Strona główna › Liczby i działania › Liczby naturalne

Liczby naturalne

Q: Po co w liczbie zero, skoro nic nie znaczy?

Bo trzyma puste miejsce. W 305 mówi, że dziesiątek nie ma — bez niego zostałoby 35, czyli inna liczba. Bez zera nie da się zbudować układu pozycyjnego i dlatego Rzymianie, których zapis pozycyjny nie był, zera nie potrzebowali.

Q: Jak zaokrąglać liczby naturalne?

Spójrz na pierwszą odrzucaną cyfrę: 0–4 zaokrąglasz w dół, 5–9 w górę, a pozostałe cyfry zastępujesz zerami. Zawsze z liczby oryginalnej — zaokrąglanie etapami daje błędny wynik: 2847 do setek to 2800, a nie 2900.

Q: Czy odejmowanie zawsze da liczbę naturalną?

Nie. 3 - 5 nie ma wyniku wśród liczb naturalnych i dlatego w klasie szóstej pojawiają się liczby całkowite. Dodawanie i mnożenie natomiast nigdy nie wyprowadzają poza ten zbiór.

Liczby naturalne to te, którymi liczy się przedmioty: $0$ , $1$ , $2$ , $3$ i tak dalej bez końca. Najczęstsze pytanie w tym temacie brzmi jednak inaczej — czy zero do nich należy. Odpowiedź zależy od kraju, a to znaczy, że warto wiedzieć, która wersja obowiązuje na polskim sprawdzianie.

Dział: Liczby i działaniaPoziom: klasy 4–6Zadań z E8: 5

Przejdź od razu do zadań (5) ↓

1Czy zero jest liczbą naturalną

To jedno z niewielu pytań w szkolnej matematyce, na które nie ma jednej odpowiedzi na świecie — i właśnie dlatego warto je zrozumieć, zamiast zapamiętać.

konwencja	zbiór liczb naturalnych	gdzie obowiązuje
z zerem	$0$ , $1$ , $2$ , $3$ , …	Polska, Francja, teoria mnogości, informatyka
bez zera	$1$ , $2$ , $3$ , …	część krajów anglosaskich, wiele podręczników akademickich

Co obowiązuje w polskiej szkole

Zero JEST liczbą naturalną — i jest najmniejszą z nich.

Tak podaje Zintegrowana Platforma Edukacyjna prowadzona przez ministerstwo: liczby naturalne to „ $0, 1, 2, 3, 4, 5, \ldots$ ”.

W polskim zadaniu odpowiedź „zero jest liczbą naturalną” jest więc poprawna, a „nie jest” — błędna.

Dlaczego w ogóle istnieje wybór? Bo to nie jest twierdzenie do udowodnienia, tylko umowa. Matematycy mogą zacząć liczyć od zera albo od jedynki i obie wersje da się konsekwentnie rozwinąć.

Za włączeniem zera przemawia praktyka: jeśli w pudełku nie ma nic, chcemy powiedzieć, że jest tam zero przedmiotów — a to też jest wynik liczenia. Poza tym przy zbiorach zero elementów jest sytuacją równie normalną jak każda inna.

Warto odróżniać dwa rodzaje zdań w matematyce. Że jedynka nie jest liczbą pierwszą, wynika z konsekwencji — dopuszczenie jej zepsułoby jednoznaczność rozkładu. Że zero jest naturalne, to natomiast umowa — wygodna, ale nie wymuszona. Umiejętność rozpoznania, z którym przypadkiem się ma do czynienia, przydaje się przez całą naukę matematyki.

Czego zero na pewno nie jest: nie jest ani dodatnie, ani ujemne — leży dokładnie pomiędzy. To również umowa i również nie całkiem powszechna: we francuskiej tradycji słowo positif obejmuje zero, a liczby większe od zera nazywa się tam strictement positif. W polskim zadaniu obowiązuje nasza wersja: zero nie jest dodatnie.

2Układ pozycyjny — rzędy i klasy

Dział podstawy programowej nazywa się „Liczby naturalne w dziesiątkowym układzie pozycyjnym” i ta nazwa mówi wszystko o tym, jak zapisujemy liczby.

