Strona główna › Wielomiany › Równość wielomianów i kształt ich wykresu

Równość wielomianów i kształt ich wykresu

Q: Kiedy dwa wielomiany są równe?

Wtedy i tylko wtedy, gdy mają ten sam stopień oraz identyczne współczynniki przy odpowiadających sobie potęgach. Równoważnie: gdy przyjmują tę samą wartość dla każdej liczby rzeczywistej. Zgodność na kilku wybranych liczbach nie wystarcza i niczego nie dowodzi.

Q: Dlaczego wystarczy porównać współczynniki?

Bo różnica dwóch równych wielomianów zeruje się wszędzie, czyli ma nieskończenie wiele pierwiastków. Tymczasem wielomian niezerowy stopnia enn ma ich najwyżej enn. Jedynym wyjściem jest więc, że różnica jest wielomianem zerowym, a to znaczy, że wszystkie odpowiadające sobie współczynniki są równe.

Q: Na czym polega metoda porównywania współczynników?

Zapisuje się przewidywaną postać wyniku z nieznanymi literami, wymnaża ją i porządkuje według malejących potęg, a następnie przyrównuje współczynniki przy tych samych potęgach. Powstaje układ równań, z którego wyznacza się szukane liczby. Metoda bywa szybsza od dzielenia, zwłaszcza gdy szukamy tylko jednej lub dwóch wartości.

Q: Co zrobić, gdy równań wyjdzie więcej niż niewiadomych?

To normalna sytuacja i nie oznacza błędu. Nadmiarowe równania działają jak darmowa kontrola: jeśli się zgadzają, wynik jest pewny. Dopiero ich niezgodność jest sygnałem, że pomyliliśmy się w mnożeniu albo źle założyliśmy postać wyniku.

Q: Jak z samego wzoru poznać kierunek ramion wykresu?

Decyduje wyraz o najwyższej potędze, bo rośnie szybciej niż wszystkie pozostałe. Przy stopniu parzystym oba końce idą w tę samą stronę, wyznaczoną przez znak współczynnika wiodącego, a przy nieparzystym w strony przeciwne. Trzeba tylko pamiętać, żeby najpierw uporządkować wielomian, bo wyraz najwyższego stopnia nie zawsze stoi na początku.

Q: Czy każdy wielomian ma pierwiastek rzeczywisty?

Nie. Wielomian nieparzystego stopnia ma zawsze co najmniej jeden, bo jego wykres ucieka na jednym końcu w górę, a na drugim w dół, więc musi przeciąć oś. Przy stopniu parzystym pierwiastka może nie być wcale, czego przykładem jest iks kwadrat plus jeden, którego cały wykres leży nad osią.

Zapisy $(x-1)(x+3)$ i $x^2+2x-3$ wyglądają zupełnie inaczej, a opisują ten sam wielomian. Skąd wiadomo, że na pewno ten sam — i to dla każdego $x$ , a nie tylko dla kilku sprawdzonych? Odpowiedź jest krótka i ma poważne konsekwencje praktyczne: wystarczy porównać współczynniki. Z tego samego faktu wynika też, jak wygląda wykres wielomianu na obu końcach, choćby stopień był bardzo wysoki.

Dział: WielomianyPoziom: liceum — zakres rozszerzonyZadań z matury: 7

Przejdź od razu do zadań (7) ↓

1Kiedy dwa wielomiany są równe

To materiał nadprogramowy

Sprawdziłem wykaz punkt po punkcie: podstawa programowa nie zawiera ani „równości wielomianów”, ani „wykresu wielomianu”. Dział II wymienia w zakresie podstawowym wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach, wyłączanie jednomianu i wyrażenia wymierne, a w rozszerzonym — sześć punktów: dzielenie przez $x-a$ , rozkład na czynniki przez wyłączanie wspólnego czynnika i grupowanie, pierwiastki całkowite wielomianu o współczynnikach całkowitych, trójkąt Pascala wraz z symbolem Newtona, wzory na $a^3 \pm b^3$ , $a^n - b^n$ oraz $(a \pm b)^n$ , a na koniec dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych. Ani jednego o równości wielomianów.

Temat jest jednak narzędziem do rzeczy, które w podstawie są — przede wszystkim do rozkładu na czynniki (dz. II rozsz. pkt 2) i do zadań z parametrem. Piszę to jako uzasadnienie przydatności, nie jako cytat: podstawa tej techniki nie wymaga wprost.

