Strona główna › Liczby i działania › Liczby wymierne

Liczby wymierne

Q: Co to jest liczba wymierna?

Liczba, którą da się zapisać jako iloraz dwóch liczb całkowitych p/q, gdzie q ≠ 0. Należą do nich wszystkie liczby naturalne, całkowite i wszystkie ułamki — czyli praktycznie każda liczba używana w szkole podstawowej.

Q: Skąd nazwa „liczby wymierne”?

Od mierzenia. Dwie długości są współmierne, gdy istnieje miarka mieszcząca się w obu całkowitą liczbę razy — a wtedy ich stosunek jest ułamkiem. Grecy odkryli, że bok i przekątna kwadratu takiej wspólnej miarki nie mają, więc √(2) nie jest wymierna.

Q: Czy każda liczba całkowita jest wymierna?

Tak — wystarczy zapisać ją z mianownikiem jeden: -7 = -7/1. Odwrotnie już nie: 2/5 jest wymierna, ale nie całkowita. Zbiory zawierają się w sobie, a nie wykluczają.

Q: Czy działania na liczbach wymiernych zawsze dają wymierne?

Tak, przy czterech podstawowych działaniach — z jedynym zastrzeżeniem, że nie dzielimy przez zero. Bierze się to stąd, że we wzorze a/b + c/d = ad+bc/bd licznik i mianownik powstają z działań na liczbach całkowitych.

Q: Czy z liczb niewymiernych może wyjść wymierna?

Tak, i to łatwo: √(2) · √(2) = 2, a √(2) + (-√(2)) = 0. Zbiór liczb niewymiernych nie jest zamknięty na działania — w przeciwieństwie do wymiernych. To najostrzejsza różnica między nimi.

Q: W której klasie uczy się o liczbach wymiernych?

Sam podział na wymierne i niewymierne wchodzi w pierwszej klasie liceum. W szkole podstawowej uczeń liczy na liczbach wymiernych przez cały czas — ułamki, liczby całkowite, procenty — tylko nie nazywa ich tak.

Liczba wymierna to taka, którą da się zapisać jako iloraz dwóch liczb całkowitych — czyli jako ułamek. Brzmi to jak definicja dla wtajemniczonych, a tymczasem opisuje wszystkie liczby, jakie poznajesz w szkole podstawowej. Ta strona tłumaczy, skąd wzięła się dziwna nazwa i jaką jedną własność ten zbiór ma, że w ogóle warto go było wyodrębnić.

Dział: Liczby i działaniaPoziom: klasy 4–8Zadań z E8: 7

Przejdź od razu do zadań (7) ↓

1Definicja i co się pod nią kryje

Liczba wymierna to iloraz dwóch liczb całkowitych, przy czym dzielnik nie może być zerem.

\frac{p}{q}, \quad \text{gdzie } p, q \text{ całkowite oraz } q \neq 0

Zastrzeżenie $q \neq 0$ nie jest formalnością — dzielenie przez zero nie ma wyniku, więc taki zapis nie oznaczałby żadnej liczby.

Kluczowa jest tu jedna obserwacja: definicja mówi „da się zapisać”, a nie „jest zapisana”. Liczba nie musi wyglądać jak ułamek, żeby była wymierna.

liczba	zapis ułamkowy	dlaczego wymierna
$5$	$\frac{5}{1}$	każda całkowita ma mianownik $1$
$-3$	$\frac{-3}{1}$	znak nie przeszkadza
$0$	$\frac{0}{1}$	zero też jest wymierne
$0{,}5$	$\frac{1}{2}$	rozwinięcie skończone
$2{,}25$	$\frac{9}{4}$	rozwinięcie skończone
$0{,}333\ldots$	$\frac{1}{3}$	rozwinięcie okresowe

Stąd wniosek, który warto zapamiętać: każda liczba naturalna, całkowita i każdy ułamek jest liczbą wymierną. W szkole podstawowej wszystkie liczby, na których wykonujesz działania, należą do tego zbioru — pierwszy wyjątek pojawia się dopiero przy pierwiastkach.

