Strona główna › Ułamki › Zamiana ułamków zwykłych na dziesiętne i z powrotem — rozwinięcie skończone i okresowe

Zamiana ułamków zwykłych na dziesiętne i z powrotem — rozwinięcie skończone i okresowe

Q: Jak zamienić ułamek zwykły na dziesiętny?

Albo rozszerz mianownik do 10, 100 czy 1000 i przepisz z przecinkiem (3/4 = 75/100 = 0,75), albo podziel licznik przez mianownik (3 : 4 = 0,75). Pierwsza droga jest szybsza, ale działa tylko dla niektórych mianowników; druga działa zawsze.

Q: Skąd wiadomo, czy rozwinięcie dziesiętne będzie skończone?

Skróć ułamek do postaci nieskracalnej i rozłóż mianownik na czynniki pierwsze. Jeśli są tam wyłącznie dwójki i piątki — rozwinięcie jest skończone. Cokolwiek innego (trójka, siódemka, jedenastka) oznacza rozwinięcie okresowe. Krok „skróć najpierw” jest obowiązkowy: 6/30 wygląda na okresowe, a po skróceniu to 1/5 = 0,2.

Q: Dlaczego 1/3 nie da się zapisać dokładnie w postaci dziesiętnej?

Bo mianownik 3 nie składa się z samych dwójek i piątek, więc nie da się go rozszerzyć do potęgi dziesiątki. Przy dzieleniu 1 : 3 reszta wraca do 1 i cały krok powtarza się bez końca. Wynik zapisujemy jako 0,(3), a 0,33 czy 0,333 to tylko przybliżenia.

Q: Co oznacza nawias w zapisie 0,8(3)?

Nawias obejmuje okres, czyli fragment powtarzający się bez końca. 0,8(3) to 0,8333 — ósemka pojawia się raz, a trójka wraca w kółko. To nie to samo co 0,(83), które znaczy 0,83838383

Q: Jak zamienić liczbę dziesiętną na ułamek zwykły? Na przykład 0,25?

Przeczytaj ją tak, jak się mówi: 0,25 to „dwadzieścia pięć setnych”, czyli 25/100. Potem skróć: 25/100 = 1/4. Mianownik bierzesz z liczby miejsc po przecinku — jedno miejsce to 10, dwa to 100, trzy to 1000.

Q: 0,2 — jaki to ułamek zwykły?

Po przecinku stoi jedna cyfra, więc mianownikiem jest dziesiątka: 0,2 = 2/10. Ten ułamek jeszcze się skraca — licznik i mianownik dzielą się przez dwa, więc wychodzi 1/5. Dokładnie tak samo zamienia się pozostałe popularne liczby, które warto po prostu zapamiętać: 0,4 = 2/5, 0,5 = 1/2, 0,75 = 3/4 oraz 0,125 = 1/8. Pamiętaj o skracaniu — odpowiedź podaje się zawsze w postaci nieskracalnej, nawet jeśli polecenie o tym nie wspomina.

Q: Czy wolno napisać 2/3 = 0,67?

Nie — to są różne liczby. 2/3 ma rozwinięcie nieskończone 0,(6), a 0,67 jest tylko jego zaokrągleniem do części setnych. Poprawny zapis to 2/3 0,67. Znaku równości używaj tylko przy rozwinięciach skończonych.

Ułamek zwykły i dziesiętny to dwa zapisy tej samej liczby, więc między nimi da się przechodzić w obie strony. Jedna z tych dróg bywa jednak nieskończona: $\frac{1}{4}$ zamienia się na równiutkie $0{,}25$ , a $\frac{1}{3}$ na $0{,}333\ldots$ bez końca. Ta strona odpowiada na trzy pytania: jak zamieniać w każdą stronę, skąd wiadomo z góry, czy rozwinięcie się skończy, i jak zapisać to, co się nie kończy.

Dział: UłamkiPoziom: klasy 6–7Zadań z E8: 9

Przejdź od razu do zadań (9) ↓

1Ułamek zwykły na dziesiętny — dwie drogi

Droga pierwsza: rozszerz mianownik do potęgi dziesiątki. Ułamek dziesiętny to ułamek o mianowniku $10$ , $100$ , $1000$ i tak dalej — wystarczy więc doprowadzić do niego zapis zwykły.

\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot \textcolor{#16A06A}{25}}{4 \cdot \textcolor{#16A06A}{25}} = \frac{75}{100} = 0{,}75

Ta droga jest szybka i nie wymaga dzielenia pisemnego — ale działa tylko wtedy, gdy mianownik da się rozszerzyć do potęgi dziesiątki.

Droga druga: podziel licznik przez mianownik. Kreska ułamkowa oznacza dzielenie, więc $\frac{3}{4}$ to po prostu $3 : 4$ .

\frac{3}{4} = 3 : 4 = 0{,}75

Ta droga działa zawsze, także gdy pierwsza zawiedzie — tyle że czasem dzielenie się nie kończy i o tym jest reszta strony.

