Strona główna › Geometria › Prosta, półprosta i odcinek

Prosta, półprosta i odcinek

Q: Jak zapisuje się długość odcinka?

W kreskach pionowych: |AB| = 4,7 cm. Sam zapis AB oznacza figurę, czyli odcinek jako zbiór punktów, a |AB| — liczbę będącą wynikiem pomiaru. Dlatego „AB = 4,7 cm” jest zapisem niepoprawnym.

Q: Czy półprosta AB to to samo co półprosta BA?

Nie. Pierwsza litera oznacza początek, więc półprosta AB zaczyna się w punkcie A i biegnie przez B, a półprosta BA zaczyna się w B i biegnie w przeciwną stronę. Przy odcinku i prostej kolejność liter jest natomiast obojętna.

Prosta, półprosta i odcinek wyglądają na rysunku prawie tak samo — jako kreska. Różni je jedna rzecz: gdzie się kończą. Z niej wynika wszystko inne, łącznie z faktem, który zaskakuje: tylko odcinek ma długość. Pytanie „ile mierzy ta prosta” nie ma odpowiedzi — i nie jest nią „nieskończoność”.

Dział: GeometriaPoziom: klasy 4–6Zadań z E8: 5

Przejdź od razu do zadań (5) ↓

1Trzy figury, jedna różnica

Zacznijmy od punktu — najprostszej figury, która nie ma ani długości, ani szerokości. Oznaczamy go wielką literą: $A$ , $B$ , $C$ . Punkt tylko wskazuje miejsce.

Z punktów budujemy pozostałe trzy figury, a różni je wyłącznie to, gdzie się urywają:

figura	gdzie się kończy	ile ma końców	czy ma długość
prosta	nigdzie — biegnie bez końca w obie strony	$0$	nie
półprosta	z jednej strony ma początek	$1$	nie
odcinek	z obu stron	$2$	tak

Na rysunku prostą i półprostą oznaczamy strzałkami w tych kierunkach, w których biegną dalej niż kartka. Odcinek strzałek nie ma — kończy się kropkami albo kreseczkami w punktach końcowych.

Najprostszy sposób zapamiętania

Prosta — droga bez początku i końca.

Półprosta — promień światła z latarki: ma źródło, ale nie ma miejsca, w którym się kończy.

Odcinek — kawałek sznurka: ma dwa końce, które można chwycić.

Warto od razu zauważyć, że punkt leżący na prostej dzieli ją na dwie półproste o wspólnym początku. To najkrótsze wyjaśnienie, skąd bierze się nazwa: półprosta to połowa prostej.

2Jak je zapisywać

Każdą z tych figur wyznaczają punkty i stąd bierze się zapis.

figura	zapis	co znaczą litery
prosta	prosta $AB$ albo $k$	dwa dowolne jej punkty
półprosta	półprosta $AB$	$A$ to początek, $B$ wskazuje kierunek
odcinek	odcinek $AB$	$A$ i $B$ to końce
długość odcinka	$\|AB\|$	sama liczba, np. $\|AB\| = 4{,}7$ cm

Przy półprostej kolejność liter ma znaczenie: półprosta $AB$ zaczyna się w $A$ i biegnie przez $B$ , a półprosta $BA$ zaczyna się w $B$ i biegnie w przeciwną stronę. To dwie różne figury.

Przy prostej i odcinku kolejność jest obojętna — odcinek $AB$ to ten sam odcinek co $BA$ .

Kreski pionowe oznaczają długość. Zapis $AB$ to figura, a $|AB|$ to liczba. Dlatego pisze się „ $|AB| = 5$ cm”, a nie „ $AB = 5$ cm” — figura nie równa się liczbie.

Dwa różne punkty wyznaczają dokładnie jedną prostą. To jedno z najstarszych założeń geometrii i powód, dla którego wystarczą dwie litery, żeby jednoznacznie wskazać prostą.

