Rachunek prawdopodobieństwa

Własności prawdopodobieństwa

• $0 \leq P(\htmlClass{rZ}{A}) \leq 1$
• $P(\emptyset) = 0$
• $P(\Omega) = 1$
• $\htmlClass{rZ}{A} \subset \htmlClass{rC}{B} \implies P(\htmlClass{rZ}{A}) \leq P(\htmlClass{rC}{B})$
• $P(\htmlClass{rZ}{A}') = 1 - P(\htmlClass{rZ}{A})$
• $P(\htmlClass{rZ}{A} \cup \htmlClass{rC}{B}) = P(\htmlClass{rZ}{A}) + P(\htmlClass{rC}{B}) - P(\htmlClass{rZ}{A} \cap \htmlClass{rC}{B})$
• $P(\htmlClass{rZ}{A} \cup \htmlClass{rC}{B}) \leq P(\htmlClass{rZ}{A}) + P(\htmlClass{rC}{B})$

Ω jest niepustym zbiorem wszystkich zdarzeń elementarnych, A′ — zdarzeniem przeciwnym do A.

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

• $P(\htmlClass{rZ}{A}) = \dfrac{|\htmlClass{rZ}{A}|}{|\Omega|}$

Wymaga, by zbiór Ω był skończony, a wszystkie zdarzenia jednoelementowe — jednakowo prawdopodobne. |A| to liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A.

Schemat Bernoullego

• $P_{\htmlClass{rN}{n}}(\htmlClass{rC}{k}) = \binom{\htmlClass{rN}{n}}{\htmlClass{rC}{k}} \cdot \htmlClass{rZ}{p}^{\htmlClass{rC}{k}} \cdot \htmlClass{rC}{q}^{\htmlClass{rN}{n}-\htmlClass{rC}{k}}$
• $\htmlClass{rC}{q} = 1 - \htmlClass{rZ}{p}$

Prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie k sukcesów w n niezależnych próbach, gdy prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie wynosi p, a porażki q.

Prawdopodobieństwo warunkowe

• $P(\htmlClass{rZ}{A}|\htmlClass{rC}{B}) = \dfrac{P(\htmlClass{rZ}{A} \cap \htmlClass{rC}{B})}{P(\htmlClass{rC}{B})}$

Przy założeniu P(B) > 0.

Prawdopodobieństwo całkowite

• $P(\htmlClass{rZ}{A}) = P(\htmlClass{rZ}{A}|\htmlClass{rC}{B}_1) \cdot P(\htmlClass{rC}{B}_1) + P(\htmlClass{rZ}{A}|\htmlClass{rC}{B}_2) \cdot P(\htmlClass{rC}{B}_2) + \ldots + P(\htmlClass{rZ}{A}|\htmlClass{rC}{B}_{\htmlClass{rN}{n}}) \cdot P(\htmlClass{rC}{B}_{\htmlClass{rN}{n}})$

Zdarzenia B₁, …, Bₙ muszą być parami rozłączne, sumować się do Ω i mieć dodatnie prawdopodobieństwa.

Twierdzenie Bayesa

• $P(\htmlClass{rC}{B}_{\htmlClass{rC}{k}}|\htmlClass{rZ}{A}) = \dfrac{P(\htmlClass{rC}{B}_{\htmlClass{rC}{k}}) \cdot P(\htmlClass{rZ}{A}|\htmlClass{rC}{B}_{\htmlClass{rC}{k}})}{P(\htmlClass{rZ}{A}|\htmlClass{rC}{B}_1) P(\htmlClass{rC}{B}_1) + P(\htmlClass{rZ}{A}|\htmlClass{rC}{B}_2) P(\htmlClass{rC}{B}_2) + \ldots + P(\htmlClass{rZ}{A}|\htmlClass{rC}{B}_{\htmlClass{rN}{n}}) P(\htmlClass{rC}{B}_{\htmlClass{rN}{n}})}$

Te same warunki co wyżej, dodatkowo P(A) > 0. Mianownik to prawdopodobieństwo całkowite zdarzenia A.

Wartość oczekiwana

• $\mathbb{E}(X) = \htmlClass{rZ}{x_1} \htmlClass{rC}{p_1} + \htmlClass{rZ}{x_2} \htmlClass{rC}{p_2} + \ldots + \htmlClass{rZ}{x_n} \htmlClass{rC}{p_n}$

X — zmienna losowa o wartościach x₁, …, xₙ, przyjmowanych z prawdopodobieństwami p₁, …, pₙ.

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki, sprawdziany i karty pracy z matematyki PDF z kluczem: przy kartkówkach grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

Materiał PDF · sklep

Prawdopodobieństwo warunkowe, matura z matematyki — 9 kart PDF

9 kart pracy z matematyki do matury rozszerzonej: prawdopodobieństwo warunkowe z definicji i ze wzoru, tabela dwudzielcza…

9,90 zł

Zobacz w sklepie →

Materiał PDF · sklep

Statystyka i prawdopodobieństwo, matura — 10 kart pracy PDF z kluczem

10 kart pracy z matematyki do matury podstawowej: średnia, mediana, dominanta, średnia ważona, odchylenie standardowe, losowanie…

9,90 zł

Zobacz w sklepie →

Materiał PDF · sklep

Kombinatoryka i prawdopodobieństwo — test, liceum klasa 4

Reguła mnożenia, permutacje, prawdopodobieństwo klasyczne.

2,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Wszystkie materiały z matematyki →

Dalej

• Kombinatoryka
• Parametry danych statystycznych
• Wszystkie działy