Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Długość odcinka i środek

• $|AB| = \sqrt{(\htmlClass{rC}{x_B} - \htmlClass{rZ}{x_A})^2 + (\htmlClass{rC2}{y_B} - \htmlClass{rZ2}{y_A})^2}$
• $x_S = \dfrac{\htmlClass{rZ}{x_A} + \htmlClass{rC}{x_B}}{2}$
• $y_S = \dfrac{\htmlClass{rZ2}{y_A} + \htmlClass{rC2}{y_B}}{2}$

Barwa mówi, o który punkt chodzi; ciemniejszy odcień tej samej barwy — że to współrzędna y, nie x.

Równanie kierunkowe prostej

• $\htmlClass{rF}{y} = \htmlClass{rZ}{a}\htmlClass{rY}{x} + \htmlClass{rC}{b}$
• $\htmlClass{rZ}{a} = \operatorname{tg} \htmlClass{rZ}{\alpha}$
• $\htmlClass{rF}{y} = \htmlClass{rZ}{a}(\htmlClass{rY}{x} - x_0) + y_0$
• $\htmlClass{rF}{y} - \htmlClass{rZ2}{y_A} = \htmlClass{rZ}{a}(\htmlClass{rY}{x} - \htmlClass{rZ}{x_A})$
• $\htmlClass{rZ}{a} = \dfrac{\htmlClass{rC2}{y_B} - \htmlClass{rZ2}{y_A}}{\htmlClass{rC}{x_B} - \htmlClass{rZ}{x_A}}$

a to współczynnik kierunkowy, α — kąt nachylenia prostej do osi Ox. Prosta przecina oś Oy w punkcie (0, b). Ostatni wzór wymaga x_B ≠ x_A.

Równanie ogólne prostej

• $\htmlClass{rZ}{A}\htmlClass{rY}{x} + \htmlClass{rC}{B}\htmlClass{rF}{y} + \htmlClass{rN}{C} = 0$
• $\htmlClass{rZ}{A}^2 + \htmlClass{rC}{B}^2 \neq 0$
• $(\htmlClass{rF}{y} - \htmlClass{rZ2}{y_A})(\htmlClass{rC}{x_B} - \htmlClass{rZ}{x_A}) - (\htmlClass{rC2}{y_B} - \htmlClass{rZ2}{y_A})(\htmlClass{rY}{x} - \htmlClass{rZ}{x_A}) = 0$

Gdy A = 0, prosta jest równoległa do osi Ox; gdy B = 0 — do osi Oy; gdy C = 0, przechodzi przez początek układu.

Proste równoległe i prostopadłe

• $\htmlClass{rZ}{a}_1 = \htmlClass{rZ}{a}_2$
• $\htmlClass{rZ}{a}_1 \cdot \htmlClass{rZ}{a}_2 = -1$
• $\htmlClass{rZ}{A}_1 \cdot \htmlClass{rC}{B}_2 - \htmlClass{rZ}{A}_2 \cdot \htmlClass{rC}{B}_1 = 0$
• $\htmlClass{rZ}{A}_1 \cdot \htmlClass{rZ}{A}_2 + \htmlClass{rC}{B}_1 \cdot \htmlClass{rC}{B}_2 = 0$

Kolejno: równoległość i prostopadłość w postaci kierunkowej, potem to samo w postaci ogólnej.

Odległość punktu od prostej

• $\htmlClass{rF}{d} = \dfrac{|\htmlClass{rZ}{A} \cdot x_0 + \htmlClass{rC}{B} \cdot y_0 + \htmlClass{rN}{C}|}{\sqrt{\htmlClass{rZ}{A}^2 + \htmlClass{rC}{B}^2}}$

Odległość punktu P = (x₀, y₀) od prostej danej równaniem ogólnym.

Równanie okręgu

• $(\htmlClass{rY}{x} - \htmlClass{rZ}{a})^2 + (\htmlClass{rF}{y} - \htmlClass{rC}{b})^2 = \htmlClass{rN}{r}^2$
• $\htmlClass{rY}{x}^2 + \htmlClass{rF}{y}^2 - 2\htmlClass{rZ}{a}\htmlClass{rY}{x} - 2\htmlClass{rC}{b}\htmlClass{rF}{y} + c = 0$
• $c = \htmlClass{rZ}{a}^2 + \htmlClass{rC}{b}^2 - \htmlClass{rN}{r}^2$

Środek S = (a, b), promień r > 0. Pierwsza postać to postać kanoniczna, druga — ogólna. Środek zostaje czarny, bo jest wynikiem.

