W układzie współrzędnych wyznaczono odcinek o końcach w punktach K i L. Punkty te mają współrzędne K = (-17,6) oraz L = (15,-4). W której ćwiartce układu współrzędnych leży środek odcinka KL?

W drugiej — na lewo od osi y i powyżej osi x.

W pierwszej — na prawo od osi y i powyżej osi x.

W trzeciej — na lewo od osi y i poniżej osi x.

W czwartej — na prawo od osi y i poniżej osi x.

Strona główna › Geometria › Układ współrzędnych — punkty, osie i odczyt

Układ współrzędnych — punkty, osie i odczyt

Układ współrzędnych to sposób na opisanie położenia punktu dwiema liczbami. Pomysł jest prosty, a konsekwencje ogromne — dzięki niemu geometrię można liczyć zamiast rysować. Ta strona tłumaczy podstawy: osie, ćwiartki, zapis współrzędnych i tę jedną kolejność, którą myli się najczęściej.

Dział: GeometriaPoziom: klasa 6 – maturaZadań z E8: 11

Przejdź od razu do zadań (11) ↓

1Co to jest układ współrzędnych

To dwie prostopadłe osie liczbowe przecinające się w punkcie zerowym. Pozioma nazywa się osią X (albo osią odciętych), pionowa — osią Y (osią rzędnych).

Punkt przecięcia osi to początek układu, oznaczany literą $O$ i mający współrzędne $(0, 0)$ .

Każdemu punktowi płaszczyzny odpowiada dokładnie jedna para liczb, i odwrotnie — każdej parze liczb dokładnie jeden punkt. To ta wzajemna jednoznaczność sprawia, że układ jest tak użyteczny.

Pomysł przypisuje się Kartezjuszowi i stąd nazwa „układ kartezjański”. Jego siła polega na tym, że zamienia pytania geometryczne w rachunki — długość odcinka staje się odejmowaniem, a środek odcinka średnią.

2Kolejność (x, y) — najczęstsza pomyłka

Współrzędne zapisuje się w nawiasie, po przecinku, zawsze w tej samej kolejności: najpierw wartość na osi poziomej, potem na pionowej.

Punkt $(3, 5)$ leży trzy jednostki w prawo i pięć w górę. Punkt $(5, 3)$ leży pięć w prawo i trzy w górę — to zupełnie inne miejsce.

Skojarzenie, które to porządkuje: najpierw idziesz korytarzem, dopiero potem jedziesz windą. Poziomo przed pionowo.

Alfabetyczna podpowiedź działa równie dobrze: $x$ jest w alfabecie przed $y$ , więc pisze się je pierwsze.

Ta pomyłka nie znika z wiekiem — zdarza się także w liceum przy geometrii analitycznej. Warto ją zablokować raz, wcześnie, jednym z powyższych skojarzeń.

3Cztery ćwiartki i znaki współrzędnych

Osie dzielą płaszczyznę na cztery obszary zwane ćwiartkami. Numeruje się je od prawej górnej, przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

I ćwiartka — obie współrzędne dodatnie,
II ćwiartka — pierwsza ujemna, druga dodatnia,
III ćwiartka — obie ujemne,
IV ćwiartka — pierwsza dodatnia, druga ujemna.

Znak pierwszej współrzędnej mówi, czy punkt leży na prawo (dodatnia), czy na lewo (ujemna) od osi pionowej. Znak drugiej — czy powyżej, czy poniżej osi poziomej.

Punkty leżące na osiach nie należą do żadnej ćwiartki. Punkt na osi poziomej ma drugą współrzędną równą zeru, punkt na osi pionowej — pierwszą.

Znajomość samych znaków wystarcza do rozstrzygnięcia wielu zadań: nie trzeba rysować, żeby wiedzieć, że punkt $(-4, -7)$ leży w trzeciej ćwiartce.

4Odczytywanie i zaznaczanie punktu

Zaznaczanie: od początku układu przejdź najpierw poziomo o tyle, ile mówi pierwsza liczba, a potem pionowo o tyle, ile druga. Miejsce, w którym się zatrzymasz, to szukany punkt.

Odczytywanie działa odwrotnie: sprawdź, na jakiej wartości osi poziomej leży punkt, potem na jakiej wartości osi pionowej.

Pierwszy krok w obu przypadkach jest jednak inny i bywa pomijany — sprawdzenie podziałki. Jedna kratka nie musi oznaczać jedności, a obie osie mogą być wyskalowane różnie.

Podziałkę wyznacza się z dwóch opisanych wartości na tej samej osi: odejmij je i podziel przez liczbę kratek między nimi. Tak samo jak na zwykłej osi liczbowej.

Warto to robić osobno dla każdej osi. Wykresy w podręcznikach często mają oś pionową ściśniętą albo rozciągniętą względem poziomej.

5Środek odcinka i długość odcinka

Dwie rzeczy, które w układzie współrzędnych liczy się bez rysowania i bez mierzenia.