To, jak sprawdzić, czy dana liczba dziesiętna da się zapisać ułamkiem zwykłym i kiedy rozwinięcie się kończy, opisuję osobno przy zamianie ułamków.

2Skąd nazwa „wymierne”

Nazwa brzmi tajemniczo, a pochodzi od mierzenia — i kryje się za nią jedna z najstarszych historii w matematyce.

Starożytni Grecy wierzyli, że każde dwie długości da się zmierzyć wspólną miarką. Jeśli mam dwa odcinki, to powinien istnieć taki mały odcinek, który mieści się w obu całkowitą liczbę razy. Odcinki spełniające ten warunek nazywamy współmiernymi.

Weźmy odcinki o długościach $3$ cm i $4$ cm. Wspólną miarką jest $1$ cm — mieści się trzy razy w pierwszym i cztery razy w drugim. Stosunek długości to $\frac{3}{4}$ , czyli ułamek.

Odkrycie, które zburzyło grecką matematykę

Weź kwadrat o boku $1$ . Jego przekątna ma długość $\sqrt{2}$ .

Okazuje się, że nie istnieje żadna miarka, choćby najmniejsza, która zmieściłaby się całkowitą liczbę razy i w boku, i w przekątnej. Te dwa odcinki są niewspółmierne.

A skoro ich stosunek nie jest ułamkiem, to $\sqrt{2}$ nie jest liczbą wymierną. Grecy odkryli to około $500$ r. p.n.e. i było to dla nich wstrząsem — burzyło przekonanie, że cała geometria da się opisać stosunkami liczb całkowitych.

Stąd nazwa: wymierne to te, które dają się „wymierzyć” stosunkiem liczb całkowitych. Po łacinie mówi się rationalis, od ratio — stosunek, iloraz. To samo słowo tkwi w oznaczeniu zbioru $\mathbb{Q}$ , od włoskiego quoziente.

Warto zauważyć, że polskie „wymierny” i angielskie rational mówią o tej samej rzeczy dwoma obrazami: jeden o mierzeniu, drugi o stosunku. Liczby niewymierne to po prostu te, których żadnym stosunkiem liczb całkowitych opisać się nie da.

3Cztery działania nie wyprowadzają poza zbiór

To jest jedyna własność, dla której warto było ten zbiór wyodrębnić — i powód, dla którego szkoła podstawowa może się w nim poruszać niemal przez cały czas. Niemal, bo w klasach siódmej i ósmej wchodzą pierwiastki, a wraz z nimi pierwsze liczby spoza tego zbioru.

Dodaj, odejmij, pomnóż albo podziel dwie liczby wymierne — wynik zawsze będzie wymierny. Jedynym zastrzeżeniem jest dzielenie przez zero, które nie ma wyniku w żadnym zbiorze.

działanie	przykład	wynik
dodawanie	$\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$	$\frac{5}{6}$ — wymierny
odejmowanie	$\frac{3}{4} - \frac{1}{6}$	$\frac{7}{12}$ — wymierny
mnożenie	$\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5}$	$\frac{3}{10}$ — wymierny
dzielenie	$\frac{2}{3} : \frac{4}{5}$	$\frac{5}{6}$ — wymierny

Dlaczego zawsze tak wychodzi? Bo dodawanie ułamków sprowadza się do wzoru, w którym licznik i mianownik powstają z mnożenia i dodawania liczb całkowitych:

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{\textcolor{#16A06A}{ad + bc}}{\textcolor{#E0453A}{bd}}

A skoro suma i iloczyn liczb całkowitych są całkowite, to nowy licznik i nowy mianownik też są całkowite — czyli wynik znów pasuje do definicji liczby wymiernej. Przy mnożeniu i dzieleniu rozumowanie jest takie samo.

Liczby niewymierne tej własności NIE mają

$\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$ — z dwóch liczb niewymiernych wyszła wymierna.

$\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$ oraz $\sqrt{2} : \sqrt{2} = 1$ — to samo.

Zbiór liczb niewymiernych „przecieka”, a wymiernych nie. To najostrzejsza różnica między nimi i dobry powód, żeby nie traktować ich jak dwóch równorzędnych połówek.