Którą drogę wybrać

Spójrz na mianownik. Jeśli jest nim $2$ , $4$ , $5$ , $8$ , $10$ , $20$ , $25$ , $50$ — rozszerzenie jest szybsze i mniej ryzykowne niż dzielenie pisemne.

Jeśli mianownikiem jest $3$ , $6$ , $7$ , $9$ , $11$ — rozszerzać nie ma po co, bo się nie da. Zostaje dzielenie i wynik będzie okresowy.

Kilka wartości warto po prostu znać na pamięć: $\frac{1}{2} = 0{,}5$ , $\frac{1}{4} = 0{,}25$ , $\frac{3}{4} = 0{,}75$ , $\frac{1}{5} = 0{,}2$ , $\frac{1}{8} = 0{,}125$ , $\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots$

2Skąd wiadomo, czy rozwinięcie się skończy

To jest sedno całej strony i jedyna reguła, którą naprawdę trzeba zapamiętać.

Warunek skończonego rozwinięcia

Skróć ułamek do postaci nieskracalnej, a potem rozłóż mianownik na czynniki pierwsze.

Jeśli w rozkładzie są wyłącznie dwójki i piątki — rozwinięcie jest skończone.

Jeśli pojawi się cokolwiek innego (trójka, siódemka, jedenastka…) — rozwinięcie jest okresowe.

Powód jest prosty: potęgi dziesiątki rozkładają się na same dwójki i piątki ( $10 = 2 \cdot 5$ , $100 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5$ ). Rozszerzyć mianownik do potęgi dziesiątki można więc tylko wtedy, gdy on sam nie ma innych czynników.

Sprawdźmy to na czterech przykładach:

Ułamek	Mianownik po skróceniu	Rozkład	Rozwinięcie
$\frac{7}{8}$	$8$	$2 \cdot 2 \cdot 2$	skończone — $0{,}875$
$\frac{9}{20}$	$20$	$2 \cdot 2 \cdot 5$	skończone — $0{,}45$
$\frac{5}{6}$	$6$	$2 \cdot 3$ — jest trójka	okresowe — $0{,}8(3)$
$\frac{4}{7}$	$7$	$7$ — nie jest ani dwójką, ani piątką	okresowe

Krok „skróć najpierw” jest obowiązkowy i to na nim najczęściej się przewraca. Ułamek $\frac{6}{30}$ ma w mianowniku trójkę, więc na pierwszy rzut oka zapowiada rozwinięcie okresowe. Ale $\frac{6}{30} = \frac{1}{5}$ , a piątka jest w porządku — rozwinięcie wychodzi skończone i równe $0{,}2$ .

Reguła działa też w drugą stronę i to bywa przydatne: skoro $\frac{1}{3}$ ma rozwinięcie nieskończone, to żadna liczba dziesiętna o skończonej liczbie cyfr nie jest równa jednej trzeciej. $0{,}33$ i $0{,}333$ są tylko przybliżeniami.

3Rozwinięcie okresowe — jak je zapisać

Gdy dzielenie się nie kończy, cyfry po przecinku zaczynają się powtarzać i ten powtarzający się fragment nazywa się okresem. Zapisuje się go w nawiasie, zamiast pisać w nieskończoność.

\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots = 0{,}(3)

\frac{5}{6} = 0{,}8333\ldots = 0{,}8(3)

\frac{2}{11} = 0{,}181818\ldots = 0{,}(18)

W szkole podstawowej w zupełności wystarcza zapis z wielokropkiem — $0{,}333\ldots$ — i tego właśnie żąda wymaganie o rozwinięciu nieskończonym („z użyciem wielokropka po ostatniej cyfrze”). Nawias jest krótszym zapisem tej samej liczby, spotykanym w podręcznikach i w dalszej nauce; warto go rozumieć, ale nikt nie odbierze punktu za wielokropek.

Zwróć uwagę na drugi przykład. Ósemka nie wchodzi do nawiasu, bo nie powtarza się — powtarza się dopiero trójka. Takie rozwinięcie nazywa się okresowym mieszanym: ma część nieokresową (tu: $8$ ) i okres (tu: $3$ ).

Skąd wiadomo, że dzielenie się nigdy nie skończy

Dzieląc $1 : 3$ pisemnie, dostajesz resztę $1$ — czyli tę samą, od której zacząłeś. Następny krok będzie więc identyczny i tak w kółko.

To jest praktyczny znak, na który warto patrzeć: gdy reszta się powtórzy, rozwinięcie zaczyna się powtarzać. Nie trzeba dzielić dalej — wystarczy zapisać okres.

Reszt przy dzieleniu przez $n$ jest skończenie wiele (od $0$ do $n-1$ ), więc któraś musi się w końcu powtórzyć. Dlatego rozwinięcie ułamka zwykłego jest zawsze albo skończone, albo okresowe — trzeciej możliwości nie ma.

Długość okresu bywa zaskakująca. Dla $\frac{1}{7}$ okres ma aż sześć cyfr: $\frac{1}{7} = 0{,}(142857)$ . To nadal jest okres — po prostu długi.