Środek odcinka ma współrzędne będące średnimi arytmetycznymi odpowiednich współrzędnych końców.

S = \left( \frac{x_A + x_B}{2},\ \frac{y_A + y_B}{2} \right)

Wzoru nie trzeba pamiętać, jeśli rozumie się sens: środek jest w połowie drogi, a połowa drogi między dwiema liczbami to ich średnia arytmetyczna. Obie współrzędne liczy się osobno i niezależnie.

Ten sam wzór działa w drugą stronę — i podstawa programowa wymaga obu kierunków. Obok znajdowania środka odcinka wymienia osobno wyznaczanie drugiego końca w sytuacji, gdy dany jest jeden koniec i środek. Brakujący koniec wyliczasz z tego samego równania.

Najprościej myśleć przesunięciem: ze znanego końca do środka wykonujesz pewien krok, a od środka do drugiego końca — dokładnie taki sam. Dla końca $A = (\textcolor{#16A06A}{1}, \textcolor{#16A06A}{2})$ i środka $S = (\textcolor{#16A06A}{4}, \textcolor{#16A06A}{3})$ krok wynosi $+3$ w poziomie i $+1$ w pionie, więc drugi koniec to $B = (4+3,\ 3+1) = (\textcolor{#E0453A}{7}, \textcolor{#E0453A}{4})$ .

Można też wprost z wzoru: skoro $\frac{x_A + x_B}{2} = x_S$ , to $x_B = 2x_S - x_A$ — i tak samo dla drugiej współrzędnej. Kontrola jest natychmiastowa: policz środek $A$ i $B$ i sprawdź, czy wychodzi punkt z zadania. Dla $(1,2)$ i $(7,4)$ środek to $\left(\frac{1+7}{2}, \frac{2+4}{2}\right) = (4, 3)$ ✓

Długość odcinka poziomego lub pionowego to różnica odpowiednich współrzędnych — ale wzięta bez znaku, czyli jako wartość bezwzględna. Odejmowanie w odwrotnej kolejności daje liczbę ujemną: dla końców $(5, 2)$ i $(1, 2)$ wychodzi $1 - 5 = -4$ , a odcinek ma długość $4$ . Najprościej odjąć mniejszą współrzędną od większej. Przy odcinku ukośnym potrzebne jest twierdzenie Pitagorasa: różnice współrzędnych są przyprostokątnymi, a szukany odcinek przeciwprostokątną — tam znak nie przeszkadza, bo różnice i tak podnosi się do kwadratu.

To jest właśnie moment, w którym widać siłę układu — geometryczne pytanie „jak długi jest ten odcinek” zamienia się w rachunek, który da się wykonać bez linijki.

6W której klasie się to pojawia

Układ współrzędnych wchodzi w szkole podstawowej i zostaje aż do matury, za każdym razem z nowym zastosowaniem.

klasa 6 — osie, zaznaczanie i odczytywanie punktów, ćwiartki,
klasa 7 — wykresy zależności, punkty o współrzędnych ujemnych,
klasa 8 — środek odcinka, długość odcinka, figury o zadanych wierzchołkach,
liceum — geometria analityczna: równanie prostej, okrąg, wektory, funkcje.

W liceum układ przestaje być narzędziem pomocniczym i staje się osobnym działem. Wszystko, co się w nim robi, opiera się jednak na tych samych dwóch liczbach w nawiasie.

7Ćwicz dalej

Materiał jest rozdzielony według poziomu:

Egzamin ósmoklasisty — 11 zadań z arkuszy CKE, część z rysunkami z arkusza,
Matura — geometria analityczna: proste, okręgi i odległości,
Karta pracy PDF — sześć zadań o odcinku w układzie współrzędnych, z kluczem; ramka z odnośnikiem jest pod tekstem strony.

Test gotowości: zaznacz w wyobraźni punkty $(2, -3)$ i $(-3, 2)$ . Jeśli od razu widzisz, że leżą w różnych ćwiartkach, kolejność współrzędnych masz opanowaną.

8Przykłady krok po kroku

Trzy własne przykłady: określenie ćwiartki ze znaków, środek odcinka i długość odcinka ukośnego.

Przykład 1 W której ćwiartce leży punkt

W której ćwiartce układu współrzędnych leży punkt $P(-4, 6)$ ?

Pierwsza współrzędna jest ujemna, więc punkt leży na lewo od osi pionowej.
Druga współrzędna jest dodatnia, więc punkt leży powyżej osi poziomej.
Lewa strona i góra to druga ćwiartka.
Kontrola: nie trzeba nic rysować — same znaki rozstrzygają położenie ✓
Dla porównania punkt $(4, -6)$ miałby znaki odwrotnie i leżałby w czwartej ćwiartce.

Odpowiedź: Punkt $P$ leży w drugiej ćwiartce.

Przykład 2 Środek odcinka

Oblicz współrzędne środka odcinka o końcach $A(-2, 1)$ i $B(6, 7)$ .

