczyć nie tego, o co pytano.

5Miejsce tego typu wśród pozostałych

W każdym zadaniu procentowym występują trzy liczby: procent, całość i część. Znamy dwie, szukamy trzeciej — i stąd trzy typy zadań.

znamy	szukamy	typ
całość i procent	części	obliczanie procentu z liczby
całość i część	procentu	ta strona
część i procent	całości	obliczanie liczby z jej procentu

Zanim zaczniesz liczyć, sprawdź, której z trzech liczb brakuje w zadaniu. To rozpoznanie zajmuje pięć sekund, a decyduje o tym, czy będziesz mnożyć, dzielić, czy dzielić odwrotnie.

6Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: prosty, z zaokrągleniem i taki, w którym wynik przekracza sto procent.

Przykład 1 Podstawowy przypadek

W klasie jest $25$ uczniów, w tym $15$ dziewcząt. Jaki procent klasy stanowią dziewczęta?

Wskazuję całość: pytam „czego częścią są dziewczęta” — całej klasy, czyli $25$ .
Częścią jest $15$ , więc zapisuję ułamek $\frac{15}{25}$ .
Mianownik $25$ dzieli sto, więc rozszerzam zamiast dzielić: $\frac{15 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{60}{100}$ .
Ułamek o mianowniku sto czytam wprost: $60\,\%$ .
Sprawdzenie drugą drogą: $15 : 25 = 0{,}6$ , a po przesunięciu przecinka $60\,\%$ ✓
Kontrola sensu: dziewcząt jest więcej niż połowa klasy, ale nie dwie trzecie — $60\,\%$ pasuje ✓

Odpowiedź: Dziewczęta stanowią $60\,\%$ klasy.

Rozszerzenie do stu było tu szybsze od dzielenia. Warto najpierw sprawdzić, czy mianownik dzieli sto — dla $2$ , $4$ , $5$ , $10$ , $20$ , $25$ i $50$ zawsze dzieli.

Przykład 2 Wynik wymagający zaokrąglenia

Uczeń rozwiązał $17$ z $30$ zadań. Jaki to procent? Wynik zaokrąglij do części dziesiątych.

Całość to wszystkie zadania, czyli $30$ . Częścią jest $17$ .
Zapisuję ułamek: $\frac{17}{30}$ . Trzydziestka nie dzieli stu, więc rozszerzenie odpada — dzielę.
$17 : 30 = 0{,}5666\ldots$ — rozwinięcie jest nieskończone.
Przesuwam przecinek o dwa miejsca w prawo: $56{,}66\ldots\,\%$ .
Zaokrąglam do części dziesiątych: druga cyfra po przecinku to $6$ , więc zaokrąglam w górę — $56{,}7\,\%$ .
Kontrola sensu: $17$ to trochę ponad połowę z $30$ , a $56{,}7\,\%$ to trochę ponad $50\,\%$ ✓

Odpowiedź: $\frac{17}{30} \approx 56{,}7\,\%$

Znak $\approx$ zamiast $=$ jest tu obowiązkowy — wynik jest zaokrąglony, a nie dokładny. Zaokrąglamy dopiero na końcu, po przesunięciu przecinka, nie w trakcie dzielenia.

Przykład 3 Wynik większy od stu procent

W zeszłym roku szkoła kupiła $20$ komputerów, a w tym roku $30$ . Jakim procentem zeszłorocznego zakupu jest tegoroczny?

Pytanie brzmi „jakim procentem zeszłorocznego”, więc całością jest rok zeszły: $20$ .
Częścią — a właściwie liczbą porównywaną — jest $30$ .
Zapisuję ułamek: $\frac{30}{20}$ . Licznik jest większy od mianownika, więc spodziewam się wyniku ponad sto procent.
Skracam: $\frac{30}{20} = \frac{3}{2} = 1{,}5$ .
Mnożę przez $100\,\%$ : $1{,}5 \cdot 100\,\% = 150\,\%$ .
Kontrola sensu: kupiono półtora raza więcej niż rok wcześniej, a półtora to właśnie $150\,\%$ ✓

Odpowiedź: Tegoroczny zakup to $150\,\%$ zeszłorocznego.

Uwaga na inne pytanie o tę samą sytuację: „o ile procent więcej kupiono” daje $50\,\%$ , bo liczymy wtedy samą zmianę ( $10$ komputerów) w stosunku do $20$ .

