Strona główna › Liczby całkowite › Mnożenie i dzielenie liczb ujemnych — skąd się bierze reguła znaków

Mnożenie i dzielenie liczb ujemnych — skąd się bierze reguła znaków

Q: Dlaczego minus razy minus daje plus?

Bo mnożenie musi być zgodne z dodawaniem. Gdy w iloczynie n · (-4) zmniejszamy n o jeden, wynik za każdym razem rośnie o cztery: -12, -8, -4, 0 — i żeby ta prawidłowość się nie urwała, (-1) · (-4) musi wynosić 4. Obrazowo: mnożenie przez liczbę ujemną odwraca kierunek na osi, a odwrócenie dwa razy wraca do punktu wyjścia.

Q: Jak mnożyć liczby ujemne?

Policz osobno wartość i osobno znak. Wartość — mnożysz tak, jakby minusów nie było. Znak — jednakowe znaki dają plus, różne dają minus. Przy kilku czynnikach liczy się parzystość: parzysta liczba minusów daje wynik dodatni, nieparzysta ujemny — pod warunkiem, że żaden czynnik nie jest zerem, bo wtedy iloczyn wynosi zero niezależnie od znaków.

Q: Czy przy dzieleniu obowiązuje ta sama reguła znaków?

Tak, dokładnie ta sama — nie trzeba uczyć się jej drugi raz. (-20) : (-5) = 4, a (-20) : 5 = -4. Dochodzi tylko jedno ograniczenie, które nie ma nic wspólnego ze znakami: dzielić przez zero nie wolno.

Q: Czy (-3) + (-4) to 7?

Nie, to -7. Reguła „dwa minusy dają plus” dotyczy mnożenia i dzielenia, a tu jest dodawanie. Trzy złote długu plus cztery złote długu to siedem złotych długu. Dodanie dwóch liczb ujemnych zawsze daje liczbę ujemną.

Q: Czym różni się (-2)^2 od -2^2?

Wynikiem i znaczeniem. (-2)^2 = 4, bo do kwadratu podnosimy całą liczbę -2. Natomiast -2^2 = -4, bo potęgowana jest sama dwójka, a minus zostaje przed nią. Zapisując potęgę liczby ujemnej, zawsze bierz ją w nawias.

Q: Czy zero jest liczbą ujemną?

Nie. Zero nie jest ani dodatnie, ani ujemne — jest granicą między jednymi a drugimi. W iloczynie zachowuje się wyjątkowo: jeśli choć jeden czynnik jest zerem, cały iloczyn wynosi zero, niezależnie od znaków pozostałych liczb.

Reguła znaków mieści się w dwóch linijkach i prawie każdy uczeń umie ją wyrecytować. Kłopot zaczyna się przy pytaniu dlaczego minus razy minus daje plus — bo bez odpowiedzi reguła jest tylko zaklęciem, które łatwo pomylić z regułą dodawania. A to dwie zupełnie różne reguły i mieszanie ich jest najczęstszym błędem w całym dziale.

Dział: Liczby całkowitePoziom: klasa 6Zadań z E8: 5

Przejdź od razu do zadań (5) ↓

1Reguła znaków

Przy mnożeniu i dzieleniu liczy się osobno wartość, osobno znak. Najpierw mnożysz albo dzielisz tak, jakby żadnych minusów nie było, a potem ustalasz znak wyniku.

Cztery przypadki, jedna zasada

\textcolor{#16A06A}{(+)} \cdot \textcolor{#16A06A}{(+)} = (+) \qquad \textcolor{#E0453A}{(-)} \cdot \textcolor{#E0453A}{(-)} = (+)

\textcolor{#16A06A}{(+)} \cdot \textcolor{#E0453A}{(-)} = (-) \qquad \textcolor{#E0453A}{(-)} \cdot \textcolor{#16A06A}{(+)} = (-)

Zapisane jednym zdaniem: znaki jednakowe dają plus, znaki różne dają minus.

Dla dzielenia reguła jest identyczna — nie trzeba jej uczyć drugi raz. Dzielenie to mnożenie przez odwrotność, więc znak zachowuje się tak samo.

Na liczbach:

(-3) \cdot (-4) = 12 \qquad (-3) \cdot 4 = -12 \qquad (-12) : (-4) = 3 \qquad (-12) : 4 = -3

Warto od razu zauważyć rzecz, która oszczędza mnóstwo pomyłek: przy mnożeniu i dzieleniu znaki się „skracają”. Dwa minusy znoszą się nawzajem. Przy dodawaniu nic takiego się nie dzieje — i to jest sedno różnicy, o której mówi cała następna sekcja.

