Skąd bierze się wzór P = d^2/2?

Kwadrat jest rombem, a pole rombu to połowa iloczynu przekątnych. W kwadracie obie przekątne są równe, więc iloczyn to d · d = d^2. Można też patrzeć rysunkiem: kwadrat zajmuje połowę większego kwadratu zbudowanego na jego przekątnej.

Strona główna › Geometria › Pole kwadratu — z boku, z przekątnej i z obwodu

Pole kwadratu — z boku, z przekątnej i z obwodu

Q: Jak obliczyć pole kwadratu?

Pomnóż bok przez siebie: P = a^2. Dla boku 7 cm pole wynosi 49 cm². Wynik zawsze podaje się w jednostkach kwadratowych — cm², m², km² — bo pole obejmuje dwa wymiary naraz.

Q: Jak obliczyć pole kwadratu, znając przekątną?

Ze wzoru P = d^2/2: podnieś przekątną do kwadratu i podziel przez dwa. Dla przekątnej 14 cm pole wynosi 196/2 = 98 cm². Boku wyliczać nie trzeba — wzór działa wprost z przekątnej.

Q: Jak obliczyć pole kwadratu z obwodu?

Podziel obwód przez cztery, żeby dostać bok, i podnieś go do kwadratu: P = ≤ft(L/4 )^2. Dla obwodu 28 cm bok wynosi 7 cm, a pole 49 cm².

Q: Ile razy wzrośnie pole, jeśli bok kwadratu podwoimy?

Czterokrotnie, nie dwukrotnie. Bok 3 daje pole 9, a bok 6 — pole 36. Ogólnie: gdy bok rośnie k razy, pole rośnie k^2 razy, bo zależy od dwóch wymiarów naraz.

Q: Jak z pola wyliczyć bok kwadratu?

Pierwiastkiem kwadratowym: a = √(P). Dla pola 225 m² bok wynosi 15 m. Ten rachunek wymaga pierwiastkowania, więc pojawia się od klasy siódmej — wcześniej zadania podają pola liczb, których kwadrat da się odgadnąć.

Pole kwadratu to najprostszy wzór w całej geometrii — $P = a^2$ i koniec. Cała trudność zadań leży gdzie indziej: w tym, że bok prawie nigdy nie jest podany wprost. Dostajesz przekątną, obwód albo pole i pytanie o coś innego. Ta strona jest o tych trzech drogach; sama figura i jej własności mają własną stronę.

Dział: GeometriaPoziom: klasy 4–8Zadań z E8: 7

Przejdź od razu do zadań (7) ↓

1Wzór podstawowy i skąd się bierze

Kwadrat to prostokąt o równych bokach, więc wzór dziedziczy po prostokącie: bok razy bok.

P = a \cdot a = a^2

Nazwa „kwadrat” w potędze bierze się dokładnie stąd — $a^2$ czytamy „a do kwadratu”, bo to pole kwadratu o boku $a$ . To jedyny przypadek w szkolnej matematyce, gdzie nazwa działania pochodzi wprost od figury.

Dlaczego to naprawdę działa

Narysuj kwadrat o boku $4$ cm i podziel go kratką centymetrową. Powstanie $4$ rzędy po $4$ kratki, czyli $16$ kwadracików o boku $1$ cm.

Pole to nic innego niż liczba jednostkowych kwadracików, które mieszczą się w figurze. Mnożenie $4 \cdot 4$ jest tylko szybszym sposobem ich policzenia.

Stąd też biorą się jednostki kwadratowe: cm², m², km². Kwadracik ma bok $1$ cm, więc jego pole to $1$ cm².

Jednostka jest tu pierwszą kontrolą. Jeśli bok podano w centymetrach, pole musi wyjść w centymetrach kwadratowych. Odpowiedź „ $36$ cm” zamiast „ $36$ cm²” to strata punktu, nawet gdy liczba jest dobra.

