Strona główna › Proporcje › Skala i mapa — jak czytać i przeliczać

Skala i mapa — jak czytać i przeliczać

Ta sama skala może być zapisana na trzy różne sposoby, a na mapach turystycznych bywają wydrukowane wszystkie naraz. Skala potrafi też powiększać, nie tylko pomniejszać, a w liceum wraca pod nazwą skali podobieństwa — i wtedy okazuje się, że rządzi nie tylko długościami, ale też polami i objętościami.

Dział: ProporcjePoziom: klasa 6 – maturaZadań z E8: 9

Przejdź od razu do zadań (9) ↓

1Co to jest skala

Skala to liczba mówiąca, ile razy rysunek różni się od oryginału. Jest stosunkiem dwóch długości mierzonych tak samo, więc sama jednostki nie ma — obie się skracają.

Zapis „skala $1 : 50\,000$ cm” jest zatem błędny. Jednostki dotyczą konkretnych długości, nie samego stosunku.

To rozróżnienie brzmi formalnie, a ma praktyczną konsekwencję: nie trzeba pamiętać, w czym skala jest wyrażona, bo w niczym. Trzeba tylko pilnować, żeby w rachunku obie długości były w tej samej jednostce.

Skala pojawia się wszędzie tam, gdzie rzeczywistość trzeba przedstawić w innym rozmiarze — na mapie, na planie budynku, na rysunku technicznym śruby, w modelu samolotu i w obrazie z mikroskopu.

2Trzy sposoby zapisania tej samej skali

Na jednej mapie turystycznej można znaleźć wszystkie trzy — i warto umieć przechodzić między nimi.

skala liczbowa — klasyczny zapis $1 : 50\,000$ ,
skala mianowana — słowny opis „ $1$ cm — $500$ m”,
podziałka liniowa — narysowany odcinek z opisanymi wartościami.

Przejście z liczbowej na mianowaną to zwykłe przeliczenie jednostek: $50\,000$ cm to $500$ m, więc oba zapisy oznaczają dokładnie to samo.

Skala mianowana jest wygodniejsza w czytaniu, ale ma wadę — działa tylko dla wypisanych jednostek. Liczbowa jest uniwersalna.

Podziałka liniowa ma przewagę, o której rzadko się mówi: pozostaje poprawna po powiększeniu albo pomniejszeniu wydruku. Odcinek skaluje się razem z mapą, a liczba $1 : 50\,000$ już nie — po skserowaniu z powiększeniem przestaje być prawdziwa.

Dlatego mapy przeznaczone do kopiowania zawsze mają podziałkę graficzną.

3Skala większa od jedynki — powiększenia

Skala nie zawsze pomniejsza. Zapis $10 : 1$ oznacza, że rysunek jest dziesięć razy większy od rzeczywistego przedmiotu.

Tak rysuje się drobne części mechaniczne, elementy zegarków i preparaty mikroskopowe. Zasada pozostaje ta sama, zmienia się tylko kierunek.

Sposób odczytania jest niezawodny, tylko trzeba go zapamiętać we właściwej postaci: pierwsza liczba dotyczy rysunku, druga oryginału. Gdy pierwsza jest mniejsza, rysunek jest pomniejszony ( $1 : 50\,000$ ); gdy większa — powiększony ( $10 : 1$ ). Uwaga: przy powiększeniach jedynka stoi po stronie oryginału, a nie rysunku — dlatego mnemotechnika „jedynka przy rysunku” działa tylko dla map i planów.

Skala $1 : 1$ oznacza rysunek w rozmiarze naturalnym. Tak rysuje się na przykład szablony do wycinania.

Modele opisuje się zwykle liczbami niekrągłymi — $1 : 72$ dla samolotów, $1 : 43$ dla samochodów. To konwencje branżowe, nie matematyczna konieczność.

4Jak zmierzyć odległość na mapie

Zanim cokolwiek się przelicza, trzeba coś zmierzyć — i to bywa właściwą trudnością, zwłaszcza na mapie turystycznej.

Odcinek prosty mierzy się linijką. To odległość w linii prostej, zwana czasem odległością w powietrzu.

Trasę krętą — szlak, drogę, rzekę — mierzy się nitką ułożoną wzdłuż linii, a potem prostuje ją przy linijce. Zawodowcy używają do tego krzywomierza, czyli kółka z licznikiem.

