To darmowa powtórka matematyki przed liceum — zestaw krótkich serii zadań z ułamków, liczb całkowitych i dziesiętnych, potęg, pierwiastków, procentów oraz podstaw algebry. Powstała z myślą o uczniach kończących klasę ósmą i wchodzących w pierwszą klasę liceum, choć równie dobrze sprawdzi się jako powtórka przed sprawdzianem w każdej starszej klasie szkoły podstawowej.

Tak, w całości i bez ograniczeń — nie ma płatnych funkcji ani limitu liczby serii.

Nie. Wchodzisz i od razu rozwiązujesz zadania — bez zakładania konta, bez podawania e-maila.

Działa w przeglądarce na telefonie, tablecie i komputerze — wystarczy dostęp do internetu, nie trzeba niczego instalować.

Baza obejmuje 20 tematów w 5 działach, a tryb Losowej powtórki dodatkowo miesza zadania ze wszystkich działów, więc realnie kombinacji do rozwiązania jest znacznie więcej niż jedna prosta pula pytań.

Tryb działowy pozwala ćwiczyć jeden konkretny temat, np. samo mnożenie ułamków, aż go opanujesz. Losowa powtórka miesza zadania ze wszystkich pięciu działów, dzięki czemu sprawdzasz, czy potrafisz przełączać się między różnymi typami rachunku — dokładnie tak, jak dzieje się to na sprawdzianie.

Każda seria zaczyna się od zadań prostszych, a w miarę postępów trudność stopniowo rośnie. Dzięki temu na starcie się rozgrzewasz, a pod koniec serii sprawdzasz, czy dajesz radę z trudniejszymi wariantami tego samego tematu.

Tak — po każdej odpowiedzi widzisz od razu, czy była poprawna, a przy błędzie dostajesz wyjaśnienie, jak dojść do właściwego wyniku.

Tak, aplikacja pokazuje procent opanowania poszczególnych działów, więc widzisz, które tematy masz już pewnie opanowane, a do których warto wrócić.

Najwięcej dają na niej uczniowie kończący klasę ósmą, tuż przed pierwszą klasą liceum, ale świetnie sprawdza się też jako powtórka dla klas siódmych i ósmych przed sprawdzianami z tych samych działów.

Skracanie polega na podzieleniu licznika i mianownika przez tę samą liczbę, najlepiej przez ich największy wspólny dzielnik — wtedy skracasz od razu do postaci nieskracalnej, np. 8/12 dzielisz przez 4 i otrzymujesz 2/3.

Rozszerzanie to odwrotność skracania — mnożysz licznik i mianownik przez tę samą liczbę, np. 2/3 rozszerzone przez 4 daje 8/12. Robi się to najczęściej po to, by sprowadzić kilka ułamków do wspólnego mianownika.

Ułamki równe to takie, które po skróceniu do postaci nieskracalnej dają ten sam wynik — np. 2/4, 3/6 i 4/8 to różne zapisy tego samego ułamka 1/2.

Najpierw sprowadzasz ułamki do wspólnego mianownika (np. mnożąc licznik i mianownik jednego ułamka przez mianownik drugiego), a dopiero potem porównujesz same liczniki — większy licznik oznacza większy ułamek.

Sprowadzasz oba ułamki do wspólnego mianownika, a dopiero potem dodajesz liczniki, zostawiając mianownik bez zmian. Na koniec warto sprawdzić, czy wynik da się jeszcze skrócić.

Podobnie jak przy dodawaniu — najpierw wspólny mianownik, potem odejmujesz liczniki. Jeśli wynik wychodzi ujemny, zapisujesz go ze znakiem minus przed całym ułamkiem.

Mnożysz licznik przez licznik i mianownik przez mianownik — bez szukania wspólnego mianownika. Przed mnożeniem warto skrócić na krzyż, jeśli licznik jednego ułamka i mianownik drugiego mają wspólny dzielnik, bo to ułatwia rachunek.

