Dane są cztery liczby: a = (-2)^2, b = √(9+16), c = 12(3-5)^2, d = √(25/4). Które zdanie jest fałszywe ?

Liczba c jest większa niż liczba d.

Liczba b jest większa niż liczba c.

Liczba c jest dwa razy mniejsza niż liczba a.

Liczba d jest 2 razy mniejsza niż liczba b.

W układzie współrzędnych wyznaczono odcinek o końcach w punktach K i L. Punkty te mają współrzędne K = (-17,6) oraz L = (15,-4). W której ćwiartce układu współrzędnych leży środek odcinka KL?

W drugiej — na lewo od osi y i powyżej osi x.

W pierwszej — na prawo od osi y i powyżej osi x.

W trzeciej — na lewo od osi y i poniżej osi x.

W czwartej — na prawo od osi y i poniżej osi x.

Strona główna › Egzamin ósmoklasisty › Próbny egzamin ósmoklasisty z matematyki — pełny arkusz na 125 minut

Próbny egzamin ósmoklasisty z matematyki — pełny arkusz na 125 minut

Nie zestaw zadań, tylko cały arkusz naraz: dwadzieścia zadań w takim układzie, w jakim złożyła je Centralna Komisja Egzaminacyjna na ostatnim egzaminie, trzydzieści punktów i sto dwadzieścia pięć minut na zegarze. Zadania zamknięte sprawdzam automatycznie, otwarte oceniasz sam — bo w nich punktuje się rozumowanie, a tego żaden automat nie przeczyta.

Dział: Egzamin ósmoklasistyPoziom: klasa 4–8Zadań z E8: 120

Przejdź od razu do zadań (120) ↓

Po co rozwiązywać cały arkusz, skoro można rozwiązywać zadania

Zadania rozwiązywane pojedynczo sprawdzają, czy umiesz temat. Arkusz sprawdza coś innego: czy umiesz go rozwiązać w warunkach egzaminu — z zegarem, bez podpowiedzi, w kolejności, jakiej nie wybierałeś, i po dwóch godzinach siedzenia w jednym miejscu.

To dwie różne umiejętności i tylko jedna z nich jest ćwiczona przy nauce dział po dziale. Uczeń, który zna wszystkie tematy, potrafi wyjść z egzaminu z połową punktów, bo utknął na zadaniu za jeden punkt, zabrakło mu czasu na trzy ostatnie zadania otwarte albo zaczął od najtrudniejszego i stracił rezon.

Drugi powód jest prostszy: dopiero cały arkusz pokazuje, ile naprawdę trwa rozwiązanie zadania otwartego z pełnym zapisem. Na kartce w domu wychodzi trzy minuty, bo połowa kroków zostaje w głowie. Na egzaminie liczy się to, co jest napisane.

Dlatego ta strona nie daje wyboru „rozwiąż pięć zadań”. Daje jeden przycisk, który uruchamia zegar i całość — z tym samym rozkładem trudności i punktów co w prawdziwej sesji.

Jak jest zbudowany ten arkusz

Budowa nie jest wymyślona ani uśredniona. To budowa jednego, konkretnego arkusza — tego z ostatniej sesji, z 12 maja 2026 roku. Liczby przepisałem z instrukcji dla ucznia na jego okładce, a nie policzyłem z własnych zestawień.

14 zadań zamkniętych, po 1 punkt: dziesięć z jedną odpowiedzią do wyboru, dwa typu prawda–fałsz i dwa na dobieranie,
6 zadań otwartych za 16 punktów: cztery po 3 punkty i dwa po 2 punkty,
30 punktów razem, z czego ponad połowa za zadania otwarte,
125 minut pracy.

Dlaczego jedna sesja, a nie średnia z kilku: bo średnia daje arkusz, jakiego nikt nigdy nie dostał. Uśrednienie pięciu ostatnich sesji wypluwa podział „dziewięć zadań wyboru, trzy prawda–fałsz, dwa na dobieranie” — każda liczba z osobna wygląda rozsądnie, a razem nie odpowiadają żadnemu prawdziwemu arkuszowi. Ćwiczyć trzeba na tym, co się dostanie.

Warto też wiedzieć, że formuła się zmieniła. Pierwsze arkusze, z lat 2019–2020, miały zadania zamknięte 1–15 i pięć albo sześć otwartych; od sesji 2021 zadań otwartych było już tylko cztery. Czas pracy wynosił wtedy 100 minut. Dziś zamkniętych jest czternaście, otwartych sześć, a czasu jest o dwadzieścia pięć minut więcej — i to właśnie zadania otwarte urosły.

To ostatnie zwykle najbardziej zaskakuje. Zadania zamknięte są widoczne, jest ich więcej i to od nich zaczyna się arkusz — a mimo to decyduje sześć zadań na końcu. Kto rozwiąże bezbłędnie całą część zamkniętą i nie zapisze ani jednego zadania otwartego, kończy z czternastoma punktami z trzydziestu.

Działy dobrane są tak samo jak proporcje: z pomiaru. W arkuszu zawsze znajdzie się miejsce na ułamki, procenty, potęgi i pierwiastki, podzielność, wyrażenia algebraiczne, bryły, pola i obwody, odczyt danych oraz prędkość — czyli na to, co w prawdziwych sesjach wraca najczęściej. Wszystkie dwadzieścia sześć działów z zadaniami CKE ma tu swoje miejsce, ale nie wszystkie naraz: część miejsc losuje się spośród kilku pokrewnych tematów, dokładnie tak, jak w kolejnych sesjach robi to komisja.

Przy każdym podejściu arkusz losuje się od nowa. Budowa zostaje ta sama, zadania są inne — z ponad trzech biliardów możliwych zestawień drugi raz ten sam arkusz po prostu nie wyjdzie.

Jak rozłożyć 125 minut

Sto dwadzieścia pięć minut brzmi jak dużo. Przy dwudziestu zadaniach to sześć minut na zadanie — i to jest średnia myląca, bo zadanie zamknięte i otwarte to zupełnie inna praca.

Sensowny podział wygląda tak: około dwóch minut na zadanie zamknięte i około dwunastu na otwarte. To razem sto minut i zostaje dwadzieścia pięć na przepisanie, sprawdzenie i na zadanie, które zabierze więcej, niż powinno.

Reguła dwóch minut

Jeśli po dwóch minutach nie wiesz, jak ruszyć zadanie zamknięte — zostaw je, zaznacz cokolwiek i idź dalej. Wrócisz na końcu.

Powód jest arytmetyczny, nie psychologiczny: te zadania są warte po jednym punkcie, a każde następne pięć minut spędzone nad jednym z nich to pięć minut zabrane zadaniu otwartemu wartemu trzech.

Kolejność też jest wyborem, choć rzadko traktuje się ją jak wybór. Arkusz można rozwiązywać od początku, ale nie trzeba. Warto przejrzeć całość na starcie — dwie minuty — i zacząć od tego, co się umie, żeby pewne punkty były zapisane, zanim zegar zacznie uwierać.

Ostatnie dziesięć minut zarezerwuj na dwie rzeczy: uzupełnienie pustych zadań zamkniętych (nie ma punktów ujemnych, więc puste pole to zawsze gorszy wybór niż strzał) i sprawdzenie, czy przy zadaniach otwartych zapisałeś to, co masz w głowie.

Jak oceniać zadania otwarte samemu

Zadania otwarte sprawdza człowiek według kryteriów, których nie da się sprowadzić do porównania dwóch liczb. Punktuje się drogę: przyjęcie właściwej metody, zapisanie zależności, konsekwentne doprowadzenie do wyniku. Dlatego po zakończeniu arkusza pokazuję odpowiedź i odsyłam do pełnego rozwiązania, a punkty stawiasz ty.

Brzmi jak furtka do oszukiwania siebie — i jest nią, jeśli oceniasz łagodnie. Dlatego jedna zasada: oceniaj tak, jakby czytał to ktoś, kto nie zna twoich intencji, bo dokładnie tak będzie na egzaminie.

komplet punktów — metoda poprawna, rozumowanie zapisane, wynik dobry;
o jeden mniej — metoda poprawna i widoczna w zapisie, ale gdzieś uciekł rachunek albo brakuje jednego kroku;
zero — brak zapisu rozumowania albo sam wynik, choćby prawidłowy.

To ostatnie jest najtrudniejsze do przyjęcia i najczęściej kosztuje najwięcej. Poprawny wynik bez żadnego rachunku obok nie jest wart punktu, bo egzaminator nie ma z czego wnioskować, że nie został zgadnięty.

Jeśli nie wiesz, jak ocenić własny zapis, zajrzyj do rozwiązania krok po kroku pod zadaniem i zapytaj wprost: które z tych kroków są na mojej kartce? Nie „czy wiedziałem, jak to zrobić”, tylko czy jest to napisane.

Co zrobić z wynikiem

Wynik pokazuję w punktach, nie w procentach. To nie jest drobiazg: procent z arkusza próbnego wygląda jak wynik z zaświadczenia po egzaminie, a znaczy zupełnie co innego — tamten liczy się z innego zestawu zadań i stoi obok centyla, czyli miejsca na tle wszystkich zdających w tej sesji.

Punkty są uczciwsze także dlatego, że pokazują, gdzie ich brakuje. Dwadzieścia punktów z trzydziestu zdobyte jako czternaście z zamkniętych i sześć z otwartych to zupełnie inna sytuacja niż dziewięć z zamkniętych i jedenaście z otwartych — pierwszy uczeń nie zapisuje rozumowania, drugi gubi rachunki.

przewaga strat w części zamkniętej — to zwykle tempo i nieuwaga; wróć do działów, w których się pomyliłeś, i ćwicz je testami sprawdzającymi,
przewaga strat w części otwartej — to najczęściej zapis, nie wiedza; rozwiązuj mniej zadań, ale każde zapisuj do końca,
braki równomierne — wróć do teorii działu, zanim policzysz kolejny arkusz.