7Najczęstsze błędy

Cztery błędy — pierwszy odpowiada za większość strat punktów w tym typie zadań.

Odwrócenie ułamka — całość w liczniku

Skąd się bierze: Polskie zdanie „jakim procentem $40$ jest $10$ ” wymienia całość przed częścią, a we wzorze jest odwrotnie. Uczeń zapisuje liczby w kolejności czytania i wychodzi mu $\textcolor{#9b1c14}{\frac{40}{10} \cdot 100\,\% = 400\,\%}$ zamiast $25\,\%$ .

Jak zrobić dobrze: Nie zapisuj liczb w kolejności ze zdania. Najpierw zadaj pytanie „czego to jest część” — odpowiedź idzie do mianownika. Potem sprawdź sens: jeśli część jest mniejsza od całości, wynik musi być mniejszy od stu procent.

Zapomnienie o pomnożeniu przez sto procent

Skąd się bierze: Uczeń dzieli $15 : 25$ , dostaje $0{,}6$ i to zapisuje jako odpowiedź. Liczba jest poprawna, ale odpowiada na inne pytanie — to ułamek, a nie procent. Zapis $\textcolor{#9b1c14}{0{,}6\,\%}$ jest jeszcze gorszy, bo to sześć dziesiątych procenta, sto razy mniej.

Jak zrobić dobrze: Po podzieleniu zawsze przesuń przecinek o dwa miejsca w prawo. Kontrola: procent zapisujemy zwykle liczbą większą od jedynki, więc wynik $0{,}6$ przy pytaniu o procent jest sygnałem brakującego kroku.

Mylenie „ile procent” z „o ile procent”

Skąd się bierze: Przy cenie spadającej ze $200$ zł na $150$ zł obie odpowiedzi są liczbowo poprawne, ale dotyczą różnych pytań: nowa cena to $75\,\%$ starej, a spadek wynosi $25\,\%$ . Uczeń podaje jedną, gdy pytano o drugą — i traci punkt mimo bezbłędnego rachunku.

Jak zrobić dobrze: Podkreśl w poleceniu słowo „o”. Jest — liczysz zmianę, dzieląc różnicę przez wartość wyjściową. Nie ma — liczysz stan, dzieląc nową wartość przez wyjściową. Kontrola: przy obniżce obie odpowiedzi dają razem sto procent, przy podwyżce różnią się o sto (bo $150\,\% - 50\,\% = 100\,\%$ ).

Branie wartości po zmianie jako całości

Skąd się bierze: Przy obniżce ze $200$ zł na $150$ zł uczeń liczy $\textcolor{#9b1c14}{\frac{50}{150} \cdot 100\,\%}$ i dostaje około $33\,\%$ zamiast $25\,\%$ . Punktem odniesienia przy każdej zmianie jest wartość sprzed niej, bo to od niej liczymy, o ile coś urosło albo spadło.

Jak zrobić dobrze: Przy obniżkach, podwyżkach i wzrostach zawsze pytaj: od czego ta zmiana się zaczęła? Ta liczba idzie do mianownika. Wartość po zmianie służy najwyżej do policzenia samej różnicy.

Zadania maturalne — jakim procentem jednej liczby jest druga

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane. Czerwone — to, co z tego wynika. Odpowiedź na pytanie „jakim procentem liczby

b

jest liczba

a

” to zawsze

\dfrac{a}{b} \cdot 100\%

— czyli część przez całość. Cała sztuka polega na rozpoznaniu, która liczba jest całością: przy pytaniu „o ile procent coś zmalało” całością jest wartość sprzed zmiany, a nie po. I jeszcze jedno rozróżnienie, które CKE lubi sprawdzać: punkt procentowy to różnica dwóch procentów, a procent — stosunek tej różnicy do wartości wyjściowej. To nie to samo.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 5 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 5 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (wrzesień 2022)1 pktśrednie

Firma

F

zatrudnia

160

osób. Rozkład płac brutto pracowników tej firmy przedstawia poniższy diagram. Na osi poziomej podano — wyrażoną w złotych — miesięczną płacę brutto, a na osi pionowej podano liczbę pracowników firmy

F

, którzy otrzymują płacę miesięczną w danej wysokości.