2To NIE jest ta sama reguła co przy dodawaniu

Tu ginie najwięcej punktów w klasie szóstej. Uczeń zapamiętuje „minus i minus daje plus” i stosuje to wszędzie — także tam, gdzie stoi znak dodawania.

Działanie	Wynik	Co się dzieje
$(-3) \cdot (-4)$	$12$	znaki jednakowe → plus
$(-3) + (-4)$	$-7$	dwa długi się sumują
$(-12) : (-4)$	$3$	znaki jednakowe → plus
$(-12) - (-4)$	$-8$	odjęcie długu, czyli dodanie $4$

Drugi wiersz jest kluczowy. $(-3) + (-4)$ nie daje $7$ . Jeśli masz $3$ złote długu i dorobisz się jeszcze $4$ złotych długu, to masz $7$ złotych długu, czyli $-7$ . Dodawanie dwóch liczb ujemnych zawsze daje liczbę ujemną.

Kiedy „dwa minusy dają plus” jest prawdą

Przy mnożeniu i dzieleniu — zawsze, bez wyjątku: $(-3) \cdot (-4) = 12$ .

Przy odejmowaniu liczby ujemnej — tak, ale z innego powodu: $5 - (-3) = 5 + 3 = 8$ . Tu minus przed nawiasem odwraca znak liczby w nawiasie, a nie „mnoży znaki”.

Przy dodawaniu — nigdy: $(-3) + (-4) = -7$ .

Pytanie kontrolne, które warto zadawać sobie za każdym razem: jaki znak działania stoi między liczbami? Dopiero on decyduje, którą regułę wolno zastosować.

Dodawaniem i odejmowaniem liczb ujemnych zajmuje się osobna strona — dodawanie i odejmowanie liczb ujemnych. Warto mieć obie reguły obok siebie, bo dopiero zestawione widać, że są różne.

3Dlaczego minus razy minus daje plus

Reguła nie jest umową ani „tak trzeba zapamiętać”. Wynika z tego, że mnożenie ma się zgadzać z dodawaniem — i można to zobaczyć na jednym ciągu liczb.

Popatrz, co się dzieje, gdy mnożnik maleje o jeden, a mnożna wynosi $-4$ :

działanie	wynik	zmiana
$3 \cdot (-4)$	$-12$	—
$2 \cdot (-4)$	$-8$	o $4$ w górę
$1 \cdot (-4)$	$-4$	o $4$ w górę
$0 \cdot (-4)$	$0$	o $4$ w górę
$(-1) \cdot (-4)$	$4$	o $4$ w górę
$(-2) \cdot (-4)$	$8$	o $4$ w górę

Za każdym razem, gdy mnożnik maleje o jeden, wynik rośnie o cztery — bo mnożymy przez liczbę ujemną. Ta prawidłowość nie ma powodu, żeby nagle się urwać przy zerze. Skoro ma być zachowana dalej, to $(-1) \cdot (-4)$ musi wynosić $4$ .

Innymi słowy: gdyby minus razy minus dawał minus, ciąg wyników załamałby się w jednym punkcie bez żadnego powodu, a mnożenie przestałoby być zgodne z dodawaniem.

To samo po ludzku

Mnożenie przez liczbę ujemną to odwrócenie kierunku na osi liczbowej. Mnożąc $5$ przez $-1$ , dostajesz $-5$ — ten sam odcinek, ale po drugiej stronie zera.

Odwrócenie kierunku dwa razy wraca do punktu wyjścia. Dlatego dwa minusy dają plus: obrót o pół obrotu wykonany dwukrotnie to obrót pełny.

Ten sam obraz tłumaczy resztę reguły: nieparzysta liczba minusów zostawia wynik po drugiej stronie zera, parzysta wraca na swoją — o ile żaden czynnik nie jest zerem, bo mnożenie przez zero nie odwraca kierunku, tylko ściąga wynik do samego zera.

4Kilka czynników naraz — liczy się parzystość

Gdy w iloczynie stoi kilka liczb ujemnych, nie trzeba iść po kolei parami. Wystarczy policzyć, ile jest minusów.

parzysta liczba minusów → wynik dodatni — o ile żaden czynnik nie jest zerem,
nieparzysta liczba minusów → wynik ujemny, również pod warunkiem, że żaden czynnik nie jest zerem.