4Jak sprawdzić, czy liczba jest wymierna

W praktyce sprowadza się to do jednego pytania: czy da się ją zapisać ułamkiem zwykłym.

Liczba całkowita? Wymierna — mianownik $1$ .
Ułamek zwykły? Wymierna z definicji.
Rozwinięcie dziesiętne skończone (np. $2{,}25$ )? Wymierna — da się zapisać ułamkiem o mianowniku $10$ , $100$ i tak dalej.
Rozwinięcie nieskończone, ale okresowe (np. $0{,}333\ldots$ )? Wymierna.
Rozwinięcie nieskończone i nieokresowe? Niewymierna.

Ostatnie dwa punkty są jedynym trudnym miejscem — i najczęściej mylonym. Sama nieskończoność rozwinięcia niczego nie przesądza; liczy się dopiero to, czy cyfry się powtarzają.

Najczęstsze liczby niewymierne to $\sqrt{2}$ , $\sqrt{3}$ , $\sqrt{5}$ oraz $\pi$ . Ale uwaga: nie każdy pierwiastek jest niewymierny — $\sqrt{9} = 3$ i $\sqrt{16} = 4$ są liczbami naturalnymi, a więc wymiernymi.

Gdzie każda z tych liczb leży wobec pozostałych zbiorów, pokazuję na mapie rodzajów liczb.

5Gdzie w szkole spotykasz liczby wymierne

Odpowiedź brzmi: właściwie wszędzie, tylko bez tej nazwy.

Ułamki zwykłe i dziesiętne — dwa zapisy tych samych liczb wymiernych,
Liczby całkowite — wymierne o mianowniku $1$ ,
Procenty — $25\%$ to po prostu $\frac{1}{4}$ ,
wszystkie zadania z treścią o cenach, długościach i czasie — bo miary zawsze podaje się liczbami wymiernymi.

Kiedy pojawia się sama nazwa

Podstawa programowa szkoły podstawowej nie ma osobnego działu o liczbach wymiernych i nie wymaga klasyfikowania liczb na wymierne i niewymierne.

Słowo „wymierny” pada w niej sześć razy i zawsze jako określenie czegoś innego: przy działaniach arytmetycznych, przy pierwiastkach, przy współrzędnych punktów, a nawet w nazwie działu „Potęgi o podstawach wymiernych”. Uczeń liczy na liczbach wymiernych, nie ucząc się ich definicji.

Uporządkowanie nazw i podziału na wymierne oraz niewymierne wchodzi w pierwszej klasie liceum, razem z liczbami rzeczywistymi.

Praktyczny wniosek dla ósmoklasisty: jeśli w zadaniu pada „liczba wymierna”, prawie zawsze znaczy to po prostu „zwykła liczba, jakiej używasz na co dzień” — a pytanie sprawdza, czy nie dasz się nabrać na $\sqrt{2}$ albo $\pi$ .

6Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: rozpoznawanie, zamknięcie działań i pułapka z pierwiastkiem.

Przykład 1 Które z tych liczb są wymierne

Wskaż liczby wymierne wśród: $-7$ , $\frac{2}{5}$ , $0{,}75$ , $\sqrt{2}$ , $\sqrt{25}$ , $\pi$ .

$-7$ — liczba całkowita, czyli $\frac{-7}{1}$ . Wymierna.
$\frac{2}{5}$ — ułamek o całkowitym liczniku i mianowniku. Wymierna z definicji.
$0{,}75$ — rozwinięcie skończone, więc da się zapisać jako $\frac{75}{100} = \frac{3}{4}$ . Wymierna.
$\sqrt{2}$ — rozwinięcie $1{,}41421356\ldots$ jest nieskończone i nieokresowe. Niewymierna.
$\sqrt{25}$ — najpierw obliczam: $\sqrt{25} = 5$ . To liczba naturalna, więc wymierna.
$\pi$ — rozwinięcie $3{,}14159\ldots$ nieskończone i nieokresowe. Niewymierna.
Kontrola: wymierne to $-7$ , $\frac{2}{5}$ , $0{,}75$ i $\sqrt{25}$ — cztery z sześciu ✓

Odpowiedź: Wymierne: $-7$ , $\frac{2}{5}$ , $0{,}75$ , $\sqrt{25}$ . Niewymierne: $\sqrt{2}$ , $\pi$ .