Pozycyjny znaczy, że o wartości cyfry decyduje jej miejsce. W liczbie $305$ trójka nie znaczy trzy, tylko trzysta.

305 = \textcolor{#16A06A}{3} \cdot 100 + \textcolor{#2F80D8}{0} \cdot 10 + \textcolor{#E0453A}{5} \cdot 1

Dziesiątkowy znaczy, że kolejne miejsca rosną dziesięciokrotnie: jedności, dziesiątki, setki, tysiące. To dlatego jednostek długości też nie trzeba przeliczać rachunkiem, a wystarczy przesunąć przecinek.

Przy dużych liczbach rzędy grupuje się po trzy w klasy — i tak właśnie czyta się liczby wielocyfrowe:

klasa	rzędy	przykład w liczbie $2\,407\,016$
milionów	setki, dziesiątki i jedności milionów	$2$ — dwa miliony
tysięcy	setki, dziesiątki i jedności tysięcy	$407$ — czterysta siedem tysięcy
jedności	setki, dziesiątki, jedności	$016$ — szesnaście

Czytamy więc: dwa miliony czterysta siedem tysięcy szesnaście. Grupowanie po trzy cyfry — w Polsce oddzielane spacją, nie przecinkiem — służy dokładnie temu, żeby dało się to przeczytać bez liczenia zer.

Dla kontrastu warto zobaczyć system niepozycyjny: w cyfrach rzymskich każdy znak ma wartość stałą, niezależną od kolumny, w której stoi — X znaczy dziesięć zawsze, a nie „dziesięć albo sto, zależnie od miejsca”. Kolejność owszem coś tam znaczy, ale tylko lokalnie: IV to cztery, a VI sześć, bo mniejszy znak przed większym się odejmuje. Nie ma tam jednak pozycji, która mogłaby być pusta — i właśnie dlatego zapis rzymski nie potrzebuje zera, a nasz bez niego nie mógłby istnieć.

3Trzy role zera w zapisie

Zero jest w układzie pozycyjnym najbardziej pracowitym znakiem i pełni trzy różne funkcje, które warto rozróżniać.

Liczba sama w sobie — wynik działania $7 - 7$ albo liczba przedmiotów w pustym pudełku.
Trzymacz miejsca — w $305$ mówi, że dziesiątek nie ma. Bez niego zostałoby $35$ , czyli zupełnie inna liczba.
Znak nic nieznaczący na początku — w zapisie $007$ zera niczego nie wnoszą; $007 = 7$ .

To jest powód, dla którego zero w ogóle wymyślono

Rola druga — trzymanie pustego miejsca — jest historycznie najważniejsza. Bez niej nie da się zbudować układu pozycyjnego, bo nie sposób odróżnić $35$ od $305$ .

Rzymianie zera nie mieli i nie potrzebowali, bo ich zapis nie był pozycyjny. Zero jako cyfra przyszło do Europy z Indii przez świat arabski i dopiero ono umożliwiło pisemne rachunki, które znamy dziś.

Rola trzecia bywa źródłem nieporozumień w zadaniach o zapisie liczb: zera na początku się nie liczą, więc liczba trzycyfrowa nie może zaczynać się od zera. To ograniczenie pojawia się w zadaniach typu „ile jest liczb trzycyfrowych o danej własności”.

4Porównywanie i zaokrąglanie

Obie czynności wymienia podstawa programowa (wersja od 2025) w dziale I „Liczby naturalne w dziesiątkowym układzie pozycyjnym”, blok klas IV–VI, jako punkty 3 i 4: „porównuje liczby naturalne” oraz „zaokrągla liczby naturalne”. Obie opierają się wprost na układzie pozycyjnym.

Porównywanie zaczyna się od liczby cyfr: liczba mająca ich więcej jest większa, bo $1000 > 999$ . Przy równej liczbie cyfr porównujemy od lewej, aż trafimy na pierwszą różnicę. W parze $2847$ i $2874$ pierwsze dwie cyfry są takie same, a decyduje rząd dziesiątek: $4 < 7$ , więc $2847$ jest mniejsze.

