Kwadrat — własności, przekątna i miejsce wśród czworokątów

Odpowiedź: A

1. Okrąg opisany na kwadracie przechodzi przez wszystkie cztery wierzchołki, a jego środek leży w punkcie przecięcia przekątnych. Przekątna kwadratu jest więc średnicą tego okręgu.
2. $d = 2 \cdot \textcolor{#16A06A}{4} = \textcolor{#E0453A}{8}$
3. Przekątna kwadratu wiąże się z bokiem wzorem $d = a\sqrt2$, więc:
4. $a = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{8}}{\sqrt2} = \dfrac{8\sqrt2}{2} = \textcolor{#E0453A}{4\sqrt2}$
5. Odpowiedź: A.
6. Kontrola „do przodu”: dla boku $4\sqrt2$ przekątna wynosi $4\sqrt2 \cdot \sqrt2 = 8$, a promień $4$ ✓.
7. Kontrola sensem: bok musi być krótszy od przekątnej ($8$), ale dłuższy od promienia ($4$) — bo przekątna jest najdłuższym odcinkiem w kwadracie, a promień to jej połowa. Wynik $4\sqrt2 \approx 5{,}66$ mieści się między $4$ a $8$ ✓. Ta jedna nierówność odrzuca odpowiedzi $B$, $C$ i $D$.

💡 Wskazówka: Zapamiętaj, co jest średnicą: przy okręgu opisanym — przekątna kwadratu, przy okręgu wpisanym — bok. To rozróżnienie decyduje o całym zadaniu, a rachunek jest potem jednolinijkowy. Sprawdź na końcu, czy bok wypadł między promieniem a średnicą.

⚠ Odpowiedź $C$, czyli $8$ — podanie przekątnej zamiast boku, czyli zatrzymanie się po pierwszym kroku. Odpowiedź $D$, czyli $4$, to przepisany promień; wybiera ją ten, kto uzna, że promień okręgu opisanego równa się połowie boku — a to jest reguła dla okręgu wpisanego. Odpowiedź $B$, czyli $2\sqrt2$, to połowa poprawnej: promień potraktowany jak bok i podzielony przez $\sqrt2$.

Odpowiedź: B

1. To ta sama figura co w poprzednim zadaniu — kwadrat wpisany w okrąg to dokładnie to samo, co okrąg opisany na kwadracie, tylko powiedziane z drugiej strony. Promień też jest ten sam. Zmienia się wyłącznie pytanie.
2. Z poprzedniego zadania wiemy, że bok wynosi $\textcolor{#E0453A}{4\sqrt2}$ cm. Zostaje podnieść go do kwadratu:
3. $P = \left(\textcolor{#E0453A}{4\sqrt2}\right)^2 = 16 \cdot 2 = \textcolor{#E0453A}{32}\ \text{cm}^2$
4. Odpowiedź: B.
5. Kontrola drugą drogą, przez przekątne. Kwadrat jest rombem, więc jego pole to połowa iloczynu przekątnych, a obie przekątne są średnicami: $P = \tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{8} \cdot \textcolor{#16A06A}{8} = \textcolor{#E0453A}{32}$ cm² ✓ — bez wyliczania boku w ogóle.
6. Kontrola porównaniem z kołem: kwadrat mieści się w kole o promieniu $4$, którego pole wynosi $16\pi \approx 50{,}3$ cm². Wynik $32$ jest od niego mniejszy ✓, i to o rozsądnie dużo — kwadrat zajmuje około $64\%$ koła. Odpowiedź $A$ ($64$) przekracza pole koła, więc jest niemożliwa.

💡 Wskazówka: Przy kwadracie wpisanym w okrąg najkrótsza droga do pola prowadzi przez przekątne, a nie przez bok: obie przekątne są średnicami, a pole kwadratu to połowa ich iloczynu. Oszczędza to całe pierwiastkowanie.

⚠ Odpowiedź $A$, czyli $64$ — potraktowanie przekątnej jako boku: $8^2 = 64$. Ten wynik przekracza pole koła, w którym kwadrat ma się zmieścić, więc odpada nawet bez rachunku. Odpowiedź $C$, czyli $16$, to $4^2$, czyli promień potraktowany jak bok. Obie liczby, $8$ i $4$, naprawdę w tym zadaniu występują — i obie prowadzą do błędu, jeśli podstawić je w złe miejsce.

Odpowiedź: C

1. Kluczowa obserwacja jest jedna: odcinki $CD$ i $CE$ mają tę samą długość. Pierwszy jest bokiem kwadratu, drugi bokiem trójkąta równobocznego zbudowanego na boku kwadratu — a więc oba równają się bokowi kwadratu.
2. Trójkąt $DCE$ jest zatem równoramienny, o wierzchołku w $C$.
3. Kąt przy tym wierzchołku składa się z dwóch kątów przylegających do siebie na zewnątrz: kąta kwadratu i kąta trójkąta równobocznego.
4. $|\sphericalangle DCE| = |\sphericalangle DCB| + |\sphericalangle BCE| = \textcolor{#16A06A}{90^\circ} + \textcolor{#16A06A}{60^\circ} = \textcolor{#E0453A}{150^\circ}$
5. W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe, a razem z kątem przy wierzchołku dają $180^\circ$:
6. $|\sphericalangle DEC| = \dfrac{180^\circ - \textcolor{#E0453A}{150^\circ}}{2} = \textcolor{#E0453A}{15^\circ}$
7. Odpowiedź: C.
8. Kontrola sensem: kąt przy wierzchołku wynosi aż $150^\circ$, więc trójkąt $DCE$ jest bardzo „płaski” i oba kąty przy podstawie muszą być małe — razem mają zaledwie $30^\circ$. Odpowiedź $D$ ($30^\circ$) to dokładnie ta suma, a nie pojedynczy kąt.
9. Warto zauważyć, że długość boku kwadratu nigdzie nie była potrzebna. Wynik jest ten sam dla kwadratu o boku $1$ i o boku $100$ — bo całe zadanie dotyczy kątów, a te przy zmianie skali się nie zmieniają.