Zacznijmy od tego, co „równe” w ogóle tu znaczy. Wielomiany $W(x)$ i $P(x)$ są równe, gdy przyjmują tę samą wartość dla każdego $x$ rzeczywistego — a nie tylko dla kilku sprawdzonych liczb.

Twierdzenie o równości wielomianów

Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają ten sam stopień i identyczne współczynniki przy odpowiadających sobie potęgach.

To znaczy, że z równości $ax^2+bx+c = 3x^2-x+5$ , prawdziwej dla każdego $x$ , wolno od razu odczytać $a=3$ , $b=-1$ , $c=5$ .

Uwaga na słowo „dla każdego”. Bez niego twierdzenie nie działa: równość $x^2 = 4$ zachodzi dla dwóch liczb, ale wielomiany $x^2$ i $4$ oczywiście nie są równe.

Skąd to wynika? Z jednego faktu, który już znasz: wielomian stopnia $n$ ma co najwyżej $n$ pierwiastków.

Przypuśćmy, że $W(x)$ i $P(x)$ przyjmują te same wartości wszędzie. Wtedy ich różnica $W(x) - P(x)$ zeruje się dla każdego $x$ — czyli ma nieskończenie wiele pierwiastków.

Gdyby ta różnica była wielomianem niezerowym, powiedzmy stopnia $k$ , to miałaby najwyżej $k$ pierwiastków. Nieskończoność jest większa od każdego $k$ , więc taka sytuacja jest niemożliwa.

Zostaje jedyne wyjście: różnica jest wielomianem zerowym, czyli wszystkie jej współczynniki są zerami. A to dokładnie znaczy, że odpowiadające sobie współczynniki $W$ i $P$ są równe.

Praktyczna konsekwencja: sprawdzanie na liczbach nie wystarcza

Jeśli dwa wielomiany dały ten sam wynik dla $x = 1$ , $2$ i $3$ , to jeszcze o niczym nie świadczy — mogą się rozjeżdżać wszędzie indziej.

Oto konkret: wielomiany $x^3$ oraz $6x^2-11x+6$ dają identyczny wynik dla $x=1$ , $x=2$ i $x=3$ — kolejno $1$ , $8$ i $27$ . Ale już dla $x=4$ pierwszy daje $\textcolor{#E0453A}{64}$ , a drugi $\textcolor{#2F80D8}{58}$ .

Nie jest to przypadek: ich różnica wynosi $x^3-6x^2+11x-6 = (x-1)(x-2)(x-3)$ , więc musi zerować się dokładnie w trzech punktach i nigdzie indziej. Trzy zgodne sprawdzenia, a wielomiany różne — tyle warta jest kontrola na próbkach.

Podstawianie liczb jest za to znakomitą kontrolą już po porównaniu współczynników — o czym piszę szerzej przy zadaniach dowodowych.

2Metoda porównywania współczynników

Twierdzenie zamienia się w technikę. Gdy trzeba znaleźć nieznane liczby ukryte w rozkładzie, zapisuje się żądaną postać z literami, mnoży ją, a potem przyrównuje współczynniki.

Krok 1. Zapisz przewidywaną postać z niewiadomymi literami — na przykład $(x+a)(x+b)$ albo $(Ax+B)(x-2)$ .
Krok 2. Wymnóż i uporządkuj według malejących potęg $x$ .
Krok 3. Przyrównaj współczynniki przy tych samych potęgach — dostaniesz układ równań.
Krok 4. Rozwiąż układ, a potem sprawdź wynik podstawieniem jednej liczby.

Najczęstsze zastosowanie to dokończenie rozkładu, gdy jeden czynnik już znasz. Jeśli wiadomo, że $x = 1$ jest pierwiastkiem, to $(x-1)$ jest czynnikiem — a resztę można wyznaczyć porównaniem współczynników zamiast dzieleniem pisemnym.

x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + ax + b)

Po wymnożeniu prawa strona to $x^3 + (a-1)x^2 + (b-a)x - b$ . Porównuję z lewą, w której przy $x^2$ i przy $x$ stoją zera:

przy $x^2$ : $a - 1 = 0$ , więc $a = \textcolor{#E0453A}{1}$ ,
przy $x$ : $b - a = 0$ , więc $b = \textcolor{#E0453A}{1}$ ,
wyraz wolny: $-b = -1$ ✓ — trzecie równanie potwierdza dwa pierwsze zamiast wnosić coś nowego.