Jedna rzecz, której wynik nie mówi: czy zdasz. Egzamin ósmoklasisty nie ma progu zdawalności — do szkoły średniej i tak się dostaniesz, a wynik decyduje o tym, do której. Dlatego nie ma tu żadnej granicy „zaliczone”, jest tylko informacja, na co przeznaczyć następny tydzień.

Drugi arkusz warto rozwiązać nie od razu, tylko po nadrobieniu tego, co pierwszy pokazał. Rozwiązywanie arkuszy jeden po drugim mierzy formę, ale jej nie poprawia.

Przykłady krok po kroku

Trzy rachunki, które warto zrobić raz w domu, żeby nie robić ich pierwszy raz na egzaminie.

Przykład 1 Rozpisanie 125 minut na kartce

Arkusz ma 14 zadań zamkniętych i 6 otwartych. Ile czasu przeznaczyć na każde, żeby zostało coś na sprawdzenie?

Zaczynam od części zamkniętej: 14 zadań po 2 minuty to $14 \cdot 2 = 28$ minut.
Część otwarta: 6 zadań po 12 minut to $6 \cdot 12 = 72$ minuty.
Razem $28 + 72 = 100$ minut pracy.
Zostaje $125 - 100 = 25$ minut. To nie jest zapas na „gdyby co” — to czas przewidziany na zadanie, które wyjdzie dwa razy dłuższe, i na końcowe sprawdzenie.
Sprawdzam, czy plan jest realny: gdyby część zamknięta zajęła po 3 minuty, byłoby 42 minuty i zapas topnieje do 11. Nadal działa, ale bez sprawdzania.
Zapisuję sobie dwie godziny odniesienia: po 40 minutach powinienem kończyć zadania zamknięte, po 110 — ostatnie otwarte.

Odpowiedź: 2 minuty na zadanie zamknięte, 12 na otwarte, 25 minut rezerwy.

Te dwie godziny odniesienia są ważniejsze od samego podziału. Zegar na tej stronie odlicza czas, który został — wystarczy dwa razy na niego spojrzeć, żeby wiedzieć, czy plan się trzyma.

Przykład 2 To samo rozwiązanie za 3, za 2 i za 0 punktów

Basen ma kształt prostopadłościanu o wymiarach 25 m na 10 m i głębokości 1,4 m. Ile hektolitrów wody mieści się w basenie napełnionym do $\tfrac{4}{5}$ wysokości? (zadanie za 3 punkty)

Liczę wysokość słupa wody: $\tfrac{4}{5} \cdot 1{,}4 = 1{,}12$ m.
Liczę objętość wody: $25 \cdot 10 \cdot 1{,}12 = 280$ m³.
Zamieniam jednostki: 1 m³ to 1000 litrów, czyli 10 hektolitrów, więc 280 m³ to 2800 hl.
Za 3 punkty wystarczy dokładnie tyle, ile wyżej — trzy zapisane linijki i wynik z jednostką.
Za 2 punkty wygląda to samo, ale z pomyłką w ostatnim kroku: uczeń pisze 280 m³, po czym zamienia na $28\,000$ hl. Metoda widoczna i poprawna, więc punkt za rachunek przepada, dwa zostają.
Za 0 punktów wygląda tak: na kartce stoi samo „2800 hl”. Wynik jest dobry, ale nie ma z czego odczytać, że nie został zgadnięty — a egzaminator ocenia to, co napisane.

Odpowiedź: 2800 hl — ale punkty zależą od zapisu, nie od samej liczby.

Różnica między trzema punktami a zerem to tu trzy linijki, których napisanie zajmuje czterdzieści sekund. To najtańsze punkty w całym arkuszu.

Przykład 3 Kiedy zostawić zadanie i wrócić do niego później

Siedzisz nad zadaniem zamkniętym już 5 minut. Zostało 40 minut, a przed Tobą jeszcze 3 zadania otwarte warte razem 8 punktów. Zostać czy iść dalej?

Liczę, co jest w grze tutaj: to zadanie jest warte 1 punkt.
Liczę, ile czasu potrzebują zadania otwarte: $3 \cdot 12 = 36$ minut przy normalnym tempie.
Zostało 40 minut, więc rezerwa to $40 - 36 = 4$ minuty. Dalsze siedzenie nad tym zadaniem zjada właśnie ją.
Porównuję stawki: 1 punkt tutaj wobec 8 punktów tam. Nawet gdybym stracił całe to zadanie, tracę osiem razy mniej niż przy niedokończonych zadaniach otwartych.
Decyzja: zaznaczam najbardziej prawdopodobny wariant (nie ma punktów ujemnych), zaginam róg kartki i idę dalej.
Wracam tylko wtedy, gdy po zadaniach otwartych zostanie czas — a jeśli nie zostanie, i tak mam zaznaczoną odpowiedź.

Odpowiedź: Iść dalej. Zaznaczyć cokolwiek, oznaczyć zadanie i wrócić, jeśli starczy czasu.

Ten rachunek trwa dziesięć sekund, ale prawie nikt go nie robi na egzaminie — bo zostawienie nierozwiązanego zadania czuje się jak porażka, a jest zwykłą decyzją o tym, gdzie opłaca się wydać minuty.

Najczęstsze błędy

Cztery błędy, które widać dopiero na całym arkuszu — przy rozwiązywaniu pojedynczych zadań żaden z nich się nie ujawnia.

Rozwiązywanie arkusza na raty

Skąd się bierze: Godzina dziś, godzina jutro — i wynik nie mówi nic. Arkusz sprawdza wytrzymałość i gospodarowanie czasem, a obie te rzeczy znikają, gdy pracę można przerwać. Uczeń widzi wynik lepszy niż egzaminacyjny i wyciąga fałszywy wniosek, że jest gotowy.

Jak zrobić dobrze: Usiądź do arkusza raz, na sto dwadzieścia pięć minut, bez telefonu. Jeśli nie masz teraz tyle czasu, rozwiąż test sprawdzający — jest krótszy i do tego stworzony.

Ocenianie własnych zadań otwartych na swoją korzyść

Skąd się bierze: „Wiedziałem, jak to zrobić” to nie to samo co „zapisałem, jak to zrobić”, a punktuje się wyłącznie to drugie. Samoocena zawyżona o dwa–trzy punkty daje złudzenie wyniku, którego na egzaminie nie będzie, i kieruje naukę w złą stronę.

Jak zrobić dobrze: Oceniaj wyłącznie to, co jest na kartce. Porównaj swój zapis z rozwiązaniem krok po kroku i policz, których kroków u Ciebie nie ma. Gdy się wahasz między dwiema liczbami punktów, wpisz niższą.

Zostawianie wszystkich zadań otwartych na koniec

Skąd się bierze: Wygląda rozsądnie: najpierw szybkie punkty, potem trudne. Tyle że zadania otwarte to ponad połowa punktów arkusza, a zostają im ostatnie minuty i głowa po dwóch godzinach pracy. Stąd biorą się arkusze z bezbłędną częścią zamkniętą i pustymi trzema ostatnimi stronami.

Jak zrobić dobrze: Po części zamkniętej sprawdź zegar i policz, ile minut przypada na jedno zadanie otwarte. Jeśli wychodzi mniej niż osiem, zacznij od tych zadań, które umiesz — pewny zapis jest wart więcej niż zaczęte i porzucone rozumowanie.

Traktowanie wyniku próbnego jak oceny

Skąd się bierze: Egzamin ósmoklasisty nie ma progu zdawalności, więc „zaliczone” i „niezaliczone” nie istnieją — a mimo to uczniowie przeliczają punkty na procenty i porównują z wyobrażoną granicą. Efektem jest stres, który nie prowadzi do żadnej decyzji o nauce.

Jak zrobić dobrze: Czytaj wynik jak diagnozę, nie jak stopień: osobno punkty z części zamkniętej, osobno z otwartej. Interesuje Cię nie liczba, tylko to, po której stronie arkusza ich zabrakło — bo z tego wynika, co robić dalej.

Próbny egzamin ósmoklasisty z matematyki — pełny arkusz

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE), złożone w arkusz o budowie prawdziwej sesji — przy każdym podano, z której sesji pochodzi. Rozwiązań tutaj nie powtarzam: po zakończeniu arkusza każde zadanie odsyła do pełnego omówienia na stronie działowej, gdzie stoi razem ze wskazówką i typowym błędem.

Arkusz losuje się przy każdym podejściu, ale zawsze ma budowę prawdziwej sesji — tej z maj 2026: 14 zadań zamkniętych po 1 pkt i 6 otwartych, razem 30 pkt w 125 minut. Rozwiązań tutaj nie ma — po zakończeniu każde zadanie odsyła do omówienia na stronie działowej.

Próbny arkusz — 20 zadań, 30 pkt, 125 minut

14 zadań	zamknięte, po 1 pkt — sprawdzam automatycznie
6 zadań	otwarte, razem 16 pkt — punkty stawiasz sam, po zobaczeniu rozwiązania
125 minut	tyle samo, ile na prawdziwym egzaminie od sesji majowej 2025

Każde podejście losuje inny arkusz, ale zawsze o tej samej budowie: te same typy zadań, w tych samych proporcjach, z tych samych działów co w prawdziwej sesji. Zegar ruszy po kliknięciu i zostanie w rogu ekranu do końca.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (styczeń 2026)1 pktłatwe

Dane jest wyrażenie

\left(0{,}75 \cdot 8 + 8 \cdot \dfrac{1}{2}\right) : (-2)

. Dokończ zdanie.
Wartość tego wyrażenia jest równa

A. -5
B. -3,5
C. 3,5
D. 5

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Zadanie 3 (maj 2025)1 pkttrudniejsze

Dane jest wyrażenie

\left(2{,}4 - 5\dfrac{1}{3}\right) : (-2)

. Dokończ zdanie.
Wartość tego wyrażenia jest równa

A. $-1\dfrac{8}{15}$
B. $-1\dfrac{7}{15}$
C. $1\dfrac{7}{15}$
D. $1\dfrac{8}{15}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Zadanie 8 (maj 2023)1 pktśrednie

Dostęp do pliku jest chroniony hasłem

* * T * *

złożonym z dwóch liczb dwucyfrowych oddzielonych literą T. Pierwsza liczba hasła to sześcian liczby 4, a druga to najmniejszy wspólny mianownik ułamków

\dfrac{1}{15}

\dfrac{1}{25}

. Jakie jest hasło do pliku?

