Strona główna › Funkcje › Monotoniczność funkcji liniowej

Monotoniczność funkcji liniowej

O tym, czy funkcja liniowa rośnie, czy maleje, decyduje jedna liczba — współczynnik przy xx. Cała trudność zadań maturalnych polega na tym, że tej liczby zwykle nie widać wprost: siedzi w niej parametr, a wzór trzeba najpierw uporządkować. Ta strona jest o warunku na parametr i o konsekwencjach monotoniczności, których uczniowie zwykle nie kojarzą — o zbiorze wartości i o wartości największej.

Dział: FunkcjePoziom: liceum — zakres podstawowyZadań z matury: 13

Przejdź od razu do zadań (13) ↓

1Warunek w jednej linijce

Dla funkcji f(x)=ax+bf(x) = ax + b obowiązuje reguła bez wyjątków:

współczynnikfunkcja jestwykres
a>0a > 0rosnącaprosta idąca w prawo do góry
a<0a < 0malejącaprosta idąca w prawo w dół
a=0a = 0stałaprosta pozioma

Wyraz wolny bb nie ma z monotonicznością nic wspólnego. Przesuwa prostą w górę lub w dół, ale nie zmienia jej nachylenia — a to nachylenie decyduje o kierunku.

Warto zauważyć, że funkcja liniowa o niezerowym współczynniku jest monotoniczna w całej dziedzinie, a nie przedziałami — przy a=0a = 0 nie jest monotoniczna wcale, bo funkcja stała nie jest ani rosnąca, ani malejąca. To ją odróżnia od większości funkcji ze szkoły średniej: parabola zmienia kierunek w wierzchołku, hiperbola ma dwie osobne gałęzie, a prosta biegnie w jedną stronę od nieskończoności do nieskończoności.

Dlaczego znak aa w ogóle o czymś decyduje

Weźmy dwa argumenty x1<x2x_1 < x_2. Różnica wartości wynosi f(x2)−f(x1)=a(x2−x1)f(x_2) - f(x_1) = a(x_2 - x_1).

Nawias jest dodatni, bo x2x_2 jest większy. O znaku całości decyduje więc wyłącznie aa.

Stąd reguła z tabeli — nie jest umową do zapamiętania, tylko jednolinijkowym rachunkiem.

2Parametr we współczynniku

Typowe zadanie brzmi: *dla jakich wartości mm funkcja f(x)=(m−3)x+5f(x) = (m - 3)x + 5 jest rosnąca?* Schemat postępowania ma trzy kroki i tylko pierwszy bywa pomijany.

  1. Uporządkuj wzór tak, żeby był widoczny cały współczynnik przy xx. Jeśli wzór ma nawiasy albo xx występuje w dwóch miejscach, najpierw je zredukuj.
  2. Zapisz warunek jako nierówność: rosnąca to współczynnik >0> 0, malejąca to <0< 0.
  3. Rozwiąż nierówność względem parametru.

Krok pierwszy decyduje o wyniku w zadaniach, w których xx pojawia się po obu stronach albo w nawiasie. Wzór f(x)=2(x−m)+mxf(x) = 2(x - m) + mx ma współczynnik 2+m2 + m, a nie 22 ani mm — i to jego trzeba badać.

Warto zapamiętać, że odpowiedzią jest zbiór, nie pojedyncza liczba. Warunek na monotoniczność jest nierównością, więc rozwiązań jest zwykle nieskończenie wiele. Najczęściej wychodzi jeden przedział, ale gdy parametr stoi w kwadracie, zbiór bywa sumą dwóch: dla f(x)=(m2−4)x+2f(x) = (m^2 - 4)x + 2 warunek malenia daje m∈(−2,2)m \in (-2, 2), a warunek wzrostu — m∈(−∞,−2)∪(2,+∞)m \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty). Pojedyncza liczba pojawia się tylko przy warunku „funkcja jest stała”, bo tam mamy równanie.

Trzy warunki, trzy rodzaje odpowiedzi

rosnąca → nierówność ostra a>0a > 0 → zbiór otwarty, zwykle przedział,

malejąca → nierówność ostra a<0a < 0 → zbiór otwarty, zwykle przedział,

stała → równanie a=0a = 0 → jedna liczba.

Jeśli w zadaniu o funkcji rosnącej wyszła jedna liczba, gdzieś zamiast nierówności rozwiązane zostało równanie.