2Trzy drogi do pola

Zadania podają jedną z trzech rzeczy. Każda prowadzi do pola innym, krótkim rachunkiem.

dane	wzór	przykład dla wyniku $P = 36$
bok $a$	$P = a^2$	$a = 6$
przekątna $d$	$P = \frac{d^2}{2}$	$d = 6\sqrt{2}$
obwód $L$	$P = \left(\frac{L}{4}\right)^2$	$L = 24$

Droga przez obwód nie wymaga osobnego wzoru — wystarczy pamiętać, że obwód kwadratu to cztery boki, więc bok to $\frac{L}{4}$ . Podzielić przez cztery, podnieść do kwadratu, gotowe.

Droga przez przekątną jest jedyną, która wymaga wyprowadzenia — i to ona odpowiada za większość błędów, więc ma niżej własną sekcję.

Nie licz boku, jeśli nie musisz

Mając przekątną $10$ cm, nie trzeba wyliczać boku ( $5\sqrt{2}$ cm), żeby dostać pole. Wzór $P = \frac{d^2}{2}$ daje $\frac{100}{2} = 50$ cm² jednym dzieleniem.

Wyliczanie boku po drodze wprowadza pierwiastek tam, gdzie go być nie musi — i właśnie na tym pierwiastku rachunki się psują.

Bok licz tylko wtedy, gdy zadanie o niego pyta.

3Pole z przekątnej — skąd ten wzór

Kwadrat jest rombem, a w rombie pole to połowa iloczynu przekątnych. Obie przekątne kwadratu są równe, więc:

P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{d \cdot d}{2} = \frac{d^2}{2}

Wzór można też zobaczyć bez rombu, samym rysunkiem. Kwadrat o przekątnej $d$ mieści się dokładnie w większym kwadracie o boku $d$ — wpisany w niego wierzchołkami w środki boków, czyli obrócony względem niego o $45^\circ$ — i zajmuje połowę jego pola.

Sprawdźmy zgodność obu dróg dla boku $6$ . Przekątna to $d = 6\sqrt{2}$ , więc $d^2 = 36 \cdot 2 = 72$ , a $\frac{72}{2} = 36$ — tyle samo co $6^2$ ✓

W drugą stronę wzór też działa: mając pole, przekątną wyliczamy jako $d = \sqrt{2P}$ . Dla $P = 50$ daje to $\sqrt{100} = 10$ .

Kolejność: najpierw kwadrat, potem dzielenie

We wzorze $\frac{d^2}{2}$ najpierw podnosimy przekątną do kwadratu, dopiero potem dzielimy przez dwa.

Odwrotna kolejność — $\left(\frac{d}{2}\right)^2$ — daje dla $d = 10$ wynik $25$ zamiast $50$ , czyli dwa razy za mało. To ta sama pułapka co przy polu pierścienia kołowego.

Zapamiętaj przez sens: $\frac{d}{2}$ to połowa przekątnej, a połowa przekątnej nie jest bokiem kwadratu.

4Jak zmiana boku zmienia pole

To pytanie wraca na egzaminie w postaci „ile razy większe” i wykłada więcej osób niż sam wzór.

Podwojenie boku nie podwaja pola — zwiększa je czterokrotnie. Bok jest w kwadracie, więc mnożnik też się podnosi do kwadratu.

bok	pole	ile razy większe od pierwszego
$3$	$9$	—
$6$ (dwa razy większy)	$36$	cztery razy
$9$ (trzy razy większy)	$81$	dziewięć razy
$12$ (cztery razy większy)	$144$	szesnaście razy

Reguła jest ogólna: gdy bok rośnie $k$ razy, pole rośnie $k^2$ razy. Działa też w drugą stronę — bok zmniejszony o połowę daje pole cztery razy mniejsze.

Ta sama zasada rządzi wszystkimi figurami płaskimi, nie tylko kwadratem: powiększenie figury dwukrotnie zawsze czterokrotnie zwiększa jej pole, bo pole zależy od dwóch wymiarów naraz.