Piąta pozycja jest pułapką zbudowaną na zapisie: pierwiastek sugeruje niewymierność, ale $\sqrt{25}$ to po prostu $5$ . Najpierw oblicz, potem klasyfikuj — ta sama zasada co przy rodzajach liczb.

Przykład 2 Sprawdzenie zamknięcia działań

Wykonaj $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ oraz $\frac{2}{3} : \frac{4}{5}$ i sprawdź, czy wyniki są wymierne.

Dodawanie: sprowadzam do wspólnego mianownika $6$ : $\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$ oraz $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$ .
$\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$ — licznik i mianownik są całkowite, więc wynik jest wymierny ✓
Dzielenie: mnożę przez odwrotność: $\frac{2}{3} : \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{10}{12}$ .
Skracam przez $2$ : $\frac{10}{12} = \frac{5}{6}$ — znowu liczba wymierna ✓
Kontrola ogólna: przy dodawaniu nowy licznik to $ad + bc$ , a mianownik $bd$ — same działania na liczbach całkowitych, więc wynik musi być wymierny.
Kontrola liczbowa: $\frac{5}{6} \approx 0{,}83$ , a $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = 0{,}5 + 0{,}33\ldots \approx 0{,}83$ ✓

Odpowiedź: Oba wyniki to $\frac{5}{6}$ — liczby wymierne.

To, że oba działania dały ten sam wynik, jest przypadkiem. Nieprzypadkowe jest natomiast to, że oba wyniki są wymierne — i tak będzie zawsze, niezależnie od tego, jakie ułamki wstawisz.

Przykład 3 Kiedy z niewymiernych wychodzi wymierna

Oblicz $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}$ oraz $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}$ . Czy wyniki są wymierne?

Pierwsze: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$ , bo pierwiastek pomnożony przez siebie daje liczbę spod pierwiastka.
Wynik $2$ jest liczbą naturalną, a więc wymierną — mimo że oba czynniki były niewymierne.
Drugie: korzystam z tego, że iloczyn pierwiastków to pierwiastek iloczynu: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16}$ .
$\sqrt{16} = 4$ , czyli znów liczba wymierna.
Kontrola drugą drogą, też dokładna: $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ , więc $\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} = 2 \cdot 2 = 4$ ✓
Wniosek: zbiór liczb niewymiernych nie jest zamknięty na mnożenie — w przeciwieństwie do wymiernych.

Odpowiedź: Oba wyniki ( $2$ i $4$ ) są wymierne.

To najlepszy argument za tym, że wymierne i niewymierne nie są dwiema równorzędnymi połówkami. Z wymiernych nigdy nie wyjdziesz czterema działaniami; z niewymiernych — bez trudu.

7Najczęstsze błędy

Cztery błędy — pierwsze dwa dotyczą rozpoznawania, dwa kolejne granic zbioru.

Uznanie każdego nieskończonego rozwinięcia za niewymierne

Skąd się bierze: $0{,}333\ldots$ ma nieskończenie wiele cyfr, więc trafia do niewymiernych. Kryterium brzmi jednak „nieskończone i nieokresowe” — a tutaj trójka się powtarza, więc liczba jest wymierna i równa $\frac{1}{3}$ .

Jak zrobić dobrze: Sprawdzaj oba warunki naraz. Jeśli w rozwinięciu widać powtarzający się fragment, liczba jest wymierna — niezależnie od tego, jak długi jest okres.

Uznanie każdego pierwiastka za liczbę niewymierną

Skąd się bierze: $\sqrt{25}$ zostaje wzięte za niewymierne, choć równa się $5$ . Niewymierne są tylko pierwiastki z liczb, które nie są kwadratami liczb całkowitych.

Jak zrobić dobrze: Najpierw oblicz wartość pierwiastka, potem klasyfikuj. Jeśli liczba pod pierwiastkiem jest kwadratem ( $1$ , $4$ , $9$ , $16$ , $25$ , $36$ …), wynik jest liczbą naturalną.