Różnica bywa duża. Szlak górski potrafi być dwa razy dłuższy niż odległość w linii prostej między jego końcami, bo omija przeszkody i wije się po zboczu.

Warto też pamiętać, że mapa jest płaska, a teren nie. Przy stromych podejściach rzeczywista droga jest dłuższa niż to, co da się zmierzyć na papierze — mapa pokazuje rzut z góry.

5Skala podobieństwa — pola i objętości

W liceum ten sam pomysł wraca jako skala podobieństwa dwóch figur. I wtedy jawnie mówi się to, co w szkole podstawowej bywa pomijane.

Gdy figura zostaje powiększona w skali $k$ , jej długości rosną $k$ razy, ale pole rośnie $k^2$ razy, a objętość bryły $k^3$ razy.

\frac{l'}{l} = k, \qquad \frac{P'}{P} = k^2, \qquad \frac{V'}{V} = k^3

Powód jest prosty: pole powstaje z mnożenia dwóch długości, objętość z trzech. Każda z nich rośnie $k$ razy, więc mnożniki się mnożą.

Konsekwencja praktyczna, która zaskakuje: model samolotu w skali $1 : 10$ jest dziesięć razy krótszy, ale ma tysiąc razy mniejszą objętość. Nie dziesięć. Gdyby wykonano go z tego samego materiału, byłby też tysiąc razy lżejszy — przy innym materiale iloraz mas wychodzi inny, bo dochodzi stosunek gęstości.

Stąd bierze się też najczęstsza pułapka przy planach: pola nie wolno mnożyć przez skalę. Trzeba przeliczyć wymiary, a pole policzyć dopiero z nich.

6W której klasie się to pojawia

Skala jest krótkim tematem, ale wraca w kilku miejscach i za każdym razem głębiej.

klasa 6 — pojęcie skali, plan i mapa, odczyt podziałki,
klasa 7 — skala a proporcje, zadania z jednostkami,
klasa 8 — pole na planie, zadania praktyczne,
liceum — podobieństwo figur, stosunek pól i objętości.

Warunkiem wstępnym jest sprawność w proporcjach — skala to w istocie zapisany stosunek i wszystkie chwyty stamtąd tu działają.

Warto też mieć opanowane przeliczanie jednostek długości, bo ono odpowiada za większość pomyłek rachunkowych w tym temacie.

7Ćwicz dalej

Materiał jest rozdzielony według poziomu:

Egzamin ósmoklasisty — 5 zadań z arkuszy CKE z rozwiązaniami krok po kroku,
Matura — podobieństwo figur, stosunek pól i objętości brył podobnych,
Karta pracy PDF — osobnej karty o skali jeszcze nie ma, ale skalę podobieństwa ćwiczy karta o twierdzeniu Talesa i podobieństwie: pięć zadań na wydruk, klucz na ostatniej stronie.

Test gotowości: model w skali $1 : 20$ ma objętość ile razy mniejszą od oryginału? Jeśli odpowiadasz „osiem tysięcy”, a nie „dwadzieścia”, materiał tej strony jest opanowany.

8Przykłady krok po kroku

Trzy własne przykłady: zamiana zapisu skali, odczyt z podziałki liniowej i skala podobieństwa działająca na polu.

Przykład 1 Zamiana skali liczbowej na mianowaną

Zapisz skalę $1 : 25\,000$ w postaci mianowanej.

Zapis liczbowy mówi, że jednostce na mapie odpowiada $25\,000$ takich samych jednostek w terenie.
Przyjmuję, że na mapie mierzę w centymetrach, więc w terenie też wychodzi $25\,000$ cm.
Zamieniam na wygodniejszą jednostkę: $25\,000$ cm $= 250$ m.
Zapis mianowany brzmi: $1$ cm — $250$ m.
Kontrola: cztery centymetry na takiej mapie to $4 \cdot 250 = 1000$ m, czyli równo kilometr ✓
Oba zapisy oznaczają dokładnie to samo — różnią się tylko wygodą czytania.

Odpowiedź: Skala $1 : 25\,000$ to w zapisie mianowanym $1$ cm — $250$ m.

Przykład 2 Odczyt z podziałki liniowej

Na mapie narysowano podziałkę: odcinek o długości $2$ cm opisany jako $1$ km. Jaka to skala liczbowa?

