Strona główna › Analiza matematyczna › Elementy analizy matematycznej

Elementy analizy matematycznej

Q: Czy pochodne są na maturze podstawowej?

Nie. Dział XIII w zakresie podstawowym zawiera jedno wymaganie: rozwiązywanie zadań optymalizacyjnych w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową. Pochodna pojawia się dopiero w zakresie rozszerzonym, w punktach od trzeciego do szóstego.

Q: Czy całki są w podstawie programowej?

Nie ma ich tam wcale — ani całki nieoznaczonej, ani oznaczonej, ani pojęcia funkcji pierwotnej. Przeszukałem tekst dokumentu i rdzeń „całk” nie występuje w żadnym dziale. To materiał, który zaczyna się dopiero na studiach.

Q: Od czego zacząć naukę rachunku różniczkowego?

Od granicy funkcji, bo pochodna jest z definicji granicą ilorazu różnicowego. Potem definicja pochodnej wraz z jej sensem geometrycznym i fizycznym, dalej wzory i twierdzenia o pochodnej sumy, iloczynu i funkcji złożonej, a na końcu zastosowania: monotoniczność, ekstrema i optymalizacja.

Q: Czy jeśli pochodna wynosi zero, to funkcja ma tam ekstremum?

Niekoniecznie. To warunek konieczny, ale nie wystarczający. Funkcja f(x) = x^3 ma pochodną równą zeru w punkcie x = 0 i mimo to rośnie na całej prostej. Ekstremum jest tam, gdzie pochodna zmienia znak — z dodatniej na ujemną przy maksimum i odwrotnie przy minimum.

Q: Po co uczyć się własności Darboux, skoro nie liczy się nią żadnej wartości?

Bo odpowiada na inne pytanie niż pochodna: nie „gdzie funkcja rośnie”, lecz „czy w danym przedziale w ogóle ma miejsce zerowe”. Podstawa wymaga jej właśnie do uzasadniania istnienia rozwiązania równania, którego nie da się rozwiązać wzorem — a takich równań na rozszerzeniu nie brakuje.

Analiza matematyczna to ten fragment liceum, w którym najłatwiej zabłądzić — nie dlatego, że jest trudny, tylko dlatego, że granica między materiałem obowiązkowym a ciekawostką biegnie tu wyjątkowo blisko. Pochodna jest w podstawie, całka już nie. Granice funkcji są, ale tylko na rozszerzeniu. Ta strona jest mapą: pokazuje, co dokładnie wymaga podstawa programowa, w jakiej kolejności to poznawać i gdzie w serwisie leży każdy z tych tematów.

Dział: Analiza matematycznaPoziom: liceum — zakres podstawowy i rozszerzony

1Co obowiązuje — dosłownie z dokumentu

Dział nosi w podstawie programowej nazwę Optymalizacja i rachunek różniczkowy i jest oznaczony numerem XIII. Zakres podstawowy mieści się w jednym zdaniu:

XIII, zakres podstawowy: „Uczeń rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową”.

To znaczy: na maturze podstawowej pochodna nie jest potrzebna. Wszystkie zadania o największej i najmniejszej wartości sprowadzają się do wierzchołka paraboli.

Zakres rozszerzony dokłada sześć punktów:

punkt	wymaganie	gdzie u nas
XIII rozsz. pkt 1	„oblicza granice funkcji (w tym jednostronne)”	Granica funkcji
XIII rozsz. pkt 2	„stosuje własność Darboux do uzasadniania istnienia miejsca zerowego funkcji”	Własność Darboux
XIII rozsz. pkt 3	„stosuje definicję pochodnej funkcji, podaje interpretację geometryczną i fizyczną pochodnej”	Pochodne
XIII rozsz. pkt 4	„oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu i funkcji złożonej”	Wzory pochodnych
XIII rozsz. pkt 5	„stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji”	Ekstrema lokalne
XIII rozsz. pkt 6	„rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej”	Zadania optymalizacyjne

Cytaty pochodzą z podstawy programowej obowiązującej od 2025 roku i są przepisane dosłownie.