Liczba pracowników firmy

F

, których miesięczna płaca brutto nie przewyższa

5000

zł, stanowi (w zaokrągleniu do

1\%

)

A. $91\%$ liczby wszystkich pracowników tej firmy.
B. $78\%$ liczby wszystkich pracowników tej firmy.
C. $53\%$ liczby wszystkich pracowników tej firmy.
D. $22\%$ liczby wszystkich pracowników tej firmy.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Najpierw ustalamy, kogo dotyczy warunek. „Nie przewyższa $5000$ zł” znaczy co najwyżej $5000$ zł, więc grupa $5000$ zł wchodzi do rachunku.
Sumujemy trzy pierwsze słupki:
$\textcolor{#16A06A}{75} + \textcolor{#16A06A}{50} + \textcolor{#16A06A}{20} = \textcolor{#E0453A}{145}$ pracowników
Całością jest liczba wszystkich zatrudnionych, czyli $\textcolor{#16A06A}{160}$ :
$\dfrac{\textcolor{#E0453A}{145}}{\textcolor{#16A06A}{160}} = \textcolor{#E0453A}{0{,}90625} = \textcolor{#E0453A}{90{,}625\%}$
Treść każe zaokrąglić do jednego procenta, więc odpowiedzią jest $\textcolor{#E0453A}{91\%}$ .
Odpowiedź: A.
Kontrola dopełnieniem: pracowników zarabiających więcej niż $5000$ zł jest $10 + 5 = 15$ , czyli $\tfrac{15}{160} = 9{,}375\%$ . Obie części muszą dać razem sto procent — i dają: $90{,}625 + 9{,}375 = 100$ ✓. To najszybszy sposób sprawdzenia takiego rachunku, a przy okazji odrzuca odpowiedź $D$ ( $22\%$ ), która nie pasuje do żadnej z tych grup.

💡 Wskazówka: Przeczytaj warunek dwa razy: „nie przewyższa” to co najwyżej, więc próg $5000$ zł należy do grupy. Gdyby napisano „jest niższa niż $5000$ zł”, trzeba by policzyć tylko dwa pierwsze słupki i wyszłoby $\tfrac{125}{160} = 78\%$ — czyli dokładnie odpowiedź $B$ . Cała różnica między $A$ a $B$ to jedno słowo w treści.

⚠ Odpowiedź $B$ , czyli $78\%$ — z pominięcia grupy zarabiającej dokładnie $5000$ zł. To nie jest błąd rachunkowy, tylko czytania warunku: „nie przewyższa” obejmuje równość. Drugi błąd: odpowiedź $C$ , czyli $53\%$ — z policzenia samej największej grupy $\tfrac{75}{160} = 47\%$ i pomylenia jej z dopełnieniem, albo z podzielenia przez niewłaściwą całość.

Zadanie 2 (sierpień 2016)1 pktłatwe

Buty, które kosztowały

220

złotych, przeceniono i sprzedano za

176

złotych.

O ile procent obniżono cenę butów?

A. $80$
B. $20$
C. $22$
D. $44$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Pytanie brzmi „o ile procent obniżono”, więc liczymy o ile złotych cena spadła, a potem odnosimy tę kwotę do ceny sprzed obniżki.
Obniżka w złotych:
$\textcolor{#16A06A}{220} - \textcolor{#16A06A}{176} = \textcolor{#E0453A}{44}$ zł
Obniżka w procentach — dzielimy przez cenę początkową, bo to ona jest całością:
$\dfrac{\textcolor{#E0453A}{44}}{\textcolor{#16A06A}{220}} = \textcolor{#E0453A}{0{,}2} = \textcolor{#E0453A}{20\%}$
Odpowiedź: B.
Kontrola w przód: $220 \cdot 0{,}8 = 176$ zł ✓ — dokładnie cena z treści. Warto zauważyć, że w odpowiedziach czają się aż dwie liczby wprost z rachunku: $44$ to obniżka w złotych (odpowiedź $D$ ), a $80$ to procent ceny, który został (odpowiedź $A$ ). Zadanie sprawdza więc głównie to, czy wiadomo, o którą z tych trzech liczb chodzi.

💡 Wskazówka: Zapisz sobie obok siebie trzy liczby: obniżkę w złotych, procent, który został, i procent, o który obniżono. Wszystkie trzy pojawiają się w rachunku i wszystkie trzy bywają wśród odpowiedzi. Pytanie „o ile procent obniżono” dotyczy zawsze tej ostatniej — czyli ilorazu różnicy przez cenę wyjściową.

