Strona główna › Statystyka i prawdopodobieństwo › Odchylenie standardowe

Odchylenie standardowe

Q: Czy odchylenie standardowe jest na maturze od 2025 roku?

Nie. Podstawa programowa obowiązująca od 2025 roku wymienia w statystyce tylko średnią arytmetyczną, średnią ważoną, medianę i dominantę. Słowo „odchylenie” nie pada ani razu w wymaganiach z matematyki. Wzór został natomiast w karcie wzorów CKE (dział 15) — karta bywa szersza niż wymagania, więc jego obecność na stoliku nie oznacza, że temat jest sprawdzany.

Q: Po co więc się go uczyć?

Bo występuje w zbiorach zadań wydanych wcześniej, w starszych arkuszach maturalnych używanych do powtórek oraz na studiach, gdzie jest podstawowym narzędziem opisu danych. Rozumienie pojęcia przydaje się też przy czytaniu wyników badań.

Q: Czym różni się wariancja od odchylenia standardowego?

Wariancja to średnia kwadratów odchyleń, a odchylenie standardowe to jej pierwiastek. Ta sama informacja w dwóch skalach — ale tylko odchylenie ma jednostkę zgodną z danymi, więc to je się interpretuje.

Q: Czy odchylenie standardowe może być większe od średniej?

Tak, i zdarza się to przy danych bardzo rozproszonych albo zawierających wartość odstającą. Nie ma reguły wiążącej te dwie liczby — mierzą różne rzeczy i porównuje się je tylko pomocniczo.

Q: Kiedy odchylenie wynosi zero?

Dokładnie wtedy, gdy wszystkie dane są identyczne. Każde, choćby najmniejsze zróżnicowanie daje wynik dodatni, bo pod pierwiastkiem pojawia się wtedy liczba większa od zera.

Odchylenie standardowe mierzy rozrzut danych wokół średniej — mówi, czy wyniki skupiają się blisko niej, czy są rozstrzelone. Jest jedną z pierwszych rzeczy, o które pyta się w statystyce, i jednocześnie jedną z niewielu, które wypadły z podstawy programowej obowiązującej od 2025 roku. Zaczynam więc od tego, bo to pytanie zadaje sobie każdy, kto trafia tu ze starszego zbioru zadań.

Dział: Statystyka i prawdopodobieństwoPoziom: liceum — poza podstawą od 2025

1Czy to jest na maturze — sprawdzone w podstawie i w karcie wzorów

Zagadnienie dodatkowe — poza podstawą programową (SP/LO 2025)

Ten temat nie występuje w podstawie programowej obowiązującej od 2025 roku — ani w zakresie podstawowym, ani w rozszerzonym. Na maturze nie zostanie sprawdzony.

Różni się jednak od reszty działu Zagadnienia dodatkowe jedną rzeczą: to nie jest materiał akademicki, tylko temat szkolny, który z podstawy wypadł. Dlatego strona stoi dalej w dziale Statystyka — tam go szukają ci, którzy trafiają na niego w starszych zbiorach zadań.

Krótka odpowiedź: w podstawie programowej od 2025 roku odchylenia standardowego nie ma. Ani w zakresie podstawowym, ani w rozszerzonym.

Cały dział statystyczny liczy w zakresie podstawowym dwa punkty:

Dział XII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Zakres podstawowy: 1) oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym; 2) oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną, znajduje medianę i dominantę.

Zakres rozszerzony: 1) oblicza prawdopodobieństwo warunkowe i stosuje wzór Bayesa, stosuje twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym; 2) stosuje schemat Bernoullego.

Słowo „odchylenie” nie pada w wymaganiach z matematyki ani razu — ani w tym dziale, ani w części „Warunki i sposób realizacji”, gdzie komentowane są zagadnienia wymagające omówienia.

I tu rzecz, która potrafi zmylić: wzór na odchylenie standardowe nadal stoi w karcie wzorów CKE — dział 15, pozycja „Wariancja i odchylenie standardowe”, wraz z definicją wariancji i zdaniem, że odchylenie jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji. Karta bywa szersza niż wymagania: sam fakt, że wzór leży na stoliku, nie znaczy, że zadanie z niego może się pojawić. Zakres egzaminu wyznaczają wymagania, nie spis wzorów.

Nie znaczy to, że temat jest bezużyteczny. Odchylenie standardowe spotkasz:

w zbiorach zadań wydanych przed 2025 rokiem — było w poprzedniej podstawie i zadania z nim krążą dalej;
w arkuszach maturalnych z lat wcześniejszych, po które sięga się przy powtórkach;
na studiach — w statystyce, ekonomii, psychologii i naukach przyrodniczych jest podstawowym narzędziem;
w opisach badań i sondaży, gdzie pojawia się obok średniej.