(-1) \cdot (-2) \cdot (-3) = -6

Trzy minusy, czyli nieparzyście — wynik ujemny. Wartość liczymy osobno: $1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$ , więc odpowiedź to $-6$ .

(-1) \cdot (-2) \cdot (-3) \cdot (-5) = 30

Cztery minusy, parzyście — wynik dodatni, a wartość to $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$ .

Uwaga na zero. Jeśli którykolwiek czynnik jest zerem, cały iloczyn wynosi zero i znaki nie mają już żadnego znaczenia. Zero nie jest ani dodatnie, ani ujemne.

Ta sama zasada rządzi potęgowaniem liczby ujemnej, bo potęga to powtórzone mnożenie:

(-2)^2 = 4 \qquad (-2)^3 = -8 \qquad (-2)^4 = 16

Wykładnik parzysty daje wynik dodatni, nieparzysty — ujemny. I jeszcze jedna pułapka zapisu, o której mówi sekcja o błędach: $(-2)^2$ to nie to samo co $-2^2$ .

5Dzielenie: te same znaki, dodatkowo zakaz zera

Dzielenie działa znakowo identycznie jak mnożenie, więc nie ma tu nowej reguły do zapamiętania — jest natomiast jedno ograniczenie.

(-20) : (-5) = 4 \qquad (-20) : 5 = -4 \qquad 20 : (-5) = -4

Dzielić przez zero nie wolno i nie zmienia tego żaden znak. Zapis $(-20) : 0$ nie ma wyniku — nie istnieje liczba, która pomnożona przez zero dałaby $-20$ , bo każda pomnożona przez zero daje zero.

Odwrotnie jest w porządku: zero podzielone przez liczbę różną od zera daje zero, także gdy dzielnik jest ujemny: $0 : (-5) = 0$ .

Znak minus przed ułamkiem

Ułamek z jednym minusem można zapisać na trzy sposoby i wszystkie znaczą to samo:

\dfrac{-6}{3} = \dfrac{6}{-3} = -\dfrac{6}{3} = -2

Przyjęło się pisać minus przed ułamkiem — jest najczytelniej. Gdy minusy są dwa, znoszą się i ułamek jest dodatni: $\dfrac{-6}{-3} = 2$ .

6Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: iloczyn kilku czynników, wyrażenie mieszające mnożenie z dodawaniem i zadanie z treścią, w którym liczba ujemna oznacza coś konkretnego.

Przykład 1 Iloczyn kilku liczb ujemnych

Oblicz $(-2) \cdot 3 \cdot (-5) \cdot (-1)$ .

Najpierw znak. Liczę minusy: przy dwójce, przy piątce i przy jedynce — razem trzy, czyli nieparzyście. Wynik będzie ujemny.
Teraz wartość, tak jakby minusów nie było: $2 \cdot 3 = 6$ , potem $6 \cdot 5 = 30$ , potem $30 \cdot 1 = 30$ .
Składam jedno z drugim: wartość $30$ , znak minus, czyli $-30$ .
Kontrola po kolei, parami: $(-2) \cdot 3 = -6$ , dalej $(-6) \cdot (-5) = 30$ , na koniec $30 \cdot (-1) = -30$ ✓ Ten sam wynik.

Odpowiedź: $(-2) \cdot 3 \cdot (-5) \cdot (-1) = -30$

Liczenie znaku osobno jest szybsze i mniej zawodne niż wleczenie minusów przez cały rachunek — zwłaszcza przy czterech i więcej czynnikach. Kontrola parami zajmuje chwilę i warto ją robić, dopóki reguła parzystości nie wejdzie w nawyk.

Przykład 2 Mnożenie i dodawanie w jednym wyrażeniu

Oblicz $(-4) \cdot (-3) + (-5) \cdot 2$ .