⚠ Odpowiedź $D$ , czyli $44$ — podanie obniżki w złotych zamiast w procentach. Drugi błąd: odpowiedź $A$ , czyli $80$ — policzenie $\tfrac{176}{220} = 80\%$ , czyli tego, ile ceny zostało, a nie o ile ją obniżono. Trzeci wariant, odpowiedź $C$ , bierze się z podzielenia różnicy przez cenę po obniżce zamiast przed: $\tfrac{44}{176} = 25\%$ — to akurat nie trafia w żadną opcję, więc taki błąd sam się ujawnia.

Zadanie 3 (maj 2019)1 pkttrudniejsze

W pewnym banku prowizja od udzielanych kredytów hipotecznych przez cały styczeń była równa

4\%

. Na początku lutego ten bank obniżył wysokość prowizji od wszystkich kredytów o

1

punkt procentowy.

Oznacza to, że prowizja od kredytów hipotecznych w tym banku zmniejszyła się o

A. $1\%$
B. $25\%$
C. $33\%$
D. $75\%$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

To zadanie o jednym rozróżnieniu i CKE sprawdza je regularnie: punkt procentowy to nie to samo co procent.
Obniżka „o $1$ punkt procentowy” oznacza, że prowizja spadła z $\textcolor{#16A06A}{4\%}$ na $\textcolor{#E0453A}{3\%}$ — po prostu odejmujemy jeden od czterech.
Ale pytanie brzmi: o ile procent zmniejszyła się prowizja? Tu całością jest sama prowizja sprzed zmiany, czyli $\textcolor{#16A06A}{4\%}$ , a zmianą — $\textcolor{#16A06A}{1}$ punkt:
$\dfrac{\textcolor{#16A06A}{1}}{\textcolor{#16A06A}{4}} = \textcolor{#E0453A}{0{,}25} = \textcolor{#E0453A}{25\%}$
Odpowiedź: B.
Kontrola na konkretnym kredycie: przy kredycie $200\,000$ zł prowizja styczniowa to $8000$ zł, a lutowa $6000$ zł. Spadek to $2000$ zł, czyli $\tfrac{2000}{8000} = 25\%$ ✓ — i wynik nie zależy od wysokości kredytu, bo obie prowizje liczy się od tej samej kwoty. Warto zauważyć, że gdyby prowizja spadła z $4\%$ na $3\%$ kredytu, ale zapytano „o ile punktów procentowych”, odpowiedzią byłby $1$ — czyli odpowiedź $A$ .

💡 Wskazówka: Kiedy w treści pada „punkt procentowy”, zawsze chodzi o zwykłe odejmowanie procentów. Kiedy pada „o ile procent”, chodzi o iloraz zmiany przez wartość wyjściową. Te dwa pytania mają w tym zadaniu różne odpowiedzi — $1$ oraz $25$ — i obie są wśród opcji, więc trzeba dokładnie wiedzieć, o którą pyta zadanie.

⚠ Odpowiedź $A$ , czyli $1\%$ — przepisanie „jednego punktu procentowego” jako „jednego procenta”. To najczęstszy błąd w tym typie zadania i dokładnie ta pomyłka, którą CKE tu sprawdza. Drugi błąd: odpowiedź $C$ , czyli $33\%$ — z podzielenia zmiany przez prowizję po obniżce, $\tfrac{1}{3}$ , zamiast przez tę sprzed. Przy pytaniu „o ile się zmniejszyła” mianownikiem jest zawsze wartość początkowa.

Zadanie 4 (czerwiec 2014)1 pktśrednie

Czterech przyjaciół zarejestrowało spółkę. Wysokość udziałów poszczególnych wspólników w kapitale zakładowym spółki wyraża stosunek

12 : 8 : 3 : 2

.

Jaką część kapitału zakładowego stanowi udział największego inwestora?