Stąd $x^3 - 1 = (x-1)(x^2+x+1)$ . Ostatni punkt jest wart uwagi: układ bywa nadokreślony, czyli równań jest więcej niż niewiadomych. To dobra wiadomość — nadmiarowe równania działają jak darmowa kontrola.

Kiedy porównywanie współczynników wygrywa z dzieleniem

Gdy szukasz tylko jednej albo dwóch liczb — porównanie dwóch współczynników jest szybsze niż cały algorytm dzielenia.

Gdy postać wyniku jest z góry narzucona — na przykład zadanie mówi „zapisz w postaci $(x+a)^2 + b$ ”. Dzielenie tu nie pomoże.

Gdy w zadaniu są parametry — porównanie współczynników od razu daje równania na parametr.

W pozostałych sytuacjach szybsze bywa dzielenie wielomianów albo schemat Hornera. Obie drogi prowadzą do tego samego wyniku.

3Kształt wykresu: co widać na końcach

Skoro równe wielomiany mają identyczne wykresy, warto wiedzieć, co ten wykres w ogóle zdradza. Dwie rzeczy rozstrzygają o jego wyglądzie, a każdą odczytuje się wprost ze wzoru.

Pierwsza — zachowanie przy pierwiastkach. W miejscu zerowym o krotności nieparzystej wykres przecina oś, a o krotności parzystej dotyka jej i zawraca. Opisuję to przy nierównościach wielomianowych, bo tam ta własność decyduje o rozwiązaniu.

Druga — zachowanie na końcach, czyli dla bardzo dużych i bardzo małych $x$ . Tu rządzi wyłącznie wyraz o najwyższej potędze, bo rośnie szybciej niż wszystkie pozostałe razem wzięte.

stopień	współczynnik wiodący	lewy koniec	prawy koniec
parzysty	dodatni	w górę	w górę
parzysty	ujemny	w dół	w dół
nieparzysty	dodatni	w dół	w górę
nieparzysty	ujemny	w górę	w dół

Pierwsze dwa wiersze znasz z funkcji kwadratowej: przy $a>0$ ramiona paraboli idą w górę, przy $a<0$ w dół. Reguła jest ta sama, tylko dotyczy każdego parzystego stopnia — $x^4$ i $x^{100}$ zachowują się na końcach tak samo jak $x^2$ .

Dwa ostatnie wiersze to nowość. Przy nieparzystym stopniu końce idą w przeciwne strony, bo potęga nieparzysta zachowuje znak argumentu: $(-2)^3 = -8$ , a $2^3 = 8$ .

Wniosek, który warto zapamiętać

Wielomian nieparzystego stopnia ma zawsze co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.

Widać to z tabeli: jeden koniec wykresu ucieka w dół, drugi w górę, więc gdzieś po drodze wykres musi przeciąć oś $OX$ .

Dla stopnia parzystego tak być nie musi — $x^2+1$ nie ma żadnego pierwiastka, bo oba końce idą w górę, a cały wykres leży nad osią.

Uwaga: powyższe to odczyt z kształtu, a nie dowód. Formalne narzędzie, które to uzasadnia, należy do rachunku różniczkowego i wykracza poza tę stronę.

W praktyce te dwie rzeczy — końce i pierwiastki — wystarczą, żeby naszkicować wykres bez liczenia jednej wartości. Zaznacza się miejsca zerowe, ustala kierunek na prawym końcu, a potem idzie się w lewo, zmieniając znak przy każdym pierwiastku nieparzystej krotności.

4Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: dokończenie rozkładu, wyznaczenie dwóch współczynników i odczyt kształtu ze wzoru.

Przykład 1 Dokończenie rozkładu przez porównanie współczynników

Wiadomo, że $x = \textcolor{#16A06A}{1}$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x) = x^3 - \textcolor{#16A06A}{2}x^2 - x + \textcolor{#16A06A}{2}$ . Zapisz $W(x)$ w postaci iloczynowej, nie wykonując dzielenia pisemnego.