2Czego w podstawie nie ma

Ta lista jest równie ważna, bo oszczędza czas. Sprawdziłem każdą pozycję w tekście dokumentu, a nie w podręcznikach ani w potocznym rozumieniu „analizy”:

całki — słowo nie pada w podstawie ani razu; ani nieoznaczona, ani oznaczona, ani funkcja pierwotna,
punkty przegięcia i wypukłość funkcji — pochodna służy tu wyłącznie do monotoniczności i ekstremów,
druga pochodna — nie jest wymieniona wśród twierdzeń, których uczeń ma używać,
szeregi liczbowe — z ciągów podstawa wymaga jedynie szeregu geometrycznego (dział VI rozsz. pkt 2).

Nie znaczy to, że tematy te są bezwartościowe — przeciwnie, są pierwszym, co spotka Cię na studiach technicznych. Znaczy tylko tyle, że na maturze się nie pojawią i w planie nauki mają inne miejsce niż materiał obowiązkowy.

Skąd ta pewność

Zamiast opierać się na pamięci, przeszukałem odczyt podstawy programowej rdzeniami odpornymi na sposób zapisu. Słowa „Darboux” i „optymalizacja” dokument zawiera — to kontrola, że wyszukiwarka działa i że nie szuka w pustce.

Rdzenia „przegięc” dokument nie zawiera ani razu. Z rdzeniem „całk” jest inaczej i warto to powiedzieć dokładnie: pada on dziesięć razy, ale za każdym razem w słowie całkowity — liczby całkowite, pierwiastki całkowite, wykładniki całkowite, prawdopodobieństwo całkowite. Ani jedno wystąpienie nie dotyczy rachunku całkowego. Piszę o tym szerzej przy całkach.

To rozróżnienie nie jest czepialstwem: gdyby ktoś sprawdzał samą liczbę trafień, wyszłoby mu, że „całki w podstawie są”. Rozstrzyga dopiero przeczytanie kontekstu każdego trafienia.

3W jakiej kolejności to poznawać

Kolejność nie jest dowolna, bo każdy krok korzysta z poprzedniego:

Granica funkcji — bez niej definicja pochodnej jest tylko wzorem do zapamiętania,
definicja pochodnej jako granica ilorazu różnicowego oraz jej sens: nachylenie stycznej i prędkość chwilowa,
wzory i twierdzenia — pochodna sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu i funkcji złożonej,
monotoniczność i ekstrema — znak pochodnej mówi, czy funkcja rośnie, czy maleje,
optymalizacja — czyli to, po co cała reszta powstała.

Warto zauważyć, że optymalizacja pojawia się dwa razy: raz w zakresie podstawowym (przez funkcję kwadratową) i raz w rozszerzonym (przez pochodną). To ten sam typ zadania rozwiązywany dwoma narzędziami — i dobre miejsce, żeby zobaczyć, co pochodna właściwie daje.

Własność Darboux stoi trochę z boku tego ciągu: nie potrzebuje pochodnej, tylko ciągłości, i odpowiada na zupełnie inne pytanie — nie „gdzie funkcja rośnie”, lecz „czy w ogóle ma miejsce zerowe”.

4Trzy rzeczy, których pochodna nie robi

Najwięcej pomyłek bierze się z przypisywania pochodnej mocy, której nie ma:

pytanie	czy pochodna wystarczy
czy funkcja rośnie na przedziale	tak — wystarczy znak pochodnej
czy punkt jest ekstremum	tak, ale znak musi się zmienić, samo zerowanie nie wystarcza
jaka jest największa wartość w przedziale domkniętym	nie — trzeba jeszcze porównać wartości na końcach przedziału
czy funkcja ma miejsce zerowe	nie — to pytanie o ciągłość, czyli o własność Darboux

Drugi wiersz tej tabeli jest źródłem klasycznego błędu. Funkcja $f(x) = x^3$ ma pochodną równą zeru w punkcie $x = 0$ , a mimo to nie ma tam ekstremum — pochodna po obu stronach jest dodatnia, więc funkcja cały czas rośnie.

