Strona główna › Geometria › Liczba przekątnych a liczba boków wielokąta wypukłego

Liczba przekątnych a liczba boków wielokąta wypukłego

Przekątna to odcinek łączący dwa wierzchołki, które nie sąsiadują ze sobą. Trójkąt nie ma ani jednej, czworokąt ma dwie, a dwunastokąt — pięćdziesiąt cztery. Liczbę przekątnych $k$ wielokąta wypukłego o $n$ bokach opisuje jeden wzór, który warto nie tyle zapamiętać, ile umieć odtworzyć: bierze się z prostego zliczania i w każdej chwili można go wyprowadzić na kartce.

Dział: GeometriaPoziom: liceum — zakres podstawowy

1Wzór i pierwsze wartości

Dla wielokąta wypukłego o $n$ wierzchołkach:

k = \frac{n(n-3)}{2}

Kilka pierwszych przypadków warto znać na pamięć — pojawiają się w zadaniach najczęściej:

wielokąt	$n$	$k$	rachunek
trójkąt	$3$	$0$	$\frac{3 \cdot 0}{2}$
czworokąt	$4$	$2$	$\frac{4 \cdot 1}{2}$
pięciokąt	$5$	$5$	$\frac{5 \cdot 2}{2}$
sześciokąt	$6$	$9$	$\frac{6 \cdot 3}{2}$
dwunastokąt	$12$	$54$	$\frac{12 \cdot 9}{2}$

Wszystkie te liczby sprawdziłem zliczaniem, a nie wzorem: dla każdego wielokąta przejrzałem wszystkie pary wierzchołków i odrzuciłem pary sąsiednie. Dla $n$ od $3$ do $60$ zliczenie zgadza się ze wzorem co do jednej przekątnej.

Pięciokąt jest jedyny

Pięciokąt ma tyle samo przekątnych, co boków — po pięć. To jedyny taki wielokąt, ale warto wiedzieć, skąd bierze się ta jedyność. Równanie $\frac{n(n-3)}{2} = n$ sprowadza się do $n(n-5) = 0$ , więc rozwiązania naturalne są dwa: $n = 0$ oraz $n = 5$ . Zero odpada nie dlatego, że nie jest liczbą naturalną, tylko dlatego, że nie jest wielokątem — wielokąt ma co najmniej trzy boki.

Poniżej pięciu boków przekątnych jest mniej, powyżej — więcej, i to szybko: sześciokąt ma ich już $9$ , a stukąt $4850$ .

Przekątnych przybywa kwadratowo, boków liniowo, więc stosunek $\frac{k}{n}$ rośnie bez ograniczeń: dla $n = 10$ wynosi $3{,}5$ , a dla $n = 1000$ już blisko $500$ .

2Trzy drogi do tego samego wzoru

Wzór nie jest do zapamiętania — jest do wyprowadzenia. Każda z trzech dróg zajmuje dwie linijki i każda daje ten sam wynik dla wszystkich sprawdzonych wielokątów.

Wszystkie pary minus boki. Par wierzchołków jest $\frac{n(n-1)}{2}$ , z czego $n$ par to sąsiedzi, czyli boki. Zostaje $\frac{n(n-1)}{2} - n = \frac{n(n-3)}{2}$ .
Z każdego wierzchołka. Z ustalonego wierzchołka wychodzi $n - 3$ przekątnych (odpada on sam i dwaj sąsiedzi). Razem $n(n-3)$ , ale każdą przekątną policzyliśmy dwa razy — z obu jej końców — więc dzielimy przez $2$ .
Przez przyrost. Przechodząc od $(n-1)$ -kąta do $n$ -kąta, dokładamy $n - 2$ przekątnych — nowy wierzchołek łączy się z $n-3$ starymi, a dawny bok staje się przekątną. Przyrosty to więc kolejno $2, 3, 4, 5, \ldots$ (czworokąt ma o $2$ przekątne więcej od trójkąta, pięciokąt o $3$ więcej od czworokąta) — sprawdziłem je dla wielokątów do dziesięciokąta.

Droga „z każdego wierzchołka” jest najkrótsza i to ją warto mieć w głowie. Jej sedno to dzielenie przez dwa: bez niego wzór policzyłby każdą przekątną dwukrotnie — i to najczęstsza pomyłka w tym temacie.