A. $24\text{T}45$
B. $24\text{T}75$
C. $64\text{T}45$
D. $64\text{T}75$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Zadanie 11 (czerwiec 2021)1 pktśrednie

Poniżej zapisano trzy liczby:

\;p = \dfrac{27 \cdot 9}{27 + 9}\;

\;r = \dfrac{27 + 9}{27 - 9}\;

\;s = \dfrac{27 - 9}{27 : 9}

. Który zapis przedstawia poprawnie uporządkowane liczby

p

r

s

od najmniejszej do największej?

A. $s,\ r,\ p$
B. $r,\ s,\ p$
C. $s,\ p,\ r$
D. $r,\ p,\ s$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Zadanie 13 (maj 2021)1 pktśrednie

Dane są cztery liczby zapisane za pomocą wyrażeń arytmetycznych:

x = -62{,}5 + 30

y = -14{,}4 - 12{,}6

t = -12 : 0{,}3

u = -8{,}02 \cdot 6

Która z tych liczb jest największa?

A. $x$
B. $y$
C. $t$
D. $u$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Zadanie 17 (czerwiec 2020)1 pktśrednie

Dane są trzy wyrażenia arytmetyczne:
I.

75{,}5 \cdot 2 - 7 \cdot 6{,}99

· II.

(4{,}6 + 5{,}5) \cdot 10

· III.

0{,}26 \cdot 400

Które spośród tych wyrażeń mają wartość większą od 100?

A. Tylko I i II.
B. Tylko I i III.
C. Tylko II i III.
D. Tylko I, II i III.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Zadanie 1 (maj 2026)1 pktłatwe

Dane są cztery liczby:

w = \sqrt{100-64} - 2

x = 12 - \sqrt{64+36}

y = \sqrt{25-16} - 3

z = 7 - \sqrt{9+16}

. Która z tych liczb jest równa 0?

A. $w$
B. $x$
C. $y$
D. $z$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Zadanie 9 (czerwiec 2021)1 pkttrudniejsze

Dane są cztery liczby:

a = (-2)^2

b = \sqrt{9+16}

c = \tfrac{1}{2}(3-5)^2

d = \sqrt{\dfrac{25}{4}}

. Które zdanie jest fałszywe?

A. Wszystkie liczby są dodatnie.
B. Liczba $b$ jest większa niż liczba $c$ .
C. Liczba $c$ jest dwa razy mniejsza niż liczba $a$ .
D. Liczba $d$ jest 2 razy mniejsza niż liczba $b$ .
E. Liczba $c$ jest większa niż liczba $d$ .

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: E

Zadanie 14 (kwiecień 2019)1 pkttrudniejsze

Dane są cztery wyrażenia: I.

4 + \sqrt{35}

, II.

6 + \sqrt{17}

, III.

17 - \sqrt{48}

, IV.

15 - \sqrt{26}

. Wartości których wyrażeń są mniejsze od 10?

A. I i II
B. II i III
C. III i IV
D. I i IV

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Zadanie 2 (styczeń 2026)1 pktłatwe

Wartość wyrażenia

4^3 - 8^2 : 2^4

jest równa:

A. 0
B. 10
C. 56
D. 60

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Zadanie 11 (maj 2022)1 pkttrudniejsze

Dane są trzy liczby:

x = \dfrac{10^{30} \cdot 10^{70}}{10}

y = (10^3)^{15} \cdot 10^{60}

z = 10^{50} \cdot \dfrac{10^{80}}{10^{20}}

. Która z tych liczb jest mniejsza od liczby

10^{100}

A. Tylko $x$ .
B. Tylko $y$ .
C. Tylko $z$ .
D. Każda z liczb $x$ , $y$ , $z$ .

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Zadanie 16 (kwiecień 2020)1 pkttrudniejsze

Która z podanych liczb nie jest równa

3^{15}

A. $3 \cdot 3^{14}$
B. $3^9 \cdot 3^6$
C. $3^{17} : 9$
D. $(3^5)^3$
E. $9^{15} : 3$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: E

Zadanie 1 (maj 2022)1 pktśrednie

Na osi liczbowej zaznaczono punkty

P

R

S

. Odcinek

PS

jest podzielony na 8 równych części. Współrzędne punktów

P

R

podano na rysunku. Dokończ zdanie.
Współrzędna punktu

S

jest równa

Dane z rysunku — wersja tekstowa

Punkt	P	R	S
Kreska od początku	0	5	8
Współrzędna	−3	7	?

A. 10
B. 11
C. 13
D. 15

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Zadanie 1 (maj 2026)1 pktłatwe

Ola otwiera swoją szafkę za pomocą czterocyfrowego kodu

YXXY

, gdzie

X

jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 18 i 27, a

Y

jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 2 i 4. Jaki jest kod do otwarcia szafki Oli?

A. 4334
B. 4994
C. 8338
D. 8998

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Zadanie 6 (czerwiec 2022)1 pkttrudniejsze

Na tablicy zapisano wszystkie różne liczby dwucyfrowe, które jednocześnie spełniają trzy warunki: są mniejsze od 40, są podzielne przez 3, suma cyfr każdej z nich jest większa od 7. Ile liczb zapisano na tablicy?

A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Zadanie 12 (czerwiec 2019)1 pktśrednie

Podczas lekcji matematyki uczniowie zaokrąglali liczbę 0,84631. Adam zaokrąglił tę liczbę do części dziesiątych, Bartek — do części setnych, Magda — do części tysięcznych, a Zosia — do części dziesięciotysięcznych. Które z dzieci otrzymało największą liczbę?

A. Adam.
B. Bartek.
C. Magda.
D. Zosia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Zadanie 15 (grudzień 2018)1 pkttrudniejsze

Liczba

x

jest najmniejszą liczbą dodatnią podzielną przez 3 i 4, a liczba

y

jest największą liczbą dwucyfrową podzielną przez 2 i 9. Dokończ zdanie.
Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb

x

y

jest równa

A. 72
B. 108
C. 180
D. 216

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Zadanie 21 (materiały CKE)1 pktśrednie

Do przygotowania podwieczorku użyto 120 mandarynek i 180 śliwek. Każda porcja składa się z takiej samej liczby mandarynek i takiej samej liczby śliwek, a owoce nie dzielono na części. Dla ilu maksymalnie osób przygotowano taki podwieczorek?

A. 90
B. 20
C. 30
D. 60

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Zadanie 1 (maj 2026)1 pktśrednie

W pewnej hodowli rasowy kocur kosztuje

x

złotych, a rasowa kotka kosztuje

y

złotych. Janek kupił z tej hodowli rasowego kocura ze zniżką 40% oraz rasową kotkę ze zniżką 20%. Które wyrażenie poprawnie opisuje, ile złotych zapłacił Janek za te koty?

A. $0{,}4x + 0{,}2y$
B. $0{,}2x + 0{,}4y$
C. $0{,}8x + 0{,}6y$
D. $0{,}6x + 0{,}8y$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Zadanie 3 (maj 2023)1 pkttrudniejsze

W sadzie rosną drzewa owocowe: grusze i jabłonie. Liczba grusz jest o 40% większa od liczby jabłoni. Jabłoni jest o 50 mniej niż grusz. Ile jabłoni rośnie w tym sadzie?

A. 20
B. 30
C. 70
D. 125

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Zadanie 8 (czerwiec 2020)1 pktłatwe

W sklepie obniżono o 15% ceny wszystkich książek. Zosia wybrała książkę, która przed obniżką kosztowała 45 zł. Ile zapłaci Zosia za tę książkę?

A. 40,50 zł
B. 39,75 zł
C. 38,25 zł
D. 30,00 zł

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Zadanie 10 (kwiecień 2020)1 pktśrednie

W trzech sklepach sportowych sprzedawano łyżwy figurowe w tej samej cenie. Na wiosnę każdy sklep ogłosił obniżkę:

Sklep Alfa	Płacisz tylko $\tfrac{2}{3}$ ceny.
Sklep Beta	Obniżka o 30%.
Sklep Gamma	Ścinamy ćwierć ceny.

Dokończ zdanie.
Po obniżce cena łyżew figurowych była

A. najniższa w sklepie Alfa.
B. najniższa w sklepie Beta.
C. najniższa w sklepie Gamma.
D. taka sama w trzech sklepach.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Zadanie 12 (grudzień 2017)1 pktśrednie

Maja grała z przyjaciółmi w ekonomiczną grę strategiczną. W trakcie gry zainwestowała w zakup nieruchomości 56 tys. gambitów — wirtualnych monet. Po upływie 30 minut odsprzedała tę nieruchomość za 280 tys. gambitów. Dokończ zdanie.
Wartość nieruchomości od momentu zakupienia do momentu sprzedaży

A. wzrosła o 500%.
B. wzrosła o 400%.
C. wzrosła o 80%.
D. wzrosła o 20%.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Zadanie 21 (materiały CKE)1 pktśrednie

Właściciel sklepu, sprzedający pewien towar po 75 zł za sztukę, zarabia 2% tej kwoty. Ile sztuk tego towaru musi sprzedać, aby zarobić 300 zł?