Podziałka mówi wprost: $2$ cm na mapie to $1$ km w terenie.
Sprowadzam obie długości do tej samej jednostki: $1$ km $= 100\,000$ cm.
Zapisuję stosunek: $2 : 100\,000$ .
Doprowadzam pierwszą liczbę do jedynki, dzieląc obie przez $2$ : $1 : 50\,000$ .
Kontrola: przy takiej skali jeden centymetr to $50\,000$ cm, czyli pół kilometra — a dwa centymetry dają kilometr ✓
To właśnie podziałka pozostaje poprawna po powiększeniu wydruku, bo odcinek skaluje się razem z mapą.

Odpowiedź: Podziałka odpowiada skali $1 : 50\,000$ .

Przykład 3 Skala podobieństwa a pole

Figurę powiększono w skali $3 : 1$ . Ile razy wzrosło jej pole?

Skala $3 : 1$ oznacza, że wszystkie długości stały się trzy razy większe.
Pole powstaje z mnożenia dwóch długości, a każda z nich wzrosła trzykrotnie.
Zatem pole wzrosło $3 \cdot 3 = 9$ razy.
Sprawdzenie na kwadracie: bok $2$ cm daje pole $4$ cm²; po powiększeniu bok ma $6$ cm, a pole $36$ cm². Iloraz: $36 : 4 = 9$ ✓
Gdyby chodziło o bryłę, jej objętość wzrosłaby $3^3 = 27$ razy — bo mnożą się trzy wymiary.
To jest właśnie powód, dla którego pola nigdy nie mnoży się przez samą skalę.

Odpowiedź: Pole wzrosło $9$ razy.

9Najczęstsze błędy

Cztery błędy, które przy skali wracają najczęściej. Ostatni dotyczy pól i objętości — ujawnia się już przy polach na planie, a przy bryłach kosztuje najwięcej.

Dopisywanie jednostki do samej skali

Skąd się bierze: Zapis w rodzaju „skala jeden do pięćdziesięciu tysięcy centymetrów” wygląda na precyzyjny, a jest błędem. Skala porównuje dwie długości mierzone tak samo, więc jednostki się skracają i sam stosunek jest liczbą niemianowaną.

Jak zrobić dobrze: Jednostkę dopisuj wyłącznie do konkretnych długości w rachunku, nigdy do skali. W zapisie mianowanym jednostki są przy obu wartościach — na przykład jeden centymetr do dwustu pięćdziesięciu metrów.

Odczytanie powiększenia jako pomniejszenia

Skąd się bierze: Zapis dziesięć do jednego wygląda podobnie do jeden do dziesięciu, a oznacza coś odwrotnego. Pomyłka daje wynik różniący się stukrotnie, bo zamiast dzielić trzeba mnożyć.

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj kolejność, nie położenie jedynki: pierwsza liczba dotyczy rysunku, druga oryginału. Gdy pierwsza jest mniejsza, rysunek jest pomniejszony; gdy większa — powiększony. Przy zapisie dziesięć do jednego jedynka opisuje oryginał, więc reguła „jedynka przy rysunku” właśnie tu zawodzi.

Mierzenie krętej trasy linijką

Skąd się bierze: Linijka mierzy odległość w linii prostej, a zadanie bywa o długości szlaku albo drogi. Szlak górski potrafi być dwa razy dłuższy niż prosta między jego końcami, więc odpowiedź jest wtedy mocno zaniżona.

Jak zrobić dobrze: Ułóż nitkę wzdłuż zaznaczonej trasy, a potem wyprostuj ją przy linijce. Przelicznik pozostaje ten sam — różnica dotyczy wyłącznie tego, co mierzysz przed przeliczeniem.

Zastosowanie skali wprost do pola albo objętości

Skąd się bierze: Skala rządzi długościami, a pole powstaje z dwóch długości, objętość z trzech. Dlatego przy skali dziesięć pole zmienia się sto razy, a objętość tysiąc — pomnożenie samej wartości pola przez skalę daje wynik o rząd wielkości za mały.

Jak zrobić dobrze: Przelicz najpierw poszczególne wymiary, a pole albo objętość policz dopiero z nich. Skrótowo: stosunek pól to kwadrat skali, stosunek objętości to jej sześcian.

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — podział proporcjonalny i stosunki

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 3 zadania z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.

