Planimetria

Oznaczenia w trójkącie ABC

• $p = \dfrac{\htmlClass{rZ}{a} + \htmlClass{rC}{b} + \htmlClass{rN}{c}}{2}$

a, b, c — długości boków; α, β, γ — miary kątów przy wierzchołkach A, B, C; R, r — promienie okręgu opisanego i wpisanego; h_a, h_b, h_c — wysokości; p — połowa obwodu.

Twierdzenie Pitagorasa

• $\htmlClass{rZ}{a}^2 + \htmlClass{rC}{b}^2 = \htmlClass{rN}{c}^2$

Zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy kąt γ jest prosty — twierdzenie odwrotne też jest prawdziwe.

Twierdzenie sinusów

• $\dfrac{\htmlClass{rZ}{a}}{\sin \htmlClass{rZ}{\alpha}} = \dfrac{\htmlClass{rC}{b}}{\sin \htmlClass{rC}{\beta}} = \dfrac{\htmlClass{rN}{c}}{\sin \htmlClass{rN}{\gamma}} = 2\htmlClass{rF}{R}$

Twierdzenie cosinusów

• $\htmlClass{rZ}{a}^2 = \htmlClass{rC}{b}^2 + \htmlClass{rN}{c}^2 - 2\htmlClass{rC}{b}\htmlClass{rN}{c} \cdot \cos \htmlClass{rZ}{\alpha}$
• $\htmlClass{rC}{b}^2 = \htmlClass{rZ}{a}^2 + \htmlClass{rN}{c}^2 - 2\htmlClass{rZ}{a}\htmlClass{rN}{c} \cdot \cos \htmlClass{rC}{\beta}$
• $\htmlClass{rN}{c}^2 = \htmlClass{rZ}{a}^2 + \htmlClass{rC}{b}^2 - 2\htmlClass{rZ}{a}\htmlClass{rC}{b} \cdot \cos \htmlClass{rN}{\gamma}$

Pole trójkąta

• $P_{\triangle ABC} = \tfrac{1}{2} \htmlClass{rZ}{a} \cdot h_a = \tfrac{1}{2} \htmlClass{rC}{b} \cdot h_b = \tfrac{1}{2} \htmlClass{rN}{c} \cdot h_c$
• $P_{\triangle ABC} = \tfrac{1}{2} \htmlClass{rZ}{a}\htmlClass{rC}{b} \cdot \sin \htmlClass{rN}{\gamma} = \tfrac{1}{2} \htmlClass{rC}{b}\htmlClass{rN}{c} \cdot \sin \htmlClass{rZ}{\alpha} = \tfrac{1}{2} \htmlClass{rN}{c}\htmlClass{rZ}{a} \cdot \sin \htmlClass{rC}{\beta}$
• $P_{\triangle ABC} = \dfrac{\htmlClass{rZ}{a}\htmlClass{rC}{b}\htmlClass{rN}{c}}{4\htmlClass{rF}{R}}$
• $P_{\triangle ABC} = p \cdot \htmlClass{rY}{r}$
• $P_{\triangle ABC} = \sqrt{p(p-\htmlClass{rZ}{a})(p-\htmlClass{rC}{b})(p-\htmlClass{rN}{c})}$
• $P_{\triangle ABC} = \tfrac{1}{2} \htmlClass{rZ}{a}^2 \cdot \dfrac{\sin \htmlClass{rC}{\beta} \cdot \sin \htmlClass{rN}{\gamma}}{\sin \htmlClass{rZ}{\alpha}}$
• $P_{\triangle ABC} = 2\htmlClass{rF}{R}^2 \cdot \sin \htmlClass{rZ}{\alpha} \cdot \sin \htmlClass{rC}{\beta} \cdot \sin \htmlClass{rN}{\gamma}$

Wzór z pierwiastkiem nosi nazwę wzoru Herona. Wzór z kwadratem boku ma dwa dalsze warianty — dla b² i c² — z odpowiednio przestawionymi kątami.

Trójkąt prostokątny

• $h_c = \sqrt{|AD| \cdot |DB|}$
• $h_c = \dfrac{\htmlClass{rZ}{a}\htmlClass{rC}{b}}{\htmlClass{rN}{c}}$
• $\htmlClass{rY}{r} = \dfrac{\htmlClass{rZ}{a} + \htmlClass{rC}{b} - \htmlClass{rN}{c}}{2}$
• $\htmlClass{rF}{R} = \tfrac{1}{2} \htmlClass{rN}{c}$
• $\htmlClass{rZ}{a} = \htmlClass{rN}{c} \sin \htmlClass{rZ}{\alpha} = \htmlClass{rN}{c} \cos \htmlClass{rC}{\beta} = \htmlClass{rC}{b} \operatorname{tg} \htmlClass{rZ}{\alpha} = \htmlClass{rC}{b} \cdot \dfrac{1}{\operatorname{tg} \htmlClass{rC}{\beta}}$

Kąt przy wierzchołku C jest prosty, D — spodek wysokości opuszczonej z C na przeciwprostokątną AB.

Trójkąt równoboczny

• $h = \dfrac{\htmlClass{rZ}{a}\sqrt{3}}{2}$
• $P_{\triangle ABC} = \dfrac{\htmlClass{rZ}{a}^2\sqrt{3}}{4}$
• $\htmlClass{rY}{r} = \tfrac{1}{3} h$
• $\htmlClass{rF}{R} = \tfrac{2}{3} h$

a — długość boku, h — wysokość.

