Materiał PDF · sklep
Okrąg i koło: obwód i pole, klasy 7–8 — 11 kart pracy PDF z kluczem
11 kart pracy z matematyki dla klas 7–8: promień i średnica, długość okręgu, pole koła, π ≈ 3,14, półkole, pierścień, zadania z…
7,90 zł
Zobacz w sklepie →Strona główna › Liczba pi › Ciekawostki
Siedemnaście ciekawostek o liczbie pi, które sprawdziłem
Ciekawostki o liczbie pi to gatunek, w którym wszyscy przepisują po sobie. Ta sama lista krąży od lat, razem z tymi samymi błędami. Ten tekst powstał odwrotnie: liczby policzyłem skryptem na milionie miejsc po przecinku, a twierdzenia historyczne sprawdziłem, otwierając źródła. Trzy pozycje z siedemnastu prostują rzeczy, które w polskim internecie funkcjonują w wersji nieprawdziwej — i to są najciekawsze pozycje z całej listy.
Do wydrukowania: plakat z liczbą pi
Pierwsze sto miejsc po przecinku w siatce, a na drugiej stronie pięćset z numeracją. Przyda się, jeśli zechcesz sprawdzić którąkolwiek z tych ciekawostek własnym palcem. Dwie strony A4.
Ciekawostki o liczbie pi to gatunek, w którym wszyscy przepisują po sobie. Ta sama lista krąży od lat, razem z tymi samymi błędami.
Ten tekst powstał odwrotnie. Liczby policzyłem skryptem, a twierdzenia historyczne sprawdziłem, otwierając źródła. Trzy pozycje na tej liście prostują rzeczy, które w polskim internecie funkcjonują w wersji nieprawdziwej — i to są najciekawsze pozycje z całych siedemnastu.
11. Pierwsze zero pada dopiero na 32. miejscu
Cyfr jest dziesięć, więc zero powinno pojawić się mniej więcej co dziesiątą pozycję. A trzeba przeczytać 32 cyfry, zanim w ogóle się pokaże.
To nie znaczy nic. Jest to zwyczajny zbieg okoliczności — i dobry przykład tego, jak łatwo zobaczyć wzór tam, gdzie go nie ma. Warto o tym pamiętać przy pozostałych szesnastu pozycjach.
22. Na 762. miejscu stoi sześć dziewiątek pod rząd
Sześć tych samych cyfr z rzędu, w miejscu, do którego mało kto dochodzi. To najdłuższy taki ciąg w pierwszych stu tysiącach cyfr — sprawdziłem wszystkie.
33. …ale w pierwszym milionie rekord należy do trójek
Na miejscu 710 100 stoi 7 trójek pod rząd. Sześć dziewiątek z punktu drugiego jest więc rekordem tylko do pewnego momentu — i to jest typowe dla wszystkich „rekordów” w rozwinięciu pi: obowiązują do miejsca, do którego ktoś doliczył.
44. Im dalej patrzysz, tym równiej wychodzi
Ile razy każda cyfra pojawia się w rozwinięciu:
| cyfra | 1 000 miejsc | 10 000 | 100 000 | 1 000 000 |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 93 | 968 | 9 999 | 99 959 |
| 1 | 116 | 1 026 | 10 137 | 99 758 |
| 2 | 103 | 1 021 | 9 908 | 100 026 |
| 3 | 102 | 974 | 10 025 | 100 229 |
| 4 | 93 | 1 012 | 9 971 | 100 230 |
| 5 | 97 | 1 046 | 10 026 | 100 359 |
| 6 | 94 | 1 021 | 10 029 | 99 548 |
| 7 | 95 | 970 | 10 025 | 99 800 |
| 8 | 101 | 948 | 9 978 | 99 985 |
| 9 | 106 | 1 014 | 9 902 | 100 106 |
| największe odchylenie | 16,00 % | 5,20 % | 1,37 % | 0,45 % |
Na tysiącu miejsc różnica między najczęstszą a najrzadszą cyfrą sięga 16,00 %. Na milionie spada do 0,45 %.