Zapomnienie, że liczby całkowite są wymierne

Skąd się bierze: Uczeń dzieli liczby na „całkowite ALBO wymierne”, traktując je jak rozłączne grupy. Tymczasem każda całkowita jest wymierna, bo $-7 = \frac{-7}{1}$ — zbiory zawierają się, a nie wykluczają.

Jak zrobić dobrze: Czytaj to jako zawieranie: całkowite są szczególnym przypadkiem wymiernych. W zdaniach prawda–fałsz „każda liczba całkowita jest wymierna” to prawda, a odwrotność — fałsz.

Dopuszczenie zera w mianowniku

Skąd się bierze: Definicja bywa zapamiętywana jako „iloraz dwóch liczb całkowitych”, bez zastrzeżenia. Ale $\frac{3}{0}$ nie jest żadną liczbą — dzielenie przez zero nie ma wyniku, więc taki zapis nic nie oznacza.

Jak zrobić dobrze: Definicja ma trzy części i wszystkie są potrzebne: licznik całkowity, mianownik całkowity i mianownik różny od zera.

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — oś liczbowa

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 4 zadania z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.

Kolor pokazuje mechanizm odczytu z osi: zielona to wartość jednej działki, a czerwona to liczba działek, które pokonujemy. Gdy znasz jedną działkę, każdy punkt na osi liczy się jednym mnożeniem. W zadaniach o odległości kolor oddziela większą liczbę od mniejszej.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 6 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 6 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2022)1 pktśrednie

Na osi liczbowej zaznaczono punkty

P

R

S

. Odcinek

PS

jest podzielony na 8 równych części. Współrzędne punktów

P

R

podano na rysunku. Dokończ zdanie.
Współrzędna punktu

S

jest równa

Dane z rysunku — wersja tekstowa

Punkt	P	R	S
Kreska od początku	0	5	8
Współrzędna	−3	7	?

A. $10$
B. $11$
C. $13$
D. $15$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Najpierw liczymy wartość jednej działki — do tego potrzebujemy dwóch punktów o znanych współrzędnych.
Od $P$ do $R$ jest $\textcolor{#E0453A}{5}$ działek, a wartość rośnie z $-3$ do $7$ , czyli o $7 - (-3) = 10$ .
Jedna działka: $10 : \textcolor{#E0453A}{5} = \textcolor{#16A06A}{2}$ .
Teraz punkt $S$ — dzieli go od $P$ aż $\textcolor{#E0453A}{8}$ działek: $S = -3 + \textcolor{#E0453A}{8} \cdot \textcolor{#16A06A}{2} = -3 + 16 = 13$ .
Odpowiedź C.
Można też krócej, licząc od $R$ : od $R$ do $S$ zostają $\textcolor{#E0453A}{3}$ działki, więc $S = 7 + \textcolor{#E0453A}{3} \cdot \textcolor{#16A06A}{2} = 13$ ✓

💡 Wskazówka: Schemat na wszystkie zadania z osią: znajdź wartość jednej działki, licząc różnicę dwóch znanych punktów i dzieląc ją przez liczbę działek między nimi. Reszta to mnożenie.

⚠ Najczęstszy błąd: liczenie działek „na oko” albo pomylenie liczby kresek z liczbą odstępów. Między $P$ a $R$ jest 5 odstępów, choć kresek widać 6.

Zadanie 2 (kwiecień 2020)1 pktśrednie

Na osi liczbowej oznaczono cztery punkty:

R

S

T

W

. Odcinek

RW

jest podzielony na pięć równych części. Współrzędne punktów

S

W

podano na rysunku. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Dane z rysunku — wersja tekstowa