Kolejność działań: najpierw mnożenia, dodawanie na końcu. Liczę oba iloczyny osobno.
$(-4) \cdot (-3)$ — znaki jednakowe, więc plus; wartość $4 \cdot 3 = 12$ . Wychodzi $12$ .
$(-5) \cdot 2$ — znaki różne, więc minus; wartość $5 \cdot 2 = 10$ . Wychodzi $-10$ .
Zostaje dodawanie: $12 + (-10)$ . Tu reguła znaków z mnożenia już nie obowiązuje — dodanie liczby ujemnej to odjęcie: $12 - 10 = 2$ .
Kontrola sensu: pierwszy składnik jest dodatni i większy co do wartości od drugiego, więc wynik musi być dodatni i mały ✓

Odpowiedź: $(-4) \cdot (-3) + (-5) \cdot 2 = 2$

Ostatni krok jest miejscem, w którym najczęściej wychodzi $22$ zamiast $2$ — bo uczeń widzi dwa minusy w $12 + (-10)$ … których tam nie ma. Jest tylko jeden, a znak działania to plus. Warto przy każdym kroku powiedzieć na głos, jakie to działanie.

Przykład 3 Zadanie z treścią — temperatura

Przez $6$ godzin temperatura spadała średnio o $3$ stopnie na godzinę. O ile stopni zmieniła się w tym czasie? Jaka była temperatura na początku, jeśli na końcu wynosiła $-4^\circ$ C?

Spadek zapisuję jako liczbę ujemną: $-3$ stopnie na godzinę. Przez $6$ godzin zmiana wynosi $6 \cdot (-3)$ .
Znaki różne, więc wynik ujemny; wartość $6 \cdot 3 = 18$ . Zmiana to $-18$ stopni, czyli temperatura spadła o $18$ stopni.
Temperaturę początkową oznaczam przez $t$ . Skoro po zmianie jest $-4$ , to $t + (-18) = -4$ .
Stąd $t = -4 + 18 = 14$ . Na początku było $14^\circ$ C.
Kontrola: z $14^\circ$ C spadek o $18$ stopni daje $14 - 18 = -4$ ✓ zgadza się z treścią.
Kontrola sensu: skoro temperatura spadała i skończyła poniżej zera, początkowa musiała być wyraźnie powyżej zera — i jest ✓

Odpowiedź: Temperatura spadła o $18$ stopni; na początku było $14^\circ$ C.

Zwróć uwagę, że mnożenie posłużyło do policzenia zmiany, a nie samej temperatury. To typowy układ zadań z liczbami ujemnymi: mnożenie daje wielkość zmiany, a dodawanie przenosi ją na stan początkowy.

7Najczęstsze błędy

Pierwszy błąd odpowiada za większość strat punktów w tym dziale; z pozostałych jeden dotyczy zapisu potęgi, jeden gubienia znaku w dłuższym rachunku, a jeden zera.

Stosowanie reguły znaków do dodawania

Skąd się bierze: „Minus i minus daje plus” zapamiętuje się bez przypisania do działania i uczeń stosuje to wszędzie. Wtedy $(-3) + (-4)$ zamienia się w $\textcolor{#9b1c14}{7}$ , choć prawidłowy wynik to $-7$ . Reguła znaków dotyczy wyłącznie mnożenia i dzielenia; przy dodawaniu dwie liczby ujemne dają liczbę ujemną, bo dwa długi się sumują.

Jak zrobić dobrze: Zanim ruszysz, popatrz na znak działania między liczbami, a nie na znaki samych liczb. Kropka mnożenia albo dwukropek — reguła znaków. Plus — dodawanie, i wtedy wyobraź sobie długi: trzy złote długu plus cztery złote długu to siedem złotych długu.

Mylenie $(-2)^2$ z $-2^2$

Skąd się bierze: To dwie różne liczby, choć zapis wygląda prawie tak samo. W $(-2)^2$ do kwadratu podnosimy całą liczbę $-2$ i wychodzi $4$ . W $-2^2$ potęgowana jest sama dwójka, a minus zostaje z przodu — wychodzi $-4$ . Nawias decyduje o wszystkim.

Jak zrobić dobrze: Czytaj zapis na głos: „minus dwa do kwadratu” ( $(-2)^2$ ) kontra „minus, dwa do kwadratu” ( $-2^2$ ). Jeśli sam zapisujesz potęgę liczby ujemnej, zawsze bierz ją w nawias — bez nawiasu zapis znaczy co innego, niż zamierzasz.

Gubienie znaku przy dłuższym iloczynie

Skąd się bierze: Przy czterech czy pięciu czynnikach uczeń przenosi minusy przez cały rachunek i gdzieś po drodze jeden ginie. Wynik ma dobrą wartość i zły znak — czyli jest błędny, a wygląda prawie dobrze, więc trudno go wyłapać przy sprawdzaniu.