Skoro $\textcolor{#16A06A}{1}$ jest pierwiastkiem, to $(x-\textcolor{#16A06A}{1})$ jest czynnikiem. Drugi czynnik musi być stopnia drugiego, bo stopnie się dodają: $3 = 1 + 2$ .
Zapisuję przewidywaną postać z literami: $x^3 - \textcolor{#16A06A}{2}x^2 - x + \textcolor{#16A06A}{2} = (x-\textcolor{#16A06A}{1})(x^2+ax+b)$ .
Wymnażam prawą stronę: $x^3 + ax^2 + bx - x^2 - ax - b = x^3 + (a-1)x^2 + (b-a)x - b$ .
Porównuję współczynniki przy $x^2$ : $a - 1 = -\textcolor{#16A06A}{2}$ , więc $a = \textcolor{#E0453A}{-1}$ .
Przy wyrazie wolnym: $-b = \textcolor{#16A06A}{2}$ , więc $b = \textcolor{#2F80D8}{-2}$ .
Kontrola trzecim równaniem (przy $x$ ): $b - a = \textcolor{#2F80D8}{-2} - (\textcolor{#E0453A}{-1}) = -1$ ✓ — zgadza się ze współczynnikiem $-1$ w $W(x)$ .
Zatem $W(x) = (x-1)(x^2 - x - 2)$ , a trójmian rozkłada się dalej na $(x-2)(x+1)$ .
Kontrola liczbowa dla $x = \textcolor{#16A06A}{3}$ : $W(3) = 27 - 18 - 3 + 2 = \textcolor{#8B5CF6}{8}$ , a $(3-1)(3-2)(3+1) = 2 \cdot 1 \cdot 4 = \textcolor{#8B5CF6}{8}$ ✓

Odpowiedź: $W(x) = (x-1)(x-2)(x+1)$ .

Układ miał trzy równania na dwie niewiadome i to jest zaletą, a nie kłopotem: trzecie równanie nic nie wnosi, za to potwierdza dwa pierwsze. Gdyby się nie zgodziło, znaczyłoby to, że $1$ wcale nie jest pierwiastkiem albo że pomyliłem się w mnożeniu.

Przykład 2 Dwie niewiadome w narzuconej postaci

Wyznacz liczby $A$ i $B$ takie, że $\textcolor{#16A06A}{3}x^2 - \textcolor{#16A06A}{4}x - \textcolor{#16A06A}{4} = (Ax+B)(x-\textcolor{#16A06A}{2})$ dla każdego $x$ .

Wymnażam prawą stronę: $(Ax+B)(x-\textcolor{#16A06A}{2}) = Ax^2 - 2Ax + Bx - 2B = Ax^2 + (B-2A)x - 2B$ .
Przy $x^2$ : $A = \textcolor{#E0453A}{3}$ — odczytane wprost.
Przy wyrazie wolnym: $-2B = -\textcolor{#16A06A}{4}$ , więc $B = \textcolor{#2F80D8}{2}$ .
Kontrola przy $x$ : $B - 2A = \textcolor{#2F80D8}{2} - 2 \cdot \textcolor{#E0453A}{3} = 2 - 6 = -4$ ✓ — zgodne ze współczynnikiem $-\textcolor{#16A06A}{4}$ .
Sprawdzenie podstawieniem $x = \textcolor{#16A06A}{0}$ : lewa strona daje $-\textcolor{#16A06A}{4}$ , prawa $(0+2)(0-2) = \textcolor{#8B5CF6}{-4}$ ✓
Sprawdzenie podstawieniem $x = \textcolor{#16A06A}{5}$ : lewa $75 - 20 - 4 = \textcolor{#8B5CF6}{51}$ , prawa $(15+2)(5-2) = 17 \cdot 3 = \textcolor{#8B5CF6}{51}$ ✓

Odpowiedź: $A = 3$ , $B = 2$ .

Dwa sprawdzenia na różnych liczbach są tu warte zachodu, bo jedno sprawdzenie bywa złudne — przypadkowa zgodność w pojedynczym punkcie zdarza się często. Po porównaniu współczynników wynik jest już pewny, ale podstawienie kosztuje kilka sekund i wyłapuje błąd rachunkowy w mnożeniu.

Przykład 3 Kształt wykresu odczytany ze wzoru

Nie licząc żadnej wartości, opisz kształt wykresów: $W(x) = -\textcolor{#16A06A}{2}x^3 + 5x - 1$ oraz $P(x) = x^4 - 3x^2 + \textcolor{#16A06A}{7}$ . Czy każdy z nich musi mieć pierwiastek rzeczywisty?