3Dlaczego tylko odcinek ma długość

Bo długość mierzy się od czegoś do czegoś — a prosta i półprosta nie mają obu końców.

Odcinek ma dwa końce, więc da się przyłożyć linijkę i odczytać wynik. Podstawa programowa stawia to jako osobne wymaganie — dział VII, punkt 4: „mierzy odcinek z dokładnością do 1 mm”, czyli do jednej dziesiątej centymetra.

|AB| = 4{,}7\text{ cm} = 47\text{ mm}

Półprosta i prosta biegną bez końca, więc nie mają czego mierzyć. Nie znaczy to, że ich długość wynosi nieskończoność — znaczy, że pytanie o długość jest do nich nieadekwatne, tak jak pytanie o kolor liczby.

Częsty błąd myślowy

„Prosta ma nieskończoną długość” brzmi rozsądnie i jest tak formułowane potocznie, ale w szkolnej geometrii prostej po prostu się nie mierzy.

Mierzymy odcinki. Jeśli w zadaniu pada pytanie o długość, chodzi o odcinek — nawet gdy narysowano prostą, na której ten odcinek leży.

Przy jednostkach warto pamiętać, że wynik pomiaru zapisuje się z jednostką i że przeliczanie między nimi opisuję przy jednostkach długości.

4Odległość punktu od prostej

To jedno z wymagań podstawy programowej i pojęcie mniej oczywiste, niż się wydaje.

Z punktu leżącego poza prostą można poprowadzić nieskończenie wiele odcinków do tej prostej. Najkrótszy jest wśród nich tylko jeden, ale każdą większą długość osiągają dwa odcinki — symetryczne względem spodka prostopadłej. Przy wysokości $3$ cm oba odcinki trafiające w prostą $4$ cm od spodka mają po $5$ cm. Który z nich nazywamy odległością?

Odległość to zawsze ten najkrótszy

Odległość punktu od prostej to długość odcinka prostopadłego poprowadzonego z tego punktu do prostej.

Jest on najkrótszy ze wszystkich możliwych — i to nie jest umowa, tylko wniosek.

Dlaczego prostopadły jest najkrótszy? Poprowadźmy z punktu odcinek prostopadły o długości $3$ cm, a potem jakikolwiek inny, trafiający w prostą o $4$ cm dalej. Te dwa odcinki wraz z kawałkiem prostej tworzą trójkąt prostokątny, w którym prostopadły jest przyprostokątną, a ten drugi — przeciwprostokątną.

\textcolor{#16A06A}{3} < \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = \textcolor{#E0453A}{5}

A przeciwprostokątna jest zawsze dłuższa od każdej przyprostokątnej — to wynika z twierdzenia Pitagorasa. Każdy ukośny odcinek musi więc być dłuższy od prostopadłego.

Ta sama zasada wraca potem przy wysokości figur: wysokość trójkąta, trapezu czy równoległoboku to zawsze odcinek prostopadły — bo mierzy właśnie odległość.

5Gdzie te pojęcia wracają

Prosta, półprosta i odcinek są cegiełkami, z których zbudowana jest cała geometria — i dlatego warto je mieć uporządkowane wcześnie.

boki wielokątów to odcinki — trójkąt ma trzy, czworokąt cztery,
ramiona kąta to półproste o wspólnym początku, którym jest wierzchołek,
przekątne, wysokości i środkowe figur to odcinki,
promień i średnica koła też są odcinkami,
oś liczbowa jest prostą, choć rysuje się ją zwykle z jedną strzałką — nie dlatego, że z drugiej strony się kończy, tylko po to, żeby pokazać kierunek rosnących liczb; opisuję ją przy miejscu ułamka na osi.

Zwróć uwagę na drugi punkt: kąt tworzą dwie półproste, a nie dwa odcinki. Dlatego kąta nie da się „wydłużyć” ani „skrócić” — jego ramiona i tak biegną bez końca, a mierzy się samo rozwarcie.

To także powód, dla którego przy prostych równoległych mówi się o kątach, a nie o odległościach między odcinkami. Piszę o tym przy kątach między prostymi równoległymi.

6Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: liczenie prostych i odcinków, zapis oraz odległość od prostej.

Przykład 1 Ile prostych, ile odcinków

Na płaszczyźnie zaznaczono cztery punkty, z których żadne trzy nie leżą na jednej prostej. Ile odcinków wyznaczają? A ile prostych przechodzi przez dwa wybrane punkty?

Każde dwa punkty wyznaczają jeden odcinek, więc liczę pary.
Nazwijmy punkty $A$ , $B$ , $C$ , $D$ . Pary to: $AB$ , $AC$ , $AD$ , $BC$ , $BD$ , $CD$ .
To daje sześć odcinków.
Sprawdzenie rachunkiem: liczba par z czterech elementów to $\frac{4 \cdot 3}{2} = 6$ ✓
Druga część: przez dwa różne punkty przechodzi dokładnie jedna prosta — to podstawowe założenie geometrii.
Kontrola sensu: odcinek $AB$ i odcinek $BA$ to ta sama figura, więc każdą parę liczę raz — dlatego dzielimy przez dwa ✓

Odpowiedź: Sześć odcinków; przez dwa punkty przechodzi dokładnie jedna prosta.

Dzielenie przez dwa jest tu jedynym miejscem, gdzie łatwo się pomylić. Bierze się stąd, że odcinek nie ma kierunku — w odróżnieniu od półprostej, gdzie $AB$ i $BA$ są różne.

Przykład 2 Zapis i pomiar

Uczeń zmierzył odcinek i zapisał: „ $AB = 4{,}7$ cm”. Co jest nie tak i jak powinno być?

Zapis $AB$ oznacza figurę — sam odcinek jako zbiór punktów.
$4{,}7$ cm to liczba z jednostką, czyli wynik pomiaru.
Figura nie może równać się liczbie, więc zapis jest niepoprawny.
Długość odcinka oznaczamy kreskami pionowymi: $|AB|$ .
Poprawnie: $|AB| = 4{,}7$ cm.
Kontrola przez jednostki: $4{,}7$ cm to $47$ mm, czyli pomiar z dokładnością do $1$ mm — dokładnie tak, jak wymaga podstawa programowa ✓

Odpowiedź: Powinno być $|AB| = 4{,}7$ cm.

Ta różnica wydaje się formalnością, ale porządkuje myślenie: $AB$ rysujemy, a $|AB|$ liczymy. Ten sam zapis wraca później przy wartości bezwzględnej i przy odległościach w układzie współrzędnych.

Przykład 3 Który odcinek jest odległością

Z punktu $P$ poprowadzono do prostej $k$ trzy odcinki: prostopadły o długości $3$ cm oraz dwa ukośne, o długościach $3{,}2$ cm i $5$ cm. Który z nich jest odległością punktu od prostej?

Odległość punktu od prostej to długość odcinka prostopadłego — z definicji.
Zatem odległość wynosi $3$ cm.
Sprawdźmy, czy rzeczywiście jest najkrótszy: odcinek ukośny wraz z prostopadłym i kawałkiem prostej tworzy trójkąt prostokątny.
Prostopadły jest w nim przyprostokątną, a ukośny — przeciwprostokątną.
Przeciwprostokątna jest zawsze dłuższa, więc każdy ukośny odcinek musi mieć więcej niż $3$ cm ✓
Kontrola liczbowa dla odcinka $5$ cm: jeśli prostopadły ma $3$ cm, to trafia w prostą $4$ cm dalej, bo $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ ✓ A $3 < 5$ ✓

Odpowiedź: Odległość wynosi $3$ cm — tyle, ile odcinek prostopadły.

Podane długości $3{,}2$ cm i $5$ cm są większe od $3$ cm i tak być musi. Gdyby w zadaniu pojawił się odcinek ukośny krótszy od prostopadłego, dane byłyby sprzeczne.