Zaokrąglanie polega na zastąpieniu liczby najbliższą okrągłą. Reguła jest jedna: patrzymy na pierwszą cyfrę odrzucaną.

cyfra $0$ , $1$ , $2$ , $3$ lub $4$ — zaokrąglamy w dół,
cyfra $5$ , $6$ , $7$ , $8$ lub $9$ — zaokrąglamy w górę,
wszystkie cyfry za nią zastępujemy zerami.

2847 \to \textcolor{#16A06A}{2850}\ \text{(dziesiątki)} \qquad \textcolor{#2F80D8}{2800}\ \text{(setki)} \qquad \textcolor{#E0453A}{3000}\ \text{(tysiące)}

Pułapka zaokrąglania etapami

Zaokrąglając $2847$ do setek, patrzymy na cyfrę dziesiątek — czyli $4$ — i schodzimy do $2800$ .

Kusi, żeby zrobić to w dwóch krokach: najpierw do dziesiątek ( $2850$ ), potem do setek ( $2900$ ). Wynik jest inny i błędny.

Zaokrąglaj zawsze z liczby oryginalnej, jednym ruchem, patrząc tylko na jedną cyfrę.

5Gdzie kończą się liczby naturalne

Zbiór liczb naturalnych ma dwie cechy, które warto zauważyć razem.

Nie ma liczby największej. Do każdej można dodać jeden i dostać większą, więc liczb naturalnych jest nieskończenie wiele. Ale jest najmniejsza — w polskiej konwencji zero.

Nie każde działanie da się w nich wykonać. Dodawanie i mnożenie zawsze dają liczbę naturalną, ale odejmowanie i dzielenie już nie: $3 - 5$ i $3 : 4$ wyprowadzają poza zbiór.

To właśnie dlatego w dalszej nauce pojawiają się liczby całkowite i ułamki. Kolejność, w jakiej te zbiory wchodzą do programu, opisuję na stronie działu, a to, jak się w sobie zawierają — na mapie rodzajów liczb.

Warto też pamiętać, że zapis nie przesądza o rodzaju liczby: $\frac{6}{3}$ ma kreskę ułamkową, a jest liczbą naturalną, bo równa się $2$ .

6Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: czytanie liczby wielocyfrowej, zaokrąglanie do trzech rzędów i zadanie o zapisie.

Przykład 1 Odczytanie liczby wielocyfrowej

Przeczytaj liczbę $2407016$ i podaj, jaka cyfra stoi w rzędzie dziesiątek tysięcy.

Grupuję cyfry po trzy od prawej: $2\,407\,016$ .
Pierwsza grupa od lewej to klasa milionów: $2$ — dwa miliony.
Druga to klasa tysięcy: $407$ — czterysta siedem tysięcy.
Trzecia to klasa jedności: $016$ , czyli szesnaście.
Czytam całość: dwa miliony czterysta siedem tysięcy szesnaście.
Rząd dziesiątek tysięcy to środkowa cyfra w klasie tysięcy, czyli $0$ .
Kontrola: $2 \cdot 1000000 + 407 \cdot 1000 + 16 = 2000000 + 407000 + 16 = 2407016$ ✓

Odpowiedź: Dwa miliony czterysta siedem tysięcy szesnaście; w rzędzie dziesiątek tysięcy stoi $0$ .

Grupowanie zawsze od prawej, nie od lewej — inaczej przy liczbie o niepełnej pierwszej klasie wszystko się przesunie. Zero w środku jest tu trzymaczem miejsca: bez niego zostałoby $247016$ — nie liczba dziesięciokrotnie mniejsza, tylko zupełnie inna (iloraz wynosi około $9{,}74$ ). Skreślenie cyfry dzieli liczbę przez dziesięć wyłącznie wtedy, gdy skreślana cyfra stoi na końcu.

Przykład 2 Zaokrąglanie do trzech różnych rzędów

Zaokrąglij $2847$ do dziesiątek, setek i tysięcy.

