Strona główna › Geometria › Trójkąt równoboczny

Trójkąt równoboczny

Q: Ile stopni ma każdy kąt trójkąta równobocznego?

Po 60° — bo trzy równe kąty muszą sumować się do 180°, a 180° : 3 = 60°. To jedyny trójkąt, którego kąty zna się z góry, bez żadnych danych. Działa też odwrotnie: dwa kąty po 60° wymuszają, że trójkąt jest równoboczny.

Q: Dlaczego trójkątami równobocznymi da się wykafelkować płaszczyznę?

Bo 360° : 60° = 6, więc sześć takich trójkątów zetkniętych wierzchołkami wypełnia kąt pełny bez luki. Spośród wielokątów foremnych potrafią to tylko trójkąt, kwadrat i sześciokąt — ich kąty jako jedyne dzielą 360° bez reszty.

Trójkąt równoboczny ma trzy równe boki i trzy kąty po $60°$ — i to wie każdy. Znacznie ciekawsze jest coś, co go odróżnia od wszystkich innych trójkątów: wysokość, środkowa i dwusieczna poprowadzone z dowolnego wierzchołka są w nim jednym i tym samym odcinkiem — i to przy każdym z trzech wierzchołków. W trójkącie różnobocznym to trzy różne odcinki, a w równoramiennym pokrywają się tylko przy jednym wierzchołku, tym między ramionami. Stąd bierze się cała jego wygoda.

Dział: GeometriaPoziom: klasy 4–8Zadań z matury: 4

Przejdź od razu do zadań (4) ↓

1Trzy równe boki, trzy równe kąty

Trójkąt równoboczny ma wszystkie boki równej długości. Z tego wynika reszta, i to natychmiast.

Skoro boki są równe, to naprzeciw każdego leży kąt tej samej miary. Trzy równe kąty sumujące się do $180°$ dają:

180° : 3 = \textcolor{#16A06A}{60°}

Każdy kąt trójkąta równobocznego ma $60°$ — niezależnie od tego, jak duży jest sam trójkąt. To jedyny trójkąt, którego kąty są z góry znane, bez żadnych danych.

Działa to również w drugą stronę: jeśli trójkąt ma trzy kąty po $60°$ , to jest równoboczny. Wystarczy zresztą wiedzieć, że dwa kąty mają po $60°$ — trzeci dopowie się sam.

Równoboczny to szczególny równoramienny

Trójkąt równoramienny ma co najmniej dwa boki równe. Równoboczny ma trzy, więc spełnia ten warunek z nawiązką.

Każdy trójkąt równoboczny jest równoramienny, ale nie odwrotnie. To ta sama zależność co „każdy kwadrat jest rombem” — i ten sam typ pytania w zadaniach prawda–fałsz.

Trójkąt równoboczny bywa też nazywany foremnym — bo ma wszystkie boki i wszystkie kąty równe. To najprostszy z wielokątów foremnych; kolejny to kwadrat.

2Jeden odcinek zamiast trzech

Tu jest własność, dla której warto tę figurę znać osobno.

W dowolnym trójkącie z każdego wierzchołka można poprowadzić trzy różne odcinki:

odcinek	co robi	gdzie trafia
wysokość	pada prostopadle na przeciwległy bok	gdziekolwiek
środkowa	łączy wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku	w środek boku
dwusieczna	dzieli kąt przy wierzchołku na pół	gdziekolwiek

W trójkącie różnobocznym te trzy odcinki rozchodzą się w trzy różne strony. W równoramiennym pokrywają się tylko te poprowadzone z wierzchołka między ramionami.

W równobocznym pokrywają się wszystkie trzy — z każdego wierzchołka

Wysokość, środkowa i dwusieczna poprowadzone z tego samego wierzchołka to jeden i ten sam odcinek.

Powód jest prosty: figura jest symetryczna względem tego odcinka, więc obie połówki są lustrzanym odbiciem. Odbicie nie może trafić raz w środek boku, a raz obok niego.