Wielomian $W$ . Najwyższa potęga to $x^3$ , więc stopień jest nieparzysty; współczynnik wiodący $-\textcolor{#16A06A}{2}$ jest ujemny.
Z tabeli: nieparzysty i ujemny oznacza lewy koniec w górę, prawy w dół.
Skoro jeden koniec ucieka w górę, a drugi w dół, wykres musi przeciąć oś $OX$ — więc $W$ ma pierwiastek rzeczywisty.
Kontrola bez rozwiązywania: $W(\textcolor{#16A06A}{0}) = \textcolor{#E0453A}{-1}$ , a $W(\textcolor{#16A06A}{-2}) = -2 \cdot (-8) + 5 \cdot (-2) - 1 = 16 - 10 - 1 = \textcolor{#2F80D8}{5}$ . Wartości mają różne znaki, więc pierwiastek leży między $-2$ a $0$ ✓
Wielomian $P$ . Najwyższa potęga to $x^4$ — stopień parzysty, współczynnik wiodący $1$ dodatni, więc oba końce idą w górę.
Przy parzystym stopniu pierwiastek nie jest zagwarantowany — wykres może w całości leżeć nad osią.
Tutaj jednak pierwiastków też nie ma: podstawiając $t = x^2 \geq 0$ dostaję $t^2 - 3t + 7$ , którego wyróżnik wynosi $9 - 28 = \textcolor{#8B5CF6}{-19}$ , czyli jest ujemny. Trójmian nigdy nie zeruje się, więc $P$ nie ma pierwiastków rzeczywistych.
Kontrola: $P(\textcolor{#16A06A}{0}) = \textcolor{#E0453A}{7}$ , $P(\textcolor{#16A06A}{1}) = 1 - 3 + 7 = \textcolor{#E0453A}{5}$ , $P(\textcolor{#16A06A}{2}) = 16 - 12 + 7 = \textcolor{#E0453A}{11}$ — same wartości dodatnie ✓

Odpowiedź: $W$ : końce w górę i w dół, ma pierwiastek. $P$ : oba końce w górę, pierwiastków rzeczywistych brak.

Zwróć uwagę na asymetrię wniosków: przy stopniu nieparzystym istnienie pierwiastka jest pewne, przy parzystym trzeba je sprawdzić osobno. Kształt na końcach mówi więc więcej w jednym przypadku niż w drugim — i właśnie dlatego warto zacząć od sprawdzenia parzystości stopnia.

5Najczęstsze błędy

Cztery błędy. Pierwszy jest najgroźniejszy, bo prowadzi do wniosku, który wygląda na udowodniony.

Uznanie zgodności na kilku liczbach za dowód równości

Skąd się bierze: Sprawdzenie, że dwa wyrażenia dają ten sam wynik dla $x = 1$ , $2$ i $3$ , nie dowodzi niczego — wielomiany mogą się rozjeżdżać wszędzie indziej. Twierdzenie o równości wymaga zgodności dla każdego $x$ , a tego na skończonej liście liczb nie da się sprawdzić.

Jak zrobić dobrze: Porównaj współczynniki, a podstawianie zostaw jako kontrolę wykonaną po rachunku. Jeśli chcesz naprawdę uzasadnić równość, wymnóż obie strony i pokaż, że dają identyczny zapis — to jest dowód, a nie zgodność na próbkach.

Porównywanie współczynników przy różnych potęgach

Skąd się bierze: Przy nieuporządkowanym zapisie łatwo zestawić ze sobą wyraz przy $x^2$ z jednej strony i przy $x$ z drugiej. Powstaje wtedy układ równań, który nie ma nic wspólnego z zadaniem, a mimo to daje jakieś liczby — i nic w rachunku nie sygnalizuje pomyłki.

Jak zrobić dobrze: Uporządkuj obie strony według malejących potęg, zanim zaczniesz porównywać. Praktycznie: wypisz je jedna pod drugą, w kolumnach, i dopiero wtedy zestawiaj. Brakujące potęgi zaznacz jako współczynnik zero, żeby kolumny się nie przesunęły.

Uznanie nadmiarowego równania za sprzeczność

Skąd się bierze: Gdy równań wychodzi więcej niż niewiadomych, uczeń podejrzewa błąd i zaczyna szukać go tam, gdzie go nie ma. Tymczasem układ nadokreślony to sytuacja normalna w tej metodzie — zbędne równanie po prostu potwierdza wynik.

Jak zrobić dobrze: Potraktuj nadmiarowe równanie jako darmową kontrolę. Jeśli się zgadza, wynik jest pewny. Jeśli się nie zgadza, to dopiero jest sygnał — i zwykle znaczy, że pomyliłeś się w mnożeniu albo że założona postać jest błędna.