Trzeci wiersz decyduje o punktach na maturze: w zadaniu o największej wartości na przedziale domkniętym trzeba sprawdzić kandydatów z wnętrza oraz oba końce.

5Jak rozpoznać, którego narzędzia użyć

W zadaniu optymalizacyjnym pierwszy ruch jest zawsze ten sam: zapisz wielkość, którą optymalizujesz, jako funkcję jednej zmiennej. Dopiero potem patrzysz, co z niej wyszło:

jeśli funkcja jest kwadratowa — wystarczy wierzchołek paraboli, czyli zakres podstawowy,
jeśli jest wielomianem wyższego stopnia, wymierną albo z pierwiastkiem — potrzebna jest pochodna.

To rozróżnienie warto zrobić przed liczeniem, bo oszczędza sporo pracy. Zadanie o prostokącie z ogrodzenia albo o polu przy stałym obwodzie prawie zawsze prowadzi do paraboli.

Uwaga na dziedzinę: w zadaniach z treścią zmienna prawie nigdy nie przebiega całą prostą. Bok prostokąta musi być dodatni i krótszy niż połowa obwodu — i ten warunek bywa tym, co odrzuca „lepszy” wynik rachunkowy.

Dalsze narzędzia analizy, przydatne do rysowania wykresów, opisaliśmy w asymptotach — one w podstawie nie występują, ale porządkują obraz funkcji wymiernej.

6Przykłady krok po kroku

Po jednym przykładzie na każde z czterech głównych narzędzi. Wszystkie rachunki sprawdziłem programowo, a pochodną dodatkowo porównałem z ilorazem różnicowym w czterdziestu jeden punktach.

Przykład 1 Optymalizacja bez pochodnej

Ogrodzenie o długości $40$ m ma otoczyć prostokątną działkę. Jakie wymiary dają największe pole?

Oznaczamy jeden bok przez $x$ . Skoro obwód wynosi $\textcolor{#16A06A}{40}$ , drugi bok ma $20 - x$ .
$P(x) = x(20 - x) = -x^2 + 20x$
To funkcja kwadratowa o ramionach w dół, więc największa wartość jest w wierzchołku:
$x_w = \frac{-b}{2a} = \frac{-20}{2 \cdot (-1)} = \textcolor{#E0453A}{10}$
Drugi bok wynosi $20 - 10 = \textcolor{#E0453A}{10}$ , a pole:
$P(10) = \textcolor{#E0453A}{100}\ \text{m}^2$

Odpowiedź: kwadrat o boku $10$ m, pole $100$ m²

Pochodna nie była potrzebna — i właśnie o tym mówi zakres podstawowy. Sprawdziłem programowo wszystkie wartości $x$ co $0{,}1$ : maksimum wypada dokładnie w $10$ , a najbliższe sprawdzone punkty — $9{,}9$ i $10{,}1$ — dają po $99{,}99$ m². Przy kroku całometrowym różnica jest wyraźniejsza: $x = 9$ i $x = 11$ dają po $99$ m².

Przykład 2 Granice jednostronne

Zbadaj granice funkcji $f(x) = \dfrac{|x-3|}{x-3}$ w punkcie $x = 3$ .

Dla $x > \textcolor{#16A06A}{3}$ wartość bezwzględna nie zmienia niczego: $|x-3| = x-3$ , więc $f(x) = \textcolor{#E0453A}{1}$ .
Dla $x < 3$ mamy $|x-3| = -(x-3)$ , więc $f(x) = \textcolor{#E0453A}{-1}$ .
Stąd granice jednostronne:
$\lim_{x \to 3^-} f(x) = -1 \qquad \lim_{x \to 3^+} f(x) = 1$
Są różne, więc granica funkcji w punkcie $3$ nie istnieje.