Praktyczna korzyść jest natychmiastowa: wystarczy narysować jeden odcinek, żeby mieć naraz wysokość, środkową i dwusieczną. W trójkącie różnobocznym trzeba by rysować trzy, a w równoramiennym — trzy przy każdym wierzchołku poza tym między ramionami.

Samą wysokość i jej długość $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ wyliczam przy trójkącie o kątach $30°$ , $60°$ , $90°$ , bo to właśnie połówka równobocznego. Wzór na pole opisuję przy polach trójkąta.

3Trzy osie symetrii

Skoro odcinek z każdego wierzchołka jest osią lustrzanego odbicia, a wierzchołki są trzy — trójkąt równoboczny ma trzy osie symetrii.

figura	liczba osi symetrii
trójkąt różnoboczny	$0$
trójkąt równoramienny (niebędący równobocznym)	$1$
trójkąt równoboczny	$3$
romb i prostokąt	$2$
kwadrat	$4$

Równoboczny to jedyny trójkąt mający więcej niż jedną oś symetrii. To wygodne kryterium rozpoznawania w zadaniach: jeśli o trójkącie napisano, że ma dwie albo trzy osie, jest równoboczny.

Ma też symetrię obrotową: obrót o $120°$ wokół środka przeprowadza go na siebie. Trzy takie obroty dają pełne koło — stąd trzykrotna powtarzalność kształtu.

Warto zauważyć różnicę wobec równoległoboku: taki, który nie jest rombem ani prostokątem, nie ma żadnej osi symetrii, choć wygląda regularnie. Zastrzeżenie jest konieczne — romb i prostokąt też są równoległobokami i w tabeli wyżej mają po dwie osie. Regularność wyglądu i symetria to dwie różne rzeczy.

4Wszystkie punkty szczególne w jednym miejscu

Konsekwencja pokrywania się odcinków jest głębsza, niż widać na pierwszy rzut oka.

W dowolnym trójkącie istnieją cztery „środki”, każdy zdefiniowany inaczej: punkt przecięcia wysokości, punkt przecięcia środkowych, środek okręgu wpisanego i środek okręgu opisanego. Zwykle są to cztery różne punkty.

W trójkącie równobocznym to jeden punkt

Skoro wysokości, środkowe i dwusieczne są tymi samymi odcinkami, to i ich punkty przecięcia muszą się pokryć.

Wszystkie cztery środki schodzą się w jednym miejscu — a okrąg wpisany i opisany są współśrodkowe.

To materiał nadprogramowy

Podstawa programowa szkoły podstawowej wymienia go wprost — dział IX, punkt 1: „rozpoznaje i nazywa trójkąty ostrokątne, prostokątne, rozwartokątne, równoboczne i równoramienne” (blok wymagań dla klas IV–VI; podstawa nie rozdziela go na poszczególne roczniki). Osobnego punktu o własnościach samego trójkąta równobocznego podstawa już nie ma: czworokąty dostały taki punkt (dział IX, punkt 5), trójkąt równoramienny również (punkt 8), a równoboczny wchodzi do zadań przez obliczenia w geometrii.

Środek ciężkości, okrąg wpisany i opisany nie są w niej wymagane — to materiał liceum. Warto go jednak znać, bo tłumaczy, dlaczego ta figura jest w zadaniach tak wygodna.

Ten wspólny punkt dzieli każdy z odcinków w stosunku $2 : 1$ , licząc od wierzchołka. Stąd biorą się promienie obu okręgów — dwie trzecie wysokości dla opisanego i jedna trzecia dla wpisanego:

R = \frac{2}{3}h \qquad r = \frac{1}{3}h \qquad R = 2r \qquad R + r = h

Dla boku $6$ cm wysokość wynosi $3\sqrt{3} \approx 5{,}20$ cm, więc $R = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46$ cm, a $r = \sqrt{3} \approx 1{,}73$ cm. Kontrola: $R + r = 3\sqrt{3}$ , czyli dokładnie wysokość ✓

Sam podział środkowej w stosunku $2 : 1$ dotyczy każdego trójkąta, nie tylko równobocznego — opisuję go przy środkowych.