7Najczęstsze błędy

Cztery błędy — pierwsze dwa dotyczą zapisu, dwa kolejne samych pojęć.

Pomylenie zapisu figury z zapisem długości

Skąd się bierze: Uczeń pisze „ $AB = 5$ cm”, przyrównując figurę do liczby. Odcinek $AB$ to zbiór punktów, a $5$ cm to wynik pomiaru — to dwie różne rzeczy i nie można postawić między nimi znaku równości.

Jak zrobić dobrze: Długość zapisuj w kreskach pionowych: $|AB| = 5$ cm. Zapamiętaj krótko: bez kresek rysujesz, w kreskach liczysz.

Traktowanie półprostej AB i BA jak tej samej figury

Skąd się bierze: Przy odcinku kolejność liter nie ma znaczenia, więc uczeń przenosi ten nawyk na półprostą. Ale półprosta $AB$ zaczyna się w $A$ , a półprosta $BA$ w $B$ — biegną w przeciwne strony i są różnymi figurami.

Jak zrobić dobrze: Przy półprostej pierwsza litera to zawsze początek. Rysując ją, najpierw zaznacz punkt początkowy, a dopiero potem prowadź linię przez drugi punkt i dalej.

Mierzenie prostej

Skąd się bierze: W zadaniu pada pytanie o długość, a na rysunku jest prosta — uczeń mierzy więc kawałek widoczny na kartce. Ale prosta nie kończy się na krawędzi kartki i nie ma długości; zmierzony fragment jest przypadkowy.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź, czy figura ma oba końce. Jeśli ma strzałki, jest prostą albo półprostą i długości nie ma. Pytanie o długość zawsze dotyczy odcinka.

Uznanie dowolnego odcinka za odległość od prostej

Skąd się bierze: Uczeń mierzy pierwszy narysowany odcinek łączący punkt z prostą. Odległością jest jednak wyłącznie odcinek prostopadły — każdy inny jest dłuższy, bo w powstałym trójkącie prostokątnym pełni rolę przeciwprostokątnej.

Jak zrobić dobrze: Zanim zmierzysz, sprawdź kąt przy prostej: musi być prosty. Jeśli w zadaniu nie zaznaczono kąta prostego, prawdopodobnie trzeba dorysować własny odcinek prostopadły.

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — długości przedmiotów i odległości w terenie

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Prawie każde zadanie z tego działu to jedno mnożenie — trzeba tylko wiedzieć, co przez co. Dlatego zielony jest wymiar na planie albo na rysunku (to, co mierzymy linijką), a czerwony — przelicznik skali, czyli liczba mówiąca, ile razy rzeczywistość jest większa. Wynik w terenie zostaje czarny, bo to on jest odpowiedzią.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2026)1 pkttrudniejsze

Jurek narysował na kratce położenia trzech obiektów: muzeum (

M

), wieży widokowej (

W

) i schroniska (

S

). Wieża widokowa znajduje się 3 km na północ i 4 km na zachód od schroniska. Muzeum znajduje się 5 km na wschód od schroniska. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Odległość w linii prostej schroniska od muzeum jest równa odległości w linii prostej schroniska od wieży widokowej.	P	F
Odległość w linii prostej muzeum od wieży widokowej jest mniejsza niż 10 km.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Najwygodniej ustawić schronisko $S$ w początku układu: kierunek wschodni to „w prawo”, północny — „w górę”.
$S = (0,\ 0)$ • $W = (\textcolor{#16A06A}{-4},\ \textcolor{#16A06A}{3})$ • $M = (\textcolor{#16A06A}{5},\ 0)$
Zdanie 1. Odległość $S$ od $M$ mierzymy wzdłuż linii wschód–zachód: $\textcolor{#16A06A}{5}$ km.
Odległość $S$ od $W$ liczymy z twierdzenia Pitagorasa (przesunięcie $\textcolor{#16A06A}{4}$ km w bok i $\textcolor{#16A06A}{3}$ km w górę):
$\sqrt{\textcolor{#16A06A}{4}^2 + \textcolor{#16A06A}{3}^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = \textcolor{#E0453A}{5}$ km
Obie odległości wynoszą $5$ km ✓ — prawda. (To znajomy trójkąt $3$ – $4$ – $5$ .)
Zdanie 2. Z $W$ do $M$ przesuwamy się o $\textcolor{#16A06A}{4} + \textcolor{#16A06A}{5} = \textcolor{#16A06A}{9}$ km na wschód i $\textcolor{#16A06A}{3}$ km na południe:
$\sqrt{\textcolor{#16A06A}{9}^2 + \textcolor{#16A06A}{3}^2} = \sqrt{81 + 9} = \sqrt{90} \approx \textcolor{#E0453A}{9{,}5}$ km
$\textcolor{#E0453A}{9{,}5} < 10$ ✓ — prawda.
Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Porównanie z 10 km można zrobić bez pierwiastkowania: $\sqrt{90}$ wobec $10$ to to samo co $90$ wobec $100$ . Mniejsza liczba pod pierwiastkiem — mniejsza odległość.