Pierwszą współrzędną środka liczę jako średnią pierwszych współrzędnych końców: $\dfrac{-2+6}{2} = \dfrac{4}{2} = 2$ .
Drugą jako średnią drugich: $\dfrac{1+7}{2} = \dfrac{8}{2} = 4$ .
Środek to punkt $S(2, 4)$ .
Kontrola: pierwsza współrzędna $2$ leży między $-2$ a $6$ ✓, druga $4$ leży między $1$ a $7$ ✓
Obie współrzędne liczyłem niezależnie — pierwsza nie ma nic wspólnego z drugimi współrzędnymi końców.

Odpowiedź: Środek odcinka to punkt $S(2, 4)$ .

Przykład 3 Długość odcinka ukośnego

Jaka jest długość odcinka o końcach $A(1, 2)$ i $B(5, 5)$ ?

Liczę różnice współrzędnych: w poziomie $5 - 1 = 4$ , w pionie $5 - 2 = 3$ .
Te dwie różnice są przyprostokątnymi trójkąta prostokątnego, a szukany odcinek jego przeciwprostokątną.
Z twierdzenia Pitagorasa: $|AB|^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$ .
$|AB| = \sqrt{25} = 5$ .
Kontrola: to znana trójka pitagorejska $3, 4, 5$ ✓
Odcinek jest dłuższy niż każda z różnic osobno — tak być musi, bo przeciwprostokątna jest najdłuższym bokiem.

Odpowiedź: Odcinek $AB$ ma długość $5$ .

9Najczęstsze błędy

Cztery błędy, które przy układzie współrzędnych wracają najczęściej — od szkoły podstawowej po liceum.

Zamiana kolejności współrzędnych

Skąd się bierze: Punkty o współrzędnych trzy i pięć oraz pięć i trzy leżą w zupełnie innych miejscach, a zapis wygląda podobnie. To najtrwalsza pomyłka w tym dziale i zdarza się także w liceum, przy geometrii analitycznej.

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj przez ruch: najpierw idzie się korytarzem, dopiero potem jedzie windą. Pomaga też kolejność alfabetyczna — iks stoi w alfabecie przed igrekiem, więc pisze się je pierwsze.

Pominięcie podziałki osi

Skąd się bierze: Jedna kratka nie zawsze oznacza jedność, a obie osie bywają wyskalowane różnie — wykresy w podręcznikach często mają oś pionową ściśniętą. Odczyt oparty na liczeniu kratek jest wtedy przeskalowany.

Jak zrobić dobrze: Zanim cokolwiek odczytasz, wyznacz wartość jednej kratki osobno dla każdej osi: odejmij dwie opisane wartości i podziel przez liczbę kratek między nimi.

Przypisanie punktu na osi do jakiejś ćwiartki

Skąd się bierze: Punkty leżące dokładnie na osi nie należą do żadnej ćwiartki, bo ćwiartki są obszarami między osiami. Zaliczenie takiego punktu do sąsiedniej ćwiartki daje odpowiedź, która w zadaniach typu prawda-fałsz jest błędna.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź, czy któraś współrzędna nie jest zerem. Zero na drugim miejscu oznacza punkt na osi poziomej, zero na pierwszym — na pionowej, a dwa zera to początek układu.

Mieszanie współrzędnych przy liczeniu środka odcinka

Skąd się bierze: Pierwszą współrzędną środka liczy się wyłącznie z pierwszych współrzędnych końców, a drugą z drugich. Połączenie ich krzyżowo daje punkt leżący zupełnie gdzie indziej, choć rachunek wygląda poprawnie.

Jak zrobić dobrze: Zapisz obie średnie jako osobne działania, jedno pod drugim, z podpisanymi literami. Kontrola: każda współrzędna środka musi leżeć między odpowiadającymi jej współrzędnymi końców.

Karta pracy: odcinek w układzie współrzędnych

Sześć zadań na wydruk — środek odcinka, długość odcinka (także z wynikiem niewymiernym) i zadania mieszane. Klucz odpowiedzi na ostatniej stronie.

Przejdź do kart pracy

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — układ współrzędnych

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 1 zadanie z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.

W całym dziale wraca jedna myśl: to samo przesunięcie działa w dwóch miejscach naraz. Dlatego zielone są współrzędne punktów danych — to, co po prostu odczytujemy — a czerwone jest przesunięcie: o ile w prawo i o ile w górę. To ono przenosi się z jednej pary punktów na drugą — w równoległoboku, przy szukaniu środka odcinka i przy przesuwaniu punktu. Gdy raz je zobaczysz na czerwono, resztę zadania robi się już bez wzorów.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 8 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 8 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (czerwiec 2025)1 pkttrudniejsze

W układzie współrzędnych

(x,y)

zaznaczono kolejne wierzchołki

A = (-3,-1)

B = (1,-1)

pewnego czworokąta

ABCD

. Pozostałe wierzchołki mają współrzędne

C = (3, y_C)

oraz

D = (-1, y_D)