Do dziesiątek: odrzucam jedności, więc patrzę na cyfrę jedności — to $7$ , czyli $\geq 5$ , zaokrąglam w górę: $2850$ .
Do setek: odrzucam dziesiątki i jedności, więc patrzę na cyfrę dziesiątek — to $4$ , czyli $< 5$ , zaokrąglam w dół: $2800$ .
Do tysięcy: patrzę na cyfrę setek — to $8$ , czyli $\geq 5$ , zaokrąglam w górę: $3000$ .
Zwróć uwagę, że przy każdym rzędzie patrzę na inną cyfrę oryginalnej liczby, a nie na wynik poprzedniego kroku.
Kontrola: gdybym zaokrąglał etapami, $2847 \to 2850 \to 2900$ — a poprawnie jest $2800$ ✓ potwierdza, że etapami nie wolno.
Kontrola sensu: każdy wynik leży blisko $2847$ i jest okrągły w swoim rzędzie ✓

Odpowiedź: $2850$ , $2800$ , $3000$

Trzy różne wyniki dla tej samej liczby to nie sprzeczność — zaokrąglenie zawsze jest do czegoś. Odpowiedź bez podanego rzędu jest niepełna.

Przykład 3 Zadanie o zapisie

Ile jest liczb trzycyfrowych, w których wszystkie cyfry są takie same?

Liczba trzycyfrowa ma postać, w której wszystkie trzy cyfry są jednakowe: $111$ , $222$ , $333$ i tak dalej.
Sprawdzam, od czego zacząć: czy $000$ się liczy? Nie — to zapis liczby $0$ , a nie liczba trzycyfrowa.
Powód: liczba trzycyfrowa nie może zaczynać się od zera, bo zera z przodu niczego nie wnoszą.
Zostają więc cyfry od $1$ do $9$ : $111$ , $222$ , $333$ , $444$ , $555$ , $666$ , $777$ , $888$ , $999$ .
To daje $9$ liczb.
Kontrola: najmniejsza to $111$ , największa $999$ , a cyfr do wyboru było dziewięć — po jednej liczbie na każdą ✓

Odpowiedź: $9$ liczb.

Cała trudność siedzi w jednym kroku: rozstrzygnięciu, czy zero wchodzi w grę. To najczęstszy sposób, w jaki trzy role zera pojawiają się w zadaniach — i najczęstsze źródło odpowiedzi „dziesięć”.

7Najczęstsze błędy

Cztery błędy — pierwszy i ostatni dotyczą zera, dwa środkowe zaokrąglania.

Uznanie, że zero nie jest liczbą naturalną

Skąd się bierze: Uczeń spotyka w internecie albo w obcojęzycznym materiale konwencję zaczynającą od jedynki i przenosi ją na polskie zadanie. W polskiej szkole obowiązuje wersja z zerem — odpowiedź „nie jest” zostanie uznana za błędną.

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj polską konwencję: najmniejszą liczbą naturalną jest zero. Jeśli spotkasz wersję bez zera, to nie znaczy, że któraś jest zła — to inna umowa, ale w polskim zadaniu liczy się nasza.

Zaokrąglanie etapami

Skąd się bierze: Zaokrąglając $2847$ do setek, uczeń najpierw robi $2850$ , potem $2900$ . Poprawny wynik to $2800$ , bo o zaokrągleniu do setek decyduje cyfra dziesiątek oryginalnej liczby, czyli $4$ .

Jak zrobić dobrze: Zaokrąglaj jednym ruchem z liczby wyjściowej. Ustal, do jakiego rzędu zaokrąglasz, spójrz na pierwszą cyfrę odrzucaną i podejmij jedną decyzję.

Patrzenie na wszystkie odrzucane cyfry naraz

Skąd się bierze: Przy zaokrąglaniu $2847$ do setek uczeń widzi końcówkę $47$ i myśli „prawie pięćdziesiąt, więc w górę”. Znaczenie ma jednak tylko pierwsza odrzucana cyfra — tutaj $4$ — a reszta nie wpływa na decyzję.

Jak zrobić dobrze: Zasłoń palcem wszystko poza pierwszą odrzucaną cyfrą. Jedna cyfra, jedna decyzja: $0$ – $4$ w dół, $5$ – $9$ w górę.

Dopuszczanie zera na początku liczby

Skąd się bierze: W zadaniach o liczbach trzycyfrowych uczeń wlicza zapisy typu $012$ albo $000$ . Zera z przodu niczego nie wnoszą, więc $012$ to po prostu $12$ — liczba dwucyfrowa.

