Strona główna › Statystyka i prawdopodobieństwo

Statystyka — mediana, dominanta i czytanie danych

Statystyka zaczyna się od pytania: jak opisać wiele liczb jedną liczbą. Odpowiedzi są trzy — średnia, mediana i dominanta — i każda mówi co innego. Ta strona pokazuje, kiedy która jest uczciwa, a kiedy wprowadza w błąd, i jak czytać wykresy, żeby nie dać się nabrać.

Dział: Statystyka i prawdopodobieństwoPoziom: klasa 6 – matura

1Po co opisywać dane jedną liczbą

Gdy zbiór liczb jest duży, nie da się go ogarnąć wzrokiem. Zarobki tysiąca osób to tysiąc liczb, a chcemy wiedzieć jedno: „ile się tu zarabia”.

Miary tendencji centralnej odpowiadają właśnie na to pytanie — próbują wskazać wartość typową dla zbioru.

Problem w tym, że „typowa” można rozumieć na trzy sposoby, i stąd trzy różne miary. Wybór między nimi nie jest techniczny, tylko merytoryczny.

Statystyka opisowa na tym poziomie sprowadza się do umiejętności policzenia tych trzech liczb i — co ważniejsze — do rozumienia, którą z nich warto podać w danej sytuacji.

Zbiór danych trzeba najpierw skądś wziąć. W szkole są to zwykle tabele i diagramy, więc pierwszą umiejętnością jest ich rzetelne odczytanie.

2Trzy miary: średnia, mediana, dominanta

Średnia arytmetyczna to suma podzielona przez liczbę składników. Uwzględnia każdą wartość, więc pojedyncza liczba skrajna potrafi ją mocno przesunąć.

Mediana to wartość środkowa po uporządkowaniu danych od najmniejszej do największej. Przy parzystej liczbie danych bierze się średnią dwóch środkowych.

Dominanta (inaczej moda) to wartość występująca najczęściej. Zbiór może mieć kilka dominant albo nie mieć żadnej.

Każda odpowiada na inne pytanie. Średnia: „ile przypadałoby na każdego po równym podziale”. Mediana: „co ma ten pośrodku”. Dominanta: „co się zdarza najczęściej”.

Mediana i dominanta mają jedną przewagę nad średnią: da się je wyznaczyć także dla danych nieliczbowych albo uporządkowanych opisowo — na przykład dla ocen szkolnych czy rozmiarów odzieży.

3Kiedy średnia myli

To najważniejsza rzecz na tej stronie i warto ją pokazać na konkretnej sytuacji.

W firmie dziewięć osób zarabia po $4000$ zł, a właściciel $50\,000$ zł. Średnia wynosi $8600$ zł — i nie opisuje nikogo. Dziewięć osób zarabia dużo mniej, jedna dużo więcej.

Mediana w tym zbiorze wynosi $4000$ zł i jest znacznie uczciwszym opisem tego, ile się tam zarabia.

Reguła praktyczna: im bardziej skrajne wartości w zbiorze, tym bardziej mediana jest wiarygodna od średniej. Dlatego przy zarobkach, cenach mieszkań i czasach oczekiwania podaje się właśnie medianę.

Odwrotnie przy danych skupionych wokół jednej wartości — wtedy średnia jest wygodniejsza i bardziej informacyjna, bo uwzględnia wszystkie liczby, a nie tylko środkową.

Warto znać oba wskaźniki jednocześnie. Duża różnica między średnią a medianą jest sama w sobie informacją: mówi, że w zbiorze siedzą wartości odstające.

4Jak czytać diagramy

Zanim policzy się cokolwiek, dane trzeba odczytać — a to nie jest trywialne.

• diagram słupkowy — porównywanie wielkości; najważniejsza jest podziałka osi pionowej,
• diagram kołowy — podział całości na części; cały okrąg to zawsze sto procent,
• wykres liniowy — zmiana w czasie; ważny jest kierunek nachylenia,
• tabela — dane surowe; uwaga na wiersze podsumowań, żeby nie policzyć ich dwa razy.