, gdzie

y_C

jest liczbą całkowitą dodatnią oraz

y_C = y_D

. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Czworokąt $ABCD$ jest równoległobokiem.	P	F
Dla $y_C = y_D = 3$ czworokąt $ABCD$ jest rombem.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, F

Zdanie 1. Czworokąt jest równoległobokiem, gdy jedna para przeciwległych boków jest równoległa i równej długości. Wystarczy porównać przesunięcia.
Z $A$ do $B$ : $\textcolor{#E0453A}{(+4, \ 0)}$ (bo $\textcolor{#16A06A}{-3} \to \textcolor{#16A06A}{1}$ , wysokość bez zmian).
Z $D$ do $C$ : $\textcolor{#E0453A}{(+4, \ 0)}$ (bo $\textcolor{#16A06A}{-1} \to \textcolor{#16A06A}{3}$ , a $y_C = y_D$ ).
Przesunięcia są identyczne, więc $AB$ i $DC$ są równoległe i równe — czworokąt jest równoległobokiem, niezależnie od wartości $y_C$ — prawda.
Zdanie 2. W rombie wszystkie boki są równe. Dla $y_C = y_D = 3$ :
$|AB| = \textcolor{#16A06A}{4}$
$|BC| = \sqrt{(\textcolor{#16A06A}{3}-\textcolor{#16A06A}{1})^2 + (\textcolor{#16A06A}{3}-(\textcolor{#16A06A}{-1}))^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} \approx 4{,}47$
$\textcolor{#16A06A}{4} \neq \sqrt{20}$ , więc to nie jest romb — fałsz.
Odpowiedzi: P, F.

💡 Wskazówka: Zamiast wzorów porównuj przesunięcia: „ile w prawo, ile w górę”. Jeśli z $A$ do $B$ idzie się tak samo jak z $D$ do $C$ , czworokąt na pewno jest równoległobokiem.

⚠ Najczęstszy błąd: uznanie, że skoro równoległobok „wygląda symetrycznie”, to musi być rombem. Romb wymaga równych boków, a nie tylko równoległych — trzeba je policzyć.

Zadanie 2 (maj 2025)1 pktśrednie

W układzie współrzędnych

(x,y)

zaznaczono trzy punkty, które są wierzchołkami równoległoboku

ABCD

A = (-3,-2)

C = (4,2)

D = (-1,2)

. Współrzędna

x

wierzchołka

B

, niezaznaczonego na rysunku, jest liczbą dodatnią. Dokończ zdanie.
Niezaznaczony na rysunku wierzchołek

B

tego równoległoboku ma współrzędne

A. $(4,-2)$
B. $(3,-2)$
C. $(2,-2)$
D. $(6,-2)$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

W równoległoboku $ABCD$ boki $AB$ i $DC$ są równoległe i równe, więc przesunięcie z $A$ do $B$ jest takie samo jak z $D$ do $C$ .
Krok 1 — wyznaczamy przesunięcie z $D$ do $C$ .
w poziomie: $\textcolor{#16A06A}{4} - (\textcolor{#16A06A}{-1}) = \textcolor{#E0453A}{+5}$
w pionie: $\textcolor{#16A06A}{2} - \textcolor{#16A06A}{2} = \textcolor{#E0453A}{0}$
Krok 2 — stosujemy je do punktu $A$ .
$x_B = \textcolor{#16A06A}{-3} + \textcolor{#E0453A}{5} = 2$
$y_B = \textcolor{#16A06A}{-2} + \textcolor{#E0453A}{0} = -2$
Zatem $B = (2, -2)$ — odpowiedź C. Współrzędna $x$ jest dodatnia ✓
Sprawdzenie: przekątne równoległoboku dzielą się na połowy. Środek $AC$ to $\left(\tfrac{-3+4}{2}, \tfrac{-2+2}{2}\right) = (0{,}5;\ 0)$ , a środek $BD$ to $\left(\tfrac{2-1}{2}, \tfrac{-2+2}{2}\right) = (0{,}5;\ 0)$ ✓

💡 Wskazówka: Uważaj na kolejność liter: w czworokącie $ABCD$ bok $AB$ leży naprzeciw boku $CD$ . Dlatego przesunięcie $A \to B$ porównujemy z $D \to C$ , a nie z $C \to D$ .

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie przesunięcia z $C$ do $D$ (czyli $-5$ zamiast $+5$ ) — wychodzi wtedy punkt $(-8,-2)$ o ujemnej współrzędnej $x$ . Warunek „ $x$ dodatnia” jest w treści właśnie po to, żeby to wykluczyć.

