Karta wzorów · dział 11 z 17

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Współrzędna y ma tu ciemniejszy odcień barwy swojego punktu — dzięki temu nie myli się jej z x.

Długość odcinka i środek

$|AB| = \sqrt{(\htmlClass{rC}{x_B} - \htmlClass{rZ}{x_A})^2 + (\htmlClass{rC2}{y_B} - \htmlClass{rZ2}{y_A})^2}$
$x_S = \dfrac{\htmlClass{rZ}{x_A} + \htmlClass{rC}{x_B}}{2}$
$y_S = \dfrac{\htmlClass{rZ2}{y_A} + \htmlClass{rC2}{y_B}}{2}$

Barwa mówi, o który punkt chodzi; ciemniejszy odcień tej samej barwy — że to współrzędna y, nie x.

$\htmlClass{rF}{y} = \htmlClass{rZ}{a}\htmlClass{rY}{x} + \htmlClass{rC}{b}$
$\htmlClass{rZ}{a} = \operatorname{tg} \htmlClass{rZ}{\alpha}$
$\htmlClass{rF}{y} = \htmlClass{rZ}{a}(\htmlClass{rY}{x} - x_0) + y_0$
$\htmlClass{rF}{y} - \htmlClass{rZ2}{y_A} = \htmlClass{rZ}{a}(\htmlClass{rY}{x} - \htmlClass{rZ}{x_A})$
$\htmlClass{rZ}{a} = \dfrac{\htmlClass{rC2}{y_B} - \htmlClass{rZ2}{y_A}}{\htmlClass{rC}{x_B} - \htmlClass{rZ}{x_A}}$

a to współczynnik kierunkowy, α — kąt nachylenia prostej do osi Ox. Prosta przecina oś Oy w punkcie (0, b). Ostatni wzór wymaga x_B ≠ x_A.

$\htmlClass{rZ}{A}\htmlClass{rY}{x} + \htmlClass{rC}{B}\htmlClass{rF}{y} + \htmlClass{rN}{C} = 0$
$\htmlClass{rZ}{A}^2 + \htmlClass{rC}{B}^2 \neq 0$
$(\htmlClass{rF}{y} - \htmlClass{rZ2}{y_A})(\htmlClass{rC}{x_B} - \htmlClass{rZ}{x_A}) - (\htmlClass{rC2}{y_B} - \htmlClass{rZ2}{y_A})(\htmlClass{rY}{x} - \htmlClass{rZ}{x_A}) = 0$

Gdy A = 0, prosta jest równoległa do osi Ox; gdy B = 0 — do osi Oy; gdy C = 0, przechodzi przez początek układu.

$\htmlClass{rZ}{a}_1 = \htmlClass{rZ}{a}_2$
$\htmlClass{rZ}{a}_1 \cdot \htmlClass{rZ}{a}_2 = -1$
$\htmlClass{rZ}{A}_1 \cdot \htmlClass{rC}{B}_2 - \htmlClass{rZ}{A}_2 \cdot \htmlClass{rC}{B}_1 = 0$
$\htmlClass{rZ}{A}_1 \cdot \htmlClass{rZ}{A}_2 + \htmlClass{rC}{B}_1 \cdot \htmlClass{rC}{B}_2 = 0$

Kolejno: równoległość i prostopadłość w postaci kierunkowej, potem to samo w postaci ogólnej.

$\htmlClass{rF}{d} = \dfrac{|\htmlClass{rZ}{A} \cdot x_0 + \htmlClass{rC}{B} \cdot y_0 + \htmlClass{rN}{C}|}{\sqrt{\htmlClass{rZ}{A}^2 + \htmlClass{rC}{B}^2}}$

Odległość punktu P = (x₀, y₀) od prostej danej równaniem ogólnym.

$(\htmlClass{rY}{x} - \htmlClass{rZ}{a})^2 + (\htmlClass{rF}{y} - \htmlClass{rC}{b})^2 = \htmlClass{rN}{r}^2$
$\htmlClass{rY}{x}^2 + \htmlClass{rF}{y}^2 - 2\htmlClass{rZ}{a}\htmlClass{rY}{x} - 2\htmlClass{rC}{b}\htmlClass{rF}{y} + c = 0$
$c = \htmlClass{rZ}{a}^2 + \htmlClass{rC}{b}^2 - \htmlClass{rN}{r}^2$

Środek S = (a, b), promień r > 0. Pierwsza postać to postać kanoniczna, druga — ogólna. Środek zostaje czarny, bo jest wynikiem.

$\vec{AB} = [\htmlClass{rC}{x_B} - \htmlClass{rZ}{x_A},\ \htmlClass{rC2}{y_B} - \htmlClass{rZ2}{y_A}]$
$\vec{u} + \vec{v} = [u_1 + v_1,\ u_2 + v_2]$
$\htmlClass{rZ}{a} \cdot \vec{u} = [\htmlClass{rZ}{a} \cdot u_1,\ \htmlClass{rZ}{a} \cdot u_2]$
$|\vec{u}| = \sqrt{(u_1)^2 + (u_2)^2}$

Wektor AB jest zaczepiony w punkcie A.

$(\htmlClass{rY}{x},\ \htmlClass{rF}{y}) \xrightarrow{\ \vec{u}=[a,b]\ } (\htmlClass{rY}{x}+\htmlClass{rZ}{a},\ \htmlClass{rF}{y}+\htmlClass{rC}{b})$
$S_{Ox}: (\htmlClass{rY}{x},\ \htmlClass{rF}{y}) \rightarrow (\htmlClass{rY}{x},\ -\htmlClass{rF}{y})$
$S_{Oy}: (\htmlClass{rY}{x},\ \htmlClass{rF}{y}) \rightarrow (-\htmlClass{rY}{x},\ \htmlClass{rF}{y})$
$S_{K}: (\htmlClass{rY}{x},\ \htmlClass{rF}{y}) \rightarrow (2\htmlClass{rZ}{a}-\htmlClass{rY}{x},\ 2\htmlClass{rC}{b}-\htmlClass{rF}{y})$
$S_{(0,0)}: (\htmlClass{rY}{x},\ \htmlClass{rF}{y}) \rightarrow (-\htmlClass{rY}{x},\ -\htmlClass{rF}{y})$

Kolejno: przesunięcie o wektor, symetria względem osi Ox, względem osi Oy, symetria środkowa względem punktu K = (a, b) i względem początku układu.

$P_{\triangle ABC} = \tfrac{1}{2} \left|(\htmlClass{rC}{x_B} - \htmlClass{rZ}{x_A})(\htmlClass{rN}{y_C} - \htmlClass{rZ2}{y_A}) - (\htmlClass{rC2}{y_B} - \htmlClass{rZ2}{y_A})(\htmlClass{rN}{x_C} - \htmlClass{rZ}{x_A})\right|$
$x_S = \dfrac{\htmlClass{rZ}{x_A} + \htmlClass{rC}{x_B} + \htmlClass{rN}{x_C}}{3}$
$y_S = \dfrac{\htmlClass{rZ2}{y_A} + \htmlClass{rC2}{y_B} + \htmlClass{rN}{y_C}}{3}$

Trzeci wierzchołek C dostał błękit — trzeci punkt, trzecia barwa. Środek ciężkości to punkt przecięcia środkowych trójkąta.