4Ułamek dziesiętny na zwykły — kierunek odwrotny

Zamiana w tę stronę jest łatwiejsza i sprowadza się do jednego zdania: przeczytaj liczbę tak, jak się ją mówi po polsku.

$0{,}25$ czytamy „dwadzieścia pięć setnych” — i to jest gotowy ułamek:

0{,}25 = \frac{25}{100} = \frac{25 : \textcolor{#16A06A}{25}}{100 : \textcolor{#16A06A}{25}} = \frac{1}{4}

Schemat ma zawsze dwa kroki:

Mianownik z liczby miejsc po przecinku. Jedno miejsce → $10$ , dwa → $100$ , trzy → $1000$ .
Skróć otrzymany ułamek do postaci nieskracalnej.

Liczba	Odczytana jako	Po skróceniu
$0{,}2$	$\frac{2}{10}$	$\frac{1}{5}$
$0{,}4$	$\frac{4}{10}$	$\frac{2}{5}$
$0{,}75$	$\frac{75}{100}$	$\frac{3}{4}$
$0{,}125$	$\frac{125}{1000}$	$\frac{1}{8}$
$1{,}5$	$1\frac{5}{10}$	$1\frac{1}{2}$ , czyli $\frac{3}{2}$

Ostatni wiersz pokazuje, co zrobić z częścią całkowitą: zostaje z boku i zamienia się tylko to, co po przecinku. Można też na końcu zamienić liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy, jeśli zadanie tego wymaga.

A co z rozwinięciem okresowym? Zamiana $0{,}(3)$ z powrotem na $\frac{1}{3}$ wymaga już równania z niewiadomą i jest tematem szkoły ponadpodstawowej. W szkole podstawowej wystarczy znać kilka takich par z pamięci — $0{,}(3) = \frac{1}{3}$ , $0{,}(6) = \frac{2}{3}$ , $0{,}(1) = \frac{1}{9}$ — i wiedzieć, że liczba z okresem nigdy nie jest równa swojemu skończonemu przybliżeniu.

5Zaokrąglanie zamiast zamiany

Gdy rozwinięcie jest okresowe, a zadanie oczekuje liczby dziesiętnej, odpowiedzią jest zaokrąglenie — i wtedy trzeba napisać, do którego miejsca.

$\frac{2}{3} = 0{,}(6)$ . Zaokrąglenia:

do części dziesiątych: $0{,}7$ (bo następna cyfra to $6$ , czyli $5$ lub więcej — zaokrąglamy w górę),
do części setnych: $0{,}67$ ,
do części tysięcznych: $0{,}667$ .

Znak równości jest tu nieprawdziwy i to jest częsty błąd zapisu. Poprawnie pisze się $\frac{2}{3} \approx 0{,}67$ — z falką, nie ze znakiem równości. Różnica wydaje się drobna, ale odróżnia liczbę od jej przybliżenia, a w zadaniach z pieniędzmi albo miarami to bywa istotne.

Praktyczna uwaga do zadań z treścią: gdy w wyniku wychodzi rozwinięcie okresowe, a pytanie dotyczy złotówek, zaokrągla się do dwóch miejsc (do groszy); gdy dotyczy centymetrów — zwykle do jednego miejsca. Polecenie prawie zawsze to precyzuje i warto tego szukać, zanim zaokrągli się na wyczucie.

6Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: rozpoznanie typu rozwinięcia przed liczeniem, zamiana w obie strony i zadanie z treścią, w którym trzeba zaokrąglić.

Przykład 1 Które rozwinięcie się skończy — bez dzielenia

Nie wykonując dzielenia, rozstrzygnij, które z ułamków $\frac{7}{40}$ , $\frac{5}{12}$ , $\frac{9}{15}$ mają rozwinięcie skończone.

$\frac{7}{40}$ . Sprawdzam, czy da się skrócić: $7$ jest liczbą pierwszą i nie dzieli $40$ , więc ułamek jest już nieskracalny. Rozkładam mianownik: $40 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5$ . Same dwójki i piątka — rozwinięcie skończone.
$\frac{5}{12}$ . Skracać się nie da ( $5$ nie dzieli $12$ ). Rozkład: $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ . Jest trójka — rozwinięcie okresowe.
$\frac{9}{15}$ . Tu uwaga: $9$ i $15$ dzielą się przez $3$ , więc najpierw skracam: $\frac{9 : 3}{15 : 3} = \frac{3}{5}$ .
Dopiero teraz patrzę na mianownik: $5$ — sama piątka. Rozwinięcie skończone, mimo że w pierwotnym zapisie stała trójka.
Kontrola przez policzenie: $\frac{7}{40} = 0{,}175$ ✓ skończone, $\frac{3}{5} = 0{,}6$ ✓ skończone, a $\frac{5}{12} = 0{,}41666\ldots = 0{,}41(6)$ ✓ okresowe.

Odpowiedź: Skończone: $\frac{7}{40}$ i $\frac{9}{15}$ . Okresowe: $\frac{5}{12}$ .

Trzeci podpunkt jest w zadaniu po to, żeby sprawdzić krok „najpierw skróć”. Bez niego odpowiedź byłaby odwrotna — i to jest najczęstsza pułapka w tym temacie.