Pierwsza czynność przy każdym wykresie: sprawdzić opisy osi i jednostki. Ten sam słupek może oznaczać tysiąc złotych albo milion.

Druga: sprawdzić, czy oś pionowa zaczyna się od zera. Jeśli nie, różnice między słupkami wyglądają na większe, niż są w rzeczywistości.

Przy diagramie kołowym warto pamiętać, że wycinek o kącie $90°$ to zawsze ćwiartka całości, niezależnie od tego, jakie liczby opisują wykres.

5Wykres, który kłamie

Umiejętność rozpoznania nieuczciwego wykresu jest praktyczniejsza niż liczenie mediany — i warto ją mieć.

Ucięta oś pionowa. Gdy oś zaczyna się od dziewięćdziesięciu zamiast od zera, wzrost z $95$ do $97$ wygląda jak podwojenie. Liczby są prawdziwe, wrażenie fałszywe.

Nierówne odstępy na osi poziomej. Lata $2010$, $2015$, $2016$ rozmieszczone równomiernie zniekształcają tempo zmian.

Trójwymiarowe słupki i wycinki. Perspektywa sprawia, że elementy z przodu wydają się większe, choć opisane są tymi samymi liczbami.

Dobór zakresu. Pokazanie tylko tego fragmentu danych, który potwierdza tezę, i pominięcie reszty.

Wspólna obrona przed wszystkimi tymi chwytami jest jedna: czytaj liczby, nie kształty. Wykres ma pomagać w zobaczeniu danych, a nie zastępować ich odczytanie.

6W której klasie się to pojawia

Statystyka opisowa wchodzi późno i w szkole podstawowej jest stosunkowo skromna.

• klasa 4–6 — odczytywanie danych z tabel i diagramów, proste zestawienia,
• klasa 7 — średnia arytmetyczna, diagramy procentowe,
• klasa 8 — mediana, porównywanie zestawów danych,
• liceum — dominanta, odchylenie standardowe, wariancja, analiza rozkładów.

Umiejętność czytania wykresów przydaje się jednak znacznie wcześniej i znacznie szerzej niż na lekcjach matematyki — na geografii, biologii i w codziennym czytaniu wiadomości.

To także dział, w którym najłatwiej pokazać, że matematyka bywa narzędziem perswazji, a nie tylko liczenia.

7Ćwicz dalej

Materiał jest rozdzielony według poziomu:

• Egzamin ósmoklasisty — zadania z odczytywania danych oraz z obliczania średniej,
• Matura — odchylenie standardowe i analiza zestawów danych,
• Karta pracy PDF — osobnej karty do tego działu jeszcze nie ma; gotowe karty (m.in. o twierdzeniu Pitagorasa, kątach, wyrażeniach algebraicznych i prawdopodobieństwie) zebrane są na stronie kart pracy.

Test gotowości: dziewięć osób zarabia po cztery tysiące, jedna pięćdziesiąt tysięcy. Którą miarę podasz, żeby uczciwie opisać zarobki w tej firmie? Jeśli odpowiadasz „medianę”, materiał tej strony jest opanowany.

8Wszystkie tematy w tym dziale

Piętnaście stron. Dział łączy dwie rzeczy, które w szkole idą osobno: opis danych (średnie, rozrzut) oraz rachunek prawdopodobieństwa wraz z kombinatoryką.

9Przykłady krok po kroku

Trzy własne przykłady: wyznaczenie trzech miar dla jednego zbioru, mediana przy parzystej liczbie danych i wpływ wartości skrajnej.

10Najczęstsze błędy

Cztery błędy typowe dla statystyki. Pierwszy jest techniczny, trzy kolejne dotyczą interpretacji.

11Pytania i odpowiedzi

Czytaj dalej

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-30. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.