⚠ Najczęstszy błąd: dodanie przesunięć zamiast użycia Pitagorasa ( $9 + 3 = 12$ km). Odległość „w linii prostej” to przeciwprostokątna, a nie suma drogi na wschód i na południe.

Zadanie 2 (czerwiec 2024)1 pktśrednie

Na planie miasta wykonanym w skali 1 : 5000 odległość w linii prostej między wejściem do papugarni a wejściem do muzeum zabawek jest równa 8,4 cm. Dokończ zdanie.
W terenie odległość między wejściami do tych obiektów jest w linii prostej równa

A. $4{,}2$ m
B. $42$ m
C. $420$ m
D. $4200$ m

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Skala $1 : \textcolor{#E0453A}{5000}$ znaczy: 1 cm na planie to 5000 cm w terenie.
Krok 1 — mnożymy przez przelicznik.
$\textcolor{#16A06A}{8{,}4} \text{ cm} \cdot \textcolor{#E0453A}{5000} = 42\,000$ cm
Krok 2 — zamieniamy na metry. W metrze jest $100$ cm:
$42\,000 : 100 = 420$ m.
Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Skrót wart zapamiętania: przy skali $1:5000$ 1 cm na planie to 50 m w terenie (bo $5000$ cm $= 50$ m). Wtedy $8{,}4 \cdot 50 = 420$ m — jednym mnożeniem.

⚠ Najczęstszy błąd: zatrzymanie się na centymetrach albo podzielenie przez $1000$ zamiast przez $100$ (wychodzi wtedy $42$ m — odpowiedź B). Warto pilnować, w jakiej jednostce są odpowiedzi.

Zadanie 3 (maj 2023)1 pktśrednie

Na planie miasta odległość w linii prostej od punktu oznaczającego przystanek autobusowy Dworzec do punktu oznaczającego przystanek Galeria jest równa 8 cm. Plan miasta został wykonany w skali 1 : 4000. Dokończ zdanie.
Odległość w linii prostej w terenie między tymi przystankami jest równa

A. $320$ m
B. $500$ m
C. $3200$ m
D. $5000$ m

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Skala $1 : \textcolor{#E0453A}{4000}$ znaczy, że $1$ cm na planie odpowiada $\textcolor{#E0453A}{4000}$ cm w terenie.
Krok 1 — odległość w centymetrach.
$\textcolor{#16A06A}{8} \text{ cm} \cdot \textcolor{#E0453A}{4000} = 32\,000$ cm
Krok 2 — zamiana na metry.
$32\,000 : 100 = 320$ m.
Odpowiedź A.
Szybciej: $\textcolor{#E0453A}{4000}$ cm $= 40$ m, więc $\textcolor{#16A06A}{8} \cdot 40 = 320$ m ✓

💡 Wskazówka: Odpowiedź $3200$ m (czyli ponad 3 km między dwoma przystankami w centrum miasta) powinna od razu wydać się podejrzana. Sprawdzanie, czy wynik ma sens, wyłapuje większość błędów jednostkowych.