Kolor pokazuje mechanizm, który rozwiązuje niemal każde z tych zadań: zielona to liczba wszystkich części (suma liczb ze stosunku), a czerwona to wartość jednej części. Gdy już znasz jedną część, reszta to zwykłe mnożenie.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 7 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 7 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (czerwiec 2023)1 pktłatwe

Stosunek długości trzech boków trójkąta jest równy

2 : 4 : 5

. Obwód tego trójkąta jest równy 33 cm. Dokończ zdanie.
Najkrótszy bok tego trójkąta ma długość

A. $2$ cm
B. $3$ cm
C. $6$ cm
D. $11$ cm

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Stosunek $2 : 4 : 5$ czytamy tak: boki składają się z 2, 4 i 5 jednakowych części.
Liczymy, ile jest części łącznie: $2 + 4 + 5 = \textcolor{#16A06A}{11}$ .
Te $\textcolor{#16A06A}{11}$ części to cały obwód, czyli 33 cm. Zatem jedna część ma $33 : \textcolor{#16A06A}{11} = \textcolor{#E0453A}{3}$ cm.
Najkrótszy bok to ten o 2 częściach: $2 \cdot \textcolor{#E0453A}{3} = 6$ cm.
Odpowiedź C. Sprawdzenie: boki to $6$ , $12$ i $15$ cm, a $6 + 12 + 15 = 33$ cm ✓

💡 Wskazówka: Schemat na wszystkie zadania ze stosunkiem: dodaj liczby ze stosunku → podziel całość przez tę sumę → pomnóż przez odpowiednią liczbę części.

⚠ Najczęstszy błąd: podanie liczby 2 jako długości boku (kusząca odpowiedź A). Liczba ze stosunku to liczba części, a nie długość w centymetrach.

Zadanie 2 (marzec 2021)1 pktśrednie

W trójkącie stosunek miar kątów jest równy

2 : 3 : 7

. Dokończ zdanie.
Trójkąt o podanych własnościach jest

A. rozwartokątny
B. prostokątny
C. ostrokątny
D. równoramienny

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Kluczowa wiedza: suma kątów w każdym trójkącie wynosi $180°$ — to jest nasza „całość”.
Liczba wszystkich części: $2 + 3 + 7 = \textcolor{#16A06A}{12}$ .
Jedna część: $180° : \textcolor{#16A06A}{12} = \textcolor{#E0453A}{15°}$ .
Liczymy kąty: $2 \cdot \textcolor{#E0453A}{15°} = 30°$ , $3 \cdot \textcolor{#E0453A}{15°} = 45°$ , $7 \cdot \textcolor{#E0453A}{15°} = 105°$ .
Największy kąt ma $105°$ , czyli więcej niż $90°$ — trójkąt jest rozwartokątny.
Odpowiedź A. Sprawdzenie: $30° + 45° + 105° = 180°$ ✓

💡 Wskazówka: Wystarczy sprawdzić największy kąt: jeśli przekracza $90°$ — rozwartokątny, jeśli równy $90°$ — prostokątny, jeśli mniejszy — ostrokątny.

⚠ Odpowiedź D (równoramienny) odpada, bo wszystkie trzy liczby stosunku są różne — czyli wszystkie kąty są różne, a więc i wszystkie boki.

Zadanie 3 (kwiecień 2020)1 pktłatwe

Trzej właściciele firmy — Adam, Janusz i Oskar — kupili samochód dostawczy za kwotę 154 000 zł. Kwoty wpłacone przez Adama, Janusza i Oskara są odpowiednio w stosunku

2 : 3 : 6

. Jaką kwotę wpłacił Janusz?

A. $14\,000$ zł
B. $28\,000$ zł
C. $42\,000$ zł
D. $84\,000$ zł

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Liczba wszystkich części: $2 + 3 + 6 = \textcolor{#16A06A}{11}$ .
Jedna część: $154\,000 : \textcolor{#16A06A}{11} = \textcolor{#E0453A}{14\,000}$ zł.
Janusz jest w środku stosunku, więc przypada mu 3 części: $3 \cdot \textcolor{#E0453A}{14\,000} = 42\,000$ zł.
Odpowiedź C.
Sprawdzenie: Adam $2 \cdot \textcolor{#E0453A}{14\,000} = 28\,000$ zł, Oskar $6 \cdot \textcolor{#E0453A}{14\,000} = 84\,000$ zł, a $28\,000 + 42\,000 + 84\,000 = 154\,000$ zł ✓

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę, że wszystkie cztery odpowiedzi to poprawne wpłaty — tylko różnych osób. To typowa konstrukcja: A to jedna część (Adam), C to Janusz, D to Oskar.