Jak zrobić dobrze: Pamiętaj, że pierwsza cyfra liczby wielocyfrowej nie może być zerem. W zadaniach na zliczanie zmniejsza to zwykle liczbę możliwości z dziesięciu do dziewięciu.

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — cyfry, podzielność i zaokrąglanie

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 1 zadanie z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.

Kolor pokazuje, skąd bierze się wynik — np. które cyfry decydują o podzielności lub zaokrągleniu, albo z jakich czynników składa się NWD i NWW. Gdy potrzebne są dwa różne warunki, jeden jest zielony, drugi czerwony. Sam wynik zostaje czarny.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2022)1 pktśrednie

Spośród wszystkich liczb trzycyfrowych o sumie cyfr równej 6 wybrano liczbę największą i liczbę najmniejszą. Dokończ zdanie.
Suma wybranych liczb jest równa

A. $714$
B. $705$
C. $606$
D. $327$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Największa liczba: chcemy jak najwięcej „z przodu”, więc na cyfrę setek dajemy wszystko, co się da — czyli $\textcolor{#16A06A}{6}$ .
Zostaje $6 - \textcolor{#16A06A}{6} = 0$ do rozdzielenia, więc dalej same zera: liczba to $\textcolor{#16A06A}{600}$ .
Najmniejsza liczba: cyfra setek ma być jak najmniejsza, ale liczba musi zostać trzycyfrowa — więc setki to 1.
Potem jak najmniejsze dziesiątki, czyli 0, a resztę wrzucamy na koniec: $6 - 1 - 0 = 5$ . Liczba to $\textcolor{#E0453A}{105}$ .
Sumujemy: $\textcolor{#16A06A}{600} + \textcolor{#E0453A}{105} = 705$ . Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Reguła: żeby liczba była największa, upychaj cyfry od lewej; żeby była najmniejsza — od prawej (pilnując, by pierwsza cyfra nie była zerem).

⚠ Częsty błąd przy najmniejszej: podanie 015 (to nie jest liczba trzycyfrowa) albo 150 zamiast 105.

Zadanie 2 (czerwiec 2019)1 pktśrednie

Podczas lekcji matematyki uczniowie zaokrąglali liczbę 0,84631. Adam zaokrąglił tę liczbę do części dziesiątych, Bartek — do części setnych, Magda — do części tysięcznych, a Zosia — do części dziesięciotysięcznych. Które z dzieci otrzymało największą liczbę?

A. Adam.
B. Bartek.
C. Magda.
D. Zosia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Zasada zaokrąglania: patrzymy na pierwszą odciętą cyfrę. Jeśli jest $\textcolor{#E0453A}{\ge 5}$ — zaokrąglamy w górę, jeśli mniejsza — w dół.
Adam (dziesiąte): $0{,}8\,|\,\textcolor{#16A06A}{4}631$ — odcięta cyfra to $\textcolor{#16A06A}{4}$ , czyli w dół: $0{,}8$ .
Bartek (setne): $0{,}84\,|\,\textcolor{#E0453A}{6}31$ — odcięta cyfra to $\textcolor{#E0453A}{6}$ , czyli w górę: $0{,}85$ .
Magda (tysięczne): $0{,}846\,|\,\textcolor{#16A06A}{3}1$ — odcięta cyfra to $\textcolor{#16A06A}{3}$ , w dół: $0{,}846$ .
Zosia (dziesięciotysięczne): $0{,}8463\,|\,\textcolor{#16A06A}{1}$ — w dół: $0{,}8463$ .
Porównujemy: $0{,}8000 < 0{,}8460 < 0{,}8463 < 0{,}8500$ . Największa jest liczba Bartka — odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Przy porównywaniu ułamków dziesiętnych dopisz brakujące zera, żeby wszystkie miały tyle samo miejsc — wtedy porównanie jest oczywiste.

⚠ Bardzo częsty błąd: przekonanie, że „im dokładniej zaokrąglimy, tym większa liczba” — i wybór Zosi. Dokładność nie ma tu nic do rzeczy; liczy się tylko to, czy zaokrąglało się w górę, czy w dół.

