Strona główna › Statystyka i prawdopodobieństwo › Błąd bezwzględny i względny pomiaru

Błąd bezwzględny i względny pomiaru

Q: Czym różni się błąd bezwzględny od względnego?

Bezwzględny mówi, o ile się pomyliliśmy, i ma jednostkę mierzonej wielkości. Względny mówi, jaką część wartości stanowi ta pomyłka, i jednostki nie ma — dlatego tylko nim można porównywać dokładność pomiarów różnych wielkości.

Q: Jak obliczyć błąd względny w procentach?

Podzielić błąd bezwzględny przez wartość dokładną, a wynik pomnożyć przez sto procent. Przy pomiarze 2,55 m zamiast 2,50 m daje to 0,05 podzielone przez 2,50, czyli 0,02, a więc dwa procent.

Q: Przez co dzielić, gdy nie znamy wartości dokładnej?

W praktyce dzieli się przez wartość zmierzoną albo tablicową i wyraźnie się zaznacza, którą przyjęto. Przy małych błędach różnica jest nieistotna, ale sam wybór jest konwencją, a nie częścią definicji, więc trzeba go podać.

Q: Ile wynosi błąd zaokrąglenia?

Przy poprawnym zaokrągleniu nie przekracza połowy jednostki ostatniego zachowanego miejsca — przy zaokrąglaniu do części setnych jest to co najwyżej 0,005. Większy wynik oznacza, że zaokrąglenie wykonano błędnie.

Q: Czy błędy pomiaru są na maturze z matematyki?

Nie. W podstawie programowej z matematyki dla liceum od 2025 roku nie występuje ani błąd bezwzględny pomiaru, ani względny, ani zaokrąglanie. Samych błędów pomiaru nie ma również w wymaganiach z matematyki dla szkoły podstawowej, choć zaokrąglanie jest tam wymagane. Uwaga na zawężenie „z matematyki”: niepewność pomiarowa jest wymagana wprost w podstawie z fizyki dla szkoły podstawowej. Temat jest więc potrzebny na pracowni z fizyki i chemii oraz wszędzie tam, gdzie opracowuje się wyniki pomiarów — tylko nie na maturze z matematyki.

Każdy pomiar jest przybliżeniem. Pytanie brzmi tylko: o ile się mylimy i czy to dużo. Na pierwsze pytanie odpowiada błąd bezwzględny, na drugie — względny, i to rozróżnienie jest właściwie całą treścią tego tematu. Błąd $5$ gramów przy odważaniu przyprawy to katastrofa, a przy ważeniu człowieka — nic; ta strona pokazuje, jak zamienić to wyczucie na liczbę.

Dział: Statystyka i prawdopodobieństwoPoziom: liceum — poza podstawą od 2025

1Dwa błędy i jedna zasadnicza różnica

Oznaczmy przez $x$ wartość dokładną, a przez $x_p$ — przybliżoną (zmierzoną, zaokrągloną, oszacowaną).

\Delta x = |x - x_p| \qquad\qquad \delta = \frac{\Delta x}{|x|}

	błąd bezwzględny	błąd względny
co mówi	o ile się pomyliliśmy	jaką część wartości stanowi pomyłka
jednostka	ta sama co mierzona wielkość	brak — to liczba albo procent
do czego służy	podanie dokładności jednego pomiaru	porównanie dokładności różnych pomiarów

Druga linijka tabeli jest tą, o którą chodzi najczęściej. Błąd względny nie ma jednostki, bo powstaje z dzielenia dwóch wielkości tego samego rodzaju — metry skracają się z metrami. Dlatego wolno nim porównywać rzeczy nieporównywalne: dokładność ważenia z dokładnością mierzenia odległości.

Wartość bezwzględna nie jest ozdobnikiem

Bez niej błąd bywałby ujemny, a „pomyliłem się o minus dwa gramy” nie znaczy nic sensownego.

Jeśli chcesz zaznaczyć kierunek pomyłki, mówi się osobno o przybliżeniu z nadmiarem ( $x_p > x$ ) albo z niedomiarem ( $x_p < x$ ).