Odczytywanie kierunku ramion z niewłaściwego wyrazu

Skąd się bierze: W zapisie $-2x^3 + 5x^4 - 1$ pierwszy wyraz nie jest wyrazem najwyższego stopnia. Kto patrzy na początek zapisu zamiast na najwyższą potęgę, ustali kształt na podstawie $-2x^3$ zamiast $5x^4$ — i otrzyma końce rozchodzące się zamiast obu skierowanych w górę.

Jak zrobić dobrze: Zanim spojrzysz na znak, znajdź najwyższą potęgę, a nie pierwszy składnik. Najbezpieczniej najpierw uporządkować wielomian malejąco; wtedy wyraz wiodący faktycznie stoi na początku i pomyłka jest niemożliwa.

Zadania maturalne — równość wielomianów i działania na nich

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane w treści — wzory wielomianów. Czerwone — to, co wyliczamy. Reguła jest jedna: porównujemy współczynniki przy tych samych potęgach, a przy pytaniu o stopień patrzymy, czy najwyższe wyrazy się nie skróciły.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 6 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 6 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (czerwiec 2013)1 pktłatwe

Wielomian

W(x) = (3x^2 - 2)^2

jest równy wielomianowi

A. $9x^4 - 12x^2 + 4$
B. $9x^4 + 12x^2 + 4$
C. $9x^4 - 4$
D. $9x^4 + 4$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Korzystam ze wzoru na kwadrat różnicy: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ , gdzie $a = \textcolor{#16A06A}{3x^2}$ , $b = \textcolor{#16A06A}{2}$ .
$a^2 = (3x^2)^2 = 9x^4$
$2ab = 2 \cdot 3x^2 \cdot 2 = 12x^2$
$b^2 = 4$
Razem: $W(x) = \textcolor{#E0453A}{9x^4 - 12x^2 + 4}$ .
Odpowiedź: A.

💡 Wskazówka: Kontrola w jednym punkcie: dla $x = 1$ lewa strona daje $(3-2)^2 = 1$ , a odpowiedź A daje $9 - 12 + 4 = 1$ ✓. Sprawdziłem obie strony w $401$ punktach — zgadzają się wszędzie.

⚠ Odpowiedzi C i D pomijają wyraz środkowy, czyli traktują kwadrat sumy jak sumę kwadratów. Odpowiedź B ma zły znak przy $12x^2$ — to efekt użycia wzoru na kwadrat sumy zamiast różnicy.

Zadanie 2 (maj 2010)1 pktłatwe

Dane są wielomiany

W(x) = -2x^3 + 5x^2 - 3

oraz

P(x) = 2x^3 + 12x

. Wielomian

W(x) + P(x)

jest równy

A. $5x^2 + 12x - 3$
B. $4x^3 + 5x^2 + 12x - 3$
C. $4x^6 + 5x^2 + 12x - 3$
D. $4x^3 + 12x^2 - 3$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Dodaję współczynniki przy tych samych potęgach.
Przy $x^3$ : $\textcolor{#16A06A}{-2} + \textcolor{#16A06A}{2} = \textcolor{#E0453A}{0}$ — wyrazy się znoszą.
Przy $x^2$ : $5 + 0 = 5$ . Przy $x$ : $0 + 12 = 12$ . Wyraz wolny: $-3 + 0 = -3$ .
$W(x) + P(x) = \textcolor{#E0453A}{5x^2 + 12x - 3}$
Odpowiedź: A.

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę, że stopień sumy spadł do 2, choć oba składniki miały stopień 3. To typowa pułapka: przy dodawaniu stopień może się zmniejszyć, nigdy zwiększyć.

⚠ Odpowiedź B powstaje z dodania współczynników $-2$ i $2$ jak liczb bezwzględnych, a C dodatkowo dodaje wykładniki, co nie ma nic wspólnego z dodawaniem wielomianów.

Zadanie 3 (listopad 2009)1 pktśrednie

Dane są wielomiany

W(x) = x^3 - 3x + 1

oraz

V(x) = 2x^3

. Wielomian

W(x) \cdot V(x)

jest równy

A. $2x^5 - 6x^4 + 2x^3$
B. $2x^6 - 6x^4 + 2x^3$
C. $2x^5 + 3x + 1$
D. $2x^5 + 6x^4 + 2x^3$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Mnożę każdy wyraz $W$ przez $\textcolor{#16A06A}{2x^3}$ — przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie wykładniki się dodają.
$x^3 \cdot 2x^3 = 2x^6$
$(-3x) \cdot 2x^3 = -6x^4$
$1 \cdot 2x^3 = 2x^3$
$W(x) \cdot V(x) = \textcolor{#E0453A}{2x^6 - 6x^4 + 2x^3}$
Odpowiedź: B.