Zadanie 3 (grudzień 2018)1 pktśrednie

Monika poprawnie zaokrągliła liczbę 3465 do pełnych setek i otrzymała liczbę

x

, a Paweł poprawnie zaokrąglił liczbę 3495 do pełnych tysięcy i otrzymał liczbę

y

. Czy liczby

x

y

są równe?

A	Tak,	ponieważ	1.	początkowa liczba Moniki jest mniejsza od początkowej liczby Pawła.

			2.	cyfra tysięcy każdej z początkowych liczb jest taka sama.
B	Nie,
			3.	otrzymane zaokrąglenia różnią się o 500.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, 3

Monika — zaokrągla 3465 do setek. Patrzymy na cyfrę dziesiątek: $34\,|\,\textcolor{#E0453A}{6}5$ . Skoro $\textcolor{#E0453A}{6} \ge 5$ , zaokrąglamy w górę: $x = 3500$ .
Paweł — zaokrągla 3495 do tysięcy. Patrzymy na cyfrę setek: $3\,|\,\textcolor{#16A06A}{4}95$ . Skoro $\textcolor{#16A06A}{4} < 5$ , zaokrąglamy w dół: $y = 3000$ .
Liczby nie są równe — odpowiedź B.
Powód: $3500 - 3000 = 500$ , czyli zaokrąglenia różnią się o 500 — uzasadnienie 3.
Dlaczego nie pozostałe? Uzasadnienia 1. i 2. są prawdziwymi zdaniami, ale nie wyjaśniają, dlaczego wyniki się różnią.

💡 Wskazówka: Zaokrąglając, patrz tylko na jedną cyfrę — tę bezpośrednio za miejscem zaokrąglenia. Cyfry dalej nie mają znaczenia (3495 do tysięcy to 3000, mimo że 495 wygląda „prawie jak 500”).

⚠ Najczęstszy błąd u Pawła: zaokrąglanie „schodkowo” — najpierw $3495 \to 3500$ , potem $3500 \to 4000$ . Tak nie wolno; zaokrąglamy jednym ruchem, patrząc na oryginalną liczbę.

Zadanie 4 (kwiecień 2019)1 pkttrudniejsze

Liczba 1450 jest zaokrągleniem do rzędu dziesiątek kilku liczb naturalnych. Ile jest wszystkich liczb naturalnych różnych od 1450, które mają takie zaokrąglenie?

A. $4$
B. $5$
C. $9$
D. $10$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Pytamy: które liczby zaokrąglone do dziesiątek dają 1450?
Od dołu: zaokrąglamy w górę, gdy cyfra jedności jest $\ge 5$ . Najmniejsza taka liczba to $\textcolor{#16A06A}{1445}$ (bo $1444$ zaokrągli się już do 1440).
Od góry: zaokrąglamy w dół, gdy cyfra jedności jest $< 5$ . Największa taka liczba to $\textcolor{#E0453A}{1454}$ (bo $1455$ zaokrągli się do 1460).
Czyli szukane liczby to wszystkie od $\textcolor{#16A06A}{1445}$ do $\textcolor{#E0453A}{1454}$ : 1445, 1446, 1447, 1448, 1449, 1450, 1451, 1452, 1453, 1454 — razem 10 liczb.
Ale zadanie prosi o liczby różne od 1450, więc odrzucamy jedną: $10 - 1 = 9$ . Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Licząc, ile liczb naturalnych mieści się między $a$ i $b$ włącznie, użyj wzoru $b - a + 1$ . Tu: $1454 - 1445 + 1 = 10$ .

⚠ Dwa typowe błędy: (1) zapomnienie o wykluczeniu samej liczby 1450 i wybór odpowiedzi D; (2) źle wyznaczony koniec przedziału — 1455 zaokrągla się już w górę, do 1460.

Zadanie 5 (kwiecień 2016, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Z cyfr 2, 3 i 5 Ania utworzyła wszystkie możliwe liczby trzycyfrowe o różnych cyfrach. Które z poniższych zdań jest prawdziwe?