Dzielenie przez ułamek zamieniasz na mnożenie przez jego odwrotność — czyli drugi ułamek odwracasz (licznik z mianownikiem zamieniają się miejscami) i mnożysz jak zwykłe ułamki.

To ułamek, w którym licznik i mianownik zamieniono miejscami, np. odwrotnością 3/5 jest 5/3. Ułamek pomnożony przez swoją odwrotność zawsze daje 1.

Mnożysz daną liczbę przez ten ułamek, np. 3/4 ze 120 liczysz jako 120 razy 3, podzielone przez 4, czyli 90. W praktyce często wygodniej jest najpierw podzielić liczbę przez mianownik, a dopiero potem pomnożyć przez licznik.

To zapis łączący liczbę całkowitą z ułamkiem właściwym, np. 2 i 1/3 — oznacza to samo co ułamek niewłaściwy 7/3, tylko w bardziej czytelnej formie.

Dzielisz licznik przez mianownik z resztą — iloraz staje się częścią całkowitą, a reszta trafia do licznika nowego ułamka, mianownik zostaje bez zmian. Np. 7/3 to 2 (bo 3 mieści się w 7 dwa razy) i reszta 1, czyli 2 i 1/3.

Najłatwiej wyobrazić sobie oś liczbową: dodawanie liczby ujemnej to ruch w lewo, odejmowanie liczby ujemnej to ruch w prawo (bo odjęcie minusa działa jak dodanie). Przy kilku liczbach warto liczyć krok po kroku, zamiast próbować ogarnąć wszystko naraz.

Obowiązuje prosta zasada znaków: te same znaki dają plus, różne znaki dają minus. Czyli minus razy minus to plus, a plus razy minus to minus — dokładnie tak samo działa to przy dzieleniu.

To liczby naturalne (0, 1, 2, 3…) razem z ich liczbami przeciwnymi, czyli ujemnymi odpowiednikami (-1, -2, -3…). Innymi słowy — wszystkie liczby bez części ułamkowej, dodatnie, ujemne i zero.

Tak, zero jest liczbą całkowitą — a przy tym jedyną liczbą całkowitą, która nie jest ani dodatnia, ani ujemna.

Dodawanie i odejmowanie robisz tak jak na liczbach naturalnych, ale pilnując, żeby przecinki były pod sobą. Przy mnożeniu liczysz najpierw bez przecinków, a na końcu wstawiasz go tak, by liczba miejsc po przecinku w wyniku odpowiadała sumie miejsc po przecinku w obu czynnikach. Przy dzieleniu najwygodniej przesunąć przecinek w dzielniku tak, by stał się liczbą całkowitą, przesuwając o tyle samo miejsc przecinek w dzielnej.

Dzielisz licznik przez mianownik — np. 1/4 to 1 podzielone przez 4, czyli 0,25. Jeśli mianownik da się rozszerzyć do 10, 100 czy 1000, można też po prostu rozszerzyć ułamek i odczytać wynik wprost z liczby zer w mianowniku.

Potęga to skrócony zapis mnożenia tej samej liczby przez siebie — wykładnik mówi, ile razy podstawę mnożysz. Np. 2 do potęgi 4 to 2×2×2×2, czyli 16.

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajesz wykładniki (podstawa zostaje bez zmian), a przy dzieleniu wykładniki odejmujesz. Np. 2 do potęgi 3 razy 2 do potęgi 2 to 2 do potęgi 5.

Wykładniki mnożysz, a podstawa zostaje ta sama — czyli (2 do potęgi 3) do potęgi 2 to 2 do potęgi 6, ponieważ 3 razy 2 daje 6.

Szukasz, jaką liczbę i ile razy trzeba pomnożyć przez samą siebie, by otrzymać daną liczbę — np. 512 to 2 pomnożone przez siebie dziewięć razy, czyli 2 do potęgi 9. Najłatwiej dojść do tego, dzieląc liczbę kolejno przez tę samą podstawę, aż dojdziesz do 1, i licząc, ile było dzieleń.