Jeśli więc przygotowujesz się do matury od 2025 roku, tego wzoru nie musisz znać na pamięć — ale warto rozumieć, co mierzy, bo pojęcie „rozrzutu danych” bywa potrzebne przy interpretacji wykresów i tabel.

2Po co osobna miara rozrzutu

Sama średnia opisuje dane bardzo niedokładnie. Dwa zestawy mogą mieć identyczną średnią i nie mieć ze sobą nic wspólnego:

zestaw	średnia	jak wyglądają dane
$5,\ 5,\ 5,\ 5$	$5$	wszystkie identyczne, zero rozrzutu
$2,\ 4,\ 6,\ 8$	$5$	rozstrzelone równomiernie wokół piątki

Ta sama średnia, a opis zjawiska zupełnie inny — i właśnie po to istnieje druga liczba. Odchylenie standardowe pierwszego zestawu wynosi $0$ , drugiego $\sqrt{5}$ .

Miary środka i miary rozrzutu odpowiadają na dwa różne pytania: gdzie leżą dane i jak bardzo są rozproszone. Pełny opis wymaga obu. O pierwszej grupie piszę przy średniej ważonej i medianie.

Najprostszą miarą rozrzutu jest rozstęp — różnica między największą a najmniejszą wartością. Jest łatwy, ale patrzy tylko na dwie skrajne liczby i nie widzi tego, co dzieje się w środku. Odchylenie standardowe bierze pod uwagę każdą daną.

3Jak się je liczy

Procedura ma cztery kroki i każdy da się uzasadnić:

Policz średnią arytmetyczną danych.
Dla każdej danej policz odchylenie od średniej i podnieś je do kwadratu.
Policz średnią tych kwadratów — to jest wariancja.
Wyciągnij pierwiastek — to jest odchylenie standardowe.

\sigma = \sqrt{\frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \ldots + (x_n - \bar{x})^2}{n}}

Dwa kroki wyglądają na sztuczne i oba mają powód.

Dlaczego kwadraty i dlaczego pierwiastek

Kwadraty — bo same odchylenia zawsze sumują się do zera: te powyżej średniej znoszą się z tymi poniżej. Ta własność jest opisana przy średniej arytmetycznej i to właśnie ona wymusza podniesienie do kwadratu. Bez tego miara rozrzutu wynosiłaby zero dla każdego zestawu danych.

Pierwiastek — bo kwadraty zmieniają jednostkę. Jeśli dane są w złotówkach, wariancja wychodzi w „złotówkach kwadratowych”, czego nie da się zinterpretować. Pierwiastek przywraca jednostkę danych.

Dlatego odchylenie standardowe można porównywać ze średnią, a wariancji — nie.

Wariancja i odchylenie standardowe to więc ta sama informacja w dwóch skalach: wariancja jest kwadratem odchylenia. Zadania pytają zwykle o odchylenie, bo to ono ma sens jednostkowy.

4Co je zmienia, a co nie

Dwie własności warto znać, bo pojawiają się w zadaniach typu prawda–fałsz i pozwalają odpowiedzieć bez liczenia.

Dodanie tej samej liczby do wszystkich danych nie zmienia odchylenia. Cały zestaw przesuwa się, ale odległości między danymi zostają te same.
Pomnożenie wszystkich danych przez liczbę mnoży odchylenie przez jej wartość bezwzględną. Rozciągnięcie danych dwukrotnie podwaja rozrzut.

Pierwsza własność bywa zaskoczeniem, bo średnia w takiej sytuacji się zmienia — rośnie o dodaną liczbę. Miara środka reaguje na przesunięcie, miara rozrzutu nie. To najkrótszy sposób, żeby zapamiętać, że opisują różne rzeczy.

Trzecia rzecz, o którą pytają zadania: odchylenie standardowe nigdy nie jest ujemne. Wynika to wprost ze wzoru — pod pierwiastkiem stoi średnia kwadratów, która ujemna być nie może. Wynosi zero dokładnie wtedy, gdy wszystkie dane są identyczne.

Wrażliwość na wartości odstające jest za to duża, większa niż przy średniej — bo odchylenia podnosimy do kwadratu, więc jedna daleka liczba wpływa na wynik nieproporcjonalnie mocno. Z tego samego powodu przy danych z „wyskokiem” lepiej opisuje je mediana niż para średnia–odchylenie.

5Przykłady krok po kroku

Cztery zadania: porównanie dwóch zestawów, pełny rachunek, wpływ wartości odstającej i przesunięcie danych.