A. 120
B. 150
C. 200
D. 300

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Zadanie 2 (styczeń 2026)1 pktśrednie

Aleks kupił jeden komplet słuchawek bezprzewodowych, dwie jednakowe ładowarki i dwa jednakowe dyski USB. Jeden dysk USB był 2 razy tańszy od ładowarki, a komplet słuchawek był 4 razy droższy od jednej ładowarki. Dokończ zdanie.
Jeżeli przez

x

oznaczymy cenę jednej ładowarki, to wartość zakupów Aleksa opiszemy wyrażeniem

A. $10{,}5x$
B. $7x$
C. $6{,}5x$
D. $6x$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Zadanie 4 (grudzień 2024)1 pkttrudniejsze

Dokończ zdanie.
Wyrażenie

2(a - 2b) - (a - b)(2 - b) + b^2

można przekształcić równoważnie do postaci

A. $ab$
B. $ab - 2b$
C. $b^2 - 2b - ab$
D. $b^2 - 6b + a - 2$
E. $b^2 + ab$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Zadanie 7 (maj 2023)1 pktśrednie

Dane są cztery wyrażenia:

\;G = 2x^2 + 2\;

\;H = 2x^2 + 2x\;

\;J = 2x^2 - 2\;

\;K = 2x^2 - 2x

. Jedno z tych wyrażeń przyjmuje wartość 0 zarówno dla

x = 1

, jak i dla

x = -1

. Które to wyrażenie?

A. $G$
B. $H$
C. $J$
D. $K$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Zadanie 10 (maj 2022)1 pkttrudniejsze

Dane jest wyrażenie

\dfrac{n^4 - 3}{6}

oraz liczby: -3, -1, 0, 1, 3. Dla której z danych liczb wartość podanego wyrażenia jest najmniejsza?

A. -3
B. -1
C. 0
D. 1

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Zadanie 20 (materiały CKE)1 pkttrudniejsze

Pan Jan spłacił całą pożyczkę w

x

ratach. Każda z pierwszych czterech rat była równa

a

zł, a każda z pozostałych była o 100 zł większa od pierwszej raty. Dokończ zdanie.
Spłaconą kwotę pożyczki opisano wyrażeniem

A. $4a + 100x$
B. $4a + x(a + 100)$
C. $4a + x(100a)$
D. $4a + (x - 4) \cdot (a + 100)$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Zadanie 22 (materiały CKE)1 pktśrednie

Paweł zjada średnio

a

jabłek w czasie

b

dni. Którym wyrażeniem opisano, ile średnio jabłek Paweł zjada w ciągu tygodnia?

A. $\dfrac{7a}{b}$
B. $\dfrac{7b}{a}$
C. $\dfrac{ab}{7}$
D. $\dfrac{7}{ab}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Zadanie 1 (styczeń 2026)1 pkttrudniejsze

Dane są trzy liczby:

\;x = 5{,}27 \cdot 10^{-3}

\;y = 0{,}0023

\;z = 1400 \cdot 10^{-5}

. Uporządkowano je od najmniejszej do największej. Który zapis przedstawia poprawne uporządkowanie?

A. $x < y < z$
B. $y < x < z$
C. $z < y < x$
D. $x < z < y$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Zadanie 4 (czerwiec 2024)1 pktśrednie

Adam zapisał w przypadkowej kolejności temperatury odnotowane pewnego zimowego dnia w Zakopanem, w Wiśle, w Karpaczu i w Szklarskiej Porębie. Zapisane wartości to:

\;-8°C

\;-5°C

\;-3°C

\;-2°C

.
Temperatura w Karpaczu była o

6°C

wyższa niż w Szklarskiej Porębie, a w Wiśle była niższa niż w Zakopanem. Dokończ zdanie.
Temperaturę

-5°

zanotowano w

A. Szklarskiej Porębie.
B. Zakopanem.
C. Karpaczu.
D. Wiśle.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Zadanie 7 (czerwiec 2023)1 pktłatwe

W pewnym zoo mieszkają słoń afrykański o masie 6 ton oraz góralek skalny o masie 3 kg. Dokończ zdanie.
Masa słonia afrykańskiego jest większa niż masa góralka skalnego

A. 20 razy.
B. 200 razy.
C. $2\,000$ razy.
D. $20\,000$ razy.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Zadanie 1 (styczeń 2026)1 pkttrudniejsze

Z kart w kształcie trójkąta równobocznego o boku 2 cm układano figury: trójkąty ustawiano w jeden poziomy pas, każdy kolejny odwrócony względem poprzedniego (wierzchołkiem raz do góry, raz do dołu). Kolejne figury składały się z 1, 2, 3, 4, 5… trójkątów — przy nieparzystej ich liczbie powstaje trapez. Ile takich trójkątów należy ułożyć, aby otrzymać trapez o obwodzie równym 42 cm?

A. 7
B. 11
C. 19
D. 21

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Zadanie 3 (czerwiec 2022)1 pktśrednie

Dany jest wzór na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa:

\;P_c = 2P_p + P_b

, gdzie

P_c

— pole powierzchni całkowitej,

P_p

— pole podstawy,

P_b

— pole powierzchni bocznej. Dokończ zdanie.
Pole podstawy

P_p

wyznaczone poprawnie z powyższego wzoru opisano równaniem

A. $P_p = \dfrac{P_c - P_b}{2}$
B. $P_p = \dfrac{P_c}{2} - P_b$
C. $P_p = P_c - \dfrac{P_b}{2}$
D. $P_p = P_c - P_b$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Zadanie 8 (grudzień 2017)1 pktłatwe

Punkt kratowy to miejsce przecięcia linii kwadratowej siatki. Pole wielokąta o wierzchołkach w punktach kratowych można obliczyć ze wzoru Picka:

\;P = W + \dfrac{1}{2}B - 1

, gdzie $W$ — liczba punktów kratowych wewnątrz wielokąta, $B$ — liczba punktów kratowych na jego brzegu.
Wewnątrz pewnego wielokąta znajduje się 5 punktów kratowych, a na jego brzegu jest 6 punktów kratowych. Dokończ zdanie.
Pole tego wielokąta jest równe

A. 6
B. 6,5
C. 7
D. 7,5

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Zadanie 1 (czerwiec 2025)1 pktłatwe

Martyna przez 20 minut słuchała kolejno nagrań ćwiczeń językowych. Czas odtwarzania nagrania każdego ćwiczenia w całości jest równy 250 sekund. Ile najwięcej ćwiczeń w całości Martyna mogła wysłuchać w tym czasie?

A. 4
B. 5
C. 8
D. 12

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Zadanie 4 (marzec 2021)1 pktśrednie

Asia wzięła udział w zajęciach teatralnych. Zajęcia składały się z 2 części, każda trwała tyle samo minut. Pomiędzy pierwszą a drugą częścią była 10-minutowa przerwa. Zajęcia rozpoczęły się o godzinie

17\!:\!45

, a zakończyły o

19\!:\!05

. Dokończ zdanie.
Druga część zajęć rozpoczęła się o godzinie

A. $18\!:\!20$
B. $18\!:\!25$
C. $18\!:\!30$
D. $18\!:\!35$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Zadanie 2 (czerwiec 2024)1 pktśrednie

Na planie miasta wykonanym w skali 1 : 5000 odległość w linii prostej między wejściem do papugarni a wejściem do muzeum zabawek jest równa 8,4 cm. Dokończ zdanie.
W terenie odległość między wejściami do tych obiektów jest w linii prostej równa

A. 4,2 m
B. 42 m
C. 420 m
D. 4200 m

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Zadanie 2 (maj 2025)1 pktśrednie

W układzie współrzędnych

(x,y)

zaznaczono trzy punkty, które są wierzchołkami równoległoboku

ABCD

A = (-3,-2)

C = (4,2)

D = (-1,2)

. Współrzędna

x

wierzchołka

B

, niezaznaczonego na rysunku, jest liczbą dodatnią. Dokończ zdanie.
Niezaznaczony na rysunku wierzchołek

B

tego równoległoboku ma współrzędne

A. $(4,-2)$
B. $(3,-2)$
C. $(2,-2)$
D. $(6,-2)$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Zadanie 4 (maj 2024)1 pktłatwe

W układzie współrzędnych

(x,y)

zaznaczono pięć punktów:

P_1 = (-1,-2)

P_2 = (3,1)

P_3 = (-3,1)

P_4 = (2,2)

oraz

P_5 = (-2,2)

. Dokończ zdanie.
Jeżeli współrzędną

x

punktu

P_1

zwiększymy o 4, a współrzędną

y

tego punktu zwiększymy o 3, to otrzymamy współrzędne punktu

A. $P_2$
B. $P_3$
C. $P_4$
D. $P_5$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Zadanie 8 (kwiecień 2019)1 pktśrednie

W układzie współrzędnych wyznaczono odcinek o końcach w punktach

K

L

. Punkty te mają współrzędne

K = (-17,6)

oraz

L = (15,-4)

. W której ćwiartce układu współrzędnych leży środek odcinka

KL

A. W pierwszej — na prawo od osi $y$ i powyżej osi $x$ .
B. W drugiej — na lewo od osi $y$ i powyżej osi $x$ .
C. W trzeciej — na lewo od osi $y$ i poniżej osi $x$ .
D. W czwartej — na prawo od osi $y$ i poniżej osi $x$ .

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Zadanie 2 (maj 2025)1 pktśrednie

Na loterię przygotowano 72 losy i ponumerowano je kolejnymi liczbami naturalnymi od 1 do 72. Wygrywają losy o numerach od 1 do 9 oraz od 46 do 72. Pozostałe losy są puste. Ada jako pierwsza wyciąga jeden los. Dokończ zdanie.
Prawdopodobieństwo wyciągnięcia przez Adę losu pustego jest równe

A. $\dfrac{26}{72}$
B. $\dfrac{27}{72}$
C. $\dfrac{35}{72}$
D. $\dfrac{36}{72}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Zadanie 4 (maj 2024)1 pktśrednie

Karolina kupiła pudełko balonów. W tabeli podano ich kolory i liczby:

Kolor balonu	czerwony	niebieski	zielony	żółty
Liczba balonów	10	8	6	8

Karolina wyjmowała losowo po jednym balonie. Pierwsze dwa wyjęte balony były czerwone. Jakie jest prawdopodobieństwo, że trzeci wyjęty balon będzie czerwony?