55. Ale to nie dowód — i tu prostuję pierwszą rzecz
Z tabeli wyżej nie wynika, że pi jest liczbą normalną — czyli taką, w której każda cyfra i każdy ciąg cyfr pojawia się z właściwą częstością. Normalności pi nikt nie udowodnił. To otwarte pytanie matematyki.
Polski internet pisze czasem inaczej, zwykle po to, żeby przejść do zdania „więc w pi jest Twoja data urodzenia, cała Biblia i wszystko, co kiedykolwiek napisano”. To zdanie opiera się na twierdzeniu, którego nie ma.
66. W pierwszym milionie cyfr nie ma sześciu zer
Konkretny sprawdzian dla poprzedniego punktu. W miejscach od 1 do 1 000 000:
| ciąg | wynik |
|---|---|
314159 | pierwsze wystąpienie na miejscu 176 451, razem 1 raz |
111111 | jest |
000000 | nie ma go ani razu |
123456789 | nie ma go ani razu |
Sześciocyfrowa data urodzenia prawdopodobnie tam jest. „Prawdopodobnie” to jednak nie to samo co „na pewno”.
77. Pi znajduje samo siebie — raz
Ciąg 314159, czyli początek pi bez przecinka, pojawia się wewnątrz własnego rozwinięcia na miejscu 176 451. W całym pierwszym milionie — dokładnie 1 raz.
88. Szkolne 3,14 przegrywa ze starożytnym ułamkiem
Policzyłem błąd każdego przybliżenia na obwodzie równikowym Ziemi (40 075 017 m według WGS-84):
| przybliżenie | błąd na obwodzie Ziemi |
|---|---|
| 3,14 | 20 km |
| 22/7 | 16 km |
| 355/113 | 3 m |
22/7 jest dokładniejsze niż 3,14. Ułamek, którym posługiwał się Archimedes w III wieku przed naszą erą, bije przybliżenie, którego uczy dziś szkoła.
99. Pięciocyfrowy ułamek myli się o trzy metry na całej planecie
To 355/113 z tabeli wyżej. Znany w Chinach w V wieku, przypisywany Zu Chongzhi. Jest to najlepsze przybliżenie wymierne pi z mianownikiem czterocyfrowym lub krótszym, dokładne do sześciu miejsc po przecinku.
Trzy metry. Na czterdziestu tysiącach kilometrów.
1010. Archimedes nie policzył pi — zacisnął je z dwóch stron
Wpisał w okrąg wielokąt foremny i opisał drugi na zewnątrz. Obwód wewnętrznego jest mniejszy od obwodu okręgu, zewnętrznego — większy. Potem podwajał liczbę boków, aż doszedł do wielokąta o dziewięćdziesięciu sześciu bokach.
Wynik: 223/71 < pi < 22/7, czyli 3,1408 < pi < 3,1429.
To inny rodzaj wiedzy niż „pi wynosi 3,14”. Archimedes nie twierdził, że zna wartość pi — twierdził, że wie, między czym a czym ona leży, i umiał to udowodnić. Wiedział przy tym, że pi nie równa się 22/7.
1111. Kazał wyryć trzydzieści pięć cyfr na swoim nagrobku
Ludolph van Ceulen doliczył około roku 1600 do 35 miejsc po przecinku, używając wielokąta o 2⁶² bokach. Był z tego na tyle dumny, że cyfry trafiły na jego nagrobek.
W Niemczech pi nazywano z tego powodu „liczbą Ludolfa” jeszcze na początku XX wieku.
(O nagrobku pisze jedno z przeczytanych przeze mnie źródeł; drugie podaje sam wynik i o nagrobku milczy.)
1212. Litera π przez sześćdziesiąt lat znaczyła coś odwrotnego
W dzisiejszym znaczeniu użył jej po raz pierwszy walijski matematyk William Jones w 1706 roku, zapisując po prostu „3.14159 etc. = π”. Upowszechnił ją Leonhard Euler w latach trzydziestych XVIII wieku.
