Ciągi

Ciąg arytmetyczny

• $a_{\htmlClass{rN}{n}} = \htmlClass{rZ}{a_1} + (\htmlClass{rN}{n}-1)\htmlClass{rC}{r}$
• $a_{\htmlClass{rN}{n}} = \dfrac{a_{\htmlClass{rN}{n}-1} + a_{\htmlClass{rN}{n}+1}}{2}$

Ciąg określony dla n ≥ 1, o pierwszym wyrazie a₁ i różnicy r. Druga równość zachodzi dla n ≥ 2.

Suma ciągu arytmetycznego

• $S_{\htmlClass{rN}{n}} = \dfrac{\htmlClass{rZ}{a_1} + a_{\htmlClass{rN}{n}}}{2} \cdot \htmlClass{rN}{n}$
• $S_{\htmlClass{rN}{n}} = \dfrac{2\htmlClass{rZ}{a_1} + (\htmlClass{rN}{n}-1)\htmlClass{rC}{r}}{2} \cdot \htmlClass{rN}{n}$

Ciąg geometryczny

• $a_{\htmlClass{rN}{n}} = \htmlClass{rZ}{a_1} \cdot \htmlClass{rC}{q}^{\htmlClass{rN}{n}-1}$
• $\left(a_{\htmlClass{rN}{n}}\right)^2 = a_{\htmlClass{rN}{n}-1} \cdot a_{\htmlClass{rN}{n}+1}$

Ciąg określony dla n ≥ 1, o pierwszym wyrazie a₁ i ilorazie q. Obie równości dla n ≥ 2.

Suma ciągu geometrycznego

• $S_{\htmlClass{rN}{n}} = \htmlClass{rZ}{a_1} \cdot \dfrac{1 - \htmlClass{rC}{q}^{\htmlClass{rN}{n}}}{1 - \htmlClass{rC}{q}}$
• $S_{\htmlClass{rN}{n}} = \htmlClass{rN}{n} \cdot \htmlClass{rZ}{a_1}$

Pierwszy wzór dla q ≠ 1, drugi dla q = 1.

Suma szeregu geometrycznego

• $S = \lim_{\htmlClass{rN}{n} \to \infty} S_{\htmlClass{rN}{n}} = \dfrac{\htmlClass{rZ}{a_1}}{1 - \htmlClass{rC}{q}}$

Granica istnieje, gdy |q| < 1. Nazywamy ją sumą wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego.

Granice ciągów zbieżnych

• $\lim_{\htmlClass{rN}{n} \to \infty}(a_{\htmlClass{rN}{n}} + b_{\htmlClass{rN}{n}}) = \htmlClass{rZ}{a} + \htmlClass{rC}{b}$
• $\lim_{\htmlClass{rN}{n} \to \infty}(a_{\htmlClass{rN}{n}} - b_{\htmlClass{rN}{n}}) = \htmlClass{rZ}{a} - \htmlClass{rC}{b}$
• $\lim_{\htmlClass{rN}{n} \to \infty}(a_{\htmlClass{rN}{n}} \cdot b_{\htmlClass{rN}{n}}) = \htmlClass{rZ}{a} \cdot \htmlClass{rC}{b}$
• $\lim_{\htmlClass{rN}{n} \to \infty}\left(\dfrac{a_{\htmlClass{rN}{n}}}{b_{\htmlClass{rN}{n}}}\right) = \dfrac{\htmlClass{rZ}{a}}{\htmlClass{rC}{b}}$

Przy założeniu, że oba ciągi są zbieżne i mają granice a oraz b. Dla ilorazu dodatkowo bₙ ≠ 0 dla n ≥ 1 oraz b ≠ 0.

Twierdzenie o trzech ciągach

• $a_{\htmlClass{rN}{n}} \leq b_{\htmlClass{rN}{n}} \leq c_{\htmlClass{rN}{n}} \ \text{i} \ \lim_{\htmlClass{rN}{n} \to \infty} a_{\htmlClass{rN}{n}} = \lim_{\htmlClass{rN}{n} \to \infty} c_{\htmlClass{rN}{n}} = g \implies \lim_{\htmlClass{rN}{n} \to \infty} b_{\htmlClass{rN}{n}} = g$

Przy założeniu, że nierówność zachodzi dla n ≥ 1.

Procent składany

• $K_{\htmlClass{rN}{n}} = \htmlClass{rZ}{K_0} \cdot \left(1 + \dfrac{\htmlClass{rC}{p}}{100}\right)^{\htmlClass{rN}{n}}$

Kapitał początkowy K₀ złożony na n lat przy oprocentowaniu p% w skali rocznej, z kapitalizacją odsetek po każdym roku.

Wybrane granice

• $\lim_{\htmlClass{rN}{n} \to \infty}\left(1 + \dfrac{1}{\htmlClass{rN}{n}}\right)^{\htmlClass{rN}{n}} = e$
• $\lim_{\htmlClass{rN}{n} \to \infty} \sqrt[\htmlClass{rN}{n}]{\htmlClass{rN}{n}} = 1$
• $\lim_{\htmlClass{rN}{n} \to \infty} \sqrt[\htmlClass{rN}{n}]{\htmlClass{rZ}{a}} = 1$
• $\lim_{\htmlClass{rN}{n} \to \infty} \htmlClass{rC}{q}^{\htmlClass{rN}{n}} = 0$
• $\lim_{\htmlClass{rN}{n} \to \infty} \dfrac{1}{\htmlClass{rN}{n}^{\htmlClass{rC}{k}}} = 0$
• $\lim_{\htmlClass{rN}{n} \to \infty} \htmlClass{rN}{n}^{\htmlClass{rC}{k}} = +\infty$

Kolejno dla: dowolnego a > 0, dowolnego q ∈ (−1, 1) oraz dowolnego k > 0 w dwóch ostatnich.

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki, sprawdziany i karty pracy z matematyki PDF z kluczem: przy kartkówkach grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

Materiał PDF · sklep

Ciągi — test, liceum klasa 3

Wzór ogólny i rekurencja, ciąg arytmetyczny i geometryczny.

2,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Kartkówka PDF · sklep

Ciągi w zadaniach — kartkówka, liceum klasa 3

Procent składany, wzrost o stały procent, ciąg arytmetyczny w praktyce.

2,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Kartkówka PDF · sklep

Ciągi liczbowe — kartkówka, liceum klasa 3

Wzór ogólny i rekurencyjny, suma wyrazów, monotoniczność.

2,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Wszystkie materiały z matematyki →

Dalej

• Funkcja kwadratowa
• Trygonometria
• Wszystkie działy