Sam błąd jest zawsze liczbą nieujemną — i jest równy zeru dokładnie wtedy, gdy przybliżenie jest dokładne.

2Co wstawić do mianownika

We wzorze na błąd względny w mianowniku stoi wartość dokładna. Tyle że w prawdziwym pomiarze wartości dokładnej się nie zna — gdyby się ją znało, nie trzeba by mierzyć.

W zadaniach szkolnych wartość dokładna jest podana (np. znamy $\frac13$ , a przybliżamy przez $0{,}33$ ) — wtedy dzielimy przez nią i nie ma o czym dyskutować.
W pomiarach fizycznych dzieli się przez wartość zmierzoną albo przez wartość tablicową, i zaznacza, którą się przyjęło.
Różnica bywa nieistotna: przy małych błędach obie wartości są tak blisko siebie, że wynik zmienia się dopiero na dalekim miejscu.

Ostatni punkt nie zwalnia z uczciwości. Jeśli w rozwiązaniu dzielisz przez wartość zmierzoną, bo dokładnej nie znasz, napisz to — to jest przyjęta konwencja, a nie fragment definicji.

Błąd względny podaje się zwykle w procentach. Zamiana jest zwykłą zamianą ułamka na procent: mnożymy przez $100\%$ .

3Błąd zaokrąglenia — przypadek, w którym wszystko jest znane

Zaokrąglanie to też przybliżanie, tylko takie, w którym wartość dokładna jest znana z góry. Dzięki temu błąd da się policzyć co do końca, a nie oszacować.

Obowiązuje przy tym jedna reguła warta zapamiętania:

Ile najwyżej można się pomylić przy zaokrąglaniu

Przy poprawnym zaokrągleniu do danego miejsca błąd bezwzględny nie przekracza połowy jednostki tego miejsca.

Zaokrąglając do części dziesiętnych, mylimy się o co najwyżej $0{,}05$ . Do części setnych — o co najwyżej $0{,}005$ .

To ograniczenie działa jako kontrola: jeśli policzony błąd zaokrąglenia wyszedł większy, zaokrąglenie zostało wykonane źle.

Warto zauważyć, że ten sam błąd bezwzględny znaczy co innego przy różnych liczbach. Pomyłka o $0{,}05$ przy liczbie $0{,}1$ to połowa wartości, a przy liczbie $1000$ — nic. Znów wychodzi na to samo: o dokładności decyduje błąd względny.

Dlatego w naukach doświadczalnych podaje się wyniki z cyframi znaczącymi, a nie z ustaloną liczbą miejsc po przecinku — liczba cyfr znaczących jest w praktyce informacją o rzędzie błędu względnego.

4Czy to jest na maturze

Nie. W podstawie programowej z matematyki dla liceum, obowiązującej od 2025 roku, nie ma ani błędu bezwzględnego, ani względnego, ani nawet zaokrąglania. Samych błędów pomiaru nie ma też w wymaganiach z matematyki dla szkoły podstawowej — ale zaokrąglanie już tam jest, i to w dwóch miejscach: uczeń „zaokrągla liczby naturalne” oraz „w sytuacjach praktycznych zaokrągla ułamki dziesiętne do co najwyżej drugiego miejsca po przecinku”.

Zastrzeżenie „z matematyki” jest tu istotne, bo w tym samym rozporządzeniu dla szkoły podstawowej niepewność pomiaru jest wymagana — tyle że z fizyki. Wymagania przekrojowe, punkt 5: „posługuje się pojęciem niepewności pomiarowej; zapisuje wynik pomiaru wraz z jego jednostką oraz z uwzględnieniem informacji o niepewności”, a punkt 6 każe „przeprowadzać obliczenia i zapisywać wynik zaokrąglony do zadanej liczby cyfr znaczących”. To najkrótsze możliwe uzasadnienie, po co ta strona istnieje: przedmiot, który tego wymaga, po prostu nie nazywa się matematyka.