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie liczby centymetrów przez $10$ zamiast przez $100$ — stąd bierze się kusząca odpowiedź C.

Zadanie 4 (maj 2021)1 pkttrudniejsze

Listewkę o długości 50 cm planowano pociąć na równe części. Iwona zaproponowała podział na kawałki po 5 cm i zaznaczyła na listewce czerwonym kolorem linie cięcia. Agata chciała podzielić tę samą listewkę na części po 2 cm i linie cięcia zaznaczyła na zielono. Ile razy linia czerwona pokrywała się z linią zieloną?

A. $5$
B. $4$
C. $3$
D. $2$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Linie pokrywają się tam, gdzie odległość od początku listewki jest jednocześnie wielokrotnością $\textcolor{#16A06A}{5}$ i wielokrotnością $\textcolor{#16A06A}{2}$ — czyli wielokrotnością ich najmniejszej wspólnej wielokrotności:
$\text{NWW}(\textcolor{#16A06A}{5}, \textcolor{#16A06A}{2}) = \textcolor{#E0453A}{10}$ cm
Wypisujemy wielokrotności $\textcolor{#E0453A}{10}$ mieszczące się na listewce:
$\textcolor{#E0453A}{10}$ , $\textcolor{#E0453A}{20}$ , $\textcolor{#E0453A}{30}$ , $\textcolor{#E0453A}{40}$ — to cztery miejsca.
Uwaga na koniec listewki: $50$ cm to nie linia cięcia, tylko koniec deski — nikt tam nie tnie.
Odpowiedź B — linie pokryły się $4$ razy.

💡 Wskazówka: Kontrola: Iwona zaznaczyła 9 linii ( $5, 10, \ldots, 45$ ), a Agata 24 ( $2, 4, \ldots, 48$ ) — w obu przypadkach o jedną mniej, niż wychodzi z dzielenia, bo koniec listewki się nie liczy.

⚠ Najczęstszy błąd: doliczenie $50$ cm i podanie odpowiedzi $5$ . Cięcie na $n$ równych części wymaga $n-1$ nacięć — skrajny punkt to już brzeg materiału.

Zadania otwarte

Zadanie 5 (grudzień 2018)3 pkttrudniejsze

Agata przygotowuje kartkę okolicznościową w kształcie prostokąta o wymiarach 15 cm × 18 cm, ozdobioną wzorem z jednakowych kwadratów. Kwadraty są obrócone o

45°

i stykają się wierzchołkami, tworząc łańcuszek wzdłuż krawędzi kartki: wzdłuż krótszego boku (15 cm) mieszczą się trzy takie kwadraty jeden za drugim, a wzdłuż dłuższego boku (18 cm) — cztery. Bok kwadratu wyraża się całkowitą liczbą centymetrów. Oblicz maksymalną długość boku jednego kwadratu. Do obliczeń przyjmij przybliżenie