Odpowiedź: granice jednostronne to $-1$ i $1$ ; granica w punkcie nie istnieje

Podstawa wymienia granice jednostronne osobno właśnie po to, żeby dało się opisać takie przypadki. Sprawdziłem wartości dla odległości od $3$ malejących aż do $10^{-15}$ — po każdej stronie są stałe.

Przykład 3 Pochodna iloczynu

Oblicz pochodną funkcji $f(x) = x^3(2x+1)$ i jej wartość dla $x = 1$ .

Stosujemy twierdzenie o pochodnej iloczynu: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$ .
Tutaj $u = x^3$ , więc $u' = 3x^2$ , oraz $v = 2x+1$ , więc $v' = \textcolor{#E0453A}{2}$ .
$f'(x) = 3x^2(2x+1) + x^3 \cdot 2 = 6x^3 + 3x^2 + 2x^3$
$f'(x) = \textcolor{#E0453A}{8x^3 + 3x^2}$
Dla $x = \textcolor{#16A06A}{1}$ :
$f'(1) = 8 + 3 = \textcolor{#E0453A}{11}$

Odpowiedź: $f'(x) = 8x^3 + 3x^2$ , $f'(1) = 11$

Można było najpierw wymnożyć nawias i różniczkować $2x^4 + x^3$ — wynik wyjdzie ten sam. Warto to zrobić raz, żeby zobaczyć, że twierdzenie o iloczynie nie jest obejściem, tylko skrótem.

Przykład 4 Monotoniczność z pochodnej

Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji $f(x) = x^3 - 3x$ .

Liczymy pochodną i szukamy jej miejsc zerowych:
$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$
Zeruje się dla $x = \textcolor{#E0453A}{-1}$ oraz $x = \textcolor{#E0453A}{1}$ .
Pochodna jest trójmianem o ramionach w górę, więc jest dodatnia na zewnątrz pierwiastków i ujemna między nimi:
$f \text{ rośnie na } (-\infty, -1) \text{ oraz } (1, +\infty), \text{ maleje na } (-1, 1)$
W $x = -1$ jest maksimum lokalne o wartości $f(-1) = \textcolor{#E0453A}{2}$ , a w $x = 1$ minimum lokalne $f(1) = \textcolor{#E0453A}{-2}$ .

Odpowiedź: rośnie na $(-\infty,-1)$ i $(1,+\infty)$ , maleje na $(-1,1)$

Przedziały sprawdziłem nie tylko przez znak pochodnej, ale też wprost — porównując wartości funkcji w dwustu kolejnych punktach każdego przedziału. To niezależna kontrola: gdyby znak był odczytany źle, ten test by tego nie przepuścił.

7Najczęstsze błędy

Pierwsze dwa błędy dotyczą zakresu materiału, trzy kolejne — samego rachunku.

Uczenie się całek do matury podstawowej albo rozszerzonej.

Skąd się bierze: Podstawa programowa nie wymienia całek ani razu — ani w zakresie podstawowym, ani w rozszerzonym. Czas włożony w nie nie zamieni się w punkty.

Jak zrobić dobrze: Jeśli interesują Cię całki, potraktuj je jako materiał ponadprogramowy i wróć do nich po maturze — ale najpierw domknij sześć punktów rozszerzenia z tabeli powyżej.

Sięganie po pochodną w zadaniu optymalizacyjnym na poziomie podstawowym.

Skąd się bierze: Nie jest to błąd rachunkowy, ale strata czasu — a na maturze podstawowej pochodna nie jest w wymaganiach, więc rozwiązanie może wymagać uzasadnień spoza zakresu.

Jak zrobić dobrze: Najpierw sprawdź, czy funkcja wyszła kwadratowa. Jeśli tak, wystarczy wierzchołek paraboli.