Przykład 2 Zamiana w obie strony

Zamień $\frac{7}{8}$ na ułamek dziesiętny, a $0{,}35$ na ułamek zwykły w postaci nieskracalnej.

$\frac{7}{8}$ na dziesiętny. Mianownik $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2$ — same dwójki, więc rozwinięcie będzie skończone i da się rozszerzyć do potęgi dziesiątki.
Szukam, przez ile: $1000 : 8 = 125$ . Rozszerzam licznik i mianownik przez $125$ : $\frac{7 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \frac{875}{1000}$ .
Trzy zera w mianowniku to trzy miejsca po przecinku: $\frac{875}{1000} = 0{,}875$ .
Kontrola drugą drogą: $7 : 8 = 0{,}875$ ✓
$0{,}35$ na zwykły. Dwie cyfry po przecinku, więc mianownikiem jest $100$ : $0{,}35 = \frac{35}{100}$ .
Skracam: $35$ i $100$ dzielą się przez $5$ , więc $\frac{35 : 5}{100 : 5} = \frac{7}{20}$ . Siódemka i dwudziestka nie mają wspólnego dzielnika — koniec.
Kontrola: $\frac{7}{20} = \frac{35}{100} = 0{,}35$ ✓

Odpowiedź: $\frac{7}{8} = 0{,}875$ oraz $0{,}35 = \frac{7}{20}$

Zwróć uwagę na symetrię obu rachunków: w jedną stronę rozszerzamy do potęgi dziesiątki, w drugą skracamy z potęgi dziesiątki. To jest ta sama czynność wykonana w przeciwnych kierunkach — dlatego warto umieć ją z obu stron.

Przykład 3 Zadanie z treścią z zaokrągleniem

Trzy osoby dzielą po równo rachunek na $50$ zł. Ile zapłaci każda? Podaj wynik jako ułamek i jako kwotę w złotych.

Ułamkowo: $50 : 3 = \frac{50}{3}$ złotych na osobę. Ułamek jest nieskracalny, bo $50$ nie dzieli się przez $3$ .
Zamieniam na liczbę mieszaną, żeby zobaczyć rząd wielkości: $\frac{50}{3} = 16\frac{2}{3}$ zł.
Sprawdzam typ rozwinięcia: mianownik $3$ nie jest ani dwójką, ani piątką — rozwinięcie będzie okresowe.
Liczę: $\frac{2}{3} = 0{,}(6)$ , więc $\frac{50}{3} = 16{,}(6)$ zł.
Pieniądze zaokrągla się do groszy, czyli do dwóch miejsc: $16{,}(6) \approx 16{,}67$ zł.
Kontrola sensem: $3 \cdot 16{,}67 = 50{,}01$ zł — o grosz za dużo, i tak właśnie działa zaokrąglanie w górę. Gdyby ktoś zapłacił $16{,}66$ , zabrakłoby dwóch groszy.

Odpowiedź: Każda osoba płaci $\frac{50}{3} = 16\frac{2}{3}$ zł, czyli w zaokrągleniu $16{,}67$ zł.

Ostatni krok pokazuje, dlaczego przy pieniądzach zaokrąglenie nigdy nie sumuje się idealnie. To nie jest błąd rachunku — to konsekwencja tego, że $50$ nie dzieli się przez $3$ , i w prawdziwym rachunku ktoś po prostu dopłaca grosz.

7Najczęstsze błędy

Pierwsze dwa błędy dotyczą rozpoznawania typu rozwinięcia, dwa kolejne — zapisu wyniku.

Sprawdzanie mianownika przed skróceniem ułamka

Skąd się bierze: Uczeń patrzy na $\frac{6}{30}$ , widzi w rozkładzie $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$ trójkę i orzeka rozwinięcie okresowe. Tymczasem $\frac{6}{30} = \frac{1}{5}$ , czyli $0{,}2$ — rozwinięcie jak najbardziej skończone. Trójka zniknęła przy skracaniu, bo była też w liczniku. Warunek „same dwójki i piątki” dotyczy wyłącznie ułamka nieskracalnego.

Jak zrobić dobrze: Zawsze najpierw skróć do postaci nieskracalnej, a dopiero potem rozkładaj mianownik. Kolejność jest tu równie ważna jak sama reguła: pomylisz się dokładnie wtedy, gdy skracanie usuwa z mianownika czynnik inny niż dwójka i piątka — jak trójka w $\frac{6}{30}$ . Ułamek już nieskracalny możesz rozkładać od razu.

„Skoro mianownik jest duży, rozwinięcie będzie okresowe”

Skąd się bierze: Wielkość mianownika nie ma z tym nic wspólnego — liczy się wyłącznie to, jakie czynniki pierwsze w nim siedzą. $\frac{1}{64}$ ma spory mianownik, a rozwinięcie skończone ( $64$ to same dwójki). $\frac{1}{3}$ ma mianownik malutki, a rozwinięcie nieskończone.