5Dlaczego sześć takich trójkątów wypełnia płaszczyznę

Kąt $60°$ ma jedną własność, która czyni tę figurę wyjątkową w praktyce.

360° : 60° = \textcolor{#16A06A}{6}

Sześć trójkątów równobocznych zetkniętych wierzchołkami wypełnia kąt pełny — bez luki i bez zachodzenia na siebie. Dlatego równobocznymi można wykafelkować całą płaszczyznę.

Spośród wielokątów foremnych potrafią to tylko trzy: trójkąt równoboczny, kwadrat i sześciokąt foremny. Ich kąty ( $60°$ , $90°$ , $120°$ ) są jedynymi, które dzielą $360°$ bez reszty.

Stąd bierze się obecność tej figury wszędzie tam, gdzie liczy się sztywność i szczelne wypełnienie:

kratownice mostów i dźwigów — trójkąt jest jedyną figurą, której nie da się „przechylić” bez zmiany długości boków,
plaster miodu — sześciokąty rozkładają się na trójkąty równoboczne,
znak drogowy „ustąp pierwszeństwa” — trójkąt równoboczny odwrócony wierzchołkiem w dół,
bilard — piętnaście bil ustawionych w trójkąt,
siatka ostrosłupa prawidłowego trójkątnego — podstawą jest właśnie równoboczny.

Pierwsza pozycja tłumaczy, dlaczego konstrukcje budują się z trójkątów, a nie z czworokątów: czworokąt o danych bokach można przechylić i pole się zmieni, co pokazuję przy polu równoległoboku. Trójkąta przechylić się nie da — trzy boki wyznaczają go jednoznacznie.

6Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: kąty i rozpoznanie, jeden odcinek w trzech rolach oraz promienie okręgów.

Przykład 1 Rozpoznanie po kątach

W trójkącie dwa kąty mają po $60°$ . Czy to wystarczy, żeby stwierdzić, że jest równoboczny?

Suma kątów w trójkącie wynosi $180°$ .
Dwa kąty dają $60° + 60° = 120°$ .
Trzeci kąt: $180° - 120° = 60°$ .
Wszystkie trzy kąty mają więc po $60°$ .
Skoro naprzeciw równych kątów leżą równe boki, wszystkie boki są równe — trójkąt jest równoboczny.
Odpowiedź: tak, dwa kąty po $60°$ wystarczą.
Kontrola: gdyby drugi kąt miał $61°$ , trzeci miałby $59°$ — trzy różne kąty, więc trójkąt różnoboczny ✓

Odpowiedź: Tak — dwa kąty po $60°$ wymuszają trzeci taki sam.

Warto zauważyć, że to najtańsze możliwe kryterium: nie trzeba mierzyć ani jednego boku. Podobnie działa rozpoznanie po osiach symetrii — dwie osie wystarczą, bo trójkąt może mieć ich zero, jedną albo trzy.

Przykład 2 Jeden odcinek, trzy role

W trójkącie równobocznym $ABC$ poprowadzono odcinek z wierzchołka $A$ prostopadle do boku $BC$ . Co jeszcze wiadomo o tym odcinku?

Odcinek jest prostopadły do $BC$ , więc z definicji jest wysokością.
Trójkąt jest symetryczny względem tego odcinka, bo boki $AB$ i $AC$ są równe.
Symetria oznacza, że odcinek trafia dokładnie w środek boku $BC$ — jest więc także środkową.
Ta sama symetria dzieli kąt przy wierzchołku $A$ na dwie równe części, po $30°$ — odcinek jest więc również dwusieczną.
Dodatkowo dzieli trójkąt na dwa przystające trójkąty o kątach $30°$ , $60°$ , $90°$ .
Kontrola kątów w połówce: $30° + 60° + 90° = 180°$ ✓
Kontrola: gdyby trójkąt nie był równoramienny, wysokość nie trafiłaby w środek boku i środkową by nie była ✓

Odpowiedź: Jest jednocześnie wysokością, środkową, dwusieczną i osią symetrii.