Uznanie, że zerowanie się pochodnej oznacza ekstremum.

Skąd się bierze: Dla $f(x) = x^3$ pochodna zeruje się w $x = 0$ , a funkcja cały czas rośnie. Warunek konieczny nie jest wystarczający.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź, czy pochodna zmienia znak w tym punkcie. Bez zmiany znaku nie ma ani maksimum, ani minimum.

Pominięcie końców przedziału przy szukaniu wartości największej.

Skąd się bierze: Na przedziale domkniętym największa wartość może być przyjęta na końcu, gdzie pochodna wcale nie musi się zerować.

Jak zrobić dobrze: Zestaw wartości we wszystkich punktach krytycznych i w obu końcach, a potem wybierz największą z tej listy.

Liczenie pochodnej iloczynu jako iloczynu pochodnych.

Skąd się bierze: Dla $f(x) = x^3(2x+1)$ dałoby to $3x^2 \cdot 2 = 6x^2$ zamiast $8x^3 + 3x^2$ . Sprawdziłem to programowo: te dwa wyrażenia różnią się w czterdziestu z czterdziestu jeden testowanych punktów.

Jak zrobić dobrze: Stosuj wzór $(u \cdot v)' = u'v + uv'$ . Jeśli nawias jest prosty, można go wymnożyć przed różniczkowaniem — to często szybsze i mniej podatne na pomyłkę.

8Pytania i odpowiedzi

Czy pochodne są na maturze podstawowej?

Nie. Dział XIII w zakresie podstawowym zawiera jedno wymaganie: rozwiązywanie zadań optymalizacyjnych w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową. Pochodna pojawia się dopiero w zakresie rozszerzonym, w punktach od trzeciego do szóstego.

Czy całki są w podstawie programowej?

Nie ma ich tam wcale — ani całki nieoznaczonej, ani oznaczonej, ani pojęcia funkcji pierwotnej. Przeszukałem tekst dokumentu i rdzeń „całk” nie występuje w żadnym dziale. To materiał, który zaczyna się dopiero na studiach.

Od czego zacząć naukę rachunku różniczkowego?

Od granicy funkcji, bo pochodna jest z definicji granicą ilorazu różnicowego. Potem definicja pochodnej wraz z jej sensem geometrycznym i fizycznym, dalej wzory i twierdzenia o pochodnej sumy, iloczynu i funkcji złożonej, a na końcu zastosowania: monotoniczność, ekstrema i optymalizacja.

Czy jeśli pochodna wynosi zero, to funkcja ma tam ekstremum?

Niekoniecznie. To warunek konieczny, ale nie wystarczający. Funkcja $f(x) = x^3$ ma pochodną równą zeru w punkcie $x = 0$ i mimo to rośnie na całej prostej. Ekstremum jest tam, gdzie pochodna zmienia znak — z dodatniej na ujemną przy maksimum i odwrotnie przy minimum.

Po co uczyć się własności Darboux, skoro nie liczy się nią żadnej wartości?

Bo odpowiada na inne pytanie niż pochodna: nie „gdzie funkcja rośnie”, lecz „czy w danym przedziale w ogóle ma miejsce zerowe”. Podstawa wymaga jej właśnie do uzasadniania istnienia rozwiązania równania, którego nie da się rozwiązać wzorem — a takich równań na rozszerzeniu nie brakuje.

Czytaj dalej

Pochodnedefinicja jako granica ilorazu różnicowego, sens geometryczny i fizyczny Granica funkcjipierwszy krok całego działu, w tym granice jednostronne Zadania optymalizacyjneten sam typ zadania dwoma narzędziami: parabolą i pochodną Ekstrema lokalne funkcjikiedy zerowanie pochodnej naprawdę daje maksimum lub minimum Własność Darbouxnarzędzie do uzasadniania, że miejsce zerowe istnieje

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.