Przykład 1 Ta sama średnia, inny rozrzut

Oblicz odchylenie standardowe zestawów: (a) $5,\ 5,\ 5,\ 5$ oraz (b) $2,\ 4,\ 6,\ 8$ .

(a) Średnia wynosi $5$ , a każde odchylenie od niej jest zerem. Średnia kwadratów to $0$ , pierwiastek z zera to $0$ .
(b) Średnia: $\frac{2+4+6+8}{4} = 5$ — taka sama jak w (a).
Odchylenia: $-3$ , $-1$ , $1$ , $3$ . Kwadraty: $9$ , $1$ , $1$ , $9$ .
Wariancja: $\frac{9+1+1+9}{4} = \frac{20}{4} = 5$ .
Odchylenie: $\sqrt{5}$ — i w tej postaci je zostawiamy.
Kontrola sumy odchyleń: $-3 - 1 + 1 + 3 = 0$ ✓ — tak być musi, i dlatego liczymy kwadraty

Odpowiedź: (a) $\sigma = 0$ ; (b) $\sigma = \sqrt{5}$

Odchylenie równe zero oznacza, że wszystkie dane są identyczne — i jest to jedyna sytuacja, w której tak wychodzi. Każde zróżnicowanie danych daje wynik dodatni.

Przykład 2 Pełny rachunek

Oblicz odchylenie standardowe zestawu: $3,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11$ .

Średnia: $\frac{3+5+7+9+11}{5} = \frac{35}{5} = 7$ .
Odchylenia: $-4$ , $-2$ , $0$ , $2$ , $4$ .
Kwadraty: $16$ , $4$ , $0$ , $4$ , $16$ ; ich suma to $40$ .
Wariancja: $\frac{40}{5} = 8$ .
Odchylenie: $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ .
Kontrola zakresu: rozstęp wynosi $11 - 3 = 8$ , a odchylenie musi być od niego wyraźnie mniejsze — $2\sqrt{2} < 8$ , bo $\sqrt{2} < 4$ ✓
Kontrola sumy odchyleń: $-4 - 2 + 0 + 2 + 4 = 0$ ✓

Odpowiedź: $\sigma = 2\sqrt{2}$

Warto zostawić wynik w postaci $2\sqrt{2}$ , jeśli zadanie nie każe zaokrąglać. Pierwiastek z liczby całkowitej rzadko daje ładny wynik dziesiętny, a postać dokładna jest zawsze poprawna.

Przykład 3 Jedna wartość odstająca

Oblicz odchylenie standardowe zestawu $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 40$ i porównaj je z rozrzutem czterech pierwszych liczb.

Średnia: $\frac{1+2+3+4+40}{5} = \frac{50}{5} = 10$ .
Odchylenia: $-9$ , $-8$ , $-7$ , $-6$ , $30$ . Kwadraty: $81$ , $64$ , $49$ , $36$ , $900$ .
Suma kwadratów: $1130$ , więc wariancja to $\frac{1130}{5} = 226$ .
Odchylenie: $\sqrt{226}$ .
Porównanie: dla samych liczb $1, 2, 3, 4$ średnia wynosi $2{,}5$ , a wariancja $\frac{5}{4}$ , więc odchylenie wynosi $\frac{\sqrt{5}}{2}$ .
Kontrola sensu: jedna liczba podniosła odchylenie ponad trzynastokrotnie, choć danych przybyło tylko o jedną ✓

Odpowiedź: $\sigma = \sqrt{226}$ wobec $\frac{\sqrt{5}}{2}$ bez wartości odstającej

Kwadrat sprawia, że odchylenie $30$ waży $900$ — czyli więcej niż wszystkie pozostałe razem wzięte. Stąd wniosek praktyczny: przy danych z wyskokiem para średnia–odchylenie opisuje zjawisko gorzej niż mediana.

Przykład 4 Przesunięcie danych

Do każdej liczby z zestawu $3,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11$ dodano $10$ . Jak zmieniły się średnia i odchylenie standardowe?

Nowy zestaw: $13,\ 15,\ 17,\ 19,\ 21$ .
Nowa średnia: $\frac{85}{5} = 17$ , czyli o $10$ większa niż poprzednio.
Odchylenia od nowej średniej: $-4$ , $-2$ , $0$ , $2$ , $4$ — dokładnie te same co przed przesunięciem.
Skoro odchylenia są te same, to i wariancja, i odchylenie standardowe się nie zmieniły: $\sigma = 2\sqrt{2}$ .
Kontrola rachunkiem: $\frac{16+4+0+4+16}{5} = 8$ , a $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ ✓
Kontrola drugiej własności: po pomnożeniu pierwotnych danych przez $3$ zestaw to $9, 15, 21, 27, 33$ , średnia $21$ , odchylenia $-12, -6, 0, 6, 12$ , a odchylenie standardowe $\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ — czyli trzy razy większe ✓

Odpowiedź: Średnia wzrosła o $10$ ; odchylenie standardowe się nie zmieniło.