Zadanie 3 (czerwiec 2024)1 pktłatwe

W układzie współrzędnych

(x,y)

narysowano trapez

EFGH

o wierzchołkach

E = (2,0)

F = (4,1)

G = (1,4)

oraz

H = (0,2)

. Dokończ zdanie.
Punkty o współrzędnych

(1,4)

(2,0)

to wierzchołki

A. $G$ i $H$
B. $G$ i $E$
C. $F$ i $H$
D. $F$ i $E$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Wystarczy odczytać współrzędne i dopasować je do liter.
$(\textcolor{#16A06A}{1}, \textcolor{#16A06A}{4})$ — jedna jednostka w prawo, cztery w górę. To wierzchołek $G$ , ten najwyżej położony.
$(\textcolor{#16A06A}{2}, \textcolor{#16A06A}{0})$ — dwie jednostki w prawo, na samej osi $x$ . To wierzchołek $E$ .
Odpowiedź B.
Dla porządku: $F = (4,1)$ , a $H = (0,2)$ leży na osi $y$ .

💡 Wskazówka: Kolejność jest zawsze ta sama: najpierw $x$ (w prawo), potem $y$ (w górę). Punkt $(1,4)$ to zupełnie co innego niż $(4,1)$ — i właśnie na tej zamianie zadanie łapie.

⚠ Najczęstszy błąd: odczytanie współrzędnych w odwrotnej kolejności i wskazanie $F$ zamiast $G$ . Pomaga zapamiętać: „najpierw idę korytarzem, potem windą”.

Zadanie 4 (maj 2024)1 pktłatwe

W układzie współrzędnych

(x,y)

zaznaczono pięć punktów:

P_1 = (-1,-2)

P_2 = (3,1)

P_3 = (-3,1)

P_4 = (2,2)

oraz

P_5 = (-2,2)

. Dokończ zdanie.
Jeżeli współrzędną

x

punktu

P_1

zwiększymy o 4, a współrzędną

y

tego punktu zwiększymy o 3, to otrzymamy współrzędne punktu

A. $P_2$
B. $P_3$
C. $P_4$
D. $P_5$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Wykonujemy przesunięcie o $\textcolor{#E0453A}{(+4, +3)}$ — cztery w prawo i trzy w górę.
$x$ : $\textcolor{#16A06A}{-1} + \textcolor{#E0453A}{4} = 3$
$y$ : $\textcolor{#16A06A}{-2} + \textcolor{#E0453A}{3} = 1$
Otrzymany punkt to $(3, 1)$ , czyli $P_2$ — odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Zamiast liczyć, można po prostu „przejść” po kratkach: z punktu $P_1$ cztery kratki w prawo i trzy w górę. Trafiasz dokładnie w $P_2$ .

⚠ Najczęstszy błąd na liczbach ujemnych: $-1 + 4 = -5$ albo $-2 + 3 = -5$ . Dodawanie liczby dodatniej przesuwa w prawo i w górę, więc wynik musi być większy od punktu wyjścia.

Zadanie 5 (marzec 2020)1 pkttrudniejsze

W układzie współrzędnych zaznaczono trójkąt

ABC

o wierzchołkach

A = (4,1)

B = (-5,3)

C = (1,-3)

oraz punkt

P = (-2,0)

należący do boku

BC

. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Pole trójkąta $PAB$ jest równe polu trójkąta $PAC$ .	P	F
Pole trójkąta $ABC$ jest równe 21.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Zdanie 1. Trójkąty $PAB$ i $PAC$ mają wspólny wierzchołek $A$ , a ich podstawy $PB$ i $PC$ leżą na tej samej prostej $BC$ . Mają więc tę samą wysokość — o polach decydują wyłącznie długości podstaw.
Sprawdźmy, czy $P$ jest środkiem $BC$ :
$x$ : $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{-5} + \textcolor{#16A06A}{1}}{2} = \textcolor{#E0453A}{-2}$ $y$ : $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{3} + (\textcolor{#16A06A}{-3})}{2} = \textcolor{#E0453A}{0}$
Środek $BC$ to $(\textcolor{#E0453A}{-2}, \textcolor{#E0453A}{0})$ , czyli dokładnie punkt $P$ ✓ Podstawy są równe, więc i pola są równe — prawda.
Zdanie 2. Pole trójkąta $ABC$ policzymy metodą „prostokąt minus trójkąty”.
Najmniejszy prostokąt obejmujący trójkąt rozciąga się od $x = \textcolor{#16A06A}{-5}$ do $x = \textcolor{#16A06A}{4}$ i od $y = \textcolor{#16A06A}{-3}$ do $y = \textcolor{#16A06A}{3}$ , ma więc wymiary $\textcolor{#E0453A}{9} \times \textcolor{#E0453A}{6}$ i pole $\textcolor{#E0453A}{54}$ .
Odcinamy trzy trójkąty prostokątne w narożnikach:
przy $B$ : $\tfrac12 \cdot 6 \cdot 6 = 18$ • przy $C$ : $\tfrac12 \cdot 3 \cdot 4 = 6$ • przy $A$ : $\tfrac12 \cdot 9 \cdot 2 = 9$
$P_{ABC} = \textcolor{#E0453A}{54} - 18 - 6 - 9 = 21$ ✓ — prawda.
Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Pole trójkąta o „krzywych” wierzchołkach najłatwiej policzyć, otaczając go prostokątem i odejmując trzy narożne trójkąty prostokątne. Wszystkie ich boki są pionowe albo poziome, więc odczytuje się je wprost z kratek.

⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 1: uznanie, że skoro trójkąty wyglądają różnie, mają różne pola. Przy wspólnej wysokości liczy się tylko długość podstawy — a tu $P$ dzieli $BC$ dokładnie na pół.

Zadanie 6 (czerwiec 2019)1 pktśrednie

Dane są punkty o współrzędnych:

A = (2,1)

B = (4,9)

C = (-2,5)

D = (8,5)

. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Środek odcinka $AB$ ma współrzędne $(3,5)$ .	P	F
Środek odcinka $AB$ jest także środkiem odcinka $CD$ .	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Współrzędne środka odcinka to średnie arytmetyczne współrzędnych jego końców.
Zdanie 1 — środek $AB$ .
$x = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{2} + \textcolor{#16A06A}{4}}{2} = \textcolor{#E0453A}{3}$ $y = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{1} + \textcolor{#16A06A}{9}}{2} = \textcolor{#E0453A}{5}$
Środek to $(\textcolor{#E0453A}{3}, \textcolor{#E0453A}{5})$ ✓ — prawda.
Zdanie 2 — środek $CD$ .
$x = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{-2} + \textcolor{#16A06A}{8}}{2} = \textcolor{#E0453A}{3}$ $y = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{5} + \textcolor{#16A06A}{5}}{2} = \textcolor{#E0453A}{5}$
Wychodzi ten sam punkt $(\textcolor{#E0453A}{3}, \textcolor{#E0453A}{5})$ ✓ — prawda.
Odpowiedzi: P, P.
Ciekawostka: skoro odcinki $AB$ i $CD$ mają wspólny środek, to czworokąt $ACBD$ jest równoległobokiem — przekątne dzielą się w nim na połowy.

💡 Wskazówka: Wzór na środek: $S = \left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\ \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$ . Każdą współrzędną liczy się osobno — iksy z iksami, igreki z igrekami.

⚠ Najczęstszy błąd: odejmowanie współrzędnych zamiast dodawania (to wzór na przesunięcie, nie na środek) albo mieszanie $x$ jednego punktu z $y$ drugiego.

Zadanie 7 (czerwiec 2019)1 pktśrednie

W prostokątnym układzie współrzędnych zaznaczono wierzchołki trójkąta prostokątnego

ABC

A = (-2,-2)

B = (3,-2)

oraz

C = (-2,6)

. Kąt prosty jest przy wierzchołku

A

. Dokończ zdanie.
Przeciwprostokątna trójkąta

ABC

ma długość

A. $\sqrt{39}$
B. $10$
C. $\sqrt{89}$
D. $13$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Krok 1 — przyprostokątne. Obie są równoległe do osi, więc długości odczytujemy wprost z kratek.
$\textcolor{#16A06A}{AB}$ jest pozioma ( $A$ i $B$ mają tę samą wysokość $-2$ ): $|\textcolor{#16A06A}{AB}| = 3 - (-2) = \textcolor{#16A06A}{5}$ .
$\textcolor{#16A06A}{AC}$ jest pionowa ( $A$ i $C$ mają ten sam $x = -2$ ): $|\textcolor{#16A06A}{AC}| = 6 - (-2) = \textcolor{#16A06A}{8}$ .
Krok 2 — przeciwprostokątna. Leży naprzeciw kąta prostego, czyli jest to bok $\textcolor{#E0453A}{BC}$ :
$|\textcolor{#E0453A}{BC}| = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{5}^2 + \textcolor{#16A06A}{8}^2} = \sqrt{25 + 64} = \sqrt{89}$ .
Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: $\sqrt{89}$ nie da się uprościć ( $89$ jest liczbą pierwszą), więc zostawiamy wynik pod pierwiastkiem. Dla orientacji: $\sqrt{89} \approx 9{,}4$ — czyli więcej niż każda z przyprostokątnych ✓

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie różnic bez uwzględnienia znaków, np. $|AC| = 6 - 2 = 4$ . Przy przechodzeniu przez zero odległość to suma obu kawałków: $6$ w górę od osi i $2$ w dół.

Zadanie 8 (kwiecień 2019)1 pktśrednie

W układzie współrzędnych wyznaczono odcinek o końcach w punktach

K

L

. Punkty te mają współrzędne

K = (-17,6)

oraz

L = (15,-4)

. W której ćwiartce układu współrzędnych leży środek odcinka

KL

A. W pierwszej — na prawo od osi $y$ i powyżej osi $x$ .
B. W drugiej — na lewo od osi $y$ i powyżej osi $x$ .
C. W trzeciej — na lewo od osi $y$ i poniżej osi $x$ .
D. W czwartej — na prawo od osi $y$ i poniżej osi $x$ .