A. Wszystkie liczby utworzone przez Anię są nieparzyste.
B. Wszystkie liczby utworzone przez Anię są mniejsze od 530.
C. Dwie liczby utworzone przez Anię są podzielne przez 5.
D. Wśród liczb utworzonych przez Anię są liczby podzielne przez 3.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Najpierw wypisujemy wszystkie liczby — jest ich sześć: 235, 253, 325, 352, 523, 532.
A — czy wszystkie są nieparzyste? Liczba $35\textcolor{#16A06A}{2}$ kończy się na $\textcolor{#16A06A}{2}$ , więc jest parzysta. Fałsz.
B — czy wszystkie są mniejsze od 530? Mamy $\textcolor{#16A06A}{532} > 530$ . Fałsz.
C — podzielne przez 5 to te kończące się na $\textcolor{#16A06A}{5}$ : $23\textcolor{#16A06A}{5}$ i $32\textcolor{#16A06A}{5}$ — dokładnie dwie. Prawda ✓
D — podzielność przez 3 zależy od sumy cyfr, a ta jest zawsze taka sama: $2+3+5 = \textcolor{#E0453A}{10}$ . Skoro $\textcolor{#E0453A}{10}$ nie dzieli się przez 3, to żadna z tych liczb nie jest podzielna przez 3. Fałsz.
Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Sprytna obserwacja przy odpowiedzi D: przestawianie cyfr nie zmienia ich sumy, więc albo wszystkie te liczby dzielą się przez 3, albo żadna.

⚠ Częsty błąd: sprawdzanie tylko kilku liczb zamiast wypisania wszystkich sześciu. Przy zdaniach zaczynających się od „wszystkie” wystarczy jeden kontrprzykład, żeby je obalić.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. B

2. B

3. B, 3

4. C

5. C

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

8Pytania i odpowiedzi

Czy zero jest liczbą naturalną?

W polskiej szkole tak — i jest najmniejszą liczbą naturalną. Zbiór zaczyna się od $0$ , $1$ , $2$ , $3$ … W części krajów przyjmuje się konwencję bez zera, ale w polskim zadaniu obowiązuje wersja z zerem.

Jaka jest najmniejsza liczba naturalna?

Zero. Największej natomiast nie ma — do każdej liczby naturalnej można dodać jeden i otrzymać większą, więc jest ich nieskończenie wiele.

Co to znaczy, że układ jest pozycyjny?

Że o wartości cyfry decyduje jej miejsce w zapisie. W liczbie $305$ trójka oznacza trzysta, a nie trzy. Dziesiątkowy znaczy dodatkowo, że kolejne miejsca rosną dziesięciokrotnie: jedności, dziesiątki, setki, tysiące.

Po co w liczbie zero, skoro nic nie znaczy?

Bo trzyma puste miejsce. W $305$ mówi, że dziesiątek nie ma — bez niego zostałoby $35$ , czyli inna liczba. Bez zera nie da się zbudować układu pozycyjnego i dlatego Rzymianie, których zapis pozycyjny nie był, zera nie potrzebowali.

Jak zaokrąglać liczby naturalne?

Spójrz na pierwszą odrzucaną cyfrę: $0$ – $4$ zaokrąglasz w dół, $5$ – $9$ w górę, a pozostałe cyfry zastępujesz zerami. Zawsze z liczby oryginalnej — zaokrąglanie etapami daje błędny wynik: $2847$ do setek to $2800$ , a nie $2900$ .

Czy odejmowanie zawsze da liczbę naturalną?

Nie. $3 - 5$ nie ma wyniku wśród liczb naturalnych i dlatego w klasie szóstej pojawiają się liczby całkowite. Dodawanie i mnożenie natomiast nigdy nie wyprowadzają poza ten zbiór.

Czytaj dalej

Rodzaje liczbMapa zbiorów: co zawiera się w czym Liczby całkowiteZbiór, który dokłada liczby ujemne Cyfry rzymskieUkład niepozycyjny — dlatego nie ma tam zera Liczby pierwszePodział liczb naturalnych według liczby dzielników Kwadraty i sześciany liczbSkąd wzięły się nazwy i dlaczego 3 do kwadratu to 9, a nie 6 Szacowanie wyników działańRząd wielkości i kierunek zaokrąglenia — zanim policzysz dokładnie

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.