Praktyczna konsekwencja przy jednostkach: metr to $100$ centymetrów, więc metr kwadratowy to $100^2 = 10\,000$ centymetrów kwadratowych, a nie $100$ . To najczęstszy błąd w zamianie jednostek pola i bierze się dokładnie z tej samej reguły.

5Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: obwód jako droga do pola, przekątna i rachunek odwrotny.

Przykład 1 Pole z obwodu

Obwód kwadratu wynosi $28$ cm. Oblicz jego pole.

Obwód kwadratu to cztery jednakowe boki, więc bok wyliczam dzieleniem: $a = \frac{28}{4} = 7$ cm.
Pole: $P = a^2 = 7^2 = 49$ cm².
Kontrola wstecz: bok $7$ daje obwód $4 \cdot 7 = 28$ cm ✓
Kontrola jednostki: bok w centymetrach, więc pole w centymetrach kwadratowych ✓
Kontrola sensu: pole liczbowo wyszło większe od obwodu, co przy boku dłuższym niż $4$ jest normalne — dla boku $4$ obie liczby są równe ( $16$ i $16$ ).

Odpowiedź: $P = 49$ cm²

Ostatnia kontrola to ciekawostka warta zapamiętania: kwadrat o boku $4$ ma pole i obwód wyrażone tą samą liczbą. Nie znaczy to, że są sobie równe — mają różne jednostki, więc porównywać ich nie wolno.

Przykład 2 Pole z przekątnej

Przekątna kwadratu ma $14$ cm. Oblicz pole tego kwadratu.

Mam przekątną, więc korzystam ze wzoru $P = \frac{d^2}{2}$ — bok nie będzie potrzebny.
Najpierw kwadrat przekątnej: $14^2 = 196$ .
Potem dzielenie: $P = \frac{196}{2} = 98$ cm².
Kontrola błędnej drogi: gdyby ktoś policzył $\left(\frac{14}{2}\right)^2 = 7^2 = 49$ , dostałby dokładnie połowę poprawnego wyniku — to najczęstsza pomyłka w tym wzorze.
Kontrola sensu: kwadrat o przekątnej $14$ ma bok krótszy od $14$ , ale dłuższy od $7$ (połowy przekątnej). Pole musi więc leżeć między $49$ a $196$ — i $98$ leży ✓

Odpowiedź: $P = 98$ cm²

Kontrola przedziałem z ostatniego kroku działa dla każdej przekątnej: pole kwadratu jest zawsze większe od $\left(\frac{d}{2}\right)^2$ i mniejsze od $d^2$ . Wyłapuje obie pomyłki naraz — i tę z kolejnością, i tę z pominiętym dzieleniem.

Przykład 3 Rachunek odwrotny — z pola do boku i przekątnej

Kwadratowa działka ma pole $225$ m². Oblicz jej bok, obwód i przekątną.

Ze wzoru $P = a^2$ wyznaczam bok pierwiastkowaniem: $a = \sqrt{225} = 15$ m.
Obwód: $4 \cdot 15 = 60$ m.
Przekątną liczę wzorem $d = a\sqrt{2} = 15\sqrt{2}$ m i w tej postaci ją zostawiam.
Kontrola przekątnej drugim wzorem: $d = \sqrt{2P} = \sqrt{450}$ , a $\sqrt{450} = \sqrt{225 \cdot 2} = 15\sqrt{2}$ ✓ — ten sam wynik dwiema drogami.
Kontrola boku: $15^2 = 225$ ✓
Kontrola sensu: przekątna musi być dłuższa od boku, ale krótsza od dwóch boków — $15 < 21{,}21 < 30$ ✓

Odpowiedź: Bok $15$ m, obwód $60$ m, przekątna $15\sqrt{2}$ m

Wyznaczenie boku z pola wymaga pierwiastka kwadratowego, więc ten typ zadania pojawia się dopiero w klasie siódmej. W klasach młodszych zadania podają pole będące kwadratem liczby, którą da się odgadnąć — jak tutaj $225 = 15^2$ .