Jak zrobić dobrze: Rozdziel zadanie na dwa niezależne: policz wartość bez żadnych minusów, a znak ustal osobno, licząc, ile minusów było. Parzyście — plus, nieparzyście — minus. Dwie proste czynności zamiast jednej zawiłej.

Traktowanie zera jako liczby ujemnej albo dodatniej

Skąd się bierze: W zadaniach typu „ile jest liczb ujemnych wśród podanych” zero bywa doliczane do jednej albo drugiej grupy. Zero nie jest ani dodatnie, ani ujemne — jest granicą między nimi. Pomyłka wraca też przy iloczynach: jeśli jednym z czynników jest zero, cały iloczyn wynosi zero niezależnie od tego, ile minusów stoi obok.

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj zero jako osobną kategorię. Przy iloczynie sprawdzaj je najpierw: gdy choć jeden czynnik to zero, odpowiedź brzmi zero i nie trzeba już liczyć znaków.

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — oś liczbowa

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 3 zadania z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.

Kolor pokazuje mechanizm odczytu z osi: zielona to wartość jednej działki, a czerwona to liczba działek, które pokonujemy. Gdy znasz jedną działkę, każdy punkt na osi liczy się jednym mnożeniem. W zadaniach o odległości kolor oddziela większą liczbę od mniejszej.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 5 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 5 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2022)1 pktśrednie

Na osi liczbowej zaznaczono punkty

P

R

S

. Odcinek

PS

jest podzielony na 8 równych części. Współrzędne punktów

P

R

podano na rysunku. Dokończ zdanie.
Współrzędna punktu

S

jest równa

Dane z rysunku — wersja tekstowa

Punkt	P	R	S
Kreska od początku	0	5	8
Współrzędna	−3	7	?

A. $10$
B. $11$
C. $13$
D. $15$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Najpierw liczymy wartość jednej działki — do tego potrzebujemy dwóch punktów o znanych współrzędnych.
Od $P$ do $R$ jest $\textcolor{#E0453A}{5}$ działek, a wartość rośnie z $-3$ do $7$ , czyli o $7 - (-3) = 10$ .
Jedna działka: $10 : \textcolor{#E0453A}{5} = \textcolor{#16A06A}{2}$ .
Teraz punkt $S$ — dzieli go od $P$ aż $\textcolor{#E0453A}{8}$ działek: $S = -3 + \textcolor{#E0453A}{8} \cdot \textcolor{#16A06A}{2} = -3 + 16 = 13$ .
Odpowiedź C.
Można też krócej, licząc od $R$ : od $R$ do $S$ zostają $\textcolor{#E0453A}{3}$ działki, więc $S = 7 + \textcolor{#E0453A}{3} \cdot \textcolor{#16A06A}{2} = 13$ ✓

💡 Wskazówka: Schemat na wszystkie zadania z osią: znajdź wartość jednej działki, licząc różnicę dwóch znanych punktów i dzieląc ją przez liczbę działek między nimi. Reszta to mnożenie.

⚠ Najczęstszy błąd: liczenie działek „na oko” albo pomylenie liczby kresek z liczbą odstępów. Między $P$ a $R$ jest 5 odstępów, choć kresek widać 6.

Zadanie 2 (czerwiec 2020)1 pktśrednie

Dokończ zdanie.
Na osi liczbowej między liczbami

\left(-\dfrac{2}{6}\right)

oraz

\left(-\dfrac{1}{6}\right)

znajduje się liczba

A. $-\dfrac{1}{4}$
B. $-\dfrac{1}{3}$
C. $-\dfrac{5}{12}$
D. $-\dfrac{1}{2}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Najwygodniej zamienić wszystko na ułamki dziesiętne — wtedy widać położenie na osi jak na dłoni.
Granice przedziału: $\textcolor{#16A06A}{-\dfrac{2}{6}} = \textcolor{#16A06A}{-0{,}33\ldots}$ oraz $\textcolor{#16A06A}{-\dfrac{1}{6}} = \textcolor{#16A06A}{-0{,}16\ldots}$
A. $-\dfrac14 = \textcolor{#E0453A}{-0{,}25}$ — leży między $\textcolor{#16A06A}{-0{,}33}$ a $\textcolor{#16A06A}{-0{,}17}$ ✓
B. $-\dfrac13 = -0{,}33\ldots$ — to dokładnie granica (bo $\tfrac13 = \tfrac26$ ), więc nie leży *między* ✗
C. $-\dfrac{5}{12} \approx -0{,}42$ — za daleko w lewo ✗ · D. $-\dfrac12 = -0{,}5$ — jeszcze dalej ✗
Odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Można też wszystko sprowadzić do mianownika 12: przedział to $\left(-\tfrac{4}{12}, -\tfrac{2}{12}\right)$ , a odpowiedzi to $-\tfrac{3}{12}$ , $-\tfrac{4}{12}$ , $-\tfrac{5}{12}$ , $-\tfrac{6}{12}$ . Od razu widać, że pasuje tylko $-\tfrac{3}{12}$ .