A. $12\%$
B. $32\%$
C. $48\%$
D. $52\%$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Stosunek nie mówi, ile kto wniósł w złotych — mówi tylko, w jakich proporcjach podzielony jest kapitał. Żeby dostać procent, trzeba znać całość, a całością jest suma wszystkich części.
Suma części:
$\textcolor{#16A06A}{12} + \textcolor{#16A06A}{8} + \textcolor{#16A06A}{3} + \textcolor{#16A06A}{2} = \textcolor{#E0453A}{25}$
Największy inwestor ma $\textcolor{#16A06A}{12}$ z tych $\textcolor{#E0453A}{25}$ części:
$\dfrac{\textcolor{#16A06A}{12}}{\textcolor{#E0453A}{25}} = \textcolor{#E0453A}{0{,}48} = \textcolor{#E0453A}{48\%}$
Odpowiedź: C.
Kontrola: policzmy udziały wszystkich czterech wspólników i sprawdźmy, czy sumują się do stu procent. $\tfrac{12}{25} = 48\%$ , $\tfrac{8}{25} = 32\%$ , $\tfrac{3}{25} = 12\%$ , $\tfrac{2}{25} = 8\%$ . Razem: $48 + 32 + 12 + 8 = 100$ ✓. Zwróć uwagę, że trzy z czterech tych liczb pojawiają się wśród odpowiedzi — zadanie sprawdza więc głównie to, czy wiadomo, który wspólnik jest największy i przez co dzielić.
Kontrola liczbowa na przykładzie: gdyby kapitał wynosił $25\,000$ zł, to jedna część to $1000$ zł, a największy inwestor wniósłby $12\,000$ zł — czyli $48\%$ z dwudziestu pięciu tysięcy ✓.

💡 Wskazówka: Przy każdym stosunku pierwszy krok jest zawsze ten sam: zsumuj wszystkie części. Ta suma staje się mianownikiem i zwykle wychodzi wygodna liczba — tutaj $25$ , przez którą dzieli się w pamięci, bo $\tfrac{1}{25} = 4\%$ . Wtedy każdy udział liczy się jednym mnożeniem: $12 \cdot 4\% = 48\%$ .

⚠ Odpowiedź $A$ , czyli $12\%$ — przepisanie liczby ze stosunku jako procentu. Stosunek $12 : 8 : 3 : 2$ nie oznacza dwunastu procent; oznacza dwanaście części z dwudziestu pięciu. Drugi błąd: odpowiedź $D$ , czyli $52\%$ — z podzielenia przez $23$ (sumę pozostałych plus coś) albo z policzenia dopełnienia do stu procent z błędnie wyliczonych $48\%$ .

Zadanie 5 (grudzień 2013)1 pktśrednie

W klasie jest cztery razy więcej chłopców niż dziewcząt.

Ile procent wszystkich uczniów tej klasy stanowią dziewczęta?

A. $4\%$
B. $5\%$
C. $20\%$
D. $25\%$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Treść nie podaje żadnej liczby uczniów — i nie musi, bo odpowiedź od niej nie zależy. Wprowadzamy oznaczenie i liczymy.
Niech dziewcząt będzie $\textcolor{#16A06A}{d}$ . Wtedy chłopców jest $\textcolor{#16A06A}{4d}$ , a wszystkich uczniów:
$\textcolor{#16A06A}{d} + \textcolor{#16A06A}{4d} = \textcolor{#E0453A}{5d}$
Dziewczęta stanowią więc:
$\dfrac{\textcolor{#16A06A}{d}}{\textcolor{#E0453A}{5d}} = \dfrac{1}{\textcolor{#E0453A}{5}} = \textcolor{#E0453A}{20\%}$
Odpowiedź: C.
Kontrola na konkretnej klasie: gdyby dziewcząt było $5$ , chłopców byłoby $20$ , a razem $25$ uczniów. Dziewczęta to $\tfrac{5}{25} = 20\%$ ✓. Sprawdźmy jeszcze na innej liczebności, żeby upewnić się, że wynik nie zależy od wielkości klasy: przy $3$ dziewczętach i $12$ chłopcach mamy $\tfrac{3}{15} = 20\%$ ✓.
Warto od razu policzyć dopełnienie: chłopcy stanowią $\tfrac{4d}{5d} = 80\%$ , a $20 + 80 = 100$ ✓.

💡 Wskazówka: Kiedy treść mówi tylko o stosunku, a nie o liczbach, wprowadź literę na mniejszą z wielkości — wtedy druga wyrazi się przez nią bez ułamków. Uważaj przy tym na całość: uczniów jest $5d$ , a nie $4d$ . Najczęstsza pomyłka w takich zadaniach polega na podzieleniu przez liczbę chłopców zamiast przez liczbę wszystkich uczniów.