6Najczęstsze błędy

Cztery błędy — dwa pierwsze dotyczą przekątnej, dwa pozostałe jednostek i danych.

Dzielenie przekątnej przed podniesieniem do kwadratu

Skąd się bierze: Zapis $\textcolor{#9b1c14}{P = \left(\frac{14}{2}\right)^2 = 49}$ zamiast $\frac{14^2}{2} = 98$ daje wynik dwa razy za mały. Bierze się z odczytania wzoru $\frac{d^2}{2}$ jako „połowa przekątnej do kwadratu”, choć dwójka stoi pod całym $d^2$ .

Jak zrobić dobrze: Czytaj wzór po kolei: najpierw kwadrat, potem dzielenie. Pomaga też sens — połowa przekątnej nie jest bokiem kwadratu, więc jej kwadrat nie może być polem.

Podstawienie przekątnej do wzoru $P = a^2$

Skąd się bierze: Zadanie podaje przekątną $10$ cm, uczeń liczy $\textcolor{#9b1c14}{P = 10^2 = 100}$ zamiast $50$ — wynik dwa razy za duży. Litera we wzorze oznacza bok, a przekątna jest od boku dłuższa.

Jak zrobić dobrze: Zanim podstawisz, nazwij liczbę: „to jest przekątna”. Dla przekątnej istnieje własny wzór $P = \frac{d^2}{2}$ — użyj go, zamiast wliczać przekątną do wzoru z bokiem.

Zamiana jednostek pola przelicznikiem długości

Skąd się bierze: Pole $5$ m² zamienione na centymetry kwadratowe przez pomnożenie przez $100$ daje $\textcolor{#9b1c14}{500}$ cm² zamiast $50\,000$ cm². Przelicznik trzeba podnieść do kwadratu, bo pole obejmuje dwa wymiary naraz.

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj trzy przeliczniki: $1$ m² $= 10\,000$ cm², $1$ km² $= 1\,000\,000$ m², $1$ ar $= 100$ m². Każdy z nich to kwadrat przelicznika długości.

„Podwojenie boku podwaja pole”

Skąd się bierze: Kwadrat o boku $6$ ma pole $36$ , a o boku $3$ — pole $9$ . Podwojenie boku dało pole czterokrotnie, nie dwukrotnie większe. Odpowiedź „dwa razy” pojawia się w zadaniach typu „ile razy większe” niemal odruchowo.

Jak zrobić dobrze: Gdy bok rośnie $k$ razy, pole rośnie $k^2$ razy. Przy wątpliwości policz oba pola na konkretnych liczbach — to zajmuje pięć sekund i rozstrzyga bez wzorów.

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — pola figur

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 1 zadanie z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.

Kolor rozdziela dwa składniki każdego wzoru na pole: zielona to podstawa (albo bok, albo przekątna), a czerwona to wysokość — czyli to, co do niej prostopadłe. Największa liczba błędów w tym dziale bierze się z pomylenia wysokości z ramieniem albo z bokiem ukośnym, dlatego warto śledzić czerwoną liczbę.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2026)1 pktśrednie

Przekątna

AD

dzieli pięciokąt

ABCDE

na trójkąt

ADE

(u góry) i kwadrat

ABCD

(u dołu). Pole trójkąta

ADE

jest równe 28, a wysokość poprowadzona z wierzchołka

E

na bok

AD

jest równa 7. Pole kwadratu

ABCD

jest równe

A. $16$
B. $32$
C. $49$
D. $64$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Odcinek $AD$ jest jednocześnie podstawą trójkąta i bokiem kwadratu — to on łączy obie figury.
Ze wzoru na pole trójkąta: $28 = \tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{AD} \cdot \textcolor{#E0453A}{7}$ .
Stąd $\textcolor{#16A06A}{AD} \cdot \textcolor{#E0453A}{7} = 56$ , czyli $\textcolor{#16A06A}{AD} = 8$ .
Kwadrat ma więc bok $\textcolor{#16A06A}{8}$ , a jego pole: $\textcolor{#16A06A}{8}^2 = 64$ .
Odpowiedź D.