⚠ Najczęstszy błąd: pomylenie kolejności i podanie kwoty Adama (28 000 zł) lub Oskara (84 000 zł). Warto podkreślić w treści, o kogo pyta zadanie.

Zadanie 4 (marzec 2020)1 pktśrednie

Trójkąt, w którym długości boków są do siebie w stosunku

3 : 4 : 5

, nazywa się trójkątem egipskim. Z odcinków o jakich długościach nie można zbudować trójkąta egipskiego?

A. $6,\ 8,\ 10$
B. $9,\ 12,\ 15$
C. $12,\ 20,\ 25$
D. $21,\ 28,\ 35$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Trójki liczb są w stosunku $3 : 4 : 5$ wtedy, gdy powstają przez pomnożenie 3, 4 i 5 przez tę samą liczbę.
A. $6 : 8 : 10$ — wszystkie podzielone przez 2 dają $3 : 4 : 5$ ✓ (mnożnik $\textcolor{#E0453A}{2}$ )
B. $9 : 12 : 15$ — dzielimy przez 3: $3 : 4 : 5$ ✓ (mnożnik $\textcolor{#E0453A}{3}$ )
C. $12 : 20 : 25$ — sprawdzamy mnożniki po kolei: $12 : 3 = \textcolor{#E0453A}{4}$ , ale $20 : 4 = \textcolor{#E0453A}{5}$ , a $25 : 5 = \textcolor{#E0453A}{5}$ . Mnożniki nie są równe ✗
D. $21 : 28 : 35$ — dzielimy przez 7: $3 : 4 : 5$ ✓ (mnożnik $\textcolor{#E0453A}{7}$ )
Odpowiedź C — te odcinki nie tworzą trójkąta egipskiego.
Dla porządku: gdyby zachować proporcję przy pierwszym boku 12, pozostałe musiałyby wynosić 16 i 20.

💡 Wskazówka: Najszybszy test: podziel każdą liczbę przez odpowiadającą jej liczbę ze stosunku. Jeśli za każdym razem wyjdzie ten sam iloraz — proporcja się zgadza.

⚠ Pułapka w odpowiedzi C: dwa ostatnie stosunki ( $20:4$ i $25:5$ ) dają zgodnie 5, więc przy pobieżnym sprawdzeniu wygląda to poprawnie. Trzeba sprawdzić wszystkie trzy.

Zadanie 5 (kwiecień 2019)1 pktśrednie

Dorota sporządziła z cukru i wody syrop do deseru. Stosunek masy cukru do masy wody w tym syropie jest równy

5 : 3

. Ile procent masy tego syropu stanowi masa cukru?

A. $25\%$
B. $37{,}5\%$
C. $40\%$
D. $60\%$
E. $62{,}5\%$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: E

Uwaga na pułapkę: stosunek $5 : 3$ mówi o cukrze względem wody, a pytanie dotyczy cukru względem całego syropu.
Cały syrop to cukier plus woda, czyli $5 + 3 = \textcolor{#16A06A}{8}$ części.
Cukier to 5 z tych $\textcolor{#16A06A}{8}$ części: $\dfrac{5}{\textcolor{#16A06A}{8}}$ .
Zamieniamy na procenty: $\dfrac{5}{8} = 0{,}625 = 62{,}5\%$ .
Odpowiedź E. (Dla porządku: woda stanowi $\dfrac{3}{8} = 37{,}5\%$ — stąd kusząca odpowiedź B.)

💡 Wskazówka: Przy zamianie stosunku na procent zawsze pytaj: co jest całością? Tu całością jest syrop (8 części), a nie sama woda (3 części).

⚠ Dwa typowe błędy: (1) policzenie $\tfrac53$ zamiast $\tfrac58$ — ale to daje ponad 100%, co od razu powinno zapalić lampkę; (2) podanie procentu wody (37,5%) zamiast cukru.

Zadanie 6 (kwiecień 2012, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

W turnieju szachowym wzięło udział 48 uczniów. Liczby uczestników z klas pierwszych, drugich i trzecich są do siebie w proporcji $3 : 8 : 5$ .
Jaki procent uczestników turnieju stanowili drugoklasiści?