⚠ Najczęstszy błąd: wybór $-\tfrac13$ , bo „wygląda jak coś pomiędzy”. Po skróceniu $-\tfrac26 = -\tfrac13$ — to ta sama liczba co lewy koniec przedziału.

Zadanie 3 (kwiecień 2016, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Dokończ zdanie.
Odległość między punktami, które na osi liczbowej odpowiadają liczbom

-2{,}3

\dfrac{1}{3}

, jest równa

A. $-2{,}3 - \dfrac{1}{3}$
B. $2{,}3 - \dfrac{1}{3}$
C. $\dfrac{1}{3} - 2{,}3$
D. $\dfrac{1}{3} + 2{,}3$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Odległość na osi to zawsze większa liczba minus mniejsza — wynik musi wyjść dodatni.
Większa jest $\textcolor{#16A06A}{\dfrac13}$ (dodatnia), mniejsza $\textcolor{#E0453A}{-2{,}3}$ (ujemna).
Odległość $= \textcolor{#16A06A}{\dfrac13} - (\textcolor{#E0453A}{-2{,}3})$ , a odejmowanie liczby ujemnej to dodawanie:
$= \textcolor{#16A06A}{\dfrac13} + 2{,}3$ — odpowiedź D.
Sens na osi: punkty leżą po przeciwnych stronach zera, więc odległość to suma ich odległości od zera: $2{,}3$ w lewo i $\tfrac13$ w prawo.

💡 Wskazówka: Gdy dwie liczby leżą po przeciwnych stronach zera, ich odległość to suma wartości bezwzględnych. Gdy po tej samej stronie — różnica.

⚠ Najczęstsze błędy: odpowiedź C (odejmowanie w złej kolejności — wychodzi liczba ujemna, a odległość nie może być ujemna) oraz B (potraktowanie $-2{,}3$ jako $2{,}3$ i odjęcie zamiast dodania).

Zadanie 4 (kwiecień 2015, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Dokończ zdanie.
Na osi liczbowej liczba równa wartości wyrażenia

\left(1 - \dfrac{5}{6}\right) - 0{,}5

znajduje się między

A. $-1$ i $-0{,}5$
B. $-0{,}5$ i $0$
C. $0$ i $0{,}5$
D. $0{,}5$ i $1$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Najpierw liczymy nawias: $1 - \dfrac{5}{6} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{1}{6}}$ .
Teraz odejmujemy $0{,}5 = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{2}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{6}}$ .
$\textcolor{#16A06A}{\dfrac{1}{6}} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{6}} = -\dfrac{2}{6} = -\dfrac{1}{3}$ .
Zamieniamy na ułamek dziesiętny: $-\dfrac13 \approx -0{,}33$ .
Ta liczba leży między $-0{,}5$ a $0$ — odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Bez pełnego rachunku widać kierunek wyniku: nawias daje liczbę małą i dodatnią ( $\tfrac16$ ), a odejmujemy od niej $0{,}5$ — czyli więcej. Wynik musi być ujemny, ale niewielki. To już wskazuje przedział B.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie nawiasu jako $\tfrac56$ (czyli pominięcie odejmowania od jedynki) — wtedy wynik wychodzi dodatni i ląduje w przedziale C lub D.