💡 Wskazówka: W figurach złożonych zawsze szukaj odcinka wspólnego dla obu części — to on przenosi informację z jednej figury do drugiej.

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie $28 : 7 = 4$ i przyjęcie tego za bok kwadratu (odpowiedź A). We wzorze na pole trójkąta jest jeszcze mnożenie przez $\tfrac12$ — trzeba je cofnąć.

Zadanie 2 (czerwiec 2025)1 pktśrednie

Dane są dwie figury: kwadrat

K

i romb

R

. Długość boku kwadratu

K

jest równa 8. Iloczyn długości przekątnych rombu

R

jest równy 64. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Pole rombu $R$ jest równe 32.	P	F
Pole kwadratu $K$ jest równe polu rombu $R$ .	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, F

Wzór na pole rombu z przekątnych: $P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{e} \cdot \textcolor{#16A06A}{f}}{2}$ , gdzie $\textcolor{#16A06A}{e}$ i $\textcolor{#16A06A}{f}$ to przekątne.
Zdanie 1. Znamy iloczyn przekątnych: $\textcolor{#16A06A}{e} \cdot \textcolor{#16A06A}{f} = 64$ , więc $P_R = \dfrac{64}{2} = 32$ ✓ — prawda.
Zwróć uwagę, że nie musimy znać długości poszczególnych przekątnych — wystarczy ich iloczyn.
Zdanie 2. Pole kwadratu: $8^2 = 64$ . Pole rombu: $32$ .
$64 \ne 32$ — pola nie są równe — fałsz.
Odpowiedzi: P, F.

💡 Wskazówka: Wzór z przekątnymi działa dla każdego czworokąta o przekątnych prostopadłych — rombu, kwadratu, latawca (deltoidu).

⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 2: przyjęcie, że skoro romb ma boki równe (jak kwadrat), to i pole ma takie samo. Romb o boku 8 może mieć pole od prawie zera do 64 — zależy od kątów.

Zadanie 3 (grudzień 2024)1 pktśrednie

Prostokąt

ABCD

podzielono prostą

EF

na kwadrat

AEFD

(z lewej) i prostokąt

EBCF

(z prawej). Obwód prostokąta

EBCF

jest równy 36 cm, a długość boku

EB

jest równa 10 cm. Pole kwadratu

AEFD

jest równe

A. $8$ cm²
B. $16$ cm²
C. $32$ cm²
D. $64$ cm²

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Krok 1 — wysokość prostokąta. Prostokąt $EBCF$ ma boki $\textcolor{#16A06A}{10}$ cm (poziomy) i $\textcolor{#E0453A}{h}$ cm (pionowy).
Z obwodu: $2 \cdot (\textcolor{#16A06A}{10} + \textcolor{#E0453A}{h}) = 36$ , czyli $\textcolor{#16A06A}{10} + \textcolor{#E0453A}{h} = 18$ , więc $\textcolor{#E0453A}{h} = 8$ cm.
Krok 2 — bok kwadratu. Wysokość $\textcolor{#E0453A}{8}$ cm jest wspólna dla całego prostokąta $ABCD$ , a więc również dla kwadratu $AEFD$ .
Skoro $AEFD$ jest kwadratem, jego wszystkie boki mają po $\textcolor{#E0453A}{8}$ cm.
Pole: $\textcolor{#E0453A}{8}^2 = 64$ cm² — odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Kluczowa obserwacja: obie części mają tę samą wysokość, bo powstały z jednego prostokąta przecięcia pionową prostą. To wysokość przenosi informację między nimi.