A. $\dfrac{1}{3}$
B. $\dfrac{5}{16}$
C. $\dfrac{4}{15}$
D. $\dfrac{1}{4}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Zadanie 7 (maj 2022)1 pkttrudniejsze

W pudełku było wyłącznie 6 kulek zielonych i 8 kulek niebieskich. Po dołożeniu do tego pudełka pewnej liczby kulek zielonych prawdopodobieństwo wylosowania kulki niebieskiej jest równe

\dfrac{1}{4}

. Ile kulek zielonych dołożono do pudełka?

A. 10
B. 16
C. 18
D. 24

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Zadanie 2 (styczeń 2026)1 pktśrednie

Na tablicy zapisano osiem liczb całkowitych dodatnich, których średnia arytmetyczna jest równa 9. Dokończ zdanie.
Po dopisaniu do tych ośmiu liczb dodatkowej liczby równej 9 średnia arytmetyczna

A. wzrośnie o 1.
B. zmaleje o 1.
C. się nie zmieni.
D. wzrośnie o 9.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Zadanie 8 (maj 2021)1 pktłatwe

Ala kupiła trzy zeszyty i blok rysunkowy. Średnia arytmetyczna cen tych czterech artykułów była równa 6 zł. Zeszyty kosztowały łącznie 15 zł. Ile kosztował blok rysunkowy?

A. 4 zł
B. 5 zł
C. 8 zł
D. 9 zł

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Zadanie 10 (marzec 2020)1 pktłatwe

Średnia arytmetyczna dwóch ocen Janka z matematyki jest równa 3,5. Jaką trzecią ocenę musi uzyskać Janek, by średnia jego ocen była równa 4?

A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Zadanie 1 (maj 2025)1 pktłatwe

Trzy krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka prostopadłościanu mają długości: 5, 6, 7. Dokończ zdanie.
Pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu jest równe

A. 107
B. 172
C. 210
D. 214

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Zadanie 3 (czerwiec 2024)1 pkttrudniejsze

W pudełku są klocki w kształcie ostrosłupów trójkątnych i sześcianów. Klocków w kształcie ostrosłupów trójkątnych jest trzy razy więcej niż klocków sześciennych. Wszystkie klocki mają łącznie 720 krawędzi. Ile klocków w kształcie sześcianu jest w tym pudełku?

A. 24
B. 30
C. 39
D. 40

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Zadanie 9 (maj 2021)1 pkttrudniejsze

Staś ma dwa jednakowe klocki w kształcie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, każdy o polu powierzchni całkowitej 80 cm². Podstawa i ściana boczna klocka mają równe pola. Staś skleił oba klocki podstawami. Jakie pole powierzchni ma bryła otrzymana przez Stasia?

A. 112 cm²
B. 128 cm²
C. 144 cm²
D. 160 cm²

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Zadanie 3 (styczeń 2026)1 pkttrudniejsze

Adam ma dwa prostopadłościany: pierwszy o wymiarach 5, 6, 10 i drugi o wymiarach 6, 6, 10. Ustawił te prostopadłościany jeden na drugim tak, że powstał większy prostopadłościan. Dokończ zdanie.
Pole powierzchni całkowitej otrzymanego prostopadłościanu jest równe

A. 412
B. 472
C. 532
D. 592

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Zadanie 7 (maj 2021)1 pktłatwe

Skrzynia ma kształt prostopadłościanu. Podłoga skrzyni ma wymiary 1,5 m i 1,2 m, a wysokość skrzyni jest równa 1 m. Piasek wsypany do skrzyni zajmuje

\frac{3}{4}

jej pojemności. Ile metrów sześciennych piasku wsypano do skrzyni?

A. 1,8 m³
B. 0,45 m³
C. 1,35 m³
D. 2,4 m³

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Zadanie 10 (czerwiec 2019)1 pkttrudniejsze

Z sześciu jednakowych sześciennych klocków o krawędzi 1 cm zbudowano bryłę I — prostokątny blok o wymiarach 3 × 2 × 1 klocki. Następnie z górnej warstwy tej bryły usunięto dwa klocki i otrzymano schodkową bryłę II, w której każdy z czterech pozostałych klocków przylega ścianą do następnego. Dokończ zdanie.
Pole powierzchni bryły II jest mniejsze od pola powierzchni bryły I o

A. 2 cm²
B. 4 cm²
C. 7 cm²
D. 10 cm²
E. 12 cm²

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Zadanie 1 (czerwiec 2024)1 pktśrednie

Kwadrat podzielono na 6 jednakowych prostokątów ustawionych pionowo, jeden obok drugiego. Obwód każdego z tych prostokątów jest równy 28. Dokończ zdanie.
Obwód kwadratu jest równy

A. 48
B. 84
C. 96
D. 144

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Zadanie 6 (kwiecień 2019)1 pktśrednie

Czworokąt

ABCD

zbudowano z dwóch trójkątów prostokątnych: trójkąta

ABD

z kątem prostym przy

A

oraz trójkąta

BCD

z kątem prostym przy

B

. Dane są długości boków

|AB| = |BC| = 1

oraz

|AD| = \sqrt{2}

. Dokończ zdanie.
Długość boku

CD

jest równa

A. $\sqrt{3}$
B. 2
C. 3
D. $2\sqrt{2}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Zadanie 3 (czerwiec 2025)1 pkttrudniejsze

Karol wie, że suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa

180°

, i na tej podstawie zapisał trzy wnioski:
Wniosek 1. Skoro suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa

180°

, to trójkąt nie może mieć dwóch kątów wewnętrznych prostych ani dwóch kątów wewnętrznych rozwartych.
Wniosek 2. Ponieważ trójkąt nie może mieć dwóch kątów wewnętrznych rozwartych, więc nie istnieje trójkąt rozwartokątny równoramienny.
Wniosek 3. Jeśli suma miar dwóch kątów wewnętrznych trójkąta jest większa od

90°

, to trzeci kąt wewnętrzny tego trójkąta jest ostry.
Które z wniosków są prawdziwe?

A. Tylko 1. i 3.
B. Tylko 1. i 2.
C. Tylko 2. i 3.
D. Tylko 1., 2. i 3.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Zadanie 11 (maj 2021)1 pkttrudniejsze

W trójkącie

ABC

narysowano dwie wysokości:

CD

(opuszczoną z

C

na bok

AB

, punkt

D

AB

) oraz

AE

(opuszczoną z

A

na bok

BC

, punkt

E

BC

). Kąt rozwarty pomiędzy tymi wysokościami jest równy $138°$ . Kąt

\alpha

to kąt

DAE

— czyli kąt przy wierzchołku

A

między bokiem

AB

a wysokością

AE

. Jaką miarę ma kąt

\alpha

A. $38°$
B. $42°$
C. $45°$
D. $48°$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Zadanie 1 (maj 2025)1 pkttrudniejsze

Trapez

ABCD

podzielono na trzy figury: kwadrat $AEGD$ , trójkąt $EFG$ i romb $FBCG$ . Punkty

E

F

leżą na dolnej podstawie

AB

, a

G

na górnej podstawie

DC

. Podano długości boków trójkąta

EFG

EG = 6

EF = 8

GF = 10

. Dokończ zdanie.
Obwód trapezu

ABCD

jest równy

A. 56
B. 72
C. 88
D. 120

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Zadanie 5 (czerwiec 2022)1 pkttrudniejsze

W pewnym rombie jeden z kątów wewnętrznych ma miarę

120°

. Obwód tego rombu jest równy 24 cm. Dokończ zdanie.
Dłuższa przekątna tego rombu ma długość

A. $3\sqrt{3}$ cm
B. 6 cm
C. $6\sqrt{3}$ cm
D. 12 cm

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Zadanie 3 (grudzień 2024)1 pktśrednie

Dany jest okrąg

O

, którego średnica ma długość 20 cm. Odcinek

AB

ma długość 12 cm i jest cięciwą tego okręgu. Punkty

A

B

połączono z punktem

S

— środkiem okręgu. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Obwód trójkąta $ASB$ jest równy 36 cm.	P	F
Długość okręgu $O$ jest równa $20\pi$ cm.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, P

Zadanie 9 (czerwiec 2019)1 pkttrudniejsze

W trójkącie

ABC

, w którym

|AC| = |BC|

, poprowadzono wysokość

CD

na podstawę

AB

. Obwód trójkąta

ACD

jest równy 24 cm, a obwód trójkąta

ABC

jest równy 36 cm. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Obwód trójkąta $BCD$ jest równy 18 cm.	P	F
Wysokość $CD$ ma długość 6 cm.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, P

Zadanie 3 (styczeń 2026)1 pktśrednie

Dany jest prostokąt

ABCD

o bokach długości 4 cm i 9 cm. Ten prostokąt narysowano w skali 2:1 i otrzymano prostokąt

EFGH

. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Obwód prostokąta $EFGH$ jest dwukrotnie większy od obwodu prostokąta $ABCD$ .	P	F
Pole prostokąta $EFGH$ jest równe 144 cm².	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Zadanie 6 (maj 2025)1 pkttrudniejsze

Dany jest trójkąt prostokątny

ABC

(kąt prosty przy

B

). Na środku boku

AB

zaznaczono punkt

D

i poprowadzono odcinek

DC

, dzielący trójkąt

ABC

na dwa trójkąty

ADC

DBC

. Ponadto

|AD| = |DB| = 30

cm oraz

|DC| = 50

cm. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Pole trójkąta $DBC$ jest równe 600 cm².	P	F
Pole trójkąta $ABC$ jest dwa razy większe od pola trójkąta $ADC$ .	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Zadanie 11 (maj 2022)1 pkttrudniejsze

Trapez

KLMN

zbudowano z trzech jednakowych trójkątów prostokątnych o przyprostokątnych długości 3 cm i 4 cm. Krótsza podstawa

NM

ma 3 cm, a wysokość trapezu (bok

NK

) ma 4 cm. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Pole trapezu $KLMN$ jest równe 18 cm².	P	F
Obwód trapezu $KLMN$ jest równy 18 cm.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Zadanie 13 (marzec 2021)1 pkttrudniejsze

W zeszycie w linie narysowano dwa równoległoboki (

P

R

) oraz trójkąt (

S

). Odległości między sąsiednimi liniami są jednakowe. Podstawy wszystkich tych figur mają taką samą długość. Równoległobok

P

ma wysokość równą jednemu odstępowi między liniami, a równoległobok

R

i trójkąt

S

— po dwa odstępy. Pole równoległoboku

P

jest równe 4. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Pole równoległoboku $R$ jest równe 8.	P	F
Pole trójkąta $S$ jest równe 4.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Zadanie 3 (maj 2024)1 pkttrudniejsze

W trójkącie prostokątnym

ABC

(kąt prosty przy

A

) przyprostokątną

AC

wydłużono o 7 cm — do punktu

E

— a przyprostokątną

AB

wydłużono o 12 cm — do punktu

D

. Otrzymano trójkąt prostokątny równoramienny $ADE$ o polu równym 200 cm². Oceń prawdziwość podanych zdań.