Jak zrobić dobrze: Nie oceniaj po rozmiarze, tylko rozłóż mianownik na czynniki pierwsze. To zajmuje chwilę i daje pewną odpowiedź zamiast przeczucia.

Wpisanie do nawiasu cyfr, które się nie powtarzają

Skąd się bierze: W rozwinięciu $0{,}8333\ldots$ powtarza się sama trójka, a ósemka pojawia się raz. Zapis $\textcolor{#9b1c14}{0{,}(83)}$ oznacza co innego: $0{,}83838383\ldots$ — a to zupełnie inna liczba. Nawias obejmuje tylko ten fragment, który wraca w kółko.

Jak zrobić dobrze: Przed postawieniem nawiasu wypisz kilka cyfr rozwinięcia i sprawdź, od którego miejsca zaczyna się powtórka. Przy dzieleniu pisemnym pomaga patrzenie na reszty: okres zaczyna się tam, gdzie reszta się powtórzyła po raz pierwszy.

Znak równości między liczbą a jej zaokrągleniem

Skąd się bierze: Zapis $\textcolor{#9b1c14}{\frac{2}{3} = 0{,}67}$ jest fałszywy — $\frac{2}{3}$ to $0{,}666\ldots$ , a $0{,}67$ to inna liczba, o $\frac{1}{300}$ większa. Znak równości oznacza, że obie strony są tą samą liczbą, a nie że są blisko siebie.

Jak zrobić dobrze: Przy zaokrągleniu używaj znaku $\approx$ i napisz, do którego miejsca zaokrąglasz: $\frac{2}{3} \approx 0{,}67$ (do części setnych). Znaku równości używaj wyłącznie tam, gdzie rozwinięcie jest skończone i zapisane w całości — na przykład $\frac{3}{4} = 0{,}75$ .

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — działania na ułamkach

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 2 zadania z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.

Kolor pokazuje, co w co się zamienia. Przy sprowadzaniu do wspólnego mianownika widać, przez ile rozszerzamy pierwszy ułamek, a przez ile drugi. Przy dzieleniu przez ułamek kolorem zaznaczamy ten, który się odwraca. W zwykłych rachunkach liczby zostają czarne.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 8 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 8 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (styczeń 2026)1 pktłatwe

Dane jest wyrażenie

\left(0{,}75 \cdot 8 + 8 \cdot \dfrac{1}{2}\right) : (-2)

. Dokończ zdanie.
Wartość tego wyrażenia jest równa

A. $-5$
B. $-3{,}5$
C. $3{,}5$
D. $5$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Najpierw liczymy wszystko w nawiasie, a w nawiasie — najpierw mnożenie.
$0{,}75 \cdot 8 = 6$ (bo $0{,}75 = \tfrac34$ , a $\tfrac34$ z 8 to 6).
$8 \cdot \dfrac{1}{2} = 4$ .
W nawiasie zostaje $6 + 4 = 10$ .
Na koniec dzielenie: $10 : (-2) = -5$ .
Odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Ułamki dziesiętne warto w pamięci zamieniać na zwykłe: $0{,}75 = \tfrac34$ , $0{,}25 = \tfrac14$ , $0{,}5 = \tfrac12$ . Rachunek robi się wtedy znacznie prostszy.

⚠ Najczęstszy błąd: pominięcie minusa przy dzieleniu przez $(-2)$ i wybór odpowiedzi D. Dodatnia liczba dzielona przez ujemną daje ujemny wynik.

Zadanie 2 (maj 2024)1 pktśrednie

Wypisano ułamki spełniające łącznie następujące warunki:
• mianownik każdego z nich jest równy 4,
• licznik każdego z nich jest liczbą naturalną większą od mianownika,
• każdy z tych ułamków jest większy od liczby 3 oraz mniejszy od liczby 5.
Dokończ zdanie.
Wszystkich ułamków spełniających powyższe warunki jest

A. sześć.
B. siedem.
C. osiem.
D. dziewięć.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Każdy z tych ułamków ma postać $\dfrac{n}{4}$ , gdzie $n$ to liczba naturalna.
Zamieniamy warunek na liczniki: liczby 3 i 5 też zapisujemy z mianownikiem 4, żeby móc je porównać.
$3 = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{12}{4}}$ oraz $5 = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{20}{4}}$ .
Warunek $3 < \dfrac{n}{4} < 5$ zamienia się więc na $\textcolor{#16A06A}{12} < n < \textcolor{#E0453A}{20}$ .
Liczniki to zatem: 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 — siedem liczb.
Sprawdzamy jeszcze drugi warunek (licznik większy od mianownika, czyli $n > 4$ ) — wszystkie go spełniają.
Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Gdy porównujesz ułamek z liczbą całkowitą, zamień tę liczbę na ułamek o tym samym mianowniku — problem zamienia się wtedy w proste porównanie liczników.

⚠ Najczęstszy błąd: doliczenie liczników 12 i 20 do wyniku. Nierówności są ostre ("większy od 3", "mniejszy od 5"), więc same 3 i 5 nie wchodzą.