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie obwodu przez 4 (jak dla kwadratu) — wychodzi 9, a potem $81$ . Obwód dotyczy prostokąta $EBCF$ , a nie kwadratu.

Zadanie 4 (maj 2023)1 pkttrudniejsze

Dane są trzy figury: kwadrat

F_1

o boku 5 cm, kwadrat

F_2

o boku 3 cm i prostokąt

F_3

o bokach 3 cm i 5 cm. Czy z figur

F_1

F_2

F_3

można ułożyć — bez rozcinania — kwadrat

K

o polu 49 cm²?

A	Tak,	ponieważ	1.	suma obwodów figur $F_2$ i $F_3$ jest równa obwodowi kwadratu $K$ .

			2.	suma pól figur $F_1$ , $F_2$ i $F_3$ jest równa 49 cm².
B	Nie,
			3.	suma długości dowolnych boków figur $F_1$ , $F_2$ i $F_3$ nie jest równa 7 cm.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, 3

Sprawdźmy najpierw pola. $F_1$ : $\textcolor{#16A06A}{25}$ cm², $F_2$ : $\textcolor{#16A06A}{9}$ cm², $F_3$ : $\textcolor{#16A06A}{15}$ cm². Razem $\textcolor{#16A06A}{49}$ cm² — dokładnie tyle, ile ma mieć kwadrat $K$ .
Zgodność pól to warunek konieczny, ale niewystarczający — trzeba jeszcze sprawdzić, czy kawałki fizycznie się złożą.
Kwadrat $K$ ma bok $\textcolor{#E0453A}{7}$ cm (bo $\textcolor{#E0453A}{7}^2 = 49$ ). Żeby ułożyć jego bok, musimy poskładać boki naszych figur.
Dostępne długości boków to $5$ , $3$ , $3$ , $5$ . Sprawdzamy możliwe sumy: $5 + 3 = 8$ , $3 + 3 = 6$ , $5 + 5 = 10$ — żadna nie daje $\textcolor{#E0453A}{7}$ .
Nie da się więc utworzyć boku kwadratu, a bez rozcinania figur nie ma innej możliwości.
Odpowiedź: B, 3 — nie można ułożyć, bo z dostępnych boków nie złożymy odcinka długości $\textcolor{#E0453A}{7}$ cm.

💡 Wskazówka: Uzasadnienie 2. jest prawdziwym zdaniem, ale prowadzi do błędnej odpowiedzi — zgodność pól nie gwarantuje, że układanka się uda. To klasyczna pułapka „prawdziwa przesłanka, zły wniosek”.

⚠ Najczęstszy błąd: wybór A z uzasadnieniem 2. Zgodność pól sprawdza się szybko i wygląda przekonująco, ale trzeba jeszcze pomyśleć o wymiarach.

Zadanie 5 (czerwiec 2021)1 pktśrednie

Na krótszym boku prostokąta zbudowano trójkąt równoboczny o obwodzie 18 cm, a na dłuższym boku prostokąta zbudowano kwadrat o polu 64 cm². Oceń prawdziwość podanych zdań.

Pole prostokąta jest o 16 cm² mniejsze od pola kwadratu powstałego na dłuższym boku prostokąta.	P	F
Obwód prostokąta jest o 10 cm dłuższy od obwodu trójkąta równobocznego zbudowanego na krótszym boku prostokąta.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Krok 1 — boki prostokąta. Trójkąt równoboczny ma obwód 18 cm, więc jego bok to $18 : 3 = \textcolor{#16A06A}{6}$ cm — i tyle wynosi krótszy bok prostokąta.
Kwadrat ma pole 64 cm², więc jego bok to $\sqrt{64} = \textcolor{#16A06A}{8}$ cm — to dłuższy bok prostokąta.
Zdanie 1. Pole prostokąta: $\textcolor{#16A06A}{6} \cdot \textcolor{#16A06A}{8} = 48$ cm². Pole kwadratu: $64$ cm².
Różnica: $64 - 48 = 16$ cm² ✓ — prawda.
Zdanie 2. Obwód prostokąta: $2 \cdot (\textcolor{#16A06A}{6} + \textcolor{#16A06A}{8}) = \textcolor{#E0453A}{28}$ cm. Obwód trójkąta: $\textcolor{#E0453A}{18}$ cm.
Różnica: $\textcolor{#E0453A}{28} - \textcolor{#E0453A}{18} = 10$ cm ✓ — prawda.
Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Zadanie sprowadza się do jednego kroku: wyznacz oba boki prostokąta z informacji o figurach zbudowanych na nich. Reszta to zwykłe wzory.

