Nie każ mu liczyć › Karta wzorów › Rachunek prawdopodobieństwa
Karta wzorów · dział 14 z 17
Rachunek prawdopodobieństwa
Zdarzenie A jest tu zawsze zielone, a B czerwone — nawet w najdłuższym wzorze widać, które jest które.
■ ■ ■ ■ ■ Wersja czarno-biała
Własności prawdopodobieństwa
0 ≤ P ( A ) ≤ 1 0 \leq P(\htmlClass{rZ}{A}) \leq 1 0 ≤ P ( A ) ≤ 1 P ( ∅ ) = 0 P(\emptyset) = 0 P ( ∅ ) = 0 P ( Ω ) = 1 P(\Omega) = 1 P ( Ω ) = 1 A ⊂ B ⟹ P ( A ) ≤ P ( B ) \htmlClass{rZ}{A} \subset \htmlClass{rC}{B} \implies P(\htmlClass{rZ}{A}) \leq P(\htmlClass{rC}{B}) A ⊂ B ⟹ P ( A ) ≤ P ( B ) P ( A ′ ) = 1 − P ( A ) P(\htmlClass{rZ}{A}') = 1 - P(\htmlClass{rZ}{A}) P ( A ′ ) = 1 − P ( A ) P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) P(\htmlClass{rZ}{A} \cup \htmlClass{rC}{B}) = P(\htmlClass{rZ}{A}) + P(\htmlClass{rC}{B}) - P(\htmlClass{rZ}{A} \cap \htmlClass{rC}{B}) P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) P ( A ∪ B ) ≤ P ( A ) + P ( B ) P(\htmlClass{rZ}{A} \cup \htmlClass{rC}{B}) \leq P(\htmlClass{rZ}{A}) + P(\htmlClass{rC}{B}) P ( A ∪ B ) ≤ P ( A ) + P ( B ) Ω jest niepustym zbiorem wszystkich zdarzeń elementarnych, A′ — zdarzeniem przeciwnym do A.
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
P ( A ) = ∣ A ∣ ∣ Ω ∣ P(\htmlClass{rZ}{A}) = \dfrac{|\htmlClass{rZ}{A}|}{|\Omega|} P ( A ) = ∣Ω∣ ∣ A ∣ Wymaga, by zbiór Ω był skończony, a wszystkie zdarzenia jednoelementowe — jednakowo prawdopodobne. |A| to liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A.
Schemat Bernoullego
P n ( k ) = ( n k ) ⋅ p k ⋅ q n − k P_{\htmlClass{rN}{n}}(\htmlClass{rC}{k}) = \binom{\htmlClass{rN}{n}}{\htmlClass{rC}{k}} \cdot \htmlClass{rZ}{p}^{\htmlClass{rC}{k}} \cdot \htmlClass{rC}{q}^{\htmlClass{rN}{n}-\htmlClass{rC}{k}} P n ( k ) = ( k n ) ⋅ p k ⋅ q n − k q = 1 − p \htmlClass{rC}{q} = 1 - \htmlClass{rZ}{p} q = 1 − p Prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie k sukcesów w n niezależnych próbach, gdy prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie wynosi p, a porażki q.
Prawdopodobieństwo warunkowe
P ( A ∣ B ) = P ( A ∩ B ) P ( B ) P(\htmlClass{rZ}{A}|\htmlClass{rC}{B}) = \dfrac{P(\htmlClass{rZ}{A} \cap \htmlClass{rC}{B})}{P(\htmlClass{rC}{B})} P ( A ∣ B ) = P ( B ) P ( A ∩ B ) Przy założeniu P(B) > 0.
Prawdopodobieństwo całkowite
P ( A ) = P ( A ∣ B 1 ) ⋅ P ( B 1 ) + P ( A ∣ B 2 ) ⋅ P ( B 2 ) + … + P ( A ∣ B n ) ⋅ P ( B n ) P(\htmlClass{rZ}{A}) = P(\htmlClass{rZ}{A}|\htmlClass{rC}{B}_1) \cdot P(\htmlClass{rC}{B}_1) + P(\htmlClass{rZ}{A}|\htmlClass{rC}{B}_2) \cdot P(\htmlClass{rC}{B}_2) + \ldots + P(\htmlClass{rZ}{A}|\htmlClass{rC}{B}_{\htmlClass{rN}{n}}) \cdot P(\htmlClass{rC}{B}_{\htmlClass{rN}{n}}) P ( A ) = P ( A ∣ B 1 ) ⋅ P ( B 1 ) + P ( A ∣ B 2 ) ⋅ P ( B 2 ) + … + P ( A ∣ B n ) ⋅ P ( B n ) Zdarzenia B₁, …, Bₙ muszą być parami rozłączne, sumować się do Ω i mieć dodatnie prawdopodobieństwa.
Twierdzenie Bayesa
P ( B k ∣ A ) = P ( B k ) ⋅ P ( A ∣ B k ) P ( A ∣ B 1 ) P ( B 1 ) + P ( A ∣ B 2 ) P ( B 2 ) + … + P ( A ∣ B n ) P ( B n ) P(\htmlClass{rC}{B}_{\htmlClass{rC}{k}}|\htmlClass{rZ}{A}) = \dfrac{P(\htmlClass{rC}{B}_{\htmlClass{rC}{k}}) \cdot P(\htmlClass{rZ}{A}|\htmlClass{rC}{B}_{\htmlClass{rC}{k}})}{P(\htmlClass{rZ}{A}|\htmlClass{rC}{B}_1) P(\htmlClass{rC}{B}_1) + P(\htmlClass{rZ}{A}|\htmlClass{rC}{B}_2) P(\htmlClass{rC}{B}_2) + \ldots + P(\htmlClass{rZ}{A}|\htmlClass{rC}{B}_{\htmlClass{rN}{n}}) P(\htmlClass{rC}{B}_{\htmlClass{rN}{n}})} P ( B k ∣ A ) = P ( A ∣ B 1 ) P ( B 1 ) + P ( A ∣ B 2 ) P ( B 2 ) + … + P ( A ∣ B n ) P ( B n ) P ( B k ) ⋅ P ( A ∣ B k ) Te same warunki co wyżej, dodatkowo P(A) > 0. Mianownik to prawdopodobieństwo całkowite zdarzenia A.
Wartość oczekiwana
E ( X ) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + … + x n p n \mathbb{E}(X) = \htmlClass{rZ}{x_1} \htmlClass{rC}{p_1} + \htmlClass{rZ}{x_2} \htmlClass{rC}{p_2} + \ldots + \htmlClass{rZ}{x_n} \htmlClass{rC}{p_n} E ( X ) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + … + x n p n X — zmienna losowa o wartościach x₁, …, xₙ, przyjmowanych z prawdopodobieństwami p₁, …, pₙ.
Dalej