Przyprostokątna trójkąta $ADE$ jest równa 20 cm.	P	F
Pole trójkąta $ABC$ jest równe 52 cm².	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Zadanie 6 (czerwiec 2024)1 pktśrednie

Kąty

\alpha

\beta

\gamma

pewnego trójkąta spełniają dwa warunki:

\;\alpha + \beta = 130°\;

oraz

\;\alpha + \gamma = 120°

. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Kąt $\alpha$ ma miarę $70°$ .	P	F
Różnica miar między kątem największym a kątem najmniejszym w tym trójkącie jest równa $20°$ .	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Zadanie 14 (czerwiec 2019)1 pktśrednie

Dane są dwa trójkąty:
• Pierwszy — kąty

80°

49°

, bok

a

leży między tymi kątami;
• Drugi — kąty

49°

51°

, bok

a

leży między kątem

49°

a trzecim kątem trójkąta.
Oceń prawdziwość podanych zdań.

Te trójkąty są równoramienne.	P	F
Te trójkąty są przystające.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, P

Zadanie 22 (materiały CKE)1 pkttrudniejsze

Trójkąt

ABC

jest prostokątny (kąt prosty przy wierzchołku

B

), ale nie jest równoramienny. Odcinek

BE

jest wysokością tego trójkąta (opuszczoną z

B

na przeciwprostokątną

AC

), a

BD

jest dwusieczną kąta prostego (punkt

D

leży na

AC

, za punktem

E

). Oceń prawdziwość podanych zdań.

Półprosta $BD$ jest dwusieczną kąta $CBE$ .	P	F
Odcinek $BE$ jest wysokością w trójkącie $CBD$ .	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, P

Zadanie 6 (maj 2024)1 pktśrednie

Na wykresie przedstawiono zależność pola pomalowanej powierzchni od ilości zużytej farby. Pole jest wprost proporcjonalne do ilości farby. Z wykresu odczytujemy:

Dane z rysunku — wersja tekstowa

Farba (litry)	5	10	15	20
Pole (m²)	50	100	150	200

Oceń prawdziwość podanych zdań.

18 litrów tej farby wystarczy na pomalowanie 180 m² powierzchni.	P	F
Na pomalowanie 125 m² powierzchni wystarczy 12 litrów tej farby.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, F

Zadanie 10 (maj 2022)1 pkttrudniejsze

Wśród uczniów klas ósmych przeprowadzono ankietę z pytaniem: Jakie filmy oglądasz najchętniej? Każdy zaznaczył jedną odpowiedź. Rozkład procentowy:

Dane z rysunku — wersja tekstowa

Rodzaj filmów	fantasy	komediowe	przyrodnicze	biograficzne	żadne z wymienionych
Udział	40%	30%	15%	10%	5%

Czworo ankietowanych zaznaczyło odpowiedź „żadne z wymienionych”. Oceń prawdziwość podanych zdań.

W ankiecie wzięło udział 80 uczniów.	P	F
Filmy fantasy wybrało o 20 uczniów więcej niż uczniów, którzy wybrali filmy przyrodnicze.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Zadanie 3 (grudzień 2024)1 pktśrednie

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród A i B oraz spośród C i D.

Liczba 4 jest mniejsza od liczby AB.

A. $2\sqrt3$
B. $3\sqrt2$

Liczba 4 jest większa od liczby CD.

C. $\sqrt2 + 2$
D. $6 - \sqrt3$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, C

Zadanie 5 (czerwiec 2023)1 pkttrudniejsze

Uzupełnij zdania.

Jest dokładnie AB liczb naturalnych

m

spełniających warunek

\sqrt{110} < m < \sqrt{300}

A. 7
B. 6

Są dokładnie CD liczby naturalne

k

spełniające warunek

\sqrt[3]{10} < k < \sqrt[3]{127}

C. 4
D. 3

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A, D

Zadanie 11 (marzec 2021)1 pkttrudniejsze

Uzupełnij zdania.

Wartość wyrażenia

\sqrt{1 + \dfrac{25}{144}}

jest równa AB.

A. $1\tfrac{5}{12}$
B. $1\tfrac{1}{12}$

Wartość wyrażenia

\sqrt[3]{3 + \dfrac{3}{8}}

jest równa CD.

C. $1\tfrac{1}{2}$
D. $1\tfrac{1}{8}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, C

Zadanie 15 (grudzień 2018)1 pktśrednie

Dana jest liczba

a = 3\sqrt2 - 4

. Uzupełnij zdania.

Liczba o 2 większa od liczby

a

jest równa AB.

A. $5\sqrt2 - 4$
B. $3\sqrt2 - 2$

Liczba 2 razy większa od liczby

a

jest równa CD.

C. $6\sqrt4 - 8$
D. $6\sqrt2 - 8$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, D

Zadanie 21 (materiały CKE)1 pktśrednie

Dane są liczby

a = 9\sqrt2

b = 3\sqrt2

. Uzupełnij zdania.

Iloczyn liczb

a

b

jest równy AB.

A. $27\sqrt2$
B. 54

Iloraz liczb

a

b

jest równy CD.

C. $3\sqrt2$
D. 3

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, D

Zadanie 12 (czerwiec 2021)1 pktśrednie

Uzupełnij zdania.

Wartość wyrażenia

\dfrac{27^6}{3^6}

jest równa AB.

A. $3^2$
B. $3^{12}$

Wartość wyrażenia

\dfrac{25^8}{5^4}

jest równa CD.

C. $5^4$
D. $5^{12}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, D

Zadanie 1 (maj 2026)1 pkttrudniejsze

W pudełku było jedenaście kul ponumerowanych kolejnymi liczbami naturalnymi od 1 do 11. Z pudełka wylosowano pięć kul. Suma liczb na dowolnych dwóch kulach, które pozostały w pudełku, jest parzysta. Uzupełnij zdania.

Po losowaniu w pudełku zostały wyłącznie kule ponumerowane liczbami AB.

A. nieparzystymi
B. parzystymi

Suma liczb na pięciu wylosowanych kulach jest równa CD.

C. 30
D. 36

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A, C

Zadanie 5 (maj 2022)1 pktśrednie

Na uszycie 90 jednakowych bluzek w rozmiarze S potrzeba tyle samo materiału, ile na uszycie 60 jednakowych bluzek w rozmiarze L. Przyjmij, że na uszycie większej lub mniejszej liczby bluzek potrzeba proporcjonalnie więcej lub mniej materiału. Uzupełnij zdania.

Na uszycie 240 bluzek w rozmiarze S potrzeba tyle samo materiału, ile na uszycie AB bluzek w rozmiarze L.

A. 160
B. 150

Na uszycie dwóch bluzek w rozmiarze L potrzeba tyle samo materiału, ile na uszycie CD bluzek w rozmiarze S.

C. trzech
D. pięciu

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A, C

Zadanie 7 (czerwiec 2020)1 pkttrudniejsze

Uczniowie klasy 8a utworzyli jeden szereg, a uczniowie klasy 8b — drugi. W obu szeregach chłopcy i dziewczęta stali na przemian. W klasie 8a na pierwszym i ostatnim miejscu stali chłopcy, a w klasie 8b na pierwszym i ostatnim miejscu stały dziewczęta. W klasie 8a jest 12 dziewcząt, a w klasie 8b jest o dwóch chłopców mniej niż w klasie 8a. Uzupełnij zdania.

W klasie 8a jest AB chłopców.

A. 11
B. 13

W klasie 8b jest CD uczniów.

C. 21
D. 23

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, D

Zadanie 5 (maj 2024)1 pktśrednie

Dane są dwie liczby

x

y

\;x = \dfrac{4}{5} \cdot \left(-\dfrac{4}{3}\right)\;

oraz

\;y = \dfrac{4}{5} + \left(-\dfrac{4}{3}\right)

. Uzupełnij zdania.

Liczba

y

jest liczbą AB.

A. ujemną
B. dodatnią

Liczba

x

jest CD od liczby

y

C. mniejsza
D. większa

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A, C

Zadanie 7 (czerwiec 2023)1 pktśrednie

Dane są cztery liczby:

\;0{,}7\;

\;-0{,}65\;

\;-0{,}456\;

\;0{,}234

. Uzupełnij zdania.

Suma największej i najmniejszej spośród tych liczb jest równa AB.

A. 1,35
B. 0,05

Na osi liczbowej odległość między punktami odpowiadającymi liczbom -0,65 oraz -0,456 jest równa CD.

C. 0,194
D. 1,106

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, C

Zadanie 14 (maj 2021)1 pktśrednie

Uzupełnij zdania.

Wartość wyrażenia

\dfrac{3}{7} + \dfrac{3}{5}

jest liczbą AB.

A. mniejszą od 1
B. większą od 1

Wartość wyrażenia

\dfrac{3}{7} - \dfrac{3}{5}

jest liczbą CD.