To najkrótszy dowód na to, że te dwie liczby mierzą co innego. Przesunięcie zmienia położenie danych, ale nie odległości między nimi — a odchylenie widzi wyłącznie odległości.

6Najczęstsze błędy

Pierwsze trzy błędy dotyczą rachunku, dwa ostatnie — interpretacji.

Uśrednianie odchyleń bez podnoszenia do kwadratu.

Skąd się bierze: Wydaje się, że „średnie odchylenie” to naturalna miara rozrzutu.

Jak zrobić dobrze: Suma odchyleń od średniej zawsze wynosi zero, więc taka miara dawałaby zero dla każdych danych. Dlatego najpierw kwadraty, potem uśrednianie.

Zatrzymanie się na wariancji.

Skąd się bierze: Po podzieleniu sumy kwadratów przez liczbę danych rachunek wygląda na skończony.

Jak zrobić dobrze: Wariancja to jeszcze nie odchylenie — brakuje pierwiastka. Sprawdź jednostki: jeśli dane były w złotówkach, wynik też musi być w złotówkach.

Dzielenie sumy kwadratów przez liczbę danych pomniejszoną o jeden.

Skąd się bierze: W statystyce akademickiej i w kalkulatorach bywa wariant z $n-1$ .

Jak zrobić dobrze: W szkole dzielimy przez $n$ . Wariant z $n-1$ dotyczy próby losowej z większej populacji i w zadaniach maturalnych nie występuje.

Uznanie, że przesunięcie danych zmienia odchylenie.

Skąd się bierze: Średnia się zmienia, więc odruchowo zakłada się, że rozrzut też.

Jak zrobić dobrze: Dodanie stałej przesuwa wszystkie dane jednakowo, więc odległości między nimi zostają. Odchylenie się nie zmienia — zmienia je dopiero mnożenie.

Podanie ujemnego odchylenia standardowego.

Skąd się bierze: Przy rachunku pojawiają się ujemne odchylenia od średniej i znak bywa przenoszony na wynik.

Jak zrobić dobrze: Pod pierwiastkiem stoi średnia kwadratów, więc wynik jest zawsze nieujemny. Zero oznacza dane identyczne.

7Pytania i odpowiedzi

Czy odchylenie standardowe jest na maturze od 2025 roku?

Nie. Podstawa programowa obowiązująca od 2025 roku wymienia w statystyce tylko średnią arytmetyczną, średnią ważoną, medianę i dominantę. Słowo „odchylenie” nie pada ani razu w wymaganiach z matematyki. Wzór został natomiast w karcie wzorów CKE (dział 15) — karta bywa szersza niż wymagania, więc jego obecność na stoliku nie oznacza, że temat jest sprawdzany.

Po co więc się go uczyć?

Bo występuje w zbiorach zadań wydanych wcześniej, w starszych arkuszach maturalnych używanych do powtórek oraz na studiach, gdzie jest podstawowym narzędziem opisu danych. Rozumienie pojęcia przydaje się też przy czytaniu wyników badań.

Czym różni się wariancja od odchylenia standardowego?

Wariancja to średnia kwadratów odchyleń, a odchylenie standardowe to jej pierwiastek. Ta sama informacja w dwóch skalach — ale tylko odchylenie ma jednostkę zgodną z danymi, więc to je się interpretuje.

Czy odchylenie standardowe może być większe od średniej?

Tak, i zdarza się to przy danych bardzo rozproszonych albo zawierających wartość odstającą. Nie ma reguły wiążącej te dwie liczby — mierzą różne rzeczy i porównuje się je tylko pomocniczo.

Kiedy odchylenie wynosi zero?

Dokładnie wtedy, gdy wszystkie dane są identyczne. Każde, choćby najmniejsze zróżnicowanie daje wynik dodatni, bo pod pierwiastkiem pojawia się wtedy liczba większa od zera.

Czytaj dalej

Średnia arytmetycznaPunkt odniesienia dla wszystkich odchyleń — i wyjaśnienie, dlaczego one się znoszą.MedianaMiara odporna na wartości odstające, którą warto podać obok, gdy dane mają wyskok.Średnia ważonaCo robić, gdy dane są pogrupowane w tabeli albo na diagramie.StatystykaDział: miary środka, czytanie diagramów i to, kiedy średnia myli.Zagadnienia dodatkowePozostałe tematy spoza podstawy programowej obowiązującej od 2025 roku.

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.