Pierwiastek kwadratowy z liczby to liczba, która pomnożona przez samą siebie daje tę liczbę pod pierwiastkiem — np. pierwiastek z 49 to 7, bo 7×7=49. Dla liczb, które nie są kwadratami liczb całkowitych, wynik jest niewymierny i zwykle zostawia się go w postaci pierwiastka albo szacuje przybliżoną wartość.

Szukasz liczby, która pomnożona przez samą siebie trzy razy daje liczbę pod pierwiastkiem — np. pierwiastek sześcienny z 27 to 3, bo 3×3×3=27. W przeciwieństwie do pierwiastka kwadratowego, pierwiastek sześcienny da się policzyć również z liczb ujemnych.

Pierwiastki można dodawać wprost tylko wtedy, gdy stoi pod nimi ta sama liczba — wtedy dodajesz liczby stojące przed pierwiastkiem, tak jak przy wyrazach podobnych, np. 2 pierwiastki z 3 plus 5 pierwiastków z 3 to 7 pierwiastków z 3. Jeśli liczby pod pierwiastkami są różne, trzeba je najpierw uprościć (wyciągnąć wspólny czynnik przed pierwiastek) i dopiero sprawdzić, czy da się je połączyć.

Szukasz dwóch sąsiednich liczb całkowitych, których kwadraty otaczają liczbę pod pierwiastkiem — np. pierwiastek z 50 leży między 7 a 8, bo 7×7=49 i 8×8=64, a 50 jest między nimi.

Zamieniasz procent na ułamek dziesiętny (dzielisz przez 100) i mnożysz przez liczbę — np. 20% ze 150 liczysz jako 0,2 razy 150, czyli 30. Można też najpierw podzielić liczbę przez 100, a wynik pomnożyć przez liczbę procent — dla wielu osób to po prostu wygodniejsza kolejność rachunku.

Dzielisz pierwszą liczbę przez drugą i mnożysz przez 100% — np. żeby sprawdzić, jakim procentem 40 jest liczba 8, liczysz 8 podzielone przez 40, co daje 0,2, czyli 20%.

Obliczasz, ile wynosi ten procent z liczby, i dodajesz go do liczby wyjściowej — np. 200 zwiększone o 15% to 200 plus 15% ze 200 (czyli 30), razem 230. Szybszy sposób to pomnożenie liczby razy 1,15 od razu.

Odejmujesz od liczby wyjściowej ten procent — np. 200 zmniejszone o 15% to 200 minus 30, czyli 170. Skrótem jest pomnożenie liczby razy 0,85 (czyli 100% minus 15%).

Dzielisz liczbę procent przez 100, czyli przesuwasz przecinek o dwa miejsca w lewo — np. 45% to 0,45, a 7% to 0,07.

Zapisujesz procent jako ułamek o mianowniku 100, a potem skracasz — np. 25% to 25/100, co po skróceniu daje 1/4.

Mnożysz ułamek przez 100% — np. żeby sprawdzić, ile procent to 1/4, liczysz 1/4 razy 100%, co daje 25%. Dla ułamków, które trudno rozszerzyć do mianownika 100, najprościej najpierw zamienić ułamek na liczbę dziesiętną, a potem przesunąć przecinek o dwa miejsca w prawo.

To wyrażenie złożone z jednomianów połączonych znakami plus lub minus, np. 3x + 2y − 5. Każdy jednomian w takiej sumie nazywa się jej wyrazem.

To pojedynczy iloczyn liczby i liter (zmiennych) w odpowiednich potęgach, np. 4x²y albo samo −7. Jednomian nie zawiera znaku plus ani minus łączącego go z innym wyrazem — jeśli takie znaki się pojawią, mamy już do czynienia z sumą algebraiczną.

Wyrazy podobne to jednomiany o tej samej części literowej (tych samych zmiennych w tych samych potęgach) — redukujesz je, dodając lub odejmując ich współczynniki liczbowe i zostawiając wspólną część literową bez zmian, np. 3x + 5x = 8x.