Zadanie 5 (kwiecień 2012, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Dokończ zdanie tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe.
Odległość na osi liczbowej między największą i najmniejszą spośród liczb

\;0

\;\dfrac{3}{4}

\;-\dfrac{5}{2}

\;-2\;

jest równa

A. $1\dfrac{3}{4}$
B. $3\dfrac{1}{4}$
C. $2\dfrac{3}{4}$
D. $1\dfrac{1}{4}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Najpierw porządkujemy liczby. Zamieniamy na dziesiętne: $0$ , $\tfrac34 = 0{,}75$ , $-\tfrac52 = -2{,}5$ , $-2$ .
Rosnąco: $-2{,}5 < -2 < 0 < 0{,}75$ .
Największa to $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{3}{4}}$ , najmniejsza to $\textcolor{#E0453A}{-\dfrac{5}{2}}$ .
Odległość $= \textcolor{#16A06A}{\dfrac{3}{4}} - \left(\textcolor{#E0453A}{-\dfrac{5}{2}}\right) = \textcolor{#16A06A}{0{,}75} + \textcolor{#E0453A}{2{,}5} = 3{,}25$ .
Zamieniamy na liczbę mieszaną: $3{,}25 = 3\dfrac{1}{4}$ — odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Uwaga przy liczbach ujemnych: $-\tfrac52 = -2{,}5$ jest mniejsze od $-2$ , mimo że „wygląda na większe”. Im dalej w lewo na osi, tym mniejsza liczba.

⚠ Najczęstszy błąd: uznanie $-2$ za najmniejszą (bo $2 < 2{,}5$ „na oko”). Wtedy odległość wyszłaby $2\tfrac34$ — czyli kusząca odpowiedź C.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. C

2. A

3. D

4. B

5. B

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

8Pytania i odpowiedzi

Dlaczego minus razy minus daje plus?

Bo mnożenie musi być zgodne z dodawaniem. Gdy w iloczynie $n \cdot (-4)$ zmniejszamy $n$ o jeden, wynik za każdym razem rośnie o cztery: $-12$ , $-8$ , $-4$ , $0$ — i żeby ta prawidłowość się nie urwała, $(-1) \cdot (-4)$ musi wynosić $4$ . Obrazowo: mnożenie przez liczbę ujemną odwraca kierunek na osi, a odwrócenie dwa razy wraca do punktu wyjścia.

Jak mnożyć liczby ujemne?

Policz osobno wartość i osobno znak. Wartość — mnożysz tak, jakby minusów nie było. Znak — jednakowe znaki dają plus, różne dają minus. Przy kilku czynnikach liczy się parzystość: parzysta liczba minusów daje wynik dodatni, nieparzysta ujemny — pod warunkiem, że żaden czynnik nie jest zerem, bo wtedy iloczyn wynosi zero niezależnie od znaków.

Czy przy dzieleniu obowiązuje ta sama reguła znaków?

Tak, dokładnie ta sama — nie trzeba uczyć się jej drugi raz. $(-20) : (-5) = 4$ , a $(-20) : 5 = -4$ . Dochodzi tylko jedno ograniczenie, które nie ma nic wspólnego ze znakami: dzielić przez zero nie wolno.

Czy

(-3) + (-4)

7

Nie, to $-7$ . Reguła „dwa minusy dają plus” dotyczy mnożenia i dzielenia, a tu jest dodawanie. Trzy złote długu plus cztery złote długu to siedem złotych długu. Dodanie dwóch liczb ujemnych zawsze daje liczbę ujemną.

Czym różni się

(-2)^2

-2^2

Wynikiem i znaczeniem. $(-2)^2 = 4$ , bo do kwadratu podnosimy całą liczbę $-2$ . Natomiast $-2^2 = -4$ , bo potęgowana jest sama dwójka, a minus zostaje przed nią. Zapisując potęgę liczby ujemnej, zawsze bierz ją w nawias.

Czy zero jest liczbą ujemną?

Nie. Zero nie jest ani dodatnie, ani ujemne — jest granicą między jednymi a drugimi. W iloczynie zachowuje się wyjątkowo: jeśli choć jeden czynnik jest zerem, cały iloczyn wynosi zero, niezależnie od znaków pozostałych liczb.

Czytaj dalej

Liczby całkowiteHub działu: oś liczbowa, wartość bezwzględna, działania Dodawanie i odejmowanie liczb ujemnychDruga reguła znaków — ta, z którą najczęściej myli się tę stronę Wartość bezwzględnaOdległość od zera, czyli wartość liczby bez znaku Kolejność wykonywania działańNajpierw mnożenie, potem dodawanie — bez tego reguła znaków nie pomoże Liczby ujemne na egzaminie ósmoklasistyZadania z arkuszy CKE z rozwiązaniami krok po kroku

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.