Strona główna › Geometria › Deltoid

Deltoid

Deltoid to czworokąt zbudowany jak latawiec: dwa krótsze boki obok siebie i dwa dłuższe obok siebie. Ma prostopadłe przekątne, tak jak romb — ale różni się od niego jedną rzeczą, która przesądza o wszystkim: tylko jedna przekątna dzieli drugą na połowy.

Dział: GeometriaPoziom: klasy 6–8 · bez osobnego punktu w podstawie, wzór w karcie CKEZadań z E8: 6

Przejdź od razu do zadań (6) ↓

Wyłącz kolory

1Boki równe, ale sąsiadujące

Deltoid to czworokąt mający dwie pary boków równej długości, przy czym równe boki ze sobą sąsiadują.

To jedno słowo — sąsiadują — odróżnia go od równoległoboku, w którym równe boki leżą naprzeciw siebie.

Trzeci wiersz jest ważny: romb jest szczególnym przypadkiem deltoidu. Skoro ma wszystkie boki równe, to ma też dwie pary równych boków sąsiadujących — warunek jest spełniony z nawiązką.

Odwrotnie już nie: typowy deltoid ma boki dwóch różnych długości i rombem nie jest.

Potoczna nazwa latawiec nie jest przypadkowa — tak wygląda klasyczny latawiec i stąd angielska nazwa tej figury, kite.

2Przekątne — prostopadłe, ale nie równorzędne

To sedno całej figury i miejsce, w którym najłatwiej pomylić deltoid z rombem.

Weźmy deltoid o wierzchołkach $A = (0,3)$, $B = (2,0)$, $C = (0,-5)$, $D = (-2,0)$. Przekątna $AC$ ma długość $8$, a $BD$ — $4$; przecinają się w punkcie $(0,0)$.

Ten punkt jest środkiem odcinka $BD$, bo dzieli go na dwa kawałki po $2$. Ale odcinka $AC$ nie dzieli na połowy: od $A$ jest $3$, a do $C$ aż $5$.

3Kąty i symetria

Deltoid ma dokładnie jedną oś symetrii — leży ona na tej przekątnej, która dzieli drugą na połowy.

Dla porównania: romb i prostokąt mają dwie osie, kwadrat cztery, a równoległobok żadnej.

Z jednej osi symetrii wynika własność kątów, którą łatwo zapamiętać źle:

• równe są dwa kąty leżące między bokami różnej długości — czyli te, przez które oś nie przechodzi,
• dwa kąty leżące na osi są na ogół różne — oś dzieli każdy z nich na połowy, ale nie zrównuje ich ze sobą.

W naszym deltoidzie kąty przy $B$ i $D$ mają po około $124{,}5°$ — są równe. Kąty przy $A$ i $C$ wynoszą około $67{,}4°$ i $43{,}6°$ — są różne.

Suma kątów wynosi oczywiście $360°$, jak w każdym czworokącie — to dobra kontrola rachunku.

Oś symetrii jest też dwusieczną obu kątów, przez które przechodzi. Dzieli deltoid na dwa przystające trójkąty, będące swoimi lustrzanymi odbiciami.

4Pole — ten sam wzór co dla rombu

Skoro przekątne deltoidu są prostopadłe, obowiązuje go wzór znany z rombu:

Dla przekątnych $8$ i $4$ daje to $\frac{8 \cdot 4}{2} = 16$.

Wyprowadzenie tego wzoru opisuję przy polu rombu — działa ono dla każdej figury o prostopadłych przekątnych, a nie tylko dla rombu. Tam też znajdziesz ostrzeżenie, dla których czworokątów wzoru użyć nie wolno.