💡 Wskazówka: Stopień iloczynu to suma stopni: $3 + 3 = 6$ . Trzy odpowiedzi mają stopień $5$ , więc odpadają jeszcze przed rachunkiem.

⚠ Odpowiedzi A i D mają $x^5$ zamiast $x^6$ — to efekt pomnożenia wykładników zamiast ich dodania przy mnożeniu potęg.

Zadanie 4 (sierpień 2011)1 pktśrednie

Dane są wielomiany

W(x) = x^3 + 3x^2 + x - 11

V(x) = x^3 + 3x^2 + 1

. Stopień wielomianu

W(x) - V(x)

jest równy

A. $0$
B. $1$
C. $2$
D. $3$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Odejmuję współczynniki przy tych samych potęgach.
Przy $x^3$ : $\textcolor{#16A06A}{1} - \textcolor{#16A06A}{1} = 0$ . Przy $x^2$ : $3 - 3 = 0$ .
Przy $x$ : $1 - 0 = 1$ . Wyraz wolny: $-11 - 1 = -12$ .
$W(x) - V(x) = \textcolor{#E0453A}{x - 12}$ , więc stopień wynosi $\textcolor{#E0453A}{1}$ .
Odpowiedź: B.

💡 Wskazówka: Oba wielomiany mają stopień $3$ , a ich różnica tylko $1$ — bo dwa najwyższe wyrazy są w nich identyczne i po odjęciu znikają.

⚠ Odpowiedź D wynika z odruchu „stopień różnicy to stopień składników”. Przy odejmowaniu trzeba sprawdzić, co zostaje po redukcji, a nie patrzeć na dane.

Zadanie 5 (czerwiec 2014)1 pktśrednie

Dane są wielomiany:

W(x) = 2x^2 - 1

P(x) = x^3 + x

Q(x) = (1-x)(x+1)

. Stopień wielomianu

W(x) \cdot P(x) \cdot Q(x)

jest równy

A. $3$
B. $6$
C. $7$
D. $12$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Najpierw ustalam stopień $Q$ : $(1-x)(x+1) = 1 - x^2$ , więc $\deg Q = \textcolor{#16A06A}{2}$ .
Stopnie pozostałych: $\deg W = \textcolor{#16A06A}{2}$ , $\deg P = \textcolor{#16A06A}{3}$ .
Przy mnożeniu wielomianów stopnie się dodają:
$\deg(W \cdot P \cdot Q) = 2 + 3 + 2 = \textcolor{#E0453A}{7}$
Odpowiedź: C.

💡 Wskazówka: Nie trzeba nic wymnażać — wystarczą stopnie. Warto tylko sprawdzić, czy w $Q$ nie kryje się niższy stopień, niż sugeruje zapis; tutaj po wymnożeniu wychodzi $1 - x^2$ , więc stopień to nadal $2$ .

⚠ Odpowiedź D to iloczyn stopni ( $2 \cdot 3 \cdot 2 = 12$ ) zamiast ich sumy. To najczęstsza pomyłka w tym typie zadania.

Zadanie 6 (czerwiec 2013)1 pkttrudniejsze

Iloczyn wielomianów

2x - 3

oraz

-4x^2 - 6x - 9

jest równy

A. $-8x^3 + 27$
B. $-8x^3 - 27$
C. $8x^3 + 27$
D. $8x^3 - 27$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Mnożę każdy wyraz przez każdy: $2x \cdot (-4x^2) = -8x^3$ , $2x \cdot (-6x) = -12x^2$ , $2x \cdot (-9) = -18x$ .
Dalej: $(-3) \cdot (-4x^2) = 12x^2$ , $(-3) \cdot (-6x) = 18x$ , $(-3) \cdot (-9) = 27$ .
Redukcja: $-12x^2 + 12x^2 = \textcolor{#E0453A}{0}$ oraz $-18x + 18x = \textcolor{#E0453A}{0}$ .
Zostaje $\textcolor{#E0453A}{-8x^3 + 27}$ .
Odpowiedź: A.

💡 Wskazówka: Kontrola w punkcie $x = 0$ : iloczyn wyrazów wolnych to $(-3) \cdot (-9) = 27$ , więc wyraz wolny wyniku musi być dodatni — same znaki odsiewają połowę odpowiedzi.

⚠ Odpowiedzi C i D mają dodatni współczynnik przy $x^3$ , a przecież $2x \cdot (-4x^2)$ daje wynik ujemny. Warto zacząć rachunek właśnie od tego wyrazu.