Najpierw opuszczasz nawiasy, pamiętając, że minus przed nawiasem zmienia znaki wszystkich wyrazów w środku, a plus zostawia je bez zmian. Potem grupujesz i redukujesz wyrazy podobne, aż zostaną same różne od siebie jednomiany — to i jest najprostsza postać.

Korzystasz z rozdzielności mnożenia względem dodawania — mnożysz jednomian przez każdy wyraz sumy z osobna, a potem dodajesz otrzymane iloczyny, np. 2x·(3x + 4) = 6x² + 8x.

Każdy wyraz pierwszej sumy mnożysz przez każdy wyraz drugiej sumy (tak jak przy mnożeniu na krzyż), a potem dodajesz wszystkie otrzymane iloczyny i redukujesz wyrazy podobne, jeśli jakieś powstaną.

Przenosisz wszystkie wyrazy z niewiadomą na jedną stronę równania, a liczby na drugą, zmieniając znak przy przenoszeniu przez znak równości. Na koniec dzielisz obie strony przez współczynnik stojący przy niewiadomej, żeby zostało samo x.

NWW dwóch liczb to najmniejsza liczba, która dzieli się bez reszty przez obie te liczby jednocześnie — np. NWW liczb 4 i 6 to 12, bo 12 jest najmniejszą liczbą podzielną i przez 4, i przez 6.

Najprościej wypisać kolejne wielokrotności większej z liczb i sprawdzić, która pierwsza dzieli się też przez drugą liczbę — dla 4 i 6 sprawdzasz 6, 12… i 12 pasuje. Można też rozłożyć obie liczby na czynniki pierwsze i wziąć każdy czynnik w najwyższej występującej potędze.

NWD dwóch liczb to największa liczba, przez którą obie te liczby dzielą się bez reszty — np. NWD liczb 12 i 18 to 6.

Rozkładasz obie liczby na czynniki pierwsze i mnożysz te czynniki, które są wspólne dla obu rozkładów, biorąc je w najniższej występującej potędze — dla 12=2²·3 i 18=2·3² wspólne są 2¹ i 3¹, czyli NWD=6.

NWW mianowników wyznacza najmniejszy możliwy wspólny mianownik przy dodawaniu i odejmowaniu ułamków — dzięki temu liczby, na których pracujesz, zostają jak najmniejsze, a wynik rzadziej wymaga dodatkowego skracania.

To liczba naturalna większa od 1, która dzieli się bez reszty tylko przez 1 i przez samą siebie — np. 2, 3, 5, 7, 11.

To liczba naturalna większa od 1, która ma więcej dzielników niż tylko 1 i samą siebie — np. 8 (dzieli się też przez 2 i 4) albo 9 (dzieli się też przez 3).

Nie — zero nie jest ani liczbą pierwszą, ani złożoną, bo dzieli się przez nieskończenie wiele liczb. Jedynka też nie jest liczbą pierwszą, bo liczba pierwsza musi mieć dokładnie dwa różne dzielniki, a 1 ma tylko jeden.

Rozkładasz liczbę pod pierwiastkiem na iloczyn, w którym jeden z czynników jest kwadratem (przy pierwiastku kwadratowym) liczby całkowitej, a potem wyciągasz pierwiastek z tego czynnika przed znak pierwiastka — np. pierwiastek z 12 to pierwiastek z (4·3), czyli 2 pierwiastki z 3.

To działanie odwrotne do wyłączania — liczbę stojącą przed pierwiastkiem podnosisz do odpowiedniej potęgi (kwadratu przy pierwiastku kwadratowym) i mnożysz przez liczbę pod pierwiastkiem, np. 2 pierwiastki z 3 to pierwiastek z (2²·3), czyli pierwiastek z 12.

To w praktyce wyłączanie przed pierwiastek jak największego czynnika, który jest kwadratem liczby całkowitej — im większy taki czynnik znajdziesz od razu, tym prostszy wynik dostaniesz za jednym razem, zamiast upraszczać w kilku krokach.