Strona główna › Karty pracy › Równania

Równania — karty pracy do druku (klasy 6, 7 i 8)

Sześć kart pracy PDF z kluczem odpowiedzi: od równań z niewiadomą po jednej stronie w klasie 6, przez metodę równań równoważnych i zadania tekstowe w klasie 7, po przekształcanie wzorów i zadania z procentami w klasie 8. Każda karta to jedna strona A4 z zadaniami i druga z kluczem — w kluczu jest pełny zapis rozwiązania, nie sam wynik. Bez konta i bez maila.

Dział: Karty pracyPoziom: klasy 6–8

1Sześć kart — wybierz klasę

Karty idą od najłatwiejszej. Dwie pierwsze są dla klasy 6 (niewiadoma tylko po jednej stronie, wyrażenia algebraiczne), dwie następne dla klasy 7 (równania równoważne, zadania tekstowe), dwie ostatnie dla klasy 8 (sprawdzanie rozwiązań, wzory, procenty). Na każdej karcie jest miejsce na zapisanie rozwiązania pod równaniem — nie tylko na wynik.

Równania — niewiadoma po jednej stronie

klasa 6

Osiem równań z niewiadomą po jednej stronie — w tym ułamki — do rozwiązania działaniem odwrotnym, zgadywanie i sprawdzanie, zadanie z treścią.

Pobierz (PDF, 2 strony)

Wyrażenia algebraiczne i równania

klasa 6

Zapisz wyrażenie (obwód trójkąta o bokach a, a + 2, b), oblicz jego wartość, ułóż równanie z treści i rozwiąż.

Pobierz (PDF, 2 strony)

Rozwiązywanie równań — metoda równań równoważnych

klasa 7

Osiem równań metodą równań równoważnych: niewiadoma po obu stronach, nawiasy, ułamki. Zapis „| −5”, „| : 2”.

Pobierz (PDF, 2 strony)

Zadania tekstowe z równaniami

klasa 7

Pięć zadań tekstowych: kolejne liczby, wiek, obwód prostokąta, cena. Oznacz niewiadomą, ułóż równanie, sprawdź z treścią.

Pobierz (PDF, 2 strony)

Równania — sprawdzanie rozwiązań i przekształcanie wzorów

klasa 8

Sprawdzanie, czy liczba jest rozwiązaniem (także x² i x³), równania z ułamkami i nawiasami, przekształcanie wzorów P = a·h, v = s : t.

Pobierz (PDF, 2 strony)

Zadania tekstowe z procentami — równania

klasa 8

Pięć zadań z procentami: podwyżka, obniżka, dziewczynki w klasie, stężenie roztworu, lokata — równanie z mnożnikiem 1,2x, 0,85x.

Pobierz (PDF, 2 strony)

2Co ćwiczy która karta

Podział na klasy jest wzięty z podstawy programowej. Dla klas 4–6 wymaganie brzmi: „rozwiązuje równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą występującą po jednej stronie równania (przez zgadywanie, dopełnianie lub wykonanie działania odwrotnego)” — i takie są obie karty dla klasy 6 (przykład $x - \frac{2}{3} = 4$ jest wprost z podstawy). Dla klas 7–8 uczeń „rozwiązuje równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą metodą równań równoważnych”, „sprawdza, czy dana liczba jest rozwiązaniem równania (stopnia pierwszego, drugiego lub trzeciego) z jedną niewiadomą”, „rozwiązuje zadania tekstowe za pomocą równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą, w tym także z obliczeniami procentowymi” oraz „przekształca proste wzory, aby wyznaczyć zadaną wielkość we wzorach geometrycznych (np. pól figur) i fizycznych (np. dotyczących prędkości, drogi i czasu)”. Nowa podstawa (od roku 2026/2027, na razie tylko w klasie 4) zostawia w klasach 4–6 to samo: „rozwiązuje proste równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą występującą po jednej stronie równania”, a dodaje „układa równania na podstawie informacji podanych w zadaniu”.