C. ujemną
D. dodatnią

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, C

Zadania otwarte

Zadanie 14 (styczeń 2026)3 pkttrudniejsze

Drużynę harcerską można podzielić na 4-osobowe zespoły. Gdyby ta drużyna liczyła o 3 osoby mniej, to harcerzy można by podzielić na zespoły 5-osobowe. Liczba zespołów 5-osobowych byłaby o 2 mniejsza od liczby zespołów 4-osobowych. Oblicz, ile osób jest w tej drużynie. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 28 osób

Zadanie 16 (maj 2025)3 pkttrudniejsze

Troje przyjaciół — Andrzej, Basia i Marek — zbiera plakaty. Andrzej ma o 28 plakatów więcej od Basi, a Marek ma ich 3 razy mniej od Basi. Andrzej i Marek mają razem 2 razy więcej plakatów od Basi. Oblicz, ile plakatów ma każde z tych przyjaciół. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: Basia 42, Andrzej 70, Marek 14

Zadanie 20 (czerwiec 2021)3 pkttrudniejsze

W zespole tańca nowoczesnego liczba dziewcząt jest dwa razy większa od liczby chłopców. Gdy na próbie nieobecnych było 2 chłopców i 1 dziewczyna, to liczba obecnych chłopców stanowiła

\dfrac{2}{5}

liczby obecnych dziewcząt. Z ilu osób składa się zespół? Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 24 osoby

Zadanie 23 (czerwiec 2020)3 pkttrudniejsze

Do pracowni komputerowej kupiono 6 myszek bezprzewodowych i 6 myszek przewodowych. Cena myszki bezprzewodowej była o 11 zł wyższa od ceny myszki z przewodem. Za zakup wszystkich myszek zapłacono 234 zł. Ile najwięcej myszek bezprzewodowych można by kupić za tę kwotę? Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 9 myszek

Zadanie 29 (czerwiec 2019)3 pkttrudniejsze

Bilet normalny na koncert kosztuje 45 zł, a cena biletu ulgowego stanowi

\dfrac{5}{9}

ceny biletu normalnego. Janek zakupił pięć razy więcej biletów normalnych niż ulgowych. Za wszystkie bilety zapłacił 500 zł. Ile biletów każdego rodzaju zakupił Janek? Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 2 ulgowe i 10 normalnych

Zadanie 30 (kwiecień 2019)3 pkttrudniejsze

Z okazji dnia sportu w godzinach od

9\!:\!00

12\!:\!00

przeprowadzono połowę wszystkich zaplanowanych konkurencji, a między

12\!:\!00

14\!:\!00

— jeszcze

\dfrac{1}{3}

z pozostałych. O godzinie

14\!:\!00

z powodu deszczu zakończono zawody. Tego dnia nie przeprowadzono 12 zaplanowanych konkurencji. Ile konkurencji planowano przeprowadzić? Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 36 konkurencji

Zadanie 12 (maj 2026)3 pkttrudniejsze

Z kartonu wycięto prostokąt

ABCD

o wymiarach 3 i 9. Następnie rozcięto go na dwie figury: trapez prostokątny oraz trójkąt prostokątny równoramienny (cięcie poprowadzono pod kątem

45°

od jednego z narożników). Z tych figur złożono równoległobok $KLMN$ , który nie jest prostokątem. Oblicz obwód równoległoboku

KLMN

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 18 + 6√2

Zadanie 14 (maj 2022)3 pktśrednie

Dany jest romb

ABCD

. Obwód tego rombu jest równy 52 cm, a przekątna

AC

ma długość 24 cm. Oblicz długość przekątnej

BD

rombu

ABCD

. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 10 cm

Zadanie 16 (czerwiec 2019)3 pkttrudniejsze

Duży prostokąt podzielono na osiem małych przystających prostokątów. W lewej połowie stoją trzy takie prostokąty ustawione pionowo, a pod nimi jeden ułożony poziomo; w prawej połowie jest jeden poziomy u góry, a pod nim trzy pionowe. Wysokość dużego prostokąta wynosi 8,4. Oblicz obwód dużego prostokąta. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 42

Zadanie 23 (czerwiec 2025)3 pkttrudniejsze

Obwód trójkąta równoramiennego jest równy 36 cm. Ramię tego trójkąta jest o 3 cm dłuższe od jego podstawy. Oblicz pole tego trójkąta. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 60 cm²

Zadanie 28 (czerwiec 2022)3 pkttrudniejsze

Prostokątna łąka jest podzielona na dwie części

A

B

, z których każda ma kształt trapezu. Górny bok łąki dzieli się na odcinki 10 m (część

A

) i 90 m (część

B

), dolny bok — na 40 m (

A

) i 60 m (

B

), a wysokość łąki wynosi 80 m. Kosiarka w ciągu każdej godziny kosi trawę z powierzchni o takim samym polu. Trawę z części

A

kosiarka skosiła w ciągu trzech godzin. Oblicz, ile godzin kosiarka będzie kosiła trawę w części

B

. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 9 godzin

Zadanie 30 (marzec 2020)3 pkttrudniejsze

Trapez równoramienny

ABCD

, którego pole jest równe 72 cm², podzielono na trójkąt

AED

i trapez

EBCD

(odcinkiem

DE

prostopadłym do podstawy

AB

). Odcinek

AE

ma długość 4 cm, a odcinek

CD

jest od niego 2 razy dłuższy. Oblicz pole trójkąta

AED

. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 12 cm²

Zadanie 16 (maj 2026)3 pkttrudniejsze

Z Polanki do Dębiny prowadzi jedna droga przez Jodłowo i ma długość 123 km. Droga z Polanki do Jodłowa ma długość 48 km i samochód przejechał ją w czasie 40 minut. Drogę z Jodłowa do Dębiny ten samochód pokonał z taką samą prędkością. Uzasadnij, że przejazd z Jodłowa do Dębiny trwał dłużej niż godzinę.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: dowód (prędkość 72 km/h, a odcinek ma 75 km > 72 km)

Zadanie 17 (styczeń 2026)3 pkttrudniejsze

Kierowca pokonał drogę podzieloną na trzy odcinki (I, II, III). Po przejechaniu każdego odcinka zatrzymywał się na postój. Z wykresu zależności przebytej drogi od czasu odczytujemy:

Dane z rysunku — wersja tekstowa

Etap	odcinek I	postój	odcinek II	postój	odcinek III
Czas (min)	0 → 90	90 → 105	105 → 180	180 → 195	195 → 240
Droga (km)	0 → 120	120	120 → 200	200	200 → 240

Oblicz, z jaką prędkością (w

\tfrac{\text{km}}{\text{h}}

) kierowca pokonał II odcinek drogi. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 64 km/h

Zadanie 22 (marzec 2021)3 pkttrudniejsze

Ula chodzi do szkoły dwiema drogami. Droga A prowadzi wzdłuż dwóch prostopadłych ulic: najpierw 800 m, potem 600 m. Droga B to skrót biegnący na wprost — po przekątnej, od domu Uli prosto do szkoły. Przyjmij, że Ula porusza się ze stałą prędkością

4\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}

. Oblicz, o ile minut krócej Ula idzie do szkoły drogą B niż drogą A. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 6 minut

Zadanie 23 (marzec 2020)3 pkttrudniejsze

Pan Kazimierz przejechał trasę o długości 90 km w czasie 1,5 godziny. W drodze powrotnej tę samą trasę pokonał w czasie o 15 minut krótszym. O ile kilometrów na godzinę była większa jego średnia prędkość jazdy w drodze powrotnej? Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: o 12 km/h

Zadanie 25 (grudzień 2018)3 pkttrudniejsze

Ania pojechała autobusem do babci do Sokółki. Z domu wyszła o godzinie

8\!:\!00

, kilka minut czekała na przystanku, a następnie jechała autobusem. Do Sokółki dotarła o

9\!:\!30

. Z wykresu zależności prędkości od czasu odczytujemy:

Dane z rysunku — wersja tekstowa

Etap	marsz na przystanek	czekanie	jazda autobusem
Godziny	8:00 → 8:10	8:10 → 8:15	8:15 → 9:30
Prędkość	6 km/h	0	60 km/h

Oblicz długość trasy pokonanej przez Anię od wyjścia z domu do chwili spotkania z babcią. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 76 km

Zadanie 26 (maj 2021)3 pkttrudniejsze

Adam mieszka w miejscowości Bocianowo, a jego kolega Bartek — w miejscowości Żabno. Adam umówił się z Bartkiem w Żabnie na godzinę

18{:}00

. Wyjechał z Bocianowa na skuterze o godzinie

17{:}20

. Średnia prędkość jazdy Adama była równa

25\ \text{km/h}

. Na kwadratowej siatce Adam przedstawił schemat trasy, którą jechał (zobacz rysunek). O której godzinie Adam dotarł na spotkanie z Bartkiem? Zapisz obliczenia.