Punkt	R	S	T	W
Kreska od początku	0	2	3	5
Współrzędna	?	287	?	311

Współrzędne punktów $R$ i $T$ różnią się o 24.	P	F
Współrzędna punktu $R$ jest równa 271.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Zaczynamy od wartości jednej działki. Między $S$ (druga kreska) a $W$ (piąta kreska) są $\textcolor{#E0453A}{3}$ działki, a wartość rośnie z 287 do 311, czyli o 24.
Jedna działka: $24 : \textcolor{#E0453A}{3} = \textcolor{#16A06A}{8}$ .
Teraz odczytujemy pozostałe punkty. $R$ leży $\textcolor{#E0453A}{2}$ działki przed $S$ : $R = 287 - \textcolor{#E0453A}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{8} = 287 - 16 = 271$ .
$T$ leży $\textcolor{#E0453A}{1}$ działkę za $S$ : $T = 287 + \textcolor{#16A06A}{8} = 295$ .
Zdanie 1: $T - R = 295 - 271 = 24$ ✓ — prawda. (Widać to też od razu: $R$ i $T$ dzielą $\textcolor{#E0453A}{3}$ działki, czyli $3 \cdot \textcolor{#16A06A}{8} = 24$ .)
Zdanie 2: $R = 271$ ✓ — prawda. Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Kiedy już znasz wartość działki, odległość między dowolnymi dwoma punktami liczysz jednym mnożeniem: liczba działek razy wartość działki. Nie trzeba wyznaczać obu współrzędnych.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie, że skoro $S$ i $W$ różnią się o 24, to o tyle samo różnią się dowolne dwa punkty. Odległość zależy od liczby działek — a między $S$ a $W$ są trzy, tak samo jak między $R$ a $T$ (stąd akurat ta sama wartość).

Zadanie 3 (czerwiec 2020)1 pktśrednie

Dokończ zdanie.
Na osi liczbowej między liczbami

\left(-\dfrac{2}{6}\right)

oraz

\left(-\dfrac{1}{6}\right)

znajduje się liczba

A. $-\dfrac{1}{4}$
B. $-\dfrac{1}{3}$
C. $-\dfrac{5}{12}$
D. $-\dfrac{1}{2}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Najwygodniej zamienić wszystko na ułamki dziesiętne — wtedy widać położenie na osi jak na dłoni.
Granice przedziału: $\textcolor{#16A06A}{-\dfrac{2}{6}} = \textcolor{#16A06A}{-0{,}33\ldots}$ oraz $\textcolor{#16A06A}{-\dfrac{1}{6}} = \textcolor{#16A06A}{-0{,}16\ldots}$
A. $-\dfrac14 = \textcolor{#E0453A}{-0{,}25}$ — leży między $\textcolor{#16A06A}{-0{,}33}$ a $\textcolor{#16A06A}{-0{,}17}$ ✓
B. $-\dfrac13 = -0{,}33\ldots$ — to dokładnie granica (bo $\tfrac13 = \tfrac26$ ), więc nie leży *między* ✗
C. $-\dfrac{5}{12} \approx -0{,}42$ — za daleko w lewo ✗ · D. $-\dfrac12 = -0{,}5$ — jeszcze dalej ✗
Odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Można też wszystko sprowadzić do mianownika 12: przedział to $\left(-\tfrac{4}{12}, -\tfrac{2}{12}\right)$ , a odpowiedzi to $-\tfrac{3}{12}$ , $-\tfrac{4}{12}$ , $-\tfrac{5}{12}$ , $-\tfrac{6}{12}$ . Od razu widać, że pasuje tylko $-\tfrac{3}{12}$ .

⚠ Najczęstszy błąd: wybór $-\tfrac13$ , bo „wygląda jak coś pomiędzy”. Po skróceniu $-\tfrac26 = -\tfrac13$ — to ta sama liczba co lewy koniec przedziału.