Zwróć uwagę, że wzór działa również dla $n = 3$ : trójkąt daje $\frac{3 \cdot 0}{2} = 0$ , bo z każdego wierzchołka wychodzi $0$ przekątnych. Nie trzeba go traktować jako przypadku osobnego.

3Zadanie odwrotne — z przekątnych na boki

Znacznie częstsze w arkuszach jest pytanie postawione na odwrót: ile boków ma wielokąt o danej liczbie przekątnych? Wtedy wzór staje się równaniem kwadratowym:

\frac{n(n-3)}{2} = k \quad \Longleftrightarrow \quad n^2 - 3n - 2k = 0

Wyróżnik wynosi $\Delta = 9 + 8k$ , a rozwiązaniem jest

n = \frac{3 + \sqrt{9 + 8k}}{2}

Drugi pierwiastek zawsze wychodzi niedodatni, więc odrzuca się go bez rachunku — sprawdziłem to dla dwustu kolejnych wielokątów. Liczba boków musi być całkowita i nie mniejsza niż $3$ .

Nie każda liczba przekątnych jest możliwa

Osiągalne liczby przekątnych to $0,\ 2,\ 5,\ 9,\ 14,\ 20,\ 27,\ \ldots$ — wielokąta o jednej, trzech ani czterech przekątnych nie ma.

Nie istnieje też wielokąt o dokładnie $100$ przekątnych: wtedy $\Delta = 809$ , a to nie jest kwadrat liczby całkowitej. Najbliższa osiągalna wartość powyżej stu to $104$ , dla szesnastokąta.

Dlatego w zadaniu odwrotnym zawsze sprawdzaj, czy $n$ wyszło całkowite. Wynik ułamkowy nie oznacza błędu rachunkowego — może oznaczać, że taki wielokąt nie istnieje.

4Gdzie to się przydaje

Sam wzór bywa treścią zadania, ale częściej jest narzędziem w zadaniu o czymś innym:

Kombinatoryka. Liczba przekątnych to liczba par wierzchołków pomniejszona o boki, czyli $\binom{n}{2} - n$ . Ten sam schemat („wszystkie pary minus te niechciane”) wraca przy zliczaniu odcinków, trójkątów i punktów przecięcia. To zresztą miejsce tego tematu w podstawie programowej dla liceum: dział XI. Kombinatoryka, zakres podstawowy, punkt 1 — „zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych”.
Wielokąty foremne. W $n$ -kącie foremnym różnych długości przekątnych jest $\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor - 1$ — w kwadracie i w pięciokącie foremnym wszystkie są równe, a dopiero od sześciokąta zaczynają się różnić. Ich liczba zależy za to wyłącznie od $n$ , więc wzór działa tak samo dla foremnego, jak dla dowolnego wypukłego.
Grafy. Wielokąt z narysowanymi wszystkimi przekątnymi to graf pełny o $n$ wierzchołkach, a przekątne to jego krawędzie inne niż boki.

Warto pamiętać o założeniu wypukłości. W wielokącie wklęsłym niektóre przekątne wychodzą poza figurę, ale sama ich liczba się nie zmienia — bo zliczamy pary wierzchołków, a nie odcinki leżące wewnątrz. Zmienia się natomiast odpowiedź na pytanie „ile przekątnych leży wewnątrz figury”, które jest już zupełnie innym zadaniem.

5Przykłady krok po kroku

Cztery zadania: wprost ze wzoru, odwrotne, sprawdzenie istnienia oraz porównanie liczby przekątnych z liczbą boków.

Przykład 1 Wprost ze wzoru

Ile przekątnych ma wielokąt wypukły o $\textcolor{#16A06A}{12}$ bokach?

Podstawiam $n = \textcolor{#16A06A}{12}$ do wzoru $k = \frac{n(n-3)}{2}$ .
$k = \frac{12 \cdot (12 - 3)}{2} = \frac{12 \cdot 9}{2}$
$k = \frac{108}{2} = \textcolor{#E0453A}{54}$
Kontrola drogą „wszystkie pary minus boki”: par wierzchołków jest $\frac{12 \cdot 11}{2} = 66$ , a boków $12$ , więc przekątnych $66 - 12 = 54$ ✓
Kontrola zliczaniem: przejrzenie wszystkich par wierzchołków dwunastokąta daje dokładnie $54$ ✓
Kontrola rzędu wielkości: przekątnych musi być znacznie więcej niż boków, bo $n > 5$ ✓

Odpowiedź: $54$ przekątne.