Zadanie 3 (maj 2024)1 pktśrednie

Dane są dwie liczby

x

y

\;x = \dfrac{4}{5} \cdot \left(-\dfrac{4}{3}\right)\;

oraz

\;y = \dfrac{4}{5} + \left(-\dfrac{4}{3}\right)

. Uzupełnij zdania.

Liczba

y

jest liczbą AB.

A. ujemną
B. dodatnią

Liczba

x

jest CD od liczby

y

C. mniejsza
D. większa

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A, C

Liczba $x$ — mnożymy ułamki: licznik razy licznik, mianownik razy mianownik. $\dfrac{4}{5} \cdot \left(-\dfrac{4}{3}\right) = -\dfrac{16}{15}$ .
Liczba $y$ — dodajemy, więc potrzebny wspólny mianownik 15: $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{4}{5}} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{12}{15}}$ (razy 3), a $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{4}{3}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{20}{15}}$ (razy 5).
$y = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{12}{15}} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{20}{15}} = -\dfrac{8}{15}$ — liczba ujemna, odpowiedź A.
Porównujemy $x = -\dfrac{16}{15}$ z $y = -\dfrac{8}{15}$ . Mianowniki są takie same, więc patrzymy na liczniki.
Przy liczbach ujemnych większy licznik oznacza mniejszą liczbę: $-\dfrac{16}{15} < -\dfrac{8}{15}$ .
Zatem $x$ jest mniejsza od $y$ — odpowiedź C. Razem: A, C.

💡 Wskazówka: Przydatna obserwacja: mnożąc ułamek przez liczbę większą od 1 (a $\tfrac43 > 1$ ), oddalamy się od zera. Dlatego $x$ leży dalej w lewo niż $y$ .

⚠ Najczęstszy błąd: porównywanie liczb ujemnych „jak dodatnich” — czyli uznanie, że skoro $16 > 8$ , to $-\tfrac{16}{15} > -\tfrac{8}{15}$ . Na osi liczbowej jest odwrotnie.

Zadanie 4 (czerwiec 2021)1 pktśrednie

Poniżej zapisano trzy liczby:

\;p = \dfrac{27 \cdot 9}{27 + 9}\;

\;r = \dfrac{27 + 9}{27 - 9}\;

\;s = \dfrac{27 - 9}{27 : 9}

. Który zapis przedstawia poprawnie uporządkowane liczby

p

r

s

od najmniejszej do największej?

A. $s,\ r,\ p$
B. $r,\ s,\ p$
C. $s,\ p,\ r$
D. $r,\ p,\ s$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Kreska ułamkowa działa jak nawias — najpierw liczymy osobno cały licznik i cały mianownik, dopiero potem dzielimy.
$p = \dfrac{27 \cdot 9}{27 + 9} = \dfrac{243}{36} = 6{,}75$ .
$r = \dfrac{27 + 9}{27 - 9} = \dfrac{36}{18} = 2$ .
$s = \dfrac{27 - 9}{27 : 9} = \dfrac{18}{3} = 6$ .
Porządkujemy rosnąco: $2 < 6 < 6{,}75$ , czyli $r$ , $s$ , $p$ .
Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Przy $p$ nie trzeba dzielić dokładnie — wystarczy zauważyć, że $\tfrac{243}{36}$ to niecałe 7, a $s = 6$ . To już rozstrzyga kolejność.

⚠ Najczęstszy błąd: liczenie „po kolei od lewej” bez traktowania kreski jak nawiasu — np. $27 \cdot 9 : 27 + 9$ , co daje zupełnie inny wynik.

Zadanie 5 (maj 2021)1 pktśrednie

Dane są cztery liczby zapisane za pomocą wyrażeń arytmetycznych:

x = -62{,}5 + 30

y = -14{,}4 - 12{,}6

t = -12 : 0{,}3

u = -8{,}02 \cdot 6

Która z tych liczb jest największa?

A. $x$
B. $y$
C. $t$
D. $u$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Liczymy każdą wartość osobno:
$x = -62{,}5 + 30 = -32{,}5$
$y = -14{,}4 - 12{,}6 = -27$
$t = -12 : 0{,}3 = -40$ (dzielenie przez liczbę mniejszą od 1 zwiększa wartość bezwzględną)
$u = -8{,}02 \cdot 6 = -48{,}12$
Wszystkie są ujemne, więc największa jest ta najbliższa zera: $-27$ , czyli liczba $y$ .
Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Wśród liczb ujemnych największa to ta o najmniejszej wartości bezwzględnej — najbliżej zera na osi liczbowej.

⚠ Dwa typowe błędy: (1) wybór $u$ jako „największej”, bo 48,12 to największa liczba — ale ze znakiem minus jest najmniejsza; (2) policzenie $-12 : 0{,}3$ jako $-4$ zamiast $-40$ .

Zadanie 6 (marzec 2021)1 pktśrednie

Która z poniższych nierówności jest prawdziwa?

