Materiał PDF · sklep
Okrąg i koło: obwód i pole, klasy 7–8 — 11 kart pracy PDF z kluczem
11 kart pracy z matematyki dla klas 7–8: promień i średnica, długość okręgu, pole koła, π ≈ 3,14, półkole, pierścień, zadania z…
7,90 zł
Zobacz w sklepie →Strona główna › Liczba pi › Ile wynosi
Ile wynosi liczba pi — i ile cyfr naprawdę trzeba znać
Liczba pi wynosi 3,14159265358979…, ale nikomu nie jest potrzebne sto cyfr. Potrzebna jest odpowiedź na pytanie, którego nikt nie zadaje wprost: o ile właściwie się pomylę, jeśli wezmę 3,14? Policzyliśmy to w metrach — na talerzu, na bieżni i na obwodzie Ziemi. Przy okazji wychodzi rzecz, która zaskakuje: starożytny ułamek 22/7 jest dokładniejszy niż szkolne 3,14. Każda liczba na tej stronie jest policzona przy jej składaniu, a nie skądś przepisana.
Do wydrukowania: plakat z liczbą pi
Pierwsze sto miejsc po przecinku w czytelnej siatce, z pogrubionymi dziesiątkami, plus druga strona z pięciuset miejscami i numeracją wierszy. Dwie strony A4.
Liczba pi wynosi 3,141592653589793238462643383279… i na tym mogłaby się skończyć ta strona.
Tylko że nikomu nie jest potrzebne sto cyfr. Potrzebna jest odpowiedź na pytanie, którego nikt nie zadaje wprost: o ile właściwie się pomylę, jeśli wezmę 3,14? Poniżej jest ta odpowiedź, policzona w metrach.
1Ile wynosi liczba pi — krótka odpowiedź
| ile cyfr | wartość |
|---|---|
| dwie po przecinku | 3,14 |
| pięć | 3,14159 |
| dziesięć | 3,1415926535 |
| piętnaście | 3,141592653589793 |
Pi to stosunek obwodu koła do jego średnicy. W każdym kole wychodzi tyle samo — i to jest w tym najdziwniejsze. Rozwinięcie dziesiętne nigdy się nie kończy i nigdy nie zaczyna powtarzać, bo pi jest liczbą niewymierną.
2O ile pomyli się Twoje przybliżenie — w metrach
Wzięliśmy obwód równikowy Ziemi, 40 075 017 m według WGS-84, i policzyliśmy, o ile minąłby się z prawdą ktoś, kto liczy go danym przybliżeniem:
| przybliżenie | wartość | skąd | błąd na obwodzie Ziemi |
|---|---|---|---|
| 3,14 | 3.14 | szkolne | 20 km |
| 22/7 | 3.142857142857143 | Archimedes, III w. p.n.e. | 16 km |
| 3,14159 | 3.14159 | pięć miejsc | 34 m |
| 355/113 | 3.141592920353982 | Zu Chongzhi, V w. | 3 m |
Dwie rzeczy warte zauważenia.
Szkolne 3,14 przegrywa ze starożytnym ułamkiem. Przybliżenie 22/7, którym posługiwał się Archimedes w III wieku przed naszą erą, jest dokładniejsze niż to, którego dziś uczy szkoła. Właśnie dlatego 22 lipca — zapisywany jako 22/7 — bywa obchodzony jako Dzień Przybliżenia Pi.
Pięciocyfrowy ułamek myli się o trzy metry na całym obwodzie planety. Ułamek 355/113 znany był w Chinach w V wieku. Trzy metry na czterdziestu tysiącach kilometrów.
3Ile cyfr naprawdę wystarczy
Krąży twierdzenie, że „trzydzieści dziewięć cyfr wystarczy, żeby obliczyć obwód obserwowalnego Wszechświata z dokładnością do średnicy atomu”. Policzyliśmy to.
Przy promieniu 4.4e+26 m i średnicy atomu wodoru 1.06e-10 m wychodzi 37 cyfr, a nie 39.