Ale litera krążyła wokół kół wcześniej — w innej roli. William Oughtred w 1647 roku pisał „d/π” na stosunek średnicy do obwodu, czyli odwrotność dzisiejszego pi. David Gregory w 1697 używał „π/r”.
1313. Kwadratura koła jest niemożliwa i wiadomo od kiedy
Przez dwa tysiące lat próbowano zbudować cyrklem i linijką kwadrat o polu równym polu danego koła. W 1882 roku Ferdinand von Lindemann udowodnił, że pi jest liczbą przestępną — a z tego wynika, że kwadratura koła jest niewykonalna.
Nie „bardzo trudna”. Niewykonalna, i to jest twierdzenie, nie przypuszczenie.
1414. Piętnaście lat później jedna izba parlamentu uchwaliła co innego
Tu prostuję drugą rzecz. Krąży wersja: „stan Indiana uchwalił ustawą, że pi wynosi 3,2”. Prawdziwa jest do połowy.
| kiedy | co |
|---|---|
| 1894 | Edward J. Goodwin, lekarz i matematyk-amator, uznaje, że rozwiązał kwadraturę koła |
| 6 lutego 1897 | Izba Reprezentantów stanu Indiana przyjmuje projekt — bez ani jednego głosu sprzeciwu |
| 12 lutego 1897 | Senat stanu odracza go bezterminowo |
Ustawa nigdy nie weszła w życie. W Izbie projekt przeszedł najpierw przez Komisję Kanałów, potem Komisję Edukacji, która zaopiniowała go pozytywnie. W Senacie trafił do Komisji Wstrzemięźliwości — też pozytywnie.
Zatrzymał go C. A. Waldo, profesor Purdue University, który był w legislaturze przypadkiem — przyjechał załatwiać roczną dotację dla stanowej akademii nauk.
Wartość 3,2 wynika z jednego fragmentu tekstu ustawy. Z innych fragmentów wynikają inne liczby: tekst był wewnętrznie sprzeczny i dawał się czytać także tak, że pi = 4. David Singmaster doliczył się w pracach Goodwina siedmiu różnych wartości pi.
1515. „Trzydzieści dziewięć cyfr wystarczy” to nie jest własność pi
Trzecia rzecz do wyprostowania. Krąży zdanie: „trzydzieści dziewięć cyfr wystarczy, żeby obliczyć obwód obserwowalnego Wszechświata z dokładnością do średnicy atomu”.
Policzyłem to dla kilku równie sensownych zestawów założeń. Wychodzi od 36 do 41, zależnie od tego, jaki promień Wszechświata i jaką miarę „atomu” ktoś przyjmie. Przy najczęściej podawanych wartościach wychodzi 37.
Liczba 39 nie mówi nic o liczbie pi. Mówi o tym, jakie stałe wybrał ten, kto liczył. Kto podaje ją bez założeń, podaje połowę zdania.
1616. Dzień Liczby Pi ma młodszego, oficjalnego brata
14 marca, bo w zapisie amerykańskim to 3/14. Od niedawna ta data ma drugie znaczenie: UNESCO ogłosiło ją Międzynarodowym Dniem Matematyki — decyzja zapadła 26 listopada 2019 na 40. sesji Konferencji Generalnej, projekt zainicjowała Międzynarodowa Unia Matematyczna, a pierwsze obchody odbyły się 14 marca 2020.
1717. Jest jeszcze Dzień Przybliżenia Pi — i wypada na lepszym przybliżeniu
22 lipca, bo data zapisuje się jako 22/7. Żart polega na tym, że — jak w punkcie ósmym — 22/7 jest dokładniejsze od 3,14, więc lipcowe święto stoi na lepszej liczbie niż marcowe.
Są też dwie daty poboczne: 28 czerwca jako Dzień Tau (6,28 ≈ 2π) i 10 listopada jako 314. dzień roku.