Ciekawostka na marginesie: samo wyrażenie „błąd zaokrąglenia” pada w podstawie z matematyki dla szkoły podstawowej raz — i to nie w wymaganiach, tylko w komentarzu o kalkulatorach, gdzie ostrzega się, że podniesienie do kwadratu obliczonego pierwiastka niekoniecznie da liczbę wyjściową. Wymaganiem to nie jest.

Sprawdziłem to w dokumencie wprost: słowo bezwzględn- występuje w podstawie licealnej wyłącznie w kontekście wartości bezwzględnej (interpretacja geometryczna, równania i nierówności z wartością bezwzględną), a rdzenia zaokrągl- nie ma w niej ani razu. Jedyna wzmianka o przybliżeniach dotyczy odczytywania wartości funkcji trygonometrycznych z tablic.

To jednak nie znaczy, że temat jest zbędny — te dwa pytania trzeba rozdzielać:

Czy jest w wymaganiach? Nie ma, i żadne zadanie maturalne z matematyki tego nie sprawdzi.
Czy jest potrzebne? Tak — na pracowni z fizyki i chemii, przy opracowywaniu wyników pomiarów, w technice i wszędzie tam, gdzie wynik ma jednostkę.

Uczciwa odpowiedź brzmi więc: ucz się tego, jeśli potrzebujesz tego do fizyki albo chemii, ale nie kosztem tematów, które na maturze z matematyki naprawdę będą.

5Przykłady krok po kroku

Cztery zadania: oba błędy dla jednego pomiaru, porównanie dokładności dwóch pomiarów, błąd zaokrąglenia ułamka oraz wyznaczanie tolerancji z zadanego błędu względnego.

Przykład 1 Oba błędy dla jednego pomiaru

Rzeczywista długość deski wynosi $2{,}50$ m, a zmierzono $2{,}55$ m. Oblicz błąd bezwzględny i względny pomiaru.

Dane: $x = \textcolor{#16A06A}{2{,}50}$ m, $x_p = \textcolor{#16A06A}{2{,}55}$ m.
Błąd bezwzględny: $\Delta x = |2{,}50 - 2{,}55| = \textcolor{#E0453A}{0{,}05}$ m.
Błąd względny: $\delta = \frac{0{,}05}{2{,}50} = 0{,}02$ .
W procentach: $0{,}02 \cdot 100\% = \textcolor{#E0453A}{2\%}$ .
Kontrola jednostek: błąd bezwzględny wyszedł w metrach, względny — bez jednostki ✓
Kontrola drugą drogą: $2\%$ z $2{,}50$ m to $0{,}05$ m, czyli dokładnie policzony błąd bezwzględny ✓
Kierunek pomyłki: $x_p > x$ , więc jest to przybliżenie z nadmiarem.

Odpowiedź: $\Delta x = 0{,}05$ m, $\delta = 2\%$

Kontrola „drugą drogą” działa zawsze i warto ją robić: skoro błąd względny to część całości, to ta część wzięta z wartości dokładnej musi dać z powrotem błąd bezwzględny.

Przykład 2 Który pomiar jest dokładniejszy

Masę $250$ g zmierzono z błędem bezwzględnym $5$ g, a odległość $12$ km — z błędem $60$ m. Który pomiar jest dokładniejszy?

Błędów bezwzględnych nie da się porównać — jeden jest w gramach, drugi w metrach.
Pierwszy pomiar: $\delta_1 = \frac{5}{250} = 0{,}02 = \textcolor{#E0453A}{2\%}$ .
Drugi pomiar wymaga wspólnej jednostki: $60$ m $= 0{,}06$ km.
$\delta_2 = \frac{0{,}06}{12} = 0{,}005 = \textcolor{#E0453A}{0{,}5\%}$ .
Kontrola zamiany jednostek: $12$ km $= 12000$ m, a $\frac{60}{12000} = 0{,}005$ — ta sama liczba ✓
$0{,}5\% < 2\%$ , więc dokładniejszy jest pomiar odległości.
Kontrola sensu: mimo że pomylono się tam o $60$ m, czyli o wartość liczbowo dwunastokrotnie większą niż $5$ ✓

Odpowiedź: Dokładniejszy jest pomiar odległości: $0{,}5\%$ wobec $2\%$ .