💡 Wskazówka: Szukaj równych odcinków: bok kwadratu i bok trójkąta równobocznego zbudowanego na nim to ta sama długość, więc powstaje trójkąt równoramienny. Potem wystarczy dodać dwa znane kąty przy wspólnym wierzchołku i odjąć sumę od $180^\circ$, dzieląc na pół.

⚠ Odpowiedź $D$, czyli $30^\circ$ — to suma obu kątów przy podstawie, czyli wynik bez podzielenia przez dwa. Odpowiedź $B$, czyli $20^\circ$, powstaje przy przyjęciu kąta przy wierzchołku równego $140^\circ$ — na przykład z dodania $90^\circ$ i $50^\circ$. Drugi typowy błąd to szukanie długości boku i próba liczenia funkcjami trygonometrycznymi: rachunek się wtedy udaje, ale zajmuje wielokrotnie więcej czasu, bo bok i tak się skróci.

Odpowiedź: P, P

1. Zacznijmy od kątów trójkąta. Jest równoramienny, a kąt przy wierzchołku $C$ ma $\textcolor{#16A06A}{45^\circ}$, więc oba kąty przy podstawie wynoszą $\dfrac{180^\circ - \textcolor{#16A06A}{45^\circ}}{2} = \textcolor{#E0453A}{67{,}5^\circ}$.
2. Stwierdzenie pierwsze. Rozpatrzmy trójkąt $AGD$: jego wierzchołek $A$ leży na podstawie, $G$ na ramieniu $AC$, a $D$ na podstawie $AB$. Kąt przy $A$ to kąt trójkąta, czyli $\textcolor{#E0453A}{67{,}5^\circ}$.
3. Kąt przy $D$ jest kątem między podstawą $AB$ a bokiem $DG$ kwadratu. Bok $DE$ kwadratu tworzy z podstawą pewien kąt, a $DG$ jest do $DE$ prostopadły — stąd, po prześledzeniu kątów, $|\sphericalangle ADG| = \textcolor{#E0453A}{67{,}5^\circ}$ również.
4. Trójkąt $AGD$ jest więc równoramienny, a trzeci jego kąt wynosi $180^\circ - 2 \cdot \textcolor{#E0453A}{67{,}5^\circ} = \textcolor{#E0453A}{45^\circ}$.
5. PRAWDA.
6. Stwierdzenie drugie. Pole kwadratu równa się $\textcolor{#16A06A}{1}$, więc jego bok też wynosi $\textcolor{#E0453A}{1}$.
7. Z pierwszego stwierdzenia wiemy, że trójkąt $AGD$ ma przy $A$ i przy $D$ równe kąty, więc jest równoramienny o wierzchołku w $G$ — czyli $|AG| = |GD| = \textcolor{#E0453A}{1}$, bo $GD$ jest bokiem kwadratu.
8. Odcinek $BE$ liczymy z trójkąta $BED$: kąt przy $B$ to $\textcolor{#E0453A}{67{,}5^\circ}$, a kąt przy $E$ jest prosty, bo $DE$ jest bokiem kwadratu prostopadłym do ramienia $BC$, na którym leży $E$. Wychodzi $|BE| = \textcolor{#E0453A}{\sqrt2 - 1}$.
9. $|AG| - |BE| = \textcolor{#E0453A}{1} - \left(\textcolor{#E0453A}{\sqrt2 - 1}\right) = \textcolor{#E0453A}{2 - \sqrt2}$
10. PRAWDA.
11. Odpowiedź: PP.
12. Kontrola liczbowa: $\sqrt2 - 1 \approx 0{,}414$, więc $|BE| \approx 0{,}414$, a $|AG| = 1$. Różnica to $\approx 0{,}586$, a $2 - \sqrt2 \approx 0{,}586$ ✓.
13. Kontrola sensem: $|BE|$ musi być krótsze od boku kwadratu, bo trójkąt $BED$ ma przy $B$ kąt ostry, a bok $DE$ jest jego przyprostokątną leżącą naprzeciw kąta większego. I rzeczywiście $0{,}414 < 1$ ✓.

💡 Wskazówka: Rozpisz najpierw wszystkie kąty: $45^\circ$ przy wierzchołku daje $67{,}5^\circ$ przy podstawie, a boki kwadratu są parami prostopadłe. Gdy zobaczysz, że trójkąt $AGD$ ma dwa równe kąty, drugie stwierdzenie robi się natychmiastowe — bo $|AG|$ okazuje się bokiem kwadratu, czyli po prostu $1$.

⚠ Najczęstszy błąd to przyjęcie, że kąty przy podstawie wynoszą $45^\circ$ — czyli pomylenie kąta przy wierzchołku z kątami przy podstawie. Trójkąt byłby wtedy prostokątny i oba stwierdzenia wyszłyby fałszywe. Drugi błąd to policzenie $|AG|$ z twierdzenia sinusów zamiast zauważenia, że trójkąt $AGD$ jest równoramienny — rachunek jest wtedy poprawny, ale znacznie dłuższy i łatwo w nim pomylić, który kąt leży naprzeciw którego boku.