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Wystarczy policzyć środek i sprawdzić znaki jego współrzędnych.
$x = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{-17} + \textcolor{#16A06A}{15}}{2} = \dfrac{-2}{2} = \textcolor{#E0453A}{-1}$
$y = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{6} + (\textcolor{#16A06A}{-4})}{2} = \dfrac{2}{2} = \textcolor{#E0453A}{1}$
Środek to $(\textcolor{#E0453A}{-1}, \textcolor{#E0453A}{1})$ : współrzędna $x$ jest ujemna (czyli na lewo od osi $y$ ), a $y$ dodatnia (powyżej osi $x$ ).
To druga ćwiartka — odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Do rozstrzygnięcia ćwiartki wystarczą same znaki — dokładne wartości nie są potrzebne. Ćwiartki numeruje się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, zaczynając od prawej górnej.

⚠ Najczęstszy błąd: pomyłka w dodawaniu liczb różnych znaków, np. $-17 + 15 = -32$ . Warto myśleć o tym jak o długu: mam dług 17, spłacam 15, zostaje dług 2.

Zadanie 9 (grudzień 2018)1 pktśrednie

W układzie współrzędnych zaznaczono dwa punkty:

A = (-8,-4)

P = (-2,2)

. Punkt

P

jest środkiem odcinka

AB

. Jakie współrzędne ma punkt

B

A. $(4,8)$
B. $(-10,-2)$
C. $(-10,8)$
D. $(4,-2)$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Skoro $P$ jest środkiem, to droga z $A$ do $P$ i z $P$ do $B$ to to samo przesunięcie.
Krok 1 — przesunięcie z $A$ do $P$ .
w poziomie: $\textcolor{#16A06A}{-2} - (\textcolor{#16A06A}{-8}) = \textcolor{#E0453A}{+6}$ w pionie: $\textcolor{#16A06A}{2} - (\textcolor{#16A06A}{-4}) = \textcolor{#E0453A}{+6}$
Krok 2 — powtarzamy je z punktu $P$ .
$x_B = \textcolor{#16A06A}{-2} + \textcolor{#E0453A}{6} = 4$ $y_B = \textcolor{#16A06A}{2} + \textcolor{#E0453A}{6} = 8$
Zatem $B = (4, 8)$ — odpowiedź A.
Sprawdzenie: środek odcinka od $(-8,-4)$ do $(4,8)$ to $\left(\tfrac{-8+4}{2}, \tfrac{-4+8}{2}\right) = (-2, 2)$ ✓

💡 Wskazówka: Można też wprost ze wzoru: $B = 2P - A$ , czyli $x_B = 2 \cdot (-2) - (-8) = 4$ i $y_B = 2 \cdot 2 - (-4) = 8$ . Wychodzi to samo.

⚠ Najczęstszy błąd: przesunięcie w złą stronę — od $P$ z powrotem w kierunku $A$ (wychodzi wtedy $(-10,-2)$ , odpowiedź B). Punkt $B$ leży po przeciwnej stronie środka niż $A$ .

Zadanie 10 (grudzień 2017)1 pktśrednie

Punkt

S = (3,2)

jest środkiem odcinka

AB

, w którym

A = (5,5)

. Dokończ zdanie.
Punkt

B

ma współrzędne

A. $(8,7)$
B. $(7,8)$
C. $(-1,1)$
D. $(1,-1)$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Krok 1 — przesunięcie z $A$ do $S$ .
w poziomie: $\textcolor{#16A06A}{3} - \textcolor{#16A06A}{5} = \textcolor{#E0453A}{-2}$ w pionie: $\textcolor{#16A06A}{2} - \textcolor{#16A06A}{5} = \textcolor{#E0453A}{-3}$
Idziemy więc dwie kratki w lewo i trzy w dół.
Krok 2 — z $S$ powtarzamy to samo przesunięcie.
$x_B = \textcolor{#16A06A}{3} + (\textcolor{#E0453A}{-2}) = 1$ $y_B = \textcolor{#16A06A}{2} + (\textcolor{#E0453A}{-3}) = -1$
Zatem $B = (1, -1)$ — odpowiedź D.
Sprawdzenie: $\left(\tfrac{5+1}{2}, \tfrac{5-1}{2}\right) = (3, 2)$ ✓

💡 Wskazówka: Środek zawsze leży pomiędzy końcami, więc jego współrzędne muszą być pomiędzy współrzędnymi $A$ i $B$ . Tu $3$ jest między $5$ a $1$ ✓ i $2$ jest między $5$ a $-1$ ✓

⚠ Najczęstszy błąd: przesunięcie w odwrotną stronę i odpowiedź $(7,8)$ — czyli punkt po tej samej stronie co $A$ . Wtedy $S$ nie leży już pomiędzy końcami, co od razu widać na rysunku.