To jest cały powód istnienia błędu względnego. Porównanie „ $60$ to więcej niż $5$ ” jest tu bez znaczenia, bo obie liczby opisują pomyłki w zupełnie innej skali.

Przykład 3 Błąd zaokrąglenia

Ułamek $\frac13$ zaokrąglono do $0{,}33$ . Oblicz błąd bezwzględny i względny tego przybliżenia.

Wartość dokładna to $\textcolor{#16A06A}{\frac13}$ , przybliżona $\textcolor{#16A06A}{0{,}33} = \frac{33}{100}$ .
Błąd bezwzględny: $\Delta x = \left|\frac13 - \frac{33}{100}\right| = \left|\frac{100 - 99}{300}\right| = \textcolor{#E0453A}{\frac{1}{300}}$ .
Błąd względny: $\delta = \frac{1/300}{1/3} = \frac{1}{300} \cdot 3 = \frac{1}{100} = \textcolor{#E0453A}{1\%}$ .
Kontrola reguły zaokrąglania: zaokrąglaliśmy do części setnych, więc błąd nie może przekroczyć $0{,}005$ . Rzeczywiście $\frac{1}{300} < \frac{1}{200}$ ✓
Kontrola kierunku: $0{,}33 < \frac13$ , więc to przybliżenie z niedomiarem.
Wynik zostawiam ułamkiem: $\frac{1}{300}$ jest wartością dokładną, a jej rozwinięcie dziesiętne byłoby kolejnym przybliżeniem.

Odpowiedź: $\Delta x = \frac{1}{300}$ , $\delta = 1\%$

Zwróć uwagę na ostatni krok. Byłoby ironią zaokrąglić błąd zaokrąglenia — w takich zadaniach postać ułamkowa jest jedyną, która nie dokłada nowej niedokładności.

Przykład 4 Z błędu względnego na dopuszczalny przedział

Element ma mieć długość $40$ mm, a dopuszczalny błąd względny wykonania wynosi $1{,}5\%$ . W jakim przedziale musi się zmieścić długość elementu?

Zamieniam procent na dopuszczalny błąd bezwzględny: $\Delta x = 1{,}5\% \cdot 40$ mm.
$1{,}5\% = 0{,}015$ , więc $\Delta x = 0{,}015 \cdot 40 = \textcolor{#E0453A}{0{,}6}$ mm.
Długość może odbiegać o $0{,}6$ mm w każdą stronę: od $40 - 0{,}6$ do $40 + 0{,}6$ .
Przedział: $\textcolor{#E0453A}{\langle 39{,}4;\ 40{,}6 \rangle}$ mm.
Kontrola: dla krańca $40{,}6$ mm mamy $\delta = \frac{0{,}6}{40} = 0{,}015 = 1{,}5\%$ ✓
Kontrola szerokości: przedział ma długość $1{,}2$ mm, czyli dwa razy tyle, ile wynosi dopuszczalny błąd ✓

Odpowiedź: Długość musi należeć do przedziału $\langle 39{,}4;\ 40{,}6 \rangle$ mm.

Tak wygląda praktyczne zastosowanie tego pojęcia: tolerancja wykonawcza w technice jest podawana właśnie jako błąd względny, bo nie zależy od tego, czy element jest wielki, czy mały.

6Najczęstsze błędy

Trzy pierwsze błędy dotyczą samych definicji, dwa ostatnie — porównywania i jednostek.

Podawanie błędu względnego z jednostką.

Skąd się bierze: Wszystkie pozostałe wielkości w zadaniu jednostki mają, więc dopisuje się ją odruchowo.

Jak zrobić dobrze: Błąd względny powstaje z dzielenia wielkości tego samego rodzaju, więc jednostki się skracają. Zapis $\textcolor{#9b1c14}{\delta = 2\% \text{ m}}$ jest wewnętrznie sprzeczny.

Pominięcie wartości bezwzględnej we wzorze.

Skąd się bierze: Odejmowanie „w kolejności z zadania” bywa wykonywane bez zastanowienia.