Cztery role jednego odcinka to sedno tej figury. W zadaniu wystarczy więc podać jedną z tych własności — pozostałe trzy przysługują automatycznie.

Przykład 3 Sześciokąt złożony z trójkątów

Sześciokąt foremny rozcięto na sześć trójkątów równobocznych o boku $4$ cm. Oblicz obwód sześciokąta i miarę jego kąta wewnętrznego.

Sześć trójkątów schodzi się w środku sześciokąta. Każdy ma tam kąt $60^\circ$ , więc razem: $6 \cdot 60^\circ = 360^\circ$ — pełny obrót, bez luk i bez nakładania ✓
Każdy trójkąt ma trzy boki po $4$ cm, ale nie wszystkie leżą na obwodzie. Dwa z nich to odcinki od środka, wspólne z sąsiednim trójkątem; na zewnątrz wychodzi tylko jeden bok z każdego.
Obwód sześciokąta to więc sześć boków, a nie osiemnaście: $6 \cdot 4 = 24$ cm.
Kąt wewnętrzny sześciokąta powstaje ze zetknięcia dwóch kątów trójkątów: $2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$ .
Kontrola sumą kątów: sześciokąt ma sześć kątów po $120^\circ$ , razem $6 \cdot 120^\circ = 720^\circ$ . Wzór na sumę kątów $n$ -kąta daje $(6 - 2) \cdot 180^\circ = 4 \cdot 180^\circ = 720^\circ$ ✓
Kontrola sensu: gdyby ktoś policzył obwód jako wszystkie boki wszystkich trójkątów, wyszłoby $18 \cdot 4 = 72$ cm — trzy razy za dużo, bo dwie trzecie tych boków leży wewnątrz figury ✓

Odpowiedź: Obwód $24$ cm, kąt wewnętrzny $120^\circ$

To zadanie pokazuje, po co w ogóle wiedzieć, że sześć trójkątów równobocznych składa się w sześciokąt: kąt $120^\circ$ i obwód wychodzą bez żadnego wzoru na sześciokąt, z samych własności trójkąta. Promienie okręgów wpisanego i opisanego w ten trójkąt liczę osobno, na stronie o okręgu wpisanym — tam należą.

7Najczęstsze błędy

Cztery błędy — pierwsze dwa biorą się z przenoszenia własności równobocznego na inne trójkąty.

Zakładanie, że w każdym trójkącie wysokość trafia w środek boku

Skąd się bierze: Uczeń zapamiętuje obraz z trójkąta równobocznego i przenosi go dalej. W trójkącie różnobocznym wysokość, środkowa i dwusieczna rozchodzą się w trzy różne strony, a w rozwartokątnym wysokość wypada nawet poza figurą.

Jak zrobić dobrze: Pokrywanie się tych trzech odcinków to wyjątek, nie reguła — przysługuje równobocznemu z każdego wierzchołka, a równoramiennemu tylko z jednego. W pozostałych przypadkach każdy odcinek trzeba wyznaczyć osobno.

Odwracanie zdania o równoramienności

Skąd się bierze: Z prawdziwego „każdy równoboczny jest równoramienny” robi się fałszywe „każdy równoramienny jest równoboczny”. Wystarczy kontrprzykład: trójkąt o bokach $5$ , $5$ i $8$ jest równoramienny, a równoboczny nie.

Jak zrobić dobrze: Czytaj zależność w jedną stronę: równoboczny to szczególny przypadek równoramiennego, tak jak kwadrat jest szczególnym rombem. Odwrócenie zawsze wymaga kontrprzykładu.