Wektory

• $\vec{AB} = [\htmlClass{rC}{x_B} - \htmlClass{rZ}{x_A},\ \htmlClass{rC2}{y_B} - \htmlClass{rZ2}{y_A}]$
• $\vec{u} + \vec{v} = [u_1 + v_1,\ u_2 + v_2]$
• $\htmlClass{rZ}{a} \cdot \vec{u} = [\htmlClass{rZ}{a} \cdot u_1,\ \htmlClass{rZ}{a} \cdot u_2]$
• $|\vec{u}| = \sqrt{(u_1)^2 + (u_2)^2}$

Wektor AB jest zaczepiony w punkcie A.

Przekształcenia geometryczne

• $(\htmlClass{rY}{x},\ \htmlClass{rF}{y}) \xrightarrow{\ \vec{u}=[a,b]\ } (\htmlClass{rY}{x}+\htmlClass{rZ}{a},\ \htmlClass{rF}{y}+\htmlClass{rC}{b})$
• $S_{Ox}: (\htmlClass{rY}{x},\ \htmlClass{rF}{y}) \rightarrow (\htmlClass{rY}{x},\ -\htmlClass{rF}{y})$
• $S_{Oy}: (\htmlClass{rY}{x},\ \htmlClass{rF}{y}) \rightarrow (-\htmlClass{rY}{x},\ \htmlClass{rF}{y})$
• $S_{K}: (\htmlClass{rY}{x},\ \htmlClass{rF}{y}) \rightarrow (2\htmlClass{rZ}{a}-\htmlClass{rY}{x},\ 2\htmlClass{rC}{b}-\htmlClass{rF}{y})$
• $S_{(0,0)}: (\htmlClass{rY}{x},\ \htmlClass{rF}{y}) \rightarrow (-\htmlClass{rY}{x},\ -\htmlClass{rF}{y})$

Kolejno: przesunięcie o wektor, symetria względem osi Ox, względem osi Oy, symetria środkowa względem punktu K = (a, b) i względem początku układu.

Pole trójkąta i środek ciężkości

• $P_{\triangle ABC} = \tfrac{1}{2} \left|(\htmlClass{rC}{x_B} - \htmlClass{rZ}{x_A})(\htmlClass{rN}{y_C} - \htmlClass{rZ2}{y_A}) - (\htmlClass{rC2}{y_B} - \htmlClass{rZ2}{y_A})(\htmlClass{rN}{x_C} - \htmlClass{rZ}{x_A})\right|$
• $x_S = \dfrac{\htmlClass{rZ}{x_A} + \htmlClass{rC}{x_B} + \htmlClass{rN}{x_C}}{3}$
• $y_S = \dfrac{\htmlClass{rZ2}{y_A} + \htmlClass{rC2}{y_B} + \htmlClass{rN}{y_C}}{3}$

Trzeci wierzchołek C dostał błękit — trzeci punkt, trzecia barwa. Środek ciężkości to punkt przecięcia środkowych trójkąta.

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki, sprawdziany i karty pracy z matematyki PDF z kluczem: przy kartkówkach grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

Sprawdzian PDF · sklep

Figury w układzie współrzędnych — sprawdzian, liceum klasa 3

Kwadrat i prostokąt z wierzchołków, pole trójkąta, równoległobok.

2,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Kartkówka PDF · sklep

Symetrie w układzie współrzędnych — kartkówka, liceum klasa 3

Symetria względem osi, początku układu i punktu, obraz prostej.

2,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Kartkówka PDF · sklep

Okrąg w układzie współrzędnych — kartkówka, liceum klasa 3

Równanie okręgu, środek i promień, położenie punktu względem okręgu.

2,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Wszystkie materiały z matematyki →

Dalej

• Planimetria
• Stereometria
• Wszystkie działy