⚠ Odpowiedź $D$ , czyli $25\%$ — z podzielenia dziewcząt przez chłopców ( $\tfrac{d}{4d}$ ) zamiast przez wszystkich uczniów. To rzeczywiście prawda, że dziewcząt jest cztery razy mniej niż chłopców, ale pytanie dotyczy udziału w całej klasie. Drugi błąd: odpowiedzi $A$ i $B$ — przepisanie liczby z treści ( $4$ ) albo liczby części ( $5$ ) wprost jako procentu.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. A

2. B

3. B

4. C

5. C

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

8Pytania i odpowiedzi

Jak obliczyć, jakim procentem jednej liczby jest druga?

Podziel część przez całość i pomnóż przez $100\,\%$ . Dla pytania „jakim procentem $40$ jest $10$ ” całością jest $40$ , częścią $10$ , więc liczymy $\frac{10}{40} \cdot 100\,\% = 25\,\%$ . Uwaga na kolejność: w polskim zdaniu całość pada jako pierwsza, a we wzorze stoi na dole.

Która liczba jest całością?

Ta, z którą porównujemy — zwykle stoi po słowie „z”, „spośród” albo „na”. Najprościej zadać pytanie: czego to jest część? Odpowiedź idzie do mianownika. Przy obniżkach i podwyżkach całością jest zawsze wartość sprzed zmiany.

Czym różni się „ile procent” od „o ile procent”?

„Ile procent” pyta o stan — nową wartość w odniesieniu do starej. „O ile procent” pyta o zmianę — różnicę w odniesieniu do starej wartości. Przy cenie spadającej ze $200$ zł na $150$ zł nowa cena to $75\,\%$ starej, a spadek wynosi $25\,\%$ — przy obniżce obie liczby dają razem sto procent. Przy wzroście jest odwrotnie: gdy zakup rośnie z $20$ do $30$ sztuk, stan to $150\,\%$ , wzrost $50\,\%$ , a sto procent daje dopiero ich różnica.

Czy wynik może być większy od stu procent?

Tak, gdy liczba porównywana przewyższa punkt odniesienia. Jeśli w tym roku kupiono $30$ komputerów, a rok wcześniej $20$ , to tegoroczny zakup stanowi $150\,\%$ zeszłorocznego. Wzrost wynosi wtedy $50\,\%$ — to odpowiedź na pytanie „o ile procent więcej”.

Co zrobić, gdy wynik nie jest okrągły?

Zaokrąglij do miejsca podanego w poleceniu, najczęściej do części dziesiątych, i użyj znaku $\approx$ zamiast znaku równości. Dla $17$ z $30$ zadań wychodzi $56{,}66\ldots\,\%$ , czyli w przybliżeniu $56{,}7\,\%$ . Zaokrąglaj dopiero na końcu, nie w trakcie dzielenia.

Jak sprawdzić, czy nie pomyliłem licznika z mianownikiem?

Porównaj obie liczby. Jeśli część jest mniejsza od całości, wynik musi wyjść mniejszy od stu procent — a jeśli wyszło więcej, ułamek jest odwrócony. Przy pytaniu „jakim procentem $40$ jest $10$ ” wynik $400\,\%$ jest niemożliwy, bo dziesiątka nie może być czterokrotnością czterdziestki.

Czytaj dalej

ProcentyHub działu: wszystkie typy zadań procentowych Obliczanie procentu z liczbyPierwszy typ: znasz całość i procent, szukasz części Obliczanie liczby z jej procentuTrzeci typ: znasz część i procent, szukasz całości Zamiana ułamka na procentOstatni krok tego rachunku, opisany osobno

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Jakim procentem jednej liczby jest druga liczba

1Wzór i to, co w nim naprawdę trudne

2Jak rozpoznać całość w zadaniu z treścią

3Trzy kroki, zawsze te same

4„Ile procent” a „o ile procent”

5Miejsce tego typu wśród pozostałych

6Przykłady krok po kroku

7Najczęstsze błędy

Zadania maturalne — jakim procentem jednej liczby jest druga

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (wrzesień 2022)1 pktśrednie

Zadanie 2 (sierpień 2016)1 pktłatwe

Zadanie 3 (maj 2019)1 pkttrudniejsze

Zadanie 4 (czerwiec 2014)1 pktśrednie

Zadanie 5 (grudzień 2013)1 pktśrednie

Odpowiedzi

8Pytania i odpowiedzi

Czytaj dalej

Kolorowy kod

Koncentracja
krok po kroku

Połącz te same kolory

Koncentracja
krok po kroku