3Jak rozwiązać równanie — trzy sposoby z kart

Klasa 6: działanie odwrotne

Gdy niewiadoma jest tylko po jednej stronie, wystarczy cofnąć działanie, które ją „zasłania”. W $x + 7 = 15$ do $x$ dodano $7$, więc odejmujemy: $x = 15 - 7 = 8$. W $3x = 21$ pomnożono przez $3$, więc dzielimy: $x = 21 : 3 = 7$. Pułapka to $25 - x = 11$: tu $x$ jest odejmowane, więc $x = 25 - 11 = 14$, a nie $11 - 25$. Na koniec zawsze podstawienie: $25 - 14 = 11$ — zgadza się.

Klasa 7: metoda równań równoważnych

Gdy niewiadoma jest po obu stronach albo w nawiasie, robimy to samo z obiema stronami równania i zapisujemy to za kreską. Tak wygląda zapis, którego uczy karta dla klasy 7:

Sprawdzenie: $L = 3 \cdot 6 - 4 = 14$, $P = 6 + 8 = 14$. Gdy jest nawias, najpierw go rozpisujemy: $5(x - 2) = 3x + 4$ to $5x - 10 = 3x + 4$, a dalej jak wyżej. Gdy jest ułamek, mnożymy obie strony przez mianownik: $\frac{x}{2} + 3 = 7$ po pomnożeniu przez $2$ daje $x + 6 = 14$. Wszystkie przekształcenia równoważne, z równaniami sprzecznymi i tożsamościowymi, są opisane na stronie o równaniach liniowych.

Klasy 7–8: zadanie tekstowe

Cztery kroki, w tej kolejności: oznacz niewiadomą (co ma być $x$ — zwykle to, o co pytają), zapisz równanie z treści, rozwiąż, sprawdź z treścią, nie z równaniem. Przykład z karty: „za 3 zeszyty i długopis za 4 zł zapłacono 13 zł” — $x$ to cena zeszytu, równanie $3x + 4 = 13$, więc $x = 3$; sprawdzenie z treścią: $3 \cdot 3 + 4 = 13$. W zadaniach z procentami w klasie 8 procent zamienia się na mnożnik: cena po podwyżce o $20\%$ to $1{,}2x$, po obniżce o $15\%$ — $0{,}85x$. O tym, jak przejść od treści do równania i kiedy lepszy jest rysunek, piszę na stronie o zadaniach tekstowych.

4Jak powstał klucz odpowiedzi

Każde równanie na kartach jest zapisane w programie jako wzór, a klucz to nie wpisany ręcznie wynik, tylko rozwiązanie wygenerowane z tego wzoru — z pełnym zapisem: co odjęto, przez co podzielono, jak rozpisano nawias. Program podstawia otrzymaną liczbę do obu stron i sprawdza, czy lewa równa się prawej; dopiero wtedy wiersz „Spr.: L = …, P = …” trafia do klucza. Dzięki temu w kluczu nie ma literówki w wyniku, a zapis wygląda tak, jak powinien wyglądać w zeszycie.

W zadaniach tekstowych klucz podaje równanie, jego rozwiązanie i odpowiedź słowną ze sprawdzeniem w treści — bo za samo „$x = 14$” bez odpowiedzi „Kasia ma 14 lat” na sprawdzianie nie ma pełnych punktów.

5Jak z nich korzystać

• Drukuj w skali 100 % („rzeczywisty rozmiar”) — linie pod równaniami mają wtedy wygodny odstęp do pisania.
• Klucz jest na drugiej stronie każdej karty. Drukując dla dziecka, wybierz w oknie druku tylko pierwszą stronę.
• Wymagaj zapisu, nie wyniku. W klasie 7 nauczyciel ocenia przekształcenia — dziecko, które „widzi” wynik $x = 6$, ale nie umie zapisać $| - x + 4$, straci punkty przy trudniejszym równaniu.
• Kolejność w klasie 6: najpierw karta z równaniami, potem z wyrażeniami — w tej drugiej trzeba samemu ułożyć równanie z treści, a to trudniejsze niż je rozwiązać.
• Do powtórki przed klasą 7 wystarczą karty dla klasy 6 i pierwsza dla klasy 7; karty dla klasy 8 zakładają, że wyrażenia algebraiczne (redukcja wyrazów podobnych, minus przed nawiasem) są już opanowane — powtórka jest na stronie o wyrażeniach algebraicznych.

6Pytania i odpowiedzi

Czytaj dalej

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-09-27. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.