A. $17\%$
B. $24\%$
C. $33\%$
D. $50\%$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Do policzenia procentu liczba 48 wcale nie jest potrzebna — wystarczy sam stosunek.
Liczba wszystkich części: $3 + 8 + 5 = \textcolor{#16A06A}{16}$ .
Drugoklasiści to 8 części z $\textcolor{#16A06A}{16}$ , czyli $\dfrac{8}{\textcolor{#16A06A}{16}} = \dfrac{1}{2} = 50\%$ .
Odpowiedź D.
Sprawdzenie „na liczbach”: jedna część to $48 : \textcolor{#16A06A}{16} = \textcolor{#E0453A}{3}$ uczniów, więc drugoklasistów jest $8 \cdot \textcolor{#E0453A}{3} = 24$ — i rzeczywiście $\dfrac{24}{48} = 50\%$ ✓

💡 Wskazówka: Kiedy pytanie dotyczy procentu, często można pominąć liczbę uczestników i liczyć wprost ze stosunku. Szybciej i mniej okazji do pomyłki.

⚠ Najczęstszy błąd: podanie liczby drugoklasistów (24) jako procentu — stąd kusząca odpowiedź B. To dwie różne wielkości, które przypadkiem obie pojawiają się w zadaniu.

Zadanie 7 (kwiecień 2012, egzamin gimnazjalny)1 pktłatwe

W turnieju szachowym wzięło udział 48 uczniów. Liczby uczestników z klas pierwszych, drugich i trzecich są do siebie w proporcji $3 : 8 : 5$ .
Dokończ zdanie tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe.
Liczba uczniów klas pierwszych, którzy wzięli udział w turnieju, jest równa

A. $8$
B. $9$
C. $10$
D. $11$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Liczba wszystkich części: $3 + 8 + 5 = \textcolor{#16A06A}{16}$ .
Jedna część: $48 : \textcolor{#16A06A}{16} = \textcolor{#E0453A}{3}$ uczniów.
Pierwszoklasiści to 3 części: $3 \cdot \textcolor{#E0453A}{3} = 9$ uczniów.
Odpowiedź B.
Sprawdzenie całości: $9 + 24 + 15 = 48$ ✓

💡 Wskazówka: Gdy dwa zadania korzystają z tych samych danych, policz jedną część raz i wykorzystaj ją w obu — tu $\textcolor{#E0453A}{3}$ uczniów na część.

⚠ Częsty błąd: podanie liczby 8 (kusząca odpowiedź A) — to liczba części przypadająca drugoklasistom, a nie liczba pierwszoklasistów.

Zadania otwarte

Zadanie 8 (czerwiec 2020)2 pktśrednie

Rada rodziców na nagrody dla dwóch klas ósmych przeznaczyła 1080 zł. W klasie 8a jest 32 uczniów, a w klasie 8b jest 28 uczniów. Pieniądze podzielono proporcjonalnie do liczby uczniów w danej klasie. Oblicz kwotę, jaką każda z klas otrzymała na nagrody. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 8a: 576 zł, 8b: 504 zł

Tu „częścią” jest po prostu jeden uczeń — pieniądze dzielimy proporcjonalnie do liczby uczniów.
Wszystkich uczniów: $32 + 28 = \textcolor{#16A06A}{60}$ .
Kwota na jednego ucznia: $1080 : \textcolor{#16A06A}{60} = \textcolor{#E0453A}{18}$ zł.
Klasa 8a: $32 \cdot \textcolor{#E0453A}{18} = 576$ zł.
Klasa 8b: $28 \cdot \textcolor{#E0453A}{18} = 504$ zł.
Odpowiedź: klasa 8a otrzymała 576 zł, a klasa 8b — 504 zł.
Sprawdzenie: $576 + 504 = 1080$ zł ✓

💡 Wskazówka: Zawsze na koniec sprawdź, czy obie kwoty sumują się do całości. To najprostsza kontrola poprawności w zadaniach o podziale.

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie 1080 zł na pół (po 540 zł) — ale klasy mają różną liczbę uczniów, więc podział „po równo” nie jest proporcjonalny.