Zadanie 11 (listopad 2012, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

W układzie współrzędnych zaznaczono wierzchołki

A = (-3,0)

B = (0,3)

czworokąta

ABCD

. Osie układu współrzędnych są osiami symetrii tego czworokąta. Dokończ zdanie tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe.
Pole czworokąta jest równe

A. $9$
B. $12$
C. $18$
D. $36$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Krok 1 — odbijamy dane wierzchołki. Skoro oś $y$ jest osią symetrii, to obok $A = (\textcolor{#16A06A}{-3}, 0)$ w figurze musi być punkt $(\textcolor{#16A06A}{3}, 0)$ .
Skoro oś $x$ jest osią symetrii, to obok $B = (0, \textcolor{#16A06A}{3})$ musi być punkt $(0, \textcolor{#16A06A}{-3})$ .
Czworokąt ma więc wierzchołki $(\textcolor{#16A06A}{-3},0)$ , $(0,\textcolor{#16A06A}{3})$ , $(\textcolor{#16A06A}{3},0)$ , $(0,\textcolor{#16A06A}{-3})$ — jego przekątne leżą na osiach układu.
Krok 2 — długości przekątnych.
pozioma: od $\textcolor{#16A06A}{-3}$ do $\textcolor{#16A06A}{3}$ , czyli $\textcolor{#E0453A}{6}$
pionowa: od $\textcolor{#16A06A}{-3}$ do $\textcolor{#16A06A}{3}$ , czyli $\textcolor{#E0453A}{6}$
Krok 3 — pole. Przekątne są prostopadłe (to osie układu), więc korzystamy ze wzoru na pole czworokąta o prostopadłych przekątnych:
$P = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{6} \cdot \textcolor{#E0453A}{6}}{2} = 18$ .
Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Gdy obie osie układu są osiami symetrii figury, jej wierzchołki układają się w pary punktów przeciwnych: $(x,y)$ , $(-x,y)$ , $(x,-y)$ , $(-x,-y)$ . Wystarczy odbić to, co dane.

⚠ Najczęstszy błąd: pomnożenie przekątnych bez dzielenia przez 2 (wychodzi $36$ — odpowiedź D). Iloczyn przekątnych to pole prostokąta opisanego na tej figurze, a sama figura zajmuje jego połowę.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. P, F	2. C	3. B	4. A	5. P, P	6. P, P
7. C	8. B	9. A	10. D	11. C

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

10Pytania i odpowiedzi

Jak zapisać współrzędne punktu?

W nawiasie, po przecinku, zawsze najpierw wartość na osi poziomej, potem na pionowej. Kolejność jest istotna, bo punkty trzy i pięć oraz pięć i trzy leżą w różnych miejscach. Pomaga skojarzenie: najpierw korytarzem, potem windą.

Która liczba jest pierwsza — iks czy igrek?

Iks, czyli wartość na osi poziomej. Najprostsza podpowiedź jest alfabetyczna: iks stoi w alfabecie przed igrekiem i tak samo stoi w nawiasie. Ta kolejność obowiązuje na wszystkich poziomach, aż do geometrii analitycznej w liceum.

Ile jest ćwiartek układu współrzędnych?

Cztery — osie dzielą płaszczyznę na cztery obszary, numerowane od prawej górnej przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. W pierwszej obie współrzędne są dodatnie, w trzeciej obie ujemne. Punkty leżące na samych osiach nie należą do żadnej ćwiartki.

Jak znaleźć środek odcinka?

Policz średnią arytmetyczną pierwszych współrzędnych obu końców i osobno średnią drugich. Wzoru nie trzeba pamiętać: środek leży w połowie drogi, a połowa drogi między dwiema liczbami to właśnie ich średnia. Obie współrzędne liczy się niezależnie od siebie.

Gdzie leży punkt o współrzędnych zero, zero?

W początku układu, czyli w miejscu przecięcia obu osi. Oznacza się go zwykle literą O. Nie należy do żadnej ćwiartki, bo leży jednocześnie na obu osiach.

Jak policzyć długość odcinka w układzie współrzędnych?

Dla odcinka poziomego lub pionowego wystarczy odjąć odpowiednie współrzędne — od większej mniejszą, bo długość nie może wyjść ujemna. Dla ukośnego potraktuj różnice obu współrzędnych jako przyprostokątne trójkąta prostokątnego i zastosuj twierdzenie Pitagorasa — szukany odcinek jest przeciwprostokątną, a znak różnicy przestaje mieć znaczenie po podniesieniu do kwadratu.

Czytaj dalej

Układ współrzędnych — zadania z egzaminu ósmoklasisty11 zadań z arkuszy CKE, część z rysunkami z arkusza Twierdzenie Pitagorasa — teoriaNarzędzie do liczenia długości odcinka ukośnego Oś liczbowa — teoriaJedna oś zamiast dwóch — tam zaczyna się cała ta idea Egzamin ósmoklasisty z matematykiWszystkie działy, arkusze i sposób przygotowania

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-03. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.