I rzecz, która zaskakuje przy figurze opisanej wyżej jako nieobecna w podstawie: wzór na pole deltoidu stoi w karcie wzorów CKE (strona 21, obok wzorów na pole równoległoboku i rombu). Karta podaje przy tym własną definicję — „czworokąt wypukły, który ma oś symetrii zawierającą jedną z przekątnych”. Maturzysta dostaje więc ten wzór wydrukowany, mimo że w wymaganiach szkoły podstawowej deltoid nie pada z nazwy. Wymagania i karta to dwie różne listy.

Zwróć uwagę, że przy deltoidzie nie ma znaczenia, która przekątna jest którą — mnożenie jest przemienne. Ważne jest tylko, żeby wziąć całe przekątne, a nie ich połówki.

5Gdzie deltoid występuje

Poza matematyką deltoid spotkasz tam, gdzie liczy się kształt aerodynamiczny albo symetria względem jednej osi:

• latawiec — najbardziej dosłowny przykład i źródło nazwy,
• grot strzały i ostrza niektórych narzędzi,
• herby i witraże — jako element ozdobny,
• kryształy i płatki niektórych kwiatów,
• rozeta w gotyckich oknach — złożona z deltoidów i łuków.

W zadaniach deltoid pojawia się najczęściej wtedy, gdy trzeba rozpoznać figurę z własności przekątnych — i wtedy kluczowe jest pytanie, czy obie dzielą się na połowy, czy tylko jedna.

Jeśli obie — to romb. Jeśli tylko jedna — deltoid. Jeśli żadna, a przekątne są prostopadłe — figura nie jest ani jednym, ani drugim.

6Komplet wzorów — wszystkie wielkości naraz

Deltoid opisują dwie pary boków i dwie przekątne. Oznaczenia: $a$ i $b$ — długości boków w każdej z par, $e$ — przekątna dzielona na połowy (łączy wierzchołki między bokami różnej długości), $f$ — przekątna będąca osią symetrii (łączy wierzchołki między bokami równej długości).

Zwróć uwagę, że rozróżniam je przez rolę, a nie przez długość: jak pokazuje kontrprzykład wyżej, oś $f$ bywa krótsza od $e$. Opisywanie ich jako „krótsza” i „dłuższa” jest właśnie tym skrótem, przed którym ostrzegam dwie sekcje wyżej.

Obwód liczy się parami, a nie jak w rombie czwórką: boki są równe tylko sąsiadami, więc każda długość występuje dokładnie dwa razy.

Liczby w tabeli opisują deltoid, który naprawdę da się zbudować — i warto wiedzieć, że nie każdy zestaw czterech liczb to potrafi. Oś dzieli deltoid na dwa trójkąty prostokątne o wspólnej przyprostokątnej $\frac{e}{2} = 8$: jeden ma przeciwprostokątną $a = 10$, więc drugą przyprostokątną $6$, drugi ma przeciwprostokątną $b = 17$, więc drugą przyprostokątną $15$. Razem $6 + 15 = 21 = f$ ✓ — dopiero ta zgodność potwierdza, że figura istnieje. Cztery liczby dobrane niezależnie zwykle dają układ sprzeczny.

Wzór na pole jest ten sam co w rombie, i to nie przypadek — działa dla każdego czworokąta o prostopadłych przekątnych.

Na koniec dwie rzeczy o okręgach, bo odpowiedzi są przeciwne. Okrąg wpisany ma każdy deltoid — bez wyjątku. Wynika to z twierdzenia Pitota: okrąg da się wpisać dokładnie wtedy, gdy sumy przeciwległych boków są równe, a w deltoidzie boki idą po kolei $a, a, b, b$, więc obie sumy dają $a + b$ niezależnie od proporcji. Okrąg opisany ma za to tylko deltoid szczególny — ten, którego dwa przeciwległe kąty są proste, bo dopiero wtedy sumują się do $180°$.

7Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: rozpoznanie figury, kąty i pole.

8Najczęstsze błędy

Cztery błędy — pierwsze dwa biorą się z mylenia deltoidu z rombem.

9Pytania i odpowiedzi

Czytaj dalej

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-03. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.