A. $\dfrac{25}{9} < \dfrac{23}{9}$
B. $\dfrac{5}{4} + \dfrac{5}{2} > 4$
C. $\dfrac{13}{17} \cdot 3 > \dfrac{39}{17}$
D. $\dfrac{11}{12} > \dfrac{11}{13}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

A — ten sam mianownik, więc decyduje licznik: $25 > 23$ , czyli $\tfrac{25}{9} > \tfrac{23}{9}$ . Nierówność jest odwrotna — fałsz.
B — $\dfrac{5}{4} + \dfrac{5}{2} = 1{,}25 + 2{,}5 = 3{,}75$ , a to mniej niż 4 — fałsz.
C — $\dfrac{13}{17} \cdot 3 = \dfrac{39}{17}$ , czyli obie strony są równe. Nierówność ostra „ $>$ ” nie zachodzi — fałsz.
D — ten sam licznik (11), więc decyduje mianownik: im mniejszy mianownik, tym większy ułamek (dzielimy na mniej części). Skoro $12 < 13$ , to $\dfrac{11}{12} > \dfrac{11}{13}$ ✓ — prawda.
Odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Dwie reguły, które załatwiają większość porównań: ten sam mianownik → większy licznik wygrywa; ten sam licznik → mniejszy mianownik wygrywa (bo tort dzielony na mniej kawałków daje większe kawałki).

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź C — przy szybkim czytaniu $\tfrac{13}{17} \cdot 3$ wygląda na coś większego, ale to dokładnie $\tfrac{39}{17}$ . Znak „ $>$ ” wymaga ścisłej większości.

Zadanie 7 (czerwiec 2020)1 pktśrednie

Dane są trzy wyrażenia arytmetyczne:
I.

75{,}5 \cdot 2 - 7 \cdot 6{,}99

· II.

(4{,}6 + 5{,}5) \cdot 10

· III.

0{,}26 \cdot 400

Które spośród tych wyrażeń mają wartość większą od 100?

A. Tylko I i II.
B. Tylko I i III.
C. Tylko II i III.
D. Tylko I, II i III.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

I. $75{,}5 \cdot 2 = 151$ , a $7 \cdot 6{,}99 = 48{,}93$ . Zatem $151 - 48{,}93 = 102{,}07 > 100$ ✓
II. $(4{,}6 + 5{,}5) \cdot 10 = 10{,}1 \cdot 10 = 101 > 100$ ✓
III. $0{,}26 \cdot 400 = 104 > 100$ ✓
Wszystkie trzy przekraczają 100 — odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Sprytne szacowanie w I: $6{,}99$ to prawie 7, więc $7 \cdot 6{,}99$ to prawie 49, ale trochę mniej. Od 151 odejmujemy niecałe 49, więc zostaje ponad 102.

⚠ Najczęstszy błąd w III: pomyłka o rząd wielkości — $0{,}26 \cdot 400$ to 104, a nie 10,4. Warto sprawdzić: $0{,}25 \cdot 400 = 100$ , a 0,26 to trochę więcej.

Zadanie 8 (kwiecień 2014, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Dokończ zdanie tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe.
Liczbą większą od

\dfrac{1}{3}

jest

A. $\dfrac{300}{900}$
B. $\dfrac{300}{900 - 1}$
C. $\dfrac{300}{900 + 1}$
D. $\dfrac{300 - 1}{900}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Punkt wyjścia: $\dfrac{1}{3} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{300}{900}}$ — wszystkie odpowiedzi to warianty tego samego ułamka.
A to dokładnie $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{300}{900}} = \dfrac13$ — równe, więc nie większe ✗
B — mianownik zmniejszony o 1. Mniejszy mianownik przy tym samym liczniku daje większy ułamek ✓
C — mianownik zwiększony, więc ułamek jest mniejszy ✗
D — licznik zmniejszony, więc ułamek jest mniejszy ✗
Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Dwie reguły na całe życie: większy licznik → większy ułamek, większy mianownik → mniejszy ułamek. Tu wystarczyło zobaczyć, gdzie stoi minus.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź D — intuicja podpowiada, że „minus w liczniku i minus w mianowniku zachowują się tak samo”. Zachowują się dokładnie odwrotnie.

Zadanie 9 (kwiecień 2013, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Ile spośród liczb

\;\dfrac{2}{3}

\dfrac{1}{2}

\dfrac{10}{25}

\dfrac{1}{4}\;

spełnia warunek

\dfrac{2}{5} < x < \dfrac{3}{5}

A. Jedna liczba.
B. Dwie liczby.
C. Trzy liczby.
D. Cztery liczby.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Najwygodniej zamienić wszystko na ułamki dziesiętne. Granice: $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{2}{5}} = \textcolor{#16A06A}{0{,}4}$ oraz $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{5}} = \textcolor{#E0453A}{0{,}6}$ .
$\dfrac{2}{3} \approx 0{,}667$ — to więcej niż $\textcolor{#E0453A}{0{,}6}$ ✗
$\dfrac{1}{2} = 0{,}5$ — mieści się między $\textcolor{#16A06A}{0{,}4}$ a $\textcolor{#E0453A}{0{,}6}$ ✓
$\dfrac{10}{25} = \dfrac{2}{5} = \textcolor{#16A06A}{0{,}4}$ — to dokładnie granica, a nierówność jest ostra, więc nie liczy się ✗
$\dfrac{1}{4} = 0{,}25$ — mniej niż $\textcolor{#16A06A}{0{,}4}$ ✗
Warunek spełnia tylko jedna liczba — odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Warto znać na pamięć: $\tfrac15 = 0{,}2$ , $\tfrac14 = 0{,}25$ , $\tfrac13 \approx 0{,}33$ , $\tfrac12 = 0{,}5$ , $\tfrac23 \approx 0{,}67$ , $\tfrac34 = 0{,}75$ . Oszczędza mnóstwo czasu na egzaminie.