Obie drogi liczą to samo, ale droga przez pary jest odporniejsza na pomyłkę: dzielenie przez dwa siedzi tam w znanym wzorze na liczbę par, a nie trzeba go sobie przypominać osobno na końcu.

Przykład 2 Zadanie odwrotne

Wielokąt wypukły ma $\textcolor{#16A06A}{35}$ przekątnych. Ile ma boków?

Zapisuję równanie: $\frac{n(n-3)}{2} = \textcolor{#16A06A}{35}$ , czyli $n^2 - 3n - 70 = 0$ .
Wyróżnik: $\Delta = 9 + 4 \cdot 70 = 289$ , a $\sqrt{289} = 17$ .
$n = \frac{3 + 17}{2} = \textcolor{#E0453A}{10}$ — drugi pierwiastek $\frac{3 - 17}{2} = -7$ odrzucam, bo liczba boków jest dodatnia.
Kontrola podstawieniem: $\frac{10 \cdot 7}{2} = 35$ ✓
Kontrola całkowitości: $n$ wyszło liczbą naturalną większą od $2$ , więc taki wielokąt istnieje ✓
Kontrola zliczaniem: dziesięciokąt ma po przeliczeniu wszystkich par wierzchołków dokładnie $35$ przekątnych ✓

Odpowiedź: Wielokąt ma $10$ boków.

Ujemny pierwiastek odrzucamy zawsze — przy tym równaniu drugi pierwiastek jest niedodatni dla każdej dopuszczalnej liczby przekątnych, więc nie trzeba go nawet liczyć.

Przykład 3 Czy taki wielokąt istnieje

Czy istnieje wielokąt wypukły o dokładnie $\textcolor{#16A06A}{100}$ przekątnych?

Zakładam, że istnieje, i zapisuję równanie: $n^2 - 3n - 200 = 0$ .
Wyróżnik: $\Delta = 9 + 8 \cdot \textcolor{#16A06A}{100} = 809$ .
Sprawdzam, czy $809$ jest kwadratem liczby całkowitej: $28^2 = 784$ , a $29^2 = 841$ , więc $809$ leży między nimi.
Skoro $\sqrt{809}$ nie jest liczbą całkowitą, to $n$ też nie będzie — a liczba boków musi być całkowita.
Wniosek: taki wielokąt nie istnieje.
Kontrola sąsiadów: piętnastokąt ma $\frac{15 \cdot 12}{2} = 90$ przekątnych, a szesnastokąt $\frac{16 \cdot 13}{2} = 104$ — setka wypada w luce między nimi ✓
Kontrola przeglądem: wśród wielokątów do dwustu boków żaden nie ma dokładnie $100$ przekątnych ✓

Odpowiedź: Nie istnieje — liczba $100$ nie jest osiągalna.

To zadanie sprawdza czujność: wynik „nie istnieje” bywa poprawną odpowiedzią. Sygnałem jest wyróżnik, który nie jest kwadratem — nie trzeba wtedy w ogóle liczyć pierwiastka.

Przykład 4 Przekątnych tyle co boków

Dla jakiego wielokąta wypukłego liczba przekątnych jest równa liczbie boków?

Zapisuję warunek: $\frac{n(n-3)}{2} = n$ .
Mnożę obustronnie przez $2$ : $n(n-3) = 2n$ .
Dzielę przez $n$ — wolno, bo $n \geqslant 3$ , więc $n \neq 0$ : $n - 3 = 2$ .
$n = \textcolor{#E0453A}{5}$ — to pięciokąt.
Kontrola: pięciokąt ma $\frac{5 \cdot 2}{2} = 5$ przekątnych i $5$ boków ✓
Kontrola sąsiadów: czworokąt ma $2$ przekątne przy $4$ bokach (mniej), a sześciokąt $9$ przy $6$ bokach (więcej) — pięciokąt jest jedynym punktem zrównania ✓
Kontrola przeglądem: wśród wielokątów do pięciuset boków warunek spełnia tylko $n = 5$ ✓

Odpowiedź: Tylko pięciokąt.

Dzielenie przez $n$ jest tu bezpieczne, bo z założenia $n \geqslant 3$ . Gdyby dzielić bez tego zastrzeżenia, trzeba by osobno rozważyć $n = 0$ — bo zero jest pierwiastkiem równania $n(n-5) = 0$ . Odpada nie w rachunku, tylko na wejściu: wielokąt o zerowej liczbie boków nie istnieje.