18Skąd te liczby
Rozwinięcie pi policzyła biblioteka obliczeń dokładnych przy generowaniu tego tekstu. Pozycje cyfr, rozkład, długości ciągów i błędy przybliżeń są wyliczone tym samym skryptem, który złożył tę stronę — da się je powtórzyć.
Twierdzenia historyczne sprawdziłem, otwierając źródła. Tam, gdzie źródła się różnią, piszę o tym wprost zamiast wybierać wygodniejszą wersję.
Sprawdź się na kartce
Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki, sprawdziany i karty pracy z matematyki PDF z kluczem: przy kartkówkach grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.
Kartkówka PDF · sklep
Koło i okrąg — kartkówka, klasa 4
Kartkówka z matematyki dla uczniów klasy 4.
3,90 zł (grupy B, C, D i E)
Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →
Kartkówka PDF · sklep
Okrąg, koło, kąty w okręgu — kartkówka, liceum klasa 2
Długość okręgu, łuk, kąt środkowy i wpisany, cięciwa.
3,90 zł (grupy B, C, D i E)
Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →19Pytania i odpowiedzi
Jaka jest najciekawsza rzecz w liczbie pi?
Z doświadczenia — ta, że pierwsze zero pada dopiero na 32. miejscu. Każdy odruchowo zaczyna liczyć, żeby sprawdzić. Tuż za nią: na 762. miejscu stoi sześć dziewiątek pod rząd.
Czy w liczbie pi jest każda możliwa kombinacja cyfr?
Nie wiadomo — i to jest właśnie najczęściej powtarzany błąd. Zależy to od tego, czy pi jest liczbą normalną, a tego nikt nie udowodnił. Konkretny sprawdzian: w pierwszym milionie cyfr ciąg „000000” nie pada ani razu, podobnie jak „123456789”.
Kto wymyślił liczbę pi?
Nikt — pi jest własnością koła, a nie czyimś pomysłem. Można było ją tylko policzyć coraz dokładniej. Archimedes w III w. p.n.e. wykazał, że pi leży między 223/71 a 22/7, używając wielokąta o 96 bokach. Grecką literą oznaczył ją dopiero William Jones w 1706 roku.
Czy Indiana naprawdę uchwaliła, że pi wynosi 3,2?
Tylko jedna izba. Izba Reprezentantów stanu Indiana przyjęła projekt 6 lutego 1897 bez ani jednego głosu sprzeciwu — ale Senat zablokował go sześć dni później i ustawa nigdy nie weszła w życie. Zatrzymał ją profesor matematyki z Purdue, który był w legislaturze przypadkiem.
Ile cyfr pi trzeba znać?
Do czegokolwiek praktycznego — dwie albo trzy. Nawet do obliczeń w skali obserwowalnego Wszechświata z dokładnością do rozmiaru atomu wystarcza około czterdziestu. Krążąca liczba „39” nie jest własnością pi, tylko skutkiem przyjętych stałych — przy równie sensownych założeniach wychodzi od 36 do 41.
Skąd wiadomo, że te liczby się zgadzają?
Bo są policzone, a nie przepisane. Rozwinięcie pi liczy biblioteka obliczeń dokładnych przy generowaniu tekstu, a skrypt sprawdza każdą podaną pozycję asercją — jeśli którakolwiek przestanie się zgadzać, tekst się nie wygeneruje. Twierdzenia historyczne mają źródła, a tam, gdzie źródła się różnią, piszę o tym wprost.
Czytaj dalej
Liczba pi — wszystko w jednym miejscuCo to jest, ile wynosi, skąd litera π i dwa wzoryIle wynosi liczba piBłąd każdego przybliżenia policzony w metrach — 3,14 myli się o 20 kmPlakat z liczbą piDwa gotowe pliki i co umieścić na własnym plakacieTabliczka mnożeniaCały dział: tabela do 100, materiały do druku i kolejność nauki
Mateusz Będkowski
nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”
Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.
Ostatnia aktualizacja: 2026-09-19. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.