Zadanie 9 (listopad 2012, egzamin gimnazjalny)2 pkttrudniejsze

Na zakup biletów do kina klasa 3a zebrała 360 zł, klasy 3b i 3c po 300 zł, a klasa 3d — 240 zł. Szkole udzielono rabatu i wszystkie bilety kosztowały 1000 zł. Uzyskany rabat podzielono między cztery klasy proporcjonalnie do zebranych kwot. Jaką kwotę zwrócono klasie 3a? Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 60 zł

Najpierw liczymy, ile klasy zebrały łącznie: $360 + 300 + 300 + 240 = 1200$ zł.
Bilety kosztowały ostatecznie 1000 zł, więc rabat wyniósł $1200 - 1000 = 200$ zł. To właśnie tę kwotę dzielimy.
Teraz „części” to złotówki — dzielimy proporcjonalnie do wpłat. Na każdą zebraną złotówkę przypada rabat $200 : 1200 = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{6}}$ zł.
Klasa 3a zebrała 360 zł, więc dostaje $360 \cdot \textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{6}} = 60$ zł.
Odpowiedź: klasie 3a zwrócono 60 zł.
Można też przez udział procentowy: 3a wpłaciła $\dfrac{360}{1200} = \textcolor{#16A06A}{0{,}3}$ całości, więc dostaje $\textcolor{#16A06A}{0{,}3} \cdot 200 = 60$ zł ✓
Kontrola: pozostałe klasy dostają 50 zł, 50 zł i 40 zł, a $60 + 50 + 50 + 40 = 200$ zł ✓

💡 Wskazówka: Uważnie czytaj, co się dzieli. Dzielimy tu nie 1200 zł i nie 1000 zł, tylko sam rabat — czyli różnicę 200 zł.

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie rabatu po równo na cztery klasy (po 50 zł). Klasa 3a wpłaciła najwięcej, więc musi dostać więcej niż pozostałe.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. C	2. A	3. C	4. C	5. E	6. D
7. B	8. 8a: 576 zł, 8b: 504 zł	9. 60 zł

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

10Pytania i odpowiedzi

Czy skala ma jednostkę?

Nie. Porównuje dwie długości mierzone w tej samej jednostce, więc ta jednostka się skraca i zostaje sama liczba. Dopisywanie skrótu jednostki do skali jest błędem — jednostki należą do konkretnych długości w rachunku, nie do stosunku.

Czym różni się skala liczbowa od mianowanej?

To dwa zapisy tej samej informacji. Liczbowa ma postać stosunku i jest uniwersalna, mianowana podaje wprost, ilu metrom odpowiada jeden centymetr, i czyta się ją wygodniej. Trzecim zapisem jest podziałka liniowa — narysowany odcinek z opisanymi wartościami.

Po co na mapach rysuje się podziałkę liniową?

Bo pozostaje poprawna po powiększeniu albo pomniejszeniu wydruku. Odcinek skaluje się razem z mapą, a zapis liczbowy nie — po skserowaniu z powiększeniem przestaje być prawdziwy. Dlatego mapy przeznaczone do kopiowania zawsze mają podziałkę graficzną.

Co oznacza skala dziesięć do jednego?

Powiększenie dziesięciokrotne — rysunek jest dziesięć razy większy od przedmiotu. Tak rysuje się drobne części mechaniczne i preparaty mikroskopowe. Reguła odczytu jest prosta: pierwsza liczba dotyczy rysunku, druga oryginału. W tym zapisie jedynka opisuje właśnie oryginał, a nie rysunek.

Jak zmierzyć na mapie długość krętej drogi?

Ułóż wzdłuż niej nitkę, a potem wyprostuj ją przy linijce i przelicz przez skalę. Linijka przyłożona wprost mierzy tylko odległość w linii prostej, która przy szlakach górskich bywa dwa razy krótsza od rzeczywistej trasy.

Ile razy zmienia się pole przy zmianie skali?

Tyle, ile wynosi kwadrat skali. Przy powiększeniu trzykrotnym pole rośnie dziewięć razy, bo powstaje z mnożenia dwóch długości i każda z nich urosła trzykrotnie. Objętość zmienia się jak sześcian skali — model w skali jeden do dziesięciu ma tysiąc razy mniejszą objętość, a nie dziesięć. Lżejszy tysiąc razy byłby tylko wtedy, gdyby wykonano go z tego samego materiału.

Czytaj dalej

Skala i mapa — zadania z egzaminu ósmoklasistyPięć zadań z arkuszy CKE rozwiązanych krok po kroku Proporcje — teoriaStosunek i proporcja, czyli fundament, na którym stoi skala Pola figur — teoriaSkąd bierze się kwadrat skali w stosunku pól Egzamin ósmoklasisty z matematykiWszystkie działy, arkusze i sposób przygotowania

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.