Uznanie boku za wysokość

Skąd się bierze: Wszystkie boki są równe, więc kusi, żeby wstawić bok jako wysokość. Ale wysokość jest prostopadła do boku i zawsze od niego krótsza — dla boku $6$ cm wynosi około $5{,}20$ cm, a nie $6$ cm.

Jak zrobić dobrze: Wysokość liczy się ze wzoru $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ albo z twierdzenia Pitagorasa w połówce trójkąta. Kontrola: musi wyjść mniej niż bok, bo jest przyprostokątną w trójkącie o przeciwprostokątnej równej bokowi.

Mylenie promienia okręgu wpisanego z opisanym

Skąd się bierze: Oba wyliczają się z tej samej wysokości i różnią tylko ułamkiem — $\frac{2}{3}$ albo $\frac{1}{3}$ . Zamiana daje wynik dwukrotnie za duży lub za mały.

Jak zrobić dobrze: Skojarz z rysunkiem: okrąg opisany obejmuje cały trójkąt, więc jest większy — bierze dwie trzecie. Wpisany mieści się w środku, więc bierze jedną trzecią. Kontrola: $R + r$ musi dać całą wysokość.

Zadania maturalne — trójkąt równoboczny

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane. Czerwone — to, co z tego wynika. Trójkąt równoboczny opisuje jedna liczba — bok

a

— a wszystko inne z niej wynika: wysokość

h = \tfrac{a\sqrt3}{2}

, pole

P = \tfrac{a^2\sqrt3}{4}

, obwód

3a

. Działa to też w drugą stronę: mając którąkolwiek z tych wielkości, odtworzysz bok, a z niego resztę. Dlatego w tych zadaniach cała praca polega na dwóch rzeczach — rozpoznać, co podano, i przeczytać, o co pytają. Bardzo często poprawny rachunek prowadzi do liczby, która jest w trójkącie prawdziwa, tylko odpowiada na inne pytanie: bok zamiast obwodu, wysokość zamiast boku. Warto też zapamiętać, że $h$ nie jest bokiem — pomylenie ich to najczęstszy błąd w całym temacie.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2022)1 pktśrednie

Wysokość trójkąta równobocznego jest równa

6\sqrt{3}

. Pole tego trójkąta jest równe

A. $3\sqrt{3}$
B. $4\sqrt{3}$
C. $27\sqrt{3}$
D. $36\sqrt{3}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Droga jest dwuetapowa: z wysokości do boku, a z boku do pola. Nie da się przeskoczyć od razu do pola, bo wzór na pole używa boku, a nie wysokości.
$h = \dfrac{a\sqrt3}{2}$ , więc $\textcolor{#16A06A}{6\sqrt3} = \dfrac{a\sqrt3}{2}$ , czyli $a = \dfrac{2 \cdot \textcolor{#16A06A}{6\sqrt3}}{\sqrt3} = \textcolor{#E0453A}{12}$ .
$P = \dfrac{a^2\sqrt3}{4} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{12}^2 \cdot \sqrt3}{4} = \dfrac{144\sqrt3}{4} = \textcolor{#E0453A}{36\sqrt3}$
Odpowiedź: D.
Kontrola drugą drogą, wzorem „połowa podstawy razy wysokość”: $P = \tfrac12 \cdot \textcolor{#E0453A}{12} \cdot \textcolor{#16A06A}{6\sqrt3} = 6 \cdot 6\sqrt3 = 36\sqrt3$ ✓ — ten sam wynik bez wzoru na pole trójkąta równobocznego.
Kontrola sensem: bok $12$ jest dłuższy od wysokości $6\sqrt3 \approx 10{,}39$ ✓. W trójkącie równobocznym zawsze tak jest, bo $\tfrac{\sqrt3}{2} \approx 0{,}87$ — wysokość to około $87\%$ boku. Gdyby bok wyszedł krótszy od wysokości, rachunek poszedłby w złą stronę.