\sqrt{2} \approx 1{,}4

. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 3 cm

Kwadraty stoją „na rogu”, więc wzdłuż krawędzi kartki każdy z nich zajmuje swoją przekątną, a nie bok.
Krok 1 — przekątna kwadratu o boku $a$ .
$d = \textcolor{#16A06A}{a}\sqrt2 \approx \textcolor{#E0453A}{1{,}4}\,\textcolor{#16A06A}{a}$
Krok 2 — warunek dla krótszego boku (15 cm). Trzy przekątne muszą się zmieścić:
$3 \cdot \textcolor{#E0453A}{1{,}4}\,\textcolor{#16A06A}{a} \le 15$ → $4{,}2\,\textcolor{#16A06A}{a} \le 15$ → $\textcolor{#16A06A}{a} \le 3{,}57\ldots$
Krok 3 — warunek dla dłuższego boku (18 cm). Tu przekątnych jest cztery:
$4 \cdot \textcolor{#E0453A}{1{,}4}\,\textcolor{#16A06A}{a} \le 18$ → $5{,}6\,\textcolor{#16A06A}{a} \le 18$ → $\textcolor{#16A06A}{a} \le 3{,}21\ldots$
Krok 4 — wybieramy największą liczbę całkowitą. Muszą być spełnione oba warunki, więc decyduje ten ostrzejszy: $\textcolor{#16A06A}{a} \le 3{,}21$ .
Największa taka liczba całkowita to $\textcolor{#16A06A}{a} = 3$ cm.
Sprawdzenie: dla $a = 3$ przekątna wynosi $4{,}2$ cm, więc trzy przekątne to $12{,}6 \le 15$ ✓, a cztery — $16{,}8 \le 18$ ✓
Dla $a = 4$ : przekątna $5{,}6$ cm, trzy przekątne to już $16{,}8 > 15$ ✗ — nie mieści się.
Odpowiedź: maksymalna długość boku kwadratu wynosi 3 cm.

💡 Wskazówka: Gdy warunki są dwa, zawsze wygrywa ostrzejszy — czyli ten, który dopuszcza mniej. Warto na koniec podstawić wynik do obu i sprawdzić, że oba są spełnione.

⚠ Najczęstszy błąd: użycie boku kwadratu zamiast przekątnej ( $3a \le 15$ daje $a \le 5$ ). Skoro kwadraty są obrócone o $45°$ , wzdłuż krawędzi kartki układa się ich przekątna, czyli odcinek o około $40\%$ dłuższy od boku.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. P, P

2. C

3. A

4. B

5. 3 cm

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

8Pytania i odpowiedzi

Czym różni się prosta od półprostej i odcinka?

Tym, gdzie się kończą. Prosta nie kończy się nigdzie i biegnie bez końca w obie strony, półprosta ma jeden koniec — początek, a odcinek ma dwa końce. Tylko odcinek ma długość, którą można zmierzyć.

Jak zapisuje się długość odcinka?

W kreskach pionowych: $|AB| = 4{,}7$ cm. Sam zapis $AB$ oznacza figurę, czyli odcinek jako zbiór punktów, a $|AB|$ — liczbę będącą wynikiem pomiaru. Dlatego „ $AB = 4{,}7$ cm” jest zapisem niepoprawnym.

Czy półprosta AB to to samo co półprosta BA?

Nie. Pierwsza litera oznacza początek, więc półprosta $AB$ zaczyna się w punkcie $A$ i biegnie przez $B$ , a półprosta $BA$ zaczyna się w $B$ i biegnie w przeciwną stronę. Przy odcinku i prostej kolejność liter jest natomiast obojętna.

Ile prostych przechodzi przez dwa punkty?

Dokładnie jedna — to jedno z podstawowych założeń geometrii. Przez jeden punkt przechodzi nieskończenie wiele prostych, a przez trzy punkty niebędące na jednej linii nie przechodzi żadna wspólna prosta.

Co to jest odległość punktu od prostej?

Długość odcinka prostopadłego poprowadzonego z tego punktu do prostej. Jest on najkrótszy ze wszystkich możliwych, bo każdy inny odcinek jest przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym, w którym prostopadły pełni rolę przyprostokątnej.

Czy prosta ma nieskończoną długość?

W szkolnej geometrii prostej po prostu się nie mierzy — nie ma dwóch końców, więc pytanie o jej długość jest nieadekwatne. Mierzy się odcinki; jeśli zadanie pyta o długość, chodzi o odcinek, nawet gdy narysowano prostą, na której leży.

Czytaj dalej

Geometria płaskaPozostałe tematy działu — figury, pola i obwody Kąty przy prostych równoległychRamiona kąta to półproste o wspólnym początku Jednostki długościMilimetry i centymetry przy mierzeniu odcinków Twierdzenie PitagorasaStąd wiadomo, że odcinek prostopadły jest najkrótszy

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.