Ale nie o to tu chodzi. Przy równie sensownych założeniach — innym przyjętym promieniu, innej mierze „atomu” — ten sam rachunek daje wyniki od 36 do 41. Liczba 39 nie jest własnością liczby pi. Jest skutkiem tego, jakie stałe ktoś przyjął, zanim zaczął liczyć. Kto podaje ją bez założeń, podaje połowę zdania.
Dla skali: piętnaście cyfr daje na tym samym kole błąd rzędu 2.1e+11 metra — czyli mniej więcej 1.4 odległości Ziemia–Słońce. Brzmi jak dużo, dopóki nie przypomnimy sobie, jakie to koło.
4Co jest w rozwinięciu
Pierwsze sto miejsc po przecinku:
3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679
Trzy rzeczy, które da się w tym sprawdzić palcem:
- Pierwsze zero pada dopiero na 32. miejscu. Przy dziesięciu równoprawnych cyfrach wygląda to dziwnie, a jest zwyczajnym zbiegiem okoliczności — i dobrym przykładem, jak łatwo zobaczyć wzór tam, gdzie go nie ma.
- Na 762. miejscu stoją cztery dziewiątki pod rząd, a dalej jeszcze dwie — razem sześć. To najdłuższy taki ciąg w pierwszych stu tysiącach cyfr.
- Cyfry rozkładają się coraz równiej, im dalej się patrzy: na tysiącu miejsc różnica między najczęstszą a najrzadszą sięga 16 %, na milionie spada do 0.45 %.
Czego z tego nie wolno wywnioskować. To obserwacja, nie dowód. Czy pi jest liczbą normalną — czyli czy każdy ciąg cyfr pojawia się w niej z właściwą częstością — pozostaje pytaniem otwartym. Nikt tego nie udowodnił, choć polski internet pisze czasem inaczej.
5Jak Archimedes zacisnął pi z dwóch stron
Najstarszy porządny rachunek pi nie polegał na zmierzeniu czegokolwiek. Archimedes w III wieku przed naszą erą wpisał w okrąg wielokąt foremny i opisał drugi na zewnątrz. Obwód wielokąta wpisanego jest mniejszy od obwodu okręgu, opisanego — większy. Pi musi więc leżeć gdzieś pomiędzy.
Potem podwajał liczbę boków. Zaczął od sześciokąta i doszedł do wielokąta o dziewięćdziesięciu sześciu bokach. Wyszło mu:
223/71 < pi < 22/7 3,1408 < pi < 3,1429
To jest inny rodzaj wiedzy niż „pi wynosi 3,14”. Archimedes nie twierdził, że zna wartość pi — twierdził, że wie, między czym a czym ona leży, i potrafił to udowodnić. Wiedział przy tym, że pi nie równa się 22/7; 22/7 było tylko górnym ograniczeniem, które akurat ładnie się zapisuje.
Średnia jego dwóch oszacowań to 3,1418, czyli błąd rzędu dwóch dziesięciotysięcznych.
6Kiedy 3,14 wystarczy, a kiedy nie
Teoria jest ciekawa, ale pytanie brzmi zwykle prościej: czy mogę wziąć 3,14? Oto ten sam błąd przeliczony na rzeczy, które da się zobaczyć.
| co liczysz | o ile pomyli się 3,14 |
|---|---|
| obwód talerza o średnicy 30 cm | o 0,48 mm |
| obwód bieżni o średnicy 60 m | o 9,6 cm |
| obwód Ziemi | o 20 km |
Wniosek jest praktyczny: do wszystkiego, co mieści się w pokoju, 3,14 wystarcza z dużym zapasem. Przy talerzu mylisz się o pół milimetra. Problem pojawia się dopiero przy rzeczach wielkości planety — i dlatego inżynierom wystarcza zwykle kilkanaście cyfr, a nie kilkaset.
Odwrotna strona tej samej monety: nie ma zastosowania, w którym potrzeba tysiąca cyfr. Rekordy w liczeniu kolejnych miejsc po przecinku to sport i test dla komputerów, a nie potrzeba jakiejkolwiek dziedziny.