Jak zrobić dobrze: Błąd jest miarą wielkości pomyłki, więc nie może być ujemny. Kierunek pomyłki opisują osobne słowa: przybliżenie z nadmiarem albo z niedomiarem.

Dzielenie przez błąd zamiast przez wartość: $\textcolor{#9b1c14}{\delta = \frac{|x|}{\Delta x}}$ .

Skąd się bierze: Ułamek zapisany odwrotnie daje ładniejsze, większe liczby.

Jak zrobić dobrze: W liczniku stoi błąd, w mianowniku wartość. Kontrola sensu: przy dobrym pomiarze błąd względny musi być mały, bliski zeru.

Porównywanie dokładności dwóch pomiarów po błędzie bezwzględnym.

Skąd się bierze: Większa liczba wygląda na większy błąd.

Jak zrobić dobrze: Pomyłka o $60$ m przy $12$ km jest cztery razy mniejsza od pomyłki o $5$ g przy $250$ g. Porównywać wolno tylko błędy względne.

Liczenie błędu względnego bez sprowadzenia do wspólnej jednostki.

Skąd się bierze: Ułamek daje się zapisać niezależnie od tego, w czym wyrażone są obie liczby.

Jak zrobić dobrze: Najpierw wspólna jednostka, potem dzielenie. Bez tego $\frac{60}{12}$ dałoby $5$ , czyli „błąd $500\%$ ” przy bardzo dokładnym pomiarze.

7Pytania i odpowiedzi

Czym różni się błąd bezwzględny od względnego?

Bezwzględny mówi, o ile się pomyliliśmy, i ma jednostkę mierzonej wielkości. Względny mówi, jaką część wartości stanowi ta pomyłka, i jednostki nie ma — dlatego tylko nim można porównywać dokładność pomiarów różnych wielkości.

Jak obliczyć błąd względny w procentach?

Podzielić błąd bezwzględny przez wartość dokładną, a wynik pomnożyć przez sto procent. Przy pomiarze $2{,}55$ m zamiast $2{,}50$ m daje to $0{,}05$ podzielone przez $2{,}50$ , czyli $0{,}02$ , a więc dwa procent.

Przez co dzielić, gdy nie znamy wartości dokładnej?

W praktyce dzieli się przez wartość zmierzoną albo tablicową i wyraźnie się zaznacza, którą przyjęto. Przy małych błędach różnica jest nieistotna, ale sam wybór jest konwencją, a nie częścią definicji, więc trzeba go podać.

Ile wynosi błąd zaokrąglenia?

Przy poprawnym zaokrągleniu nie przekracza połowy jednostki ostatniego zachowanego miejsca — przy zaokrąglaniu do części setnych jest to co najwyżej $0{,}005$ . Większy wynik oznacza, że zaokrąglenie wykonano błędnie.

Czy błędy pomiaru są na maturze z matematyki?

Nie. W podstawie programowej z matematyki dla liceum od 2025 roku nie występuje ani błąd bezwzględny pomiaru, ani względny, ani zaokrąglanie. Samych błędów pomiaru nie ma również w wymaganiach z matematyki dla szkoły podstawowej, choć zaokrąglanie jest tam wymagane. Uwaga na zawężenie „z matematyki”: niepewność pomiarowa jest wymagana wprost w podstawie z fizyki dla szkoły podstawowej. Temat jest więc potrzebny na pracowni z fizyki i chemii oraz wszędzie tam, gdzie opracowuje się wyniki pomiarów — tylko nie na maturze z matematyki.

Czytaj dalej

Jakim procentem jednej liczby jest drugaDokładnie ta operacja, którą wykonuje się przy liczeniu błędu względnego.Zamiana ułamka na procentOstatni krok każdego z tych rachunków — z ułamka na wartość w procentach.Odchylenie standardoweInna miara niedokładności: nie odchylenie od wartości prawdziwej, lecz rozrzut samych danych.Wartość bezwzględnaDlaczego we wzorze na błąd stoją pionowe kreski i co dokładnie oznaczają.

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.