Zadanie 4 (kwiecień 2016, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Dokończ zdanie.
Odległość między punktami, które na osi liczbowej odpowiadają liczbom

-2{,}3

\dfrac{1}{3}

, jest równa

A. $-2{,}3 - \dfrac{1}{3}$
B. $2{,}3 - \dfrac{1}{3}$
C. $\dfrac{1}{3} - 2{,}3$
D. $\dfrac{1}{3} + 2{,}3$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Odległość na osi to zawsze większa liczba minus mniejsza — wynik musi wyjść dodatni.
Większa jest $\textcolor{#16A06A}{\dfrac13}$ (dodatnia), mniejsza $\textcolor{#E0453A}{-2{,}3}$ (ujemna).
Odległość $= \textcolor{#16A06A}{\dfrac13} - (\textcolor{#E0453A}{-2{,}3})$ , a odejmowanie liczby ujemnej to dodawanie:
$= \textcolor{#16A06A}{\dfrac13} + 2{,}3$ — odpowiedź D.
Sens na osi: punkty leżą po przeciwnych stronach zera, więc odległość to suma ich odległości od zera: $2{,}3$ w lewo i $\tfrac13$ w prawo.

💡 Wskazówka: Gdy dwie liczby leżą po przeciwnych stronach zera, ich odległość to suma wartości bezwzględnych. Gdy po tej samej stronie — różnica.

⚠ Najczęstsze błędy: odpowiedź C (odejmowanie w złej kolejności — wychodzi liczba ujemna, a odległość nie może być ujemna) oraz B (potraktowanie $-2{,}3$ jako $2{,}3$ i odjęcie zamiast dodania).

Zadanie 5 (kwiecień 2015, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Dokończ zdanie.
Na osi liczbowej liczba równa wartości wyrażenia

\left(1 - \dfrac{5}{6}\right) - 0{,}5

znajduje się między

A. $-1$ i $-0{,}5$
B. $-0{,}5$ i $0$
C. $0$ i $0{,}5$
D. $0{,}5$ i $1$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Najpierw liczymy nawias: $1 - \dfrac{5}{6} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{1}{6}}$ .
Teraz odejmujemy $0{,}5 = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{2}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{6}}$ .
$\textcolor{#16A06A}{\dfrac{1}{6}} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{6}} = -\dfrac{2}{6} = -\dfrac{1}{3}$ .
Zamieniamy na ułamek dziesiętny: $-\dfrac13 \approx -0{,}33$ .
Ta liczba leży między $-0{,}5$ a $0$ — odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Bez pełnego rachunku widać kierunek wyniku: nawias daje liczbę małą i dodatnią ( $\tfrac16$ ), a odejmujemy od niej $0{,}5$ — czyli więcej. Wynik musi być ujemny, ale niewielki. To już wskazuje przedział B.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie nawiasu jako $\tfrac56$ (czyli pominięcie odejmowania od jedynki) — wtedy wynik wychodzi dodatni i ląduje w przedziale C lub D.

Zadanie 6 (kwiecień 2014, egzamin gimnazjalny)1 pktłatwe

Dokończ zdanie tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe.
Liczba

\sqrt{120}

znajduje się na osi liczbowej między

A. $10$ i $11$
B. $11$ i $12$
C. $12$ i $20$
D. $30$ i $40$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Szukamy dwóch sąsiednich kwadratów, między którymi leży liczba 120.
$\textcolor{#16A06A}{10}^2 = \textcolor{#16A06A}{100}$ oraz $\textcolor{#E0453A}{11}^2 = \textcolor{#E0453A}{121}$ .
Skoro $\textcolor{#16A06A}{100} < 120 < \textcolor{#E0453A}{121}$ , to po spierwiastkowaniu: $\textcolor{#16A06A}{10} < \sqrt{120} < \textcolor{#E0453A}{11}$ .
Odpowiedź A.
Warto zauważyć, jak blisko jedenastki jest ta liczba — 120 to tylko o jeden mniej niż $\textcolor{#E0453A}{121}$ , więc $\sqrt{120} \approx 10{,}95$ .

💡 Wskazówka: Naucz się kwadratów do 20 na pamięć — zwłaszcza $11^2 = 121$ , $12^2 = 144$ , $13^2 = 169$ , $15^2 = 225$ . Szacowanie pierwiastków robi się wtedy natychmiastowe.

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie 120 przez 2 i szukanie w okolicach 60, albo wybór przedziału „12 i 20” — bo 120 kojarzy się z tymi liczbami. Pierwiastek z liczby trzycyfrowej jest zawsze dwucyfrowy.