Twierdzenie o dwusiecznej kąta

• $\dfrac{|AD|}{|BD|} = \dfrac{|AC|}{|BC|}$

Dwusieczna kąta przy wierzchołku C przecina prostą zawierającą bok AB w punkcie D.

Twierdzenie Talesa

• $\dfrac{|AB|}{|PA|} = \dfrac{|CD|}{|PC|} \iff AC \parallel BD$

Proste AB i CD przecinają się w punkcie P, przy czym A leży wewnątrz odcinka PB i C wewnątrz PD, albo oba leżą na zewnątrz. Twierdzenie działa w obie strony.

Koło i wycinek koła

• $P = \pi \htmlClass{rY}{r}^2$
• $L = 2\pi \htmlClass{rY}{r}$
• $P = \dfrac{\htmlClass{rZ}{\alpha}}{360^\circ} \cdot \pi \htmlClass{rY}{r}^2$
• $L = \dfrac{\htmlClass{rZ}{\alpha}}{360^\circ} \cdot 2\pi \htmlClass{rY}{r}$

Dwa pierwsze wzory dotyczą całego koła, dwa kolejne — wycinka o kącie środkowym α wyrażonym w stopniach.

Kąty w okręgu

• $|\sphericalangle \text{wpisany}| = \tfrac{1}{2} |\sphericalangle \text{środkowy}|$

Kąt wpisany oparty na tym samym łuku co kąt środkowy ma połowę jego miary. Kąt wpisany oparty na półokręgu jest prosty. Kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe.

Kąt między styczną i cięciwą

• $|\sphericalangle APB| = |\sphericalangle CAB|$
• $|\sphericalangle AOB| = 2 \cdot |\sphericalangle CAB|$

AB jest cięciwą okręgu o środku O, prosta AC — styczną w punkcie A, a punkt P leży na okręgu poza kątem CAB. Wybieramy ten kąt środkowy AOB, który jest oparty na łuku wewnątrz kąta CAB.

Odcinki stycznych i siecznych

• $|PA| = |PB|$
• $|PA| \cdot |PB| = |PC|^2$

Pierwszy wzór: styczne poprowadzone z punktu P do okręgu w punktach A i B. Drugi: sieczna przez A i B oraz styczna w punkcie C przecinają się w P.

Czworokąty — pola

• $P_{\text{trapez}} = \dfrac{\htmlClass{rZ}{a} + \htmlClass{rC}{b}}{2} \cdot h$
• $P_{\text{równoległobok}} = \htmlClass{rZ}{a}h = \htmlClass{rZ}{a} \cdot \htmlClass{rC}{b} \cdot \sin \htmlClass{rZ}{\alpha} = \tfrac{1}{2} |AC| \cdot |BD| \cdot \sin \htmlClass{rN}{\gamma}$
• $P_{\text{romb}} = \htmlClass{rZ}{a}h = \htmlClass{rZ}{a}^2 \cdot \sin \htmlClass{rZ}{\alpha} = \tfrac{1}{2} |AC| \cdot |BD|$
• $P_{\text{deltoid}} = \tfrac{1}{2} |AC| \cdot |BD|$

Trapez ma co najmniej jedną parę boków równoległych, równoległobok — dwie. Romb ma wszystkie boki równe. Deltoid to czworokąt wypukły z osią symetrii zawierającą jedną z przekątnych.

Okrąg opisany i wpisany w czworokąt

• $\htmlClass{rZ}{\alpha} + \htmlClass{rN}{\gamma} = \htmlClass{rC}{\beta} + \htmlClass{rF}{\delta} = 180^\circ$
• $\htmlClass{rZ}{a} + \htmlClass{rN}{c} = \htmlClass{rC}{b} + \htmlClass{rF}{d}$

Pierwszy warunek — okrąg opisany na czworokącie; drugi — okrąg wpisany w czworokąt wypukły. Oba działają w obie strony.

Pola figur podobnych

• $\dfrac{P_{\mathcal{B}}}{P_{\mathcal{A}}} = \htmlClass{rC}{k}^2$

Figura B podobna do figury A w skali k. Stosunek pól jest kwadratem skali podobieństwa.

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki, sprawdziany i karty pracy z matematyki PDF z kluczem: przy kartkówkach grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

Materiał PDF · sklep

Planimetria rozszerzona, matura z matematyki — 10 kart PDF z kluczem

10 kart pracy z matematyki do matury rozszerzonej: rodzaj trójkąta, styczne i cięciwy, punkty szczególne trójkąta, czworokąty…

9,90 zł

Zobacz w sklepie →

Materiał PDF · sklep

Planimetria, matura — 10 kart pracy PDF z kluczem

10 kart pracy z matematyki do matury podstawowej: pola wielokątów, trójkąt równoboczny, pole z sinusem, okręgi wpisane i opisane…

9,90 zł

Zobacz w sklepie →

Materiał PDF · sklep

Stereometria rozszerzona, matura z matematyki — 10 kart PDF z kluczem

10 kart pracy z matematyki do matury rozszerzonej: położenie prostych w przestrzeni, kąt prostej z płaszczyzną, kąt dwuścienny…

9,90 zł

Zobacz w sklepie →

Wszystkie materiały z matematyki →

Dalej

• Trygonometria
• Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej
• Wszystkie działy