⚠ Najczęstszy błąd: zaliczenie $\tfrac{10}{25}$ . Po skróceniu to dokładnie $\tfrac25$ , czyli granica przedziału — a znak „ $<$ ” jej nie obejmuje.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. A	2. B	3. A, C	4. B	5. B	6. D
7. D	8. B	9. A

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

8Pytania i odpowiedzi

Jak zamienić ułamek zwykły na dziesiętny?

Albo rozszerz mianownik do $10$ , $100$ czy $1000$ i przepisz z przecinkiem ( $\frac{3}{4} = \frac{75}{100} = 0{,}75$ ), albo podziel licznik przez mianownik ( $3 : 4 = 0{,}75$ ). Pierwsza droga jest szybsza, ale działa tylko dla niektórych mianowników; druga działa zawsze.

Skąd wiadomo, czy rozwinięcie dziesiętne będzie skończone?

Skróć ułamek do postaci nieskracalnej i rozłóż mianownik na czynniki pierwsze. Jeśli są tam wyłącznie dwójki i piątki — rozwinięcie jest skończone. Cokolwiek innego (trójka, siódemka, jedenastka) oznacza rozwinięcie okresowe. Krok „skróć najpierw” jest obowiązkowy: $\frac{6}{30}$ wygląda na okresowe, a po skróceniu to $\frac{1}{5} = 0{,}2$ .

Dlaczego

\frac{1}{3}

nie da się zapisać dokładnie w postaci dziesiętnej?

Bo mianownik $3$ nie składa się z samych dwójek i piątek, więc nie da się go rozszerzyć do potęgi dziesiątki. Przy dzieleniu $1 : 3$ reszta wraca do $1$ i cały krok powtarza się bez końca. Wynik zapisujemy jako $0{,}(3)$ , a $0{,}33$ czy $0{,}333$ to tylko przybliżenia.

Co oznacza nawias w zapisie

0{,}8(3)

Nawias obejmuje okres, czyli fragment powtarzający się bez końca. $0{,}8(3)$ to $0{,}8333\ldots$ — ósemka pojawia się raz, a trójka wraca w kółko. To nie to samo co $0{,}(83)$ , które znaczy $0{,}83838383\ldots$

Jak zamienić liczbę dziesiętną na ułamek zwykły? Na przykład

0{,}25

Przeczytaj ją tak, jak się mówi: $0{,}25$ to „dwadzieścia pięć setnych”, czyli $\frac{25}{100}$ . Potem skróć: $\frac{25}{100} = \frac{1}{4}$ . Mianownik bierzesz z liczby miejsc po przecinku — jedno miejsce to $10$ , dwa to $100$ , trzy to $1000$ .

0{,}2

— jaki to ułamek zwykły?

Po przecinku stoi jedna cyfra, więc mianownikiem jest dziesiątka: $0{,}2 = \frac{2}{10}$ . Ten ułamek jeszcze się skraca — licznik i mianownik dzielą się przez dwa, więc wychodzi $\frac{1}{5}$ . Dokładnie tak samo zamienia się pozostałe popularne liczby, które warto po prostu zapamiętać: $0{,}4 = \frac{2}{5}$ , $0{,}5 = \frac{1}{2}$ , $0{,}75 = \frac{3}{4}$ oraz $0{,}125 = \frac{1}{8}$ . Pamiętaj o skracaniu — odpowiedź podaje się zawsze w postaci nieskracalnej, nawet jeśli polecenie o tym nie wspomina.

Czy wolno napisać

\textcolor{#9b1c14}{\frac{2}{3} = 0{,}67}

Nie — to są różne liczby. $\frac{2}{3}$ ma rozwinięcie nieskończone $0{,}(6)$ , a $0{,}67$ jest tylko jego zaokrągleniem do części setnych. Poprawny zapis to $\frac{2}{3} \approx 0{,}67$ . Znaku równości używaj tylko przy rozwinięciach skończonych.

Czytaj dalej

Działania na ułamkachHub działu: dodawanie, mnożenie, dzielenie i skracanie Ułamki dziesiętneCzym jest zapis z przecinkiem i co znaczy każde miejsce po nim Skracanie i rozszerzanie ułamkówObie czynności, na których stoi zamiana w każdą stronę Ułamki zwykłe od podstawLicznik, mianownik i postać nieskracalna — punkt wyjścia całej reguły Porównywanie ułamkówZamiana na dziesiętne to jeden ze sposobów porównania

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.