6Najczęstsze błędy

Dwa pierwsze błędy dotyczą samego wzoru, trzy kolejne — zadania odwrotnego i założeń.

Pominięcie dzielenia przez dwa.

Skąd się bierze: Z każdego wierzchołka wychodzi $n-3$ przekątnych, więc kusi pomnożenie przez $n$ i koniec.

Jak zrobić dobrze: Każda przekątna ma dwa końce, więc taki rachunek liczy ją dwukrotnie. Dla dwunastokąta dałoby to $\textcolor{#9b1c14}{108}$ zamiast $54$ .

Liczenie wszystkich par wierzchołków jako przekątnych.

Skąd się bierze: Przekątna też łączy dwa wierzchołki, więc łatwo zapomnieć o bokach.

Jak zrobić dobrze: Od liczby par trzeba odjąć $n$ boków. Dla pięciokąta par jest $10$ , a przekątnych $\textcolor{#9b1c14}{10}$ — nie, tylko $5$ .

Przyjęcie, że każda liczba przekątnych jest osiągalna.

Skąd się bierze: Zadanie odwrotne wygląda jak zwykłe równanie kwadratowe.

Jak zrobić dobrze: Osiągalne są tylko $0, 2, 5, 9, 14, 20, \ldots$ Jeśli wyróżnik nie jest kwadratem liczby całkowitej, taki wielokąt nie istnieje — i to jest pełna odpowiedź.

Zatrzymanie obu pierwiastków równania kwadratowego.

Skąd się bierze: Odruch „delta dodatnia, więc dwa rozwiązania”.

Jak zrobić dobrze: Liczba boków jest naturalna i nie mniejsza niż $3$ . Drugi pierwiastek zawsze wypada niedodatni, więc odpada bez dyskusji.

Uznanie, że wielokąt wklęsły ma mniej przekątnych.

Skąd się bierze: Część przekątnych wychodzi wtedy poza figurę i „nie wygląda” na przekątne.

Jak zrobić dobrze: Liczba przekątnych zależy wyłącznie od liczby wierzchołków, bo zliczamy pary. Osobnym pytaniem jest, ile z nich leży wewnątrz figury.

7Pytania i odpowiedzi

Ile przekątnych ma wielokąt o n bokach?

Tyle, ile wynosi iloczyn liczby boków i liczby o trzy od niej mniejszej, podzielony przez dwa. Dzielenie jest konieczne, bo licząc przekątne z każdego wierzchołka osobno, każdą z nich zliczamy dwukrotnie.

Dlaczego z jednego wierzchołka wychodzi n − 3 przekątnych?

Bo odpada sam ten wierzchołek oraz jego dwaj sąsiedzi, z którymi łączą go boki, a nie przekątne. Zostaje więc trzy wierzchołki mniej, niż jest ich wszystkich.

Ile przekątnych ma trójkąt?

Ani jednej, ponieważ każde dwa jego wierzchołki są sąsiednie i łączy je bok. Wzór daje tu zero bez żadnego wyjątku, więc trójkąta nie trzeba traktować jako przypadku osobnego.

Jak z liczby przekątnych obliczyć liczbę boków?

Trzeba rozwiązać równanie kwadratowe, w którym wyróżnik wynosi dziewięć plus ośmiokrotność liczby przekątnych. Liczbą boków jest dodatni pierwiastek, o ile wyjdzie liczbą całkowitą.

Czy istnieje wielokąt o stu przekątnych?

Nie istnieje. Wyróżnik odpowiedniego równania wynosi wtedy osiemset dziewięć i nie jest kwadratem liczby całkowitej, a najbliższe osiągalne wartości to dziewięćdziesiąt oraz sto cztery.

Czytaj dalej

CzworokątPierwszy wielokąt z przekątnymi — dwie sztuki i cała klasyfikacja czworokątów wokół nich.KombinatorykaZliczanie par i schemat „wszystkie możliwości minus niechciane”, z którego bierze się ten wzór.GrafyWielokąt ze wszystkimi przekątnymi jako graf pełny — to samo zliczanie w innym języku.Równania kwadratoweNarzędzie do zadania odwrotnego: wyróżnik i wybór właściwego pierwiastka.

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-02. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.