⚠ Najczęstszy błąd: pomylenie, na którym boku stoi która figura. Trójkąt jest na krótszym boku, kwadrat na dłuższym — zamiana daje prostokąt $8 \times 6$ … akurat ten sam, ale w innych zadaniach byłby to poważny błąd.

Zadanie 6 (kwiecień 2016, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Punkty

E

F

są środkami boków

BC

CD

kwadratu

ABCD

(przyjmij oznaczenia:

A

lewy dolny,

B

prawy dolny,

C

prawy górny,

D

lewy górny). Oceń prawdziwość podanych zdań.

Pole trójkąta $FEC$ stanowi $\dfrac{1}{8}$ pola kwadratu $ABCD$ .	P	F
Pole czworokąta $DBEF$ stanowi $\dfrac{3}{8}$ pola kwadratu $ABCD$ .	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Oznaczmy bok kwadratu przez $\textcolor{#16A06A}{a}$ , więc pole kwadratu to $\textcolor{#16A06A}{a}^2$ .
Zdanie 1 — trójkąt $FEC$ . Jest prostokątny (kąt prosty przy $C$ ), a jego przyprostokątne to połowy boków: $FC = \textcolor{#E0453A}{\tfrac{a}{2}}$ i $EC = \textcolor{#E0453A}{\tfrac{a}{2}}$ .
$P_{FEC} = \tfrac12 \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac{a}{2}} \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac{a}{2}} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{a}^2}{8}$ — czyli $\tfrac18$ pola kwadratu ✓ — prawda.
Zdanie 2 — czworokąt $DBEF$ . Najłatwiej policzyć go jako kwadrat minus dwa trójkąty.
Odcinamy trójkąt $FEC$ (pole $\tfrac18 \textcolor{#16A06A}{a}^2$ ) oraz trójkąt $ABD$ — połowę kwadratu odciętą przekątną $DB$ , o polu $\tfrac12 \textcolor{#16A06A}{a}^2$ .
$P_{DBEF} = \textcolor{#16A06A}{a}^2 - \tfrac12 \textcolor{#16A06A}{a}^2 - \tfrac18 \textcolor{#16A06A}{a}^2 = \tfrac{8 - 4 - 1}{8}\textcolor{#16A06A}{a}^2 = \tfrac38 \textcolor{#16A06A}{a}^2$ ✓ — prawda.
Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Pole figury o dziwnym kształcie prawie zawsze najłatwiej policzyć jako całość minus kawałki, a nie bezpośrednio. Warto wcześniej podstawić konkretny bok (np. $a = 4$ ), żeby rachunki były na liczbach.

⚠ Najczęstszy błąd: próba liczenia pola czworokąta $DBEF$ wprost, przez dzielenie go na trójkąty. Da się, ale rachunki są znacznie dłuższe i łatwo o pomyłkę.