Dane z rysunku — wersja tekstowa

Skala rysunku: bok jednej kratki odpowiada odległości 1 km.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: Adam dotarł o godzinie $17{:}56$ , czyli 4 minuty przed umówioną godziną

Zadanie 19 (czerwiec 2025)3 pkttrudniejsze

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, którego krawędź podstawy ma długość 3,5 cm. Wysokość ostrosłupa jest o 8 cm mniejsza od obwodu jego podstawy. Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 24,5 cm³

Zadanie 20 (maj 2025)3 pkttrudniejsze

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym wysokość ściany bocznej poprowadzona do krawędzi podstawy jest równa 12 cm. Pole powierzchni jednej ściany bocznej tego ostrosłupa jest równe 108 cm². Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 132 cm

Zadanie 23 (czerwiec 2023)3 pktśrednie

Powierzchnia kartonu ma kształt prostokąta o wymiarach 8 cm i 15 cm. W czterech rogach tego kartonu wycięto kwadraty o boku 2,5 cm, a z pozostałej części — zaginając brzegi do góry — złożono pudełko. Oblicz objętość tego pudełka. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 75 cm³

Zadanie 25 (maj 2022)3 pkttrudniejsze

Siatka graniastosłupa prawidłowego czworokątnego składa się z pasa czterech jednakowych prostokątów oraz dwóch kwadratowych podstaw. Zaznaczony wymiar 48 cm obejmuje trzy kolejne prostokąty pasa (czyli trzy krawędzie podstawy), a wymiar 41 cm mierzy razem wysokość pasa i bok doklejonego do niego kwadratu podstawy. Oblicz objętość tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 6400 cm³

Zadanie 22 (maj 2023)3 pkttrudniejsze

Z pięciu prostopadłościennych klocków o jednakowych wymiarach ułożono figurę. Klocki leżą płasko, więc wysokość figury równa się wysokości jednego klocka i wynosi 5 cm. Cztery klocki tworzą zamkniętą ramkę ułożoną „wiatraczkowo” — każdy dosuwa się bokiem do końca następnego — a piąty klocek dołożono z zewnątrz, wzdłuż jednego boku ramki. Zewnętrzne wymiary całej figury to 23 cm i 20,5 cm. Oblicz objętość jednego klocka. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 225 cm³

Zadanie 23 (czerwiec 2020)3 pkttrudniejsze

Dwa jednakowe prostopadłościany, każdy o wymiarach 5 cm, 7 cm i 9 cm, sklejono ze sobą. Pierwszy stoi tak, że jego wymiary to 7 cm (szerokość) × 5 cm (głębokość) × 9 cm (wysokość). Drugi przylega do niego całą ścianą o wymiarach 5 cm × 7 cm i jest ustawiony tak, że jego wymiary to 9 cm (szerokość) × 5 cm (głębokość) × 7 cm (wysokość). Oblicz pole powierzchni całkowitej powstałej bryły. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 502 cm²

Zadanie 1 (czerwiec 2020)2 pkttrudniejsze

Trzy proste przecinają się w punktach

A

B

C

, tworząc trójkąt

ABC

. Odcinki

AC

BC

są równej długości. Kąt

\alpha

to kąt wewnętrzny trójkąta przy wierzchołku

B

. Kąt

\beta

to kąt przy wierzchołku

C

między ramieniem

CA

a przedłużeniem boku $BC$ poza punkt $C$ . Wykaż, że miara kąta

\alpha

stanowi połowę miary kąta

\beta

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: α = ½β

Zadanie 2 (kwiecień 2020)2 pktśrednie

W trójkącie o kątach wewnętrznych

\alpha

\beta

\gamma

miara kąta

\alpha

jest równa różnicy miar dwóch pozostałych kątów. Uzasadnij, że ten trójkąt jest prostokątny.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: β = 90°

Zadanie 3 (marzec 2020)2 pkttrudniejsze

Długości boków czworokąta opisano za pomocą wyrażeń algebraicznych:

2x - 15

x + 5

\tfrac{3}{2}x - 5

oraz

\tfrac{1}{2}x + 15

. Uzasadnij, że jeśli obwód tego czworokąta jest równy 100 cm, to jest on rombem. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: x = 20, wszystkie boki mają po 25 cm

Zadanie 4 (czerwiec 2019)2 pkttrudniejsze

W trójkącie równoramiennym

ABC

, w którym

|AC| = |BC|

, poprowadzono dwie wysokości:

AD

(z wierzchołka

A

na bok

BC

) i

CE

(z wierzchołka

C

na bok

AB

). Wysokość

CE

tworzy z ramieniem

CA

kąt o mierze

20°

. Kąt

\alpha

to kąt między wysokościami

AD

CE

w punkcie ich przecięcia — ten, który jest rozwarty. Uzasadnij, że kąt

\alpha

ma miarę

110°

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: α = 110°

Zadanie 7 (materiały CKE)2 pkttrudniejsze

Uzasadnij, że dwusieczne kątów

BAD

ABC

równoległoboku

ABCD

są prostopadłe.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: Kąt między dwusiecznymi ma miarę 90°

Zadanie 8 (czerwiec 2020)2 pktśrednie

Rada rodziców na nagrody dla dwóch klas ósmych przeznaczyła 1080 zł. W klasie 8a jest 32 uczniów, a w klasie 8b jest 28 uczniów. Pieniądze podzielono proporcjonalnie do liczby uczniów w danej klasie. Oblicz kwotę, jaką każda z klas otrzymała na nagrody. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 8a: 576 zł, 8b: 504 zł

Zadanie 6 (maj 2023)2 pktśrednie

Cena biletu do teatru jest o 64 zł większa od ceny biletu do kina. Za 4 bilety do teatru i 5 biletów do kina zapłacono łącznie 400 zł. Oblicz cenę jednego biletu do teatru. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 80 zł

Zadanie 4 (grudzień 2018)2 pkttrudniejsze

Na pozalekcyjne zajęcia sportowe zapisanych jest 37 osób. Uzasadnij, że w tej grupie są co najmniej 4 osoby, które urodziły się w tym samym miesiącu.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: dowód (zasada szufladkowa)

Zadanie 14 (grudzień 2024)2 pkttrudniejsze

Na festyn wpuszczano uczestników jednym wejściem. Pierwszy wchodzący otrzymał i sok, i ciastko. Następnie co szósty wchodzący otrzymywał sok, a co dziesiąty — ciastko. Sok otrzymali więc wchodzący: pierwszy, siódmy, trzynasty itd., a ciastko: pierwszy, jedenasty, dwudziesty pierwszy itd. Na festyn przyszło 450 osób. Oblicz, ilu uczestników otrzymało i sok, i ciastko. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 15 osób

Zadanie 16 (czerwiec 2023)2 pkttrudniejsze

Wojtek miał 30 monet dwuzłotowych i 48 monet pięciozłotowych. Połowę monet pięciozłotowych wymienił na monety dwuzłotowe. Kwota z wymiany monet pięciozłotowych stanowiła równowartość kwoty, którą otrzymał w monetach dwuzłotowych. Oblicz, ile łącznie monet dwuzłotowych ma teraz Wojtek. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 90 monet

Zadanie 17 (czerwiec 2022)2 pkttrudniejsze

Janek miał łącznie 84 piłeczki — czerwone, zielone i niebieskie. Liczby piłeczek czerwonych, zielonych i niebieskich są odpowiednio kolejnymi liczbami podzielnymi przez 7. Janek rozdzielił wszystkie piłeczki na siedem identycznych zestawów. Oblicz, ile piłeczek czerwonych, ile zielonych, a ile niebieskich było w jednym zestawie. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 3 czerwone, 4 zielone, 5 niebieskich

Zadanie 19 (kwiecień 2020)2 pkttrudniejsze

Układ miejsc w ośmioosobowym przedziale wagonu kolejowego (drzwi po lewej, okno po prawej):

Dane z rysunku — wersja tekstowa

Rząd górny	41	43	47	45
Rząd dolny	42	48	44	46

Pociąg jedzie tak, że pasażerowie z rzędu dolnego siedzą przodem do kierunku jazdy, a z górnego — tyłem. Miejsca przy oknie to 45 (górny rząd) i 46 (dolny). Wszystkie miejsca są wolne. Edyta chce siedzieć przy oknie, a Agnieszka — przodem do kierunku jazdy. Podaj wszystkie możliwości wyboru miejsc spełniające jednocześnie oba warunki.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 7 możliwości: (45,46), (45,44), (45,48), (45,42), (46,44), (46,48), (46,42)

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów liczę i zapisuję sam — Mateusz Będkowski.

Pytania i odpowiedzi

Skąd wzięło się 125 minut?

To czas pracy podany na okładce arkusza egzaminacyjnego z matematyki, obowiązujący od sesji majowej 2025. Wcześniej egzamin trwał 100 minut. Uczniowie z dostosowaniami mają czas przedłużony według osobnych zasad, ale arkusz i jego budowa są takie same.

Czy wynik z arkusza próbnego przewiduje wynik egzaminu?

Nie i nie warto go tak czytać. Zadania pochodzą z różnych sesji, więc trudność bywa inna niż w jednym konkretnym arkuszu, a warunki w domu nigdy nie są egzaminacyjne. Wynik dobrze pokazuje natomiast dwie rzeczy: czy mieścisz się w czasie i po której stronie arkusza tracisz punkty.

Dlaczego muszę sam oceniać zadania otwarte?

Bo punktuje się w nich drogę rozumowania, a nie liczbę na końcu. Ten sam wynik bywa wart trzy punkty albo zero, zależnie od tego, co jest zapisane — a tego nie odczyta żaden automat. Po zakończeniu arkusza pokazuję odpowiedź i odsyłam do pełnego rozwiązania, żebyś miał z czym porównać swoją kartkę.

Czy przy kolejnym podejściu dostanę te same zadania?

Praktycznie nie. Każde z dwudziestu miejsc w arkuszu losuje zadanie z własnej puli, więc różnych zestawień jest ponad trzy biliardy. Budowa arkusza zostaje ta sama — te same typy zadań, te same punkty i ten sam czas — zmieniają się konkretne zadania.

Czy mogę korzystać z kalkulatora albo karty wzorów?

Nie, bo na egzaminie ósmoklasisty nie ma ani jednego, ani drugiego. Przybory dopuszczone na egzaminie z matematyki to długopis lub pióro z czarnym tuszem i linijka. Warto trzymać się tego również przy arkuszu próbnym — inaczej mierzysz umiejętność, której na egzaminie nie użyjesz.

Co zrobić, jeśli nie zdążę w 125 minut?

Nie przedłużaj sobie czasu, tylko zapisz, na którym zadaniu zastał Cię koniec. To najcenniejsza informacja z całego podejścia. Przy następnym arkuszu skróć czas na części zamkniętej, a zadania otwarte zacznij wcześniej — brak czasu prawie zawsze bierze się z minut przepalonych na zadaniach za jeden punkt.

Czytaj dalej

Egzamin ósmoklasisty z matematykiWszystkie działy i sposób przygotowania Testy sprawdzającePięć krótszych zestawów po 15 zadań, gdy nie masz dwóch godzin Wszystkie arkusze w jednej tabeli22 sesje: ile zadań, ile punktów i z jakich działów Zadania tekstowe na egzaminieNajwiększy zbiór zadań otwartych — tych, które ważą najwięcej

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa Mateusza Będkowskiego.