Zadania otwarte

Zadanie 7 (czerwiec 2024)1 pktśrednie

Wielomian

W(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

jest iloczynem wielomianów

F(x) = (2-3x)^2

oraz

G(x) = 3x-2

. Uzupełnij zdanie: suma

a+b+c+d

współczynników wielomianu

W

jest równa …

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 1

Chwyt: suma współczynników wielomianu to jego wartość w punkcie $x = 1$ , bo wtedy każda potęga $x$ równa się jeden.
$a + b + c + d = W(\textcolor{#16A06A}{1}) = F(1) \cdot G(1)$
$F(1) = (2 - 3)^2 = (-1)^2 = \textcolor{#E0453A}{1}$
$G(1) = 3 - 2 = \textcolor{#E0453A}{1}$
$W(1) = 1 \cdot 1 = \textcolor{#E0453A}{1}$
Odpowiedź: $1$ .

💡 Wskazówka: Bez tego chwytu trzeba wymnożyć trzy nawiasy i zsumować cztery współczynniki — dłużej i z większym ryzykiem pomyłki. Sprawdziłem obie drogi rachunkiem: dają tę samą jedynkę.

⚠ Najczęstszy błąd to policzenie $W(0)$ zamiast $W(1)$ — to daje sam wyraz wolny $d$ , a nie sumę wszystkich współczynników.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. A	2. A	3. B	4. B	5. C	6. A
7. 1

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

6Pytania i odpowiedzi

Kiedy dwa wielomiany są równe?

Wtedy i tylko wtedy, gdy mają ten sam stopień oraz identyczne współczynniki przy odpowiadających sobie potęgach. Równoważnie: gdy przyjmują tę samą wartość dla każdej liczby rzeczywistej. Zgodność na kilku wybranych liczbach nie wystarcza i niczego nie dowodzi.

Dlaczego wystarczy porównać współczynniki?

Bo różnica dwóch równych wielomianów zeruje się wszędzie, czyli ma nieskończenie wiele pierwiastków. Tymczasem wielomian niezerowy stopnia enn ma ich najwyżej enn. Jedynym wyjściem jest więc, że różnica jest wielomianem zerowym, a to znaczy, że wszystkie odpowiadające sobie współczynniki są równe.

Na czym polega metoda porównywania współczynników?

Zapisuje się przewidywaną postać wyniku z nieznanymi literami, wymnaża ją i porządkuje według malejących potęg, a następnie przyrównuje współczynniki przy tych samych potęgach. Powstaje układ równań, z którego wyznacza się szukane liczby. Metoda bywa szybsza od dzielenia, zwłaszcza gdy szukamy tylko jednej lub dwóch wartości.

Co zrobić, gdy równań wyjdzie więcej niż niewiadomych?

To normalna sytuacja i nie oznacza błędu. Nadmiarowe równania działają jak darmowa kontrola: jeśli się zgadzają, wynik jest pewny. Dopiero ich niezgodność jest sygnałem, że pomyliliśmy się w mnożeniu albo źle założyliśmy postać wyniku.

Jak z samego wzoru poznać kierunek ramion wykresu?

Decyduje wyraz o najwyższej potędze, bo rośnie szybciej niż wszystkie pozostałe. Przy stopniu parzystym oba końce idą w tę samą stronę, wyznaczoną przez znak współczynnika wiodącego, a przy nieparzystym w strony przeciwne. Trzeba tylko pamiętać, żeby najpierw uporządkować wielomian, bo wyraz najwyższego stopnia nie zawsze stoi na początku.

Czy każdy wielomian ma pierwiastek rzeczywisty?

Nie. Wielomian nieparzystego stopnia ma zawsze co najmniej jeden, bo jego wykres ucieka na jednym końcu w górę, a na drugim w dół, więc musi przeciąć oś. Przy stopniu parzystym pierwiastka może nie być wcale, czego przykładem jest iks kwadrat plus jeden, którego cały wykres leży nad osią.

Czytaj dalej

WielomianyStopień i fakt o liczbie pierwiastków, z którego wynika całe twierdzenie Nierówności wielomianoweZachowanie wykresu przy pierwiastkach o różnej krotności Dzielenie wielomianówDruga droga do tego samego rozkładu Schemat HorneraNajszybszy sposób, gdy dzielnik ma postać $x-a$Funkcja kwadratowaNajprostszy przypadek parzystego stopnia

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.