💡 Wskazówka: Nie licz pola wprost z wysokości — najpierw wyznacz bok. A żeby sprawdzić, czy nie pomnożyłeś zamiast podzielić przez $\tfrac{\sqrt3}{2}$ , porównaj wynik z wysokością: bok musi być od niej dłuższy, ale nie więcej niż o jakieś $15\%$ .

⚠ Odpowiedź $C$ , czyli $27\sqrt3$ — z potraktowania wysokości jako boku: podstawienie $a = 6\sqrt3$ do wzoru na pole daje $\tfrac{(6\sqrt3)^2\sqrt3}{4} = \tfrac{108\sqrt3}{4} = 27\sqrt3$ . To najczęstszy błąd w całym temacie i dlatego ta liczba jest wśród odpowiedzi. Odpowiedzi $A$ i $B$ odpowiadają bokom $2\sqrt3 \approx 3{,}5$ oraz $4$ — czyli trójkątom kilkakrotnie mniejszym niż ten z zadania; wystarczy porównać je z podaną wysokością, żeby je odrzucić.

Zadanie 2 (sierpień 2017)1 pktśrednie

Dany jest trójkąt równoboczny, którego pole jest równe

6\sqrt{3}

. Bok tego trójkąta ma długość

A. $3\sqrt{2}$
B. $2\sqrt{3}$
C. $2\sqrt{6}$
D. $6\sqrt{2}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Ten sam wzór, ale użyty w drugą stronę: pole jest dane, szukamy boku.
$\dfrac{a^2\sqrt3}{4} = \textcolor{#16A06A}{6\sqrt3}$
Mnożymy obie strony przez $4$ i dzielimy przez $\sqrt3$ — pierwiastki się skracają:
$a^2 = \dfrac{4 \cdot \textcolor{#16A06A}{6\sqrt3}}{\sqrt3} = \textcolor{#E0453A}{24}$
$a = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{24}} = \textcolor{#E0453A}{2\sqrt6}$
Odpowiedź: C.
Kontrola „do przodu”: $\dfrac{\left(2\sqrt6\right)^2 \sqrt3}{4} = \dfrac{24\sqrt3}{4} = 6\sqrt3$ ✓ — dokładnie podane pole.
Skrót przy zadaniu zamkniętym: skoro $a^2 = 24$ , wystarczy podnieść do kwadratu cztery podane odpowiedzi i zobaczyć, która daje $24$ . Wychodzi kolejno $18$ , $12$ , $24$ i $72$ — pasuje tylko trzecia. Ta droga jest szybsza od pierwiastkowania i nie da się na niej pomylić przy upraszczaniu.

💡 Wskazówka: Przy równaniu z pierwiastkiem po obu stronach najpierw je skróć, a dopiero potem licz — inaczej wpadniesz w $\sqrt{\sqrt3}$ . A w zadaniu zamkniętym najszybciej jest podnieść odpowiedzi do kwadratu i porównać z $a^2$ ; kwadratowanie jest łatwiejsze niż pierwiastkowanie.

⚠ Najczęstszy błąd to pomnożenie zamiast podzielenia przez $\sqrt3$ : wychodzi wtedy $a^2 = 72$ , czyli $a = 6\sqrt2$ — odpowiedź $D$ . Odpowiedź $B$ , czyli $2\sqrt3$ , odpowiada polu $3\sqrt3$ , czyli połowie podanego; powstaje przy zgubieniu czwórki w mianowniku. Kontrola „do przodu” wykrywa każdy z tych błędów w jednej linijce.