Zadanie 7 (kwiecień 2012, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Dokończ zdanie tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe.
Odległość na osi liczbowej między największą i najmniejszą spośród liczb

\;0

\;\dfrac{3}{4}

\;-\dfrac{5}{2}

\;-2\;

jest równa

A. $1\dfrac{3}{4}$
B. $3\dfrac{1}{4}$
C. $2\dfrac{3}{4}$
D. $1\dfrac{1}{4}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Najpierw porządkujemy liczby. Zamieniamy na dziesiętne: $0$ , $\tfrac34 = 0{,}75$ , $-\tfrac52 = -2{,}5$ , $-2$ .
Rosnąco: $-2{,}5 < -2 < 0 < 0{,}75$ .
Największa to $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{3}{4}}$ , najmniejsza to $\textcolor{#E0453A}{-\dfrac{5}{2}}$ .
Odległość $= \textcolor{#16A06A}{\dfrac{3}{4}} - \left(\textcolor{#E0453A}{-\dfrac{5}{2}}\right) = \textcolor{#16A06A}{0{,}75} + \textcolor{#E0453A}{2{,}5} = 3{,}25$ .
Zamieniamy na liczbę mieszaną: $3{,}25 = 3\dfrac{1}{4}$ — odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Uwaga przy liczbach ujemnych: $-\tfrac52 = -2{,}5$ jest mniejsze od $-2$ , mimo że „wygląda na większe”. Im dalej w lewo na osi, tym mniejsza liczba.

⚠ Najczęstszy błąd: uznanie $-2$ za najmniejszą (bo $2 < 2{,}5$ „na oko”). Wtedy odległość wyszłaby $2\tfrac34$ — czyli kusząca odpowiedź C.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. C	2. P, P	3. A	4. D	5. B	6. A
7. B

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

8Pytania i odpowiedzi

Co to jest liczba wymierna?

Liczba, którą da się zapisać jako iloraz dwóch liczb całkowitych $\frac{p}{q}$ , gdzie $q \neq 0$ . Należą do nich wszystkie liczby naturalne, całkowite i wszystkie ułamki — czyli praktycznie każda liczba używana w szkole podstawowej.

Skąd nazwa „liczby wymierne”?

Od mierzenia. Dwie długości są współmierne, gdy istnieje miarka mieszcząca się w obu całkowitą liczbę razy — a wtedy ich stosunek jest ułamkiem. Grecy odkryli, że bok i przekątna kwadratu takiej wspólnej miarki nie mają, więc $\sqrt{2}$ nie jest wymierna.

Czy każda liczba całkowita jest wymierna?

Tak — wystarczy zapisać ją z mianownikiem jeden: $-7 = \frac{-7}{1}$ . Odwrotnie już nie: $\frac{2}{5}$ jest wymierna, ale nie całkowita. Zbiory zawierają się w sobie, a nie wykluczają.

Czy działania na liczbach wymiernych zawsze dają wymierne?

Tak, przy czterech podstawowych działaniach — z jedynym zastrzeżeniem, że nie dzielimy przez zero. Bierze się to stąd, że we wzorze $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}$ licznik i mianownik powstają z działań na liczbach całkowitych.

Czy z liczb niewymiernych może wyjść wymierna?

Tak, i to łatwo: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$ , a $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$ . Zbiór liczb niewymiernych nie jest zamknięty na działania — w przeciwieństwie do wymiernych. To najostrzejsza różnica między nimi.

W której klasie uczy się o liczbach wymiernych?

Sam podział na wymierne i niewymierne wchodzi w pierwszej klasie liceum. W szkole podstawowej uczeń liczy na liczbach wymiernych przez cały czas — ułamki, liczby całkowite, procenty — tylko nie nazywa ich tak.

Czytaj dalej

Rodzaje liczbMapa zbiorów: gdzie leżą wymierne wobec pozostałych Rozwinięcia dziesiętneKiedy rozwinięcie się kończy, a kiedy zaczyna powtarzać Liczby rzeczywisteZbiór, w którym mieszczą się także niewymierne PierwiastkowaniePierwsze miejsce, gdzie wychodzi się poza liczby wymierne

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.