Zadania otwarte

Zadanie 7 (czerwiec 2019)3 pkttrudniejsze

Przedstawione na rysunku trójkąt prostokątny równoramienny (o przeciwprostokątnej

6\sqrt{2}

) oraz kwadrat (o boku

x

) mają równe pola. Oblicz obwód kwadratu. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 12√2

Krok 1 — przyprostokątne trójkąta. W trójkącie prostokątnym równoramiennym przeciwprostokątna jest $\sqrt2$ razy dłuższa od przyprostokątnej.
Skoro przeciwprostokątna to $\textcolor{#16A06A}{6\sqrt2}$ , przyprostokątna wynosi $\textcolor{#16A06A}{6\sqrt2} : \sqrt2 = \textcolor{#16A06A}{6}$ .
Krok 2 — pole trójkąta. $P = \tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{6} \cdot \textcolor{#16A06A}{6} = \textcolor{#E0453A}{18}$ .
Krok 3 — bok kwadratu. Pola są równe, więc $x^2 = \textcolor{#E0453A}{18}$ , czyli $x = \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt2$ .
Krok 4 — obwód. $4x = 4 \cdot 3\sqrt2 = 12\sqrt2$ .
Odpowiedź: obwód kwadratu wynosi $12\sqrt2$ .

💡 Wskazówka: Wyłączanie czynnika: $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt2$ . Szukamy pod pierwiastkiem największego kwadratu doskonałego — tutaj dziewiątki.

⚠ Najczęstszy błąd: potraktowanie $6\sqrt2$ jako przyprostokątnej. Wtedy pole wyszłoby $36$ , a obwód $24$ — bez pierwiastka, co przy takim zadaniu powinno zwrócić uwagę.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. D	2. P, F	3. D	4. B, 3	5. P, P	6. P, P
7. 12√2

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

7Pytania i odpowiedzi

Jak obliczyć pole kwadratu?

Pomnóż bok przez siebie: $P = a^2$ . Dla boku $7$ cm pole wynosi $49$ cm². Wynik zawsze podaje się w jednostkach kwadratowych — cm², m², km² — bo pole obejmuje dwa wymiary naraz.

Jak obliczyć pole kwadratu, znając przekątną?

Ze wzoru $P = \frac{d^2}{2}$ : podnieś przekątną do kwadratu i podziel przez dwa. Dla przekątnej $14$ cm pole wynosi $\frac{196}{2} = 98$ cm². Boku wyliczać nie trzeba — wzór działa wprost z przekątnej.

Skąd bierze się wzór

P = \frac{d^2}{2}

Kwadrat jest rombem, a pole rombu to połowa iloczynu przekątnych. W kwadracie obie przekątne są równe, więc iloczyn to $d \cdot d = d^2$ . Można też patrzeć rysunkiem: kwadrat zajmuje połowę większego kwadratu zbudowanego na jego przekątnej.

Jak obliczyć pole kwadratu z obwodu?

Podziel obwód przez cztery, żeby dostać bok, i podnieś go do kwadratu: $P = \left(\frac{L}{4}\right)^2$ . Dla obwodu $28$ cm bok wynosi $7$ cm, a pole $49$ cm².

Ile razy wzrośnie pole, jeśli bok kwadratu podwoimy?

Czterokrotnie, nie dwukrotnie. Bok $3$ daje pole $9$ , a bok $6$ — pole $36$ . Ogólnie: gdy bok rośnie $k$ razy, pole rośnie $k^2$ razy, bo zależy od dwóch wymiarów naraz.

Jak z pola wyliczyć bok kwadratu?

Pierwiastkiem kwadratowym: $a = \sqrt{P}$ . Dla pola $225$ m² bok wynosi $15$ m. Ten rachunek wymaga pierwiastkowania, więc pojawia się od klasy siódmej — wcześniej zadania podają pola liczb, których kwadrat da się odgadnąć.

Czytaj dalej

Kwadrat — własności figuryPrzekątna, symetrie i miejsce wśród czworokątów Pola figurWzory na pola pozostałych figur płaskich Pole rombuStąd bierze się wzór z przekątną — kwadrat jest rombem PotęgiDlaczego $a^2$ czyta się „a do kwadratu”Obwody figurDroga od obwodu do boku i z powrotem

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.