Zadanie 3 (maj 2021)1 pkttrudniejsze

Pole pewnego trójkąta równobocznego jest równe

\dfrac{4\sqrt{3}}{9}

. Obwód tego trójkąta jest równy

A. $4$
B. $2$
C. $\dfrac{4}{3}$
D. $\dfrac{2}{3}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Droga jest trzyetapowa i to jest cała trudność: z pola do kwadratu boku, z niego do boku, a z boku dopiero do obwodu.
$\dfrac{a^2\sqrt3}{4} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{4\sqrt3}{9}}$
$a^2 = \dfrac{4}{\sqrt3} \cdot \textcolor{#16A06A}{\dfrac{4\sqrt3}{9}} = \dfrac{16}{9}$ , czyli $a = \textcolor{#E0453A}{\dfrac43}$ .
Obwód to trzy boki:
$3a = 3 \cdot \textcolor{#E0453A}{\dfrac43} = \textcolor{#E0453A}{4}$
Odpowiedź: A.
Kontrola „do przodu”: dla $a = \tfrac43$ pole wynosi $\dfrac{\left(\tfrac43\right)^2\sqrt3}{4} = \dfrac{\tfrac{16}{9}\sqrt3}{4} = \dfrac{4\sqrt3}{9}$ ✓.
Zwróć uwagę, jak dobrano odpowiedzi: $\tfrac43$ to bok, a nie obwód. Liczba, do której doprowadza poprawny rachunek w przedostatnim kroku, jest wśród odpowiedzi — wystarczy zapomnieć o pomnożeniu przez trzy, żeby wybrać źle. To ten sam mechanizm, co w poprzednich zadaniach: prawidłowy rachunek, złe pytanie.

💡 Wskazówka: Przy ułamkach nie upraszczaj w pamięci — zapisz $a^2$ jako jeden ułamek i dopiero potem pierwiastkuj licznik i mianownik osobno: $\sqrt{\tfrac{16}{9}} = \tfrac43$ . I na samym końcu przeczytaj pytanie jeszcze raz: „obwód” to trzy boki, nie jeden.

⚠ Odpowiedź $C$ , czyli $\tfrac43$ — podanie boku zamiast obwodu. To nie jest błąd rachunkowy: cały rachunek jest poprawny, brakuje tylko ostatniego mnożenia. Odpowiedź $D$ , czyli $\tfrac23$ , to połowa boku — czyli wynik pierwiastkowania samego licznika bez mianownika albo pomylenia $\tfrac{16}{9}$ z $\tfrac49$ .

Zadanie 4 (sierpień 2013)1 pkttrudniejsze

Z prostokąta

ABCD

o obwodzie

30

wycięto trójkąt równoboczny

AOD

o obwodzie

15

(tak jak na rysunku).

Obwód zacieniowanej figury jest równy

A. $25$
B. $30$
C. $35$
D. $40$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Zadanie wygląda na rachunek na figurach, ale jest rachunkiem na brzegu. Trzeba prześledzić, co z brzegu prostokąta znika, a co dochodzi.
Trójkąt jest równoboczny i ma obwód $\textcolor{#16A06A}{15}$ , więc jego bok wynosi $\textcolor{#E0453A}{5}$ . Bok $AD$ jest wspólny — to jednocześnie bok trójkąta i bok prostokąta, więc $AD = \textcolor{#E0453A}{5}$ .
Prostokąt ma obwód $\textcolor{#16A06A}{30}$ , czyli $2 \cdot (AB + AD) = \textcolor{#16A06A}{30}$ , skąd $AB = 15 - \textcolor{#E0453A}{5} = \textcolor{#E0453A}{10}$ .
Teraz brzeg zacieniowanej figury. Znika bok $AD$ (jest teraz wewnątrz wycięcia), a dochodzą dwa boki trójkąta: $AO$ i $OD$ , każdy po $\textcolor{#E0453A}{5}$ .
$\text{Obwód} = \underbrace{\textcolor{#16A06A}{30}}_{\text{prostokąt}} - \underbrace{\textcolor{#E0453A}{5}}_{AD} + \underbrace{\textcolor{#E0453A}{5} + \textcolor{#E0453A}{5}}_{AO + OD} = \textcolor{#E0453A}{35}$
Odpowiedź: C.
Kontrola przez wypisanie wszystkich odcinków po kolei: $AB = 10$ , $BC = 5$ , $CD = 10$ , $DO = 5$ , $OA = 5$ . Razem $35$ ✓ — pięć odcinków, bo zacieniowana figura jest pięciokątem.
Kontrola kierunkiem, bez rachunku: wycięcie trójkąta wydłuża brzeg, bo jeden prosty odcinek zastępują dwa, które razem są od niego dłuższe (nierówność trójkąta). Odpowiedź musi więc przekraczać $30$ — co od razu odrzuca $A$ i $B$ .