7Skąd te liczby
Rozwinięcie pi policzyła biblioteka mpmath przy generowaniu tego tekstu, a nie zostało skądś przepisane. Błędy przybliżeń i liczba potrzebnych cyfr są wyliczone tym samym skryptem, który złożył tę stronę. Przyjęte wartości — obwód Ziemi, promień Wszechświata, średnica atomu — są podane wyżej, żeby dało się rachunek powtórzyć albo zakwestionować.
Sprawdź się na kartce
Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki, sprawdziany i karty pracy z matematyki PDF z kluczem: przy kartkówkach grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.
Kartkówka PDF · sklep
Koło i okrąg — kartkówka, klasa 4
Kartkówka z matematyki dla uczniów klasy 4.
3,90 zł (grupy B, C, D i E)
Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →
Kartkówka PDF · sklep
Okrąg, koło, kąty w okręgu — kartkówka, liceum klasa 2
Długość okręgu, łuk, kąt środkowy i wpisany, cięciwa.
3,90 zł (grupy B, C, D i E)
Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →8Pytania i odpowiedzi
Ile dokładnie wynosi liczba pi?
3,141592653589793… i rozwinięcie nigdy się nie kończy. Pi jest liczbą niewymierną, więc nie da się jej zapisać ani ułamkiem zwykłym, ani skończonym rozwinięciem dziesiętnym. Do większości zastosowań wystarczą dwie–trzy cyfry.
Czy 3,14 to wystarczające przybliżenie?
Do wszystkiego, co mieści się w pokoju — tak, z dużym zapasem. Na obwodzie talerza o średnicy 30 cm mylisz się o pół milimetra. Na bieżni o średnicy 60 m — o niecałe 10 cm. Dopiero na obwodzie Ziemi błąd rośnie do 20 km.
Które przybliżenie pi jest najlepsze?
Z prostych — 355/113. To najlepsze przybliżenie wymierne pi z mianownikiem czterocyfrowym lub krótszym, dokładne do sześciu miejsc po przecinku. Na całym obwodzie Ziemi myli się o trzy metry. Ułamek znany był w Chinach w V wieku.
Czy 22/7 jest lepsze od 3,14?
Tak, i to jest zaskakujące. 22/7 daje na obwodzie Ziemi błąd 16 km, a 3,14 — 20 km. Przybliżenie, którym posługiwał się Archimedes w III wieku p.n.e., jest dokładniejsze niż to, którego uczy dziś szkoła. Stąd 22 lipca (22/7) bywa obchodzony jako Dzień Przybliżenia Pi.
Ile cyfr pi zna nauka?
Liczone są biliony, ale żadne zastosowanie ich nie potrzebuje. Kilkanaście cyfr wystarcza do obliczeń w skali Układu Słonecznego, a około czterdziestu — do obliczeń w skali obserwowalnego Wszechświata z dokładnością do rozmiaru atomu. Rekordy w liczeniu kolejnych miejsc to test dla komputerów, nie potrzeba jakiejkolwiek dziedziny.
Czy w liczbie pi jest moja data urodzenia?
Sześciocyfrowy ciąg zwykle tak — ale nie zawsze. Sprawdziliśmy pierwszy milion cyfr: „000000” nie pada tam ani razu, podobnie jak „123456789”. To, że każdy ciąg musi kiedyś wystąpić, jest przypuszczeniem, a nie twierdzeniem — nikt nie udowodnił, że pi jest liczbą normalną.
Czytaj dalej
Tabliczka mnożenia — wszystko w jednym miejscuTabela do 100, materiały do druku i kolejność naukiTabliczka mnożenia do drukuKomplet kart i plakatów w PDF — tak samo do powieszenia jak plakat piBiblioteka kart pracyWszystkie materiały do druku, do filtrowania po klasie i temacieMatematyka — działPozostałe tematy: od liczenia w przedszkolu po maturę
Mateusz Będkowski
nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”
Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.
Ostatnia aktualizacja: 2026-09-19. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.