Samo rozwiązywanie takich nierówności opisuję razem z wyznaczaniem miejsca zerowego z parametrem — technika jest ta sama, zmienia się tylko warunek, który zapisujemy.

3Zbiór wartości i wartość największa

To jest konsekwencja monotoniczności, o którą zadania pytają częściej, niż się wydaje — i najczęściej podchwytliwie.

Funkcja liniowa o niezerowym współczynniku przyjmuje wszystkie wartości rzeczywiste. Zbiorem wartości jest cały zbiór R\mathbb{R}, bo prosta ukośna wznosi się i opada bez ograniczeń.

Wynika stąd rzecz, która brzmi zaskakująco: taka funkcja nie ma ani wartości największej, ani najmniejszej. Dla dowolnej liczby zawsze znajdzie się argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość większą.

a≠0⟹ZW=Ri brak wartosˊci skrajnycha \neq 0 \quad \Longrightarrow \quad ZW = \mathbb{R} \quad \text{i brak wartości skrajnych}

Kiedy więc funkcja liniowa ma wartość najmniejszą na całej prostej? Dokładnie wtedy, gdy jest stała. Wtedy przyjmuje jedną jedyną wartość bb — i ta wartość jest zarazem największa i najmniejsza.

To dlatego zadanie o treści „funkcja f(x)=(a−1)x+3f(x) = (a-1)x + 3 osiąga wartość najmniejszą równą 33” nie jest zadaniem o wartościach, tylko o monotoniczności: warunek zmusza współczynnik do bycia zerem.

Uwaga na sformułowanie z przedziałem. W przedziale domkniętym funkcja liniowa wartości skrajne ma zawsze — przyjmuje je na końcach przedziału, a który koniec daje większą wartość, rozstrzyga właśnie znak aa. Więcej o odczytywaniu takich wartości piszę tutaj.

4Monotoniczność a znak funkcji

Te dwie rzeczy mylą się regularnie, bo obie opisuje się słowami o „dodatnim” i „ujemnym”.

Funkcja f(x)=2x−100f(x) = 2x - 100 jest rosnąca, a mimo to dla wszystkich argumentów mniejszych od 5050 przyjmuje wartości ujemne. „Rośnie” nie znaczy „jest dodatnia”, tak samo jak „maleje” nie znaczy „jest ujemna”.

Zadania typu prawda–fałsz lubią zestawiać oba pojęcia w jednym zdaniu. Praktyczna rada: przy każdym takim zdaniu sprawdź, o czym ono mówi — o kierunku czy o położeniu — i użyj właściwego kryterium.

Trzecia rzecz, którą warto trzymać osobno, to nachylenie. Współczynnik 33 i współczynnik 15\frac{1}{5} dają obie funkcje rosnące; pierwsza rośnie szybciej, ale to nie czyni jej „bardziej rosnącą”. Monotoniczność jest cechą zero-jedynkową, tempo wzrostu — osobną informacją.

5Przykłady krok po kroku

Cztery zadania: prosty warunek z parametrem, wzór wymagający uporządkowania, warunek na funkcję stałą i ocena zdań prawda–fałsz.

Przykład 1 Warunek na funkcję rosnącą

Dla jakich wartości mm funkcja f(x)=(m−3)x+5f(x) = (m - 3)x + 5 jest rosnąca?

  1. Współczynnik przy xx to m−3m - 3.
  2. Funkcja rosnąca oznacza warunek m−3>0m - 3 > 0.
  3. m>3m > 3.
  4. Kontrola: dla m=4m = 4 wzór to f(x)=x+5f(x) = x + 5 — rzeczywiście rosnąca ✓
  5. Kontrola drugiej strony: dla m=3m = 3 wzór to f(x)=5f(x) = 5, czyli funkcja stała, a nie rosnąca — dlatego nierówność jest ostra ✓

Odpowiedź: m>3m > 3, czyli m∈(3,+∞)m \in (3, +\infty)

Sprawdzenie wartości granicznej m=3m = 3 jest wartościowe: pokazuje, dlaczego nawias musi być otwarty. Funkcja stała nie jest rosnąca ani malejąca.

Przykład 2 Wzór do uporządkowania

Dla jakich wartości mm funkcja f(x)=2(x−m)+mxf(x) = 2(x - m) + mx jest malejąca?