💡 Wskazówka: Przy figurach złożonych nie licz pól ani obwodów całości — prześledź brzeg: co przestaje do niego należeć i co dochodzi. Tu wspólny bok $AD$ znika, a wchodzą dwa boki trójkąta. Sprawdź na końcu kierunek: wycięcie „wgłębienia” zawsze wydłuża obwód.

⚠ Odpowiedź $D$ , czyli $40$ — z dodania całego obwodu trójkąta zamiast dwóch jego boków: $30 - 5 + 15$ . Bok $AD$ dochodzi wtedy z powrotem, choć został wycięty. Odpowiedź $A$ , czyli $25$ , to $30 - 5$ , czyli odjęcie wspólnego boku bez doliczenia dwóch nowych. Odpowiedź $B$ , czyli $30$ , zakłada, że obwód się nie zmienił — a zmienia się zawsze, gdy odcinek zastępuje łamana.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. D

2. C

3. A

4. C

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

8Pytania i odpowiedzi

Ile stopni ma każdy kąt trójkąta równobocznego?

Po $60°$ — bo trzy równe kąty muszą sumować się do $180°$ , a $180° : 3 = 60°$ . To jedyny trójkąt, którego kąty zna się z góry, bez żadnych danych. Działa też odwrotnie: dwa kąty po $60°$ wymuszają, że trójkąt jest równoboczny.

Ile osi symetrii ma trójkąt równoboczny?

Trzy — po jednej z każdego wierzchołka. To jedyny trójkąt mający więcej niż jedną oś: równoramienny ma jedną, a różnoboczny żadnej. Ma też symetrię obrotową o $120°$ .

Czy w trójkącie równobocznym wysokość jest środkową?

Tak, i jednocześnie dwusieczną oraz osią symetrii — to jeden i ten sam odcinek. Wynika to z symetrii figury. W trójkącie różnobocznym są to trzy różne odcinki, a w równoramiennym pokrywają się tylko przy wierzchołku między ramionami.

Czy trójkąt równoboczny jest równoramienny?

Tak. Równoramienny to trójkąt o co najmniej dwóch równych bokach, a równoboczny ma trzy. Odwrotnie już nie — trójkąt o bokach $5$ , $5$ i $8$ jest równoramienny, ale nie równoboczny.

Dlaczego trójkątami równobocznymi da się wykafelkować płaszczyznę?

Bo $360° : 60° = 6$ , więc sześć takich trójkątów zetkniętych wierzchołkami wypełnia kąt pełny bez luki. Spośród wielokątów foremnych potrafią to tylko trójkąt, kwadrat i sześciokąt — ich kąty jako jedyne dzielą $360°$ bez reszty.

Jaki jest promień okręgu wpisanego i opisanego w trójkącie równobocznym?

Opisany to dwie trzecie wysokości, wpisany — jedna trzecia, więc $R = 2r$ , a ich suma równa się wysokości. Dla boku $6$ cm wychodzi $R = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46$ cm i $r = \sqrt{3} \approx 1{,}73$ cm. To materiał nadprogramowy.

Czytaj dalej

TrójkątRodzaje trójkątów i trzy różne wysokości w figurze ogólnej Trójkąt 30, 60, 90Połówka równobocznego — stąd wysokość a√3/2 Pole trójkątaWzór z samym bokiem dla trójkąta równobocznego Środkowe w trójkąciePodział w stosunku 2:1 — zachodzi w każdym trójkącie

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.