  1. Rozwijam nawias: f(x)=2x−2m+mxf(x) = 2x - 2m + mx.
  2. Grupuję wyrazy z xx: f(x)=(2+m)x−2mf(x) = (2 + m)x - 2m.
  3. Współczynnikiem przy xx jest 2+m2 + m, a −2m-2m to wyraz wolny.
  4. Warunek malenia: 2+m<02 + m < 0, czyli m<−2m < -2.
  5. Kontrola: dla m=−5m = -5 wzór to f(x)=−3x+10f(x) = -3x + 10 — malejąca ✓
  6. Kontrola granicy: dla m=−2m = -2 wzór to f(x)=4f(x) = 4, czyli funkcja stała ✓

Odpowiedź: m<−2m < -2, czyli m∈(−∞,−2)m \in (-\infty, -2)

Uporządkowanie wzoru było tu całym zadaniem. Badanie samego mm albo samej dwójki dałoby zupełnie inną odpowiedź, mimo poprawnie zapisanego warunku.

Przykład 3 Wartość najmniejsza — ukryty warunek na stałość

Funkcja liniowa f(x)=(a−1)x+3f(x) = (a - 1)x + 3 osiąga wartość najmniejszą równą 33. Wyznacz aa.

  1. Funkcja liniowa o niezerowym współczynniku przyjmuje wszystkie wartości rzeczywiste, więc nie ma wartości najmniejszej.
  2. Skoro treść mówi, że wartość najmniejsza istnieje, współczynnik musi być zerem: a−1=0a - 1 = 0.
  3. a=1a = 1.
  4. Sprawdzam: dla a=1a = 1 wzór to f(x)=3f(x) = 3 — funkcja stała, której jedyną wartością jest 33 ✓
  5. Kontrola przeciwna: dla a=2a = 2 mamy f(x)=x+3f(x) = x + 3, a wtedy f(−100)=−97<3f(-100) = -97 < 3, więc trójka nie byłaby najmniejsza ✓

Odpowiedź: a=1a = 1

To zadanie sprawdza rozumienie, a nie rachunek. Kto szuka wierzchołka albo liczy pochodną, szuka czegoś, czego przy prostej nie ma.

Przykład 4 Ocena zdań prawda–fałsz

Dana jest funkcja f(x)=−16x+23f(x) = -\frac{1}{6}x + \frac{2}{3}. Oceń: (I) funkcja jest malejąca; (II) funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla każdego argumentu ujemnego.

  1. Zdanie (I): współczynnik przy xx wynosi −16-\frac{1}{6}, czyli jest ujemny — funkcja maleje. Prawda.
  2. Zdanie (II) dotyczy znaku, więc liczę miejsce zerowe: −16x+23=0-\frac{1}{6}x + \frac{2}{3} = 0.
  3. 23=16x\frac{2}{3} = \frac{1}{6}x, czyli x=4x = 4.
  4. Funkcja maleje, a zeruje się w czwórce — więc dla x<4x < 4 wartości są dodatnie.
  5. Każdy argument ujemny jest mniejszy od 44, więc daje wartość dodatnią. Prawda.
  6. Kontrola liczbą: f(−6)=1+23=53>0f(-6) = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3} > 0 ✓

Odpowiedź: (I) prawda, (II) prawda

Oba zdania dotyczą tej samej funkcji, ale różnych jej cech: pierwsze kierunku, drugie położenia względem osi. Do pierwszego wystarczy spojrzeć na współczynnik, do drugiego trzeba policzyć miejsce zerowe.

6Najczęstsze błędy

Dwa pierwsze błędy dotyczą wyznaczania współczynnika, trzy kolejne — wniosków z monotoniczności.

Badanie parametru zamiast całego współczynnika przy xx.

Skąd się bierze: We wzorze f(x)=(m−3)x+5f(x) = (m-3)x + 5 oko zatrzymuje się na literze mm, a nie na nawiasie.

Jak zrobić dobrze: Warunek dotyczy całego wyrażenia stojącego przy xx. Zapisz je osobno, zanim ułożysz nierówność.

Pominięcie porządkowania wzoru z nawiasem albo z xx w dwóch miejscach.

Skąd się bierze: Wzór wygląda na gotowy, więc współczynnik odczytuje się z pierwszego składnika.

Jak zrobić dobrze: Rozwiń nawiasy i pogrupuj wyrazy z xx. We wzorze 2(x−m)+mx2(x-m) + mx współczynnikiem jest 2+m2 + m.

Uznanie funkcji stałej za rosnącą albo malejącą.

Skąd się bierze: Przy a=0a = 0 nic nie maleje, więc bywa zaliczana do rosnących „w słabym sensie”.

Jak zrobić dobrze: Funkcja stała nie jest ani rosnąca, ani malejąca. Dlatego w warunkach na monotoniczność nierówności są ostre.

Szukanie wartości największej funkcji liniowej na całej prostej.

Skąd się bierze: Pytanie o wartość największą pojawia się przy funkcji kwadratowej, więc schemat się przenosi.

Jak zrobić dobrze: Przy a≠0a \neq 0 zbiorem wartości jest całe R\mathbb{R} i wartości skrajnych nie ma. Pojawiają się dopiero w przedziale domkniętym albo przy funkcji stałej.

Mylenie „rośnie” z „jest dodatnia”.

Skąd się bierze: Oba określenia brzmią pozytywnie i oba wiążą się ze znakiem.

Jak zrobić dobrze: Monotoniczność zależy tylko od aa, znak funkcji także od bb. Funkcja 2x−1002x - 100 rośnie, a dla x<50x < 50 jest ujemna.

Zadania maturalne — monotoniczność funkcji liniowej i przecięcie z osiami

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane w treści. Czerwone — to, co z tego wynika. Dla f(x)=ax+bf(x) = ax + b wszystko czyta się wprost ze współczynników: a>0a > 0 — funkcja rośnie, a<0a < 0 — maleje, a=0a = 0 — jest stała. Wyraz wolny bb mówi, gdzie wykres przecina oś OyOy: w punkcie (0,b)(0, b). Uwaga na kolejność współrzędnych — punkt na osi OyOy ma zero na pierwszym miejscu.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 10 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 12 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (grudzień 2023)1 pktśrednie

Funkcja liniowa ff jest określona wzorem f(x)=−16x+23f(x) = -\dfrac{1}{6}x + \dfrac{2}{3}. Oceń prawdziwość podanych zdań.
Miejscem zerowym funkcji ff jest liczba 44.PF
Punkt przecięcia wykresu funkcji ff z osią OyOy ma współrzędne (0,−16)\left(0, -\dfrac{1}{6}\right).PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, F

  1. Zdanie 1 — sprawdzamy miejsce zerowe. Przyrównujemy wzór do zera:
  2. −16x+23=0⟹16x=23-\textcolor{#16A06A}{\tfrac16}x + \textcolor{#16A06A}{\tfrac23} = 0 \quad \Longrightarrow \quad \textcolor{#16A06A}{\tfrac16}x = \textcolor{#16A06A}{\tfrac23}
  3. Mnożymy obie strony przez 66:
  4. x=23⋅6=4x = \textcolor{#16A06A}{\tfrac23} \cdot 6 = \textcolor{#E0453A}{4}   ✓ P
  5. Zdanie 2 — punkt przecięcia z osią OyOy. To wartość funkcji dla x=0x = 0, czyli po prostu wyraz wolny:
  6. f(0)=−16⋅0+23=23f(0) = -\textcolor{#16A06A}{\tfrac16} \cdot 0 + \textcolor{#16A06A}{\tfrac23} = \textcolor{#E0453A}{\tfrac23}
  7. Wykres przecina oś OyOy w punkcie (0,23)\left(0, \textcolor{#E0453A}{\tfrac23}\right), a nie (0,−16)\left(0, -\tfrac16\right)   ✗ F
  8. Odpowiedź: P, F.
  9. Liczba −16-\tfrac16 ze zdania drugiego to współczynnik kierunkowy, a nie wyraz wolny — czyli nachylenie prostej, nie punkt jej przecięcia z osią.

💡 Wskazówka: Punkt przecięcia z osią OyOy czyta się wprost z wzoru: to (0,b)(0, b), gdzie bb jest wyrazem wolnym. Nie trzeba nic liczyć — trzeba tylko wiedzieć, który z dwóch współczynników jest wyrazem wolnym.

⚠ Najczęstszy błąd w drugim zdaniu: uznanie go za prawdziwe, bo liczba −16-\tfrac16 występuje we wzorze. Występuje, ale w innej roli — jako współczynnik przy xx. To typowa konstrukcja zadań P/F: podać liczbę z zadania w niewłaściwym miejscu.

Zadanie 2 (marzec 2021)1 pkttrudniejsze

Funkcja liniowa f(x)=(a−1)x+3f(x) = (a - 1)x + 3 osiąga wartość najmniejszą równą 33. Wtedy
  • A. a=−1a = -1
  • B. a=0a = 0
  • C. a=1a = 1
  • D. a=3a = 3
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. To najciekawsze zadanie na tej stronie, bo trzeba zauważyć rzecz, o której łatwo zapomnieć: funkcja liniowa prawie nigdy nie ma wartości najmniejszej.
  2. Krok 1 — kiedy funkcja liniowa ma wartość najmniejszą? Jeśli a≠0a \neq 0, wykresem jest prosta ukośna: przy xx dążącym do −∞-\infty albo +∞+\infty wartości rosną bez ograniczeń w jedną stronę i maleją bez ograniczeń w drugą. Wtedy żadnej wartości najmniejszej nie ma.
  3. Wartość najmniejsza istnieje tylko wtedy, gdy funkcja jest stała — bo wtedy przyjmuje jedną wartość i ona jest jednocześnie najmniejsza i największa.
  4. Krok 2 — zerujemy współczynnik kierunkowy.
  5. a−1=0⟹a=1\textcolor{#16A06A}{a - 1} = 0 \quad \Longrightarrow \quad a = \textcolor{#E0453A}{1}
  6. Krok 3 — sprawdzamy, czy wartość się zgadza. Dla a=1a = \textcolor{#E0453A}{1} wzór staje się:
  7. f(x)=0⋅x+3=3f(x) = 0 \cdot x + \textcolor{#16A06A}{3} = \textcolor{#16A06A}{3} dla każdego xx
  8. Funkcja jest stała i równa 3\textcolor{#16A06A}{3} — a więc jej wartość najmniejsza to 3\textcolor{#16A06A}{3} ✓ zgodnie z treścią
  9. Odpowiedź: a=1a = 1, czyli C.
  10. Warto sprawdzić, dlaczego inne odpowiedzi nie działają: dla a=3a = 3 mamy f(x)=2x+3f(x) = 2x + 3 — funkcja rosnąca, bez wartości najmniejszej. Dla a=0a = 0 mamy f(x)=−x+3f(x) = -x + 3 — malejąca, też bez najmniejszej.

💡 Wskazówka: Zwrot „osiąga wartość najmniejszą” przy funkcji liniowej to sygnał, że funkcja musi być stała. To jedyny przypadek, w którym prosta ma kres dolny i go osiąga. Zapamiętaj tę obserwację — jest sedno tego zadania, a rachunek zajmuje jedną linijkę.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź D (a=3a = 3), czyli dopasowanie parametru do liczby 33 z treści bez zrozumienia warunku. Trójka w zadaniu jest wartością funkcji, a nie wartością parametru — i pojawia się we wzorze już jako wyraz wolny.

Zadanie 3 (maj 2018)1 pktśrednie

Funkcja liniowa ff określona jest wzorem f(x)=13x−1f(x) = \dfrac{1}{3}x - 1, dla wszystkich liczb rzeczywistych xx. Wskaż zdanie prawdziwe.
  • A. Funkcja ff jest malejąca i jej wykres przecina oś OyOy w punkcie P=(0,13)P = \left(0, \dfrac{1}{3}\right).
  • B. Funkcja ff jest malejąca i jej wykres przecina oś OyOy w punkcie P=(0,−1)P = (0, -1).
  • C. Funkcja ff jest rosnąca i jej wykres przecina oś OyOy w punkcie P=(0,13)P = \left(0, \dfrac{1}{3}\right).
  • D. Funkcja ff jest rosnąca i jej wykres przecina oś OyOy w punkcie P=(0,−1)P = (0, -1).
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Każda odpowiedź zawiera dwa stwierdzenia, więc oba muszą być prawdziwe. Sprawdzamy je osobno.
  2. Krok 1 — monotoniczność. Współczynnik kierunkowy to 13\textcolor{#16A06A}{\tfrac13}, a 13>0\textcolor{#16A06A}{\tfrac13} > 0:
  3. funkcja jest rosnąca → zostają odpowiedzi C i D
  4. Krok 2 — przecięcie z osią OyOy. To punkt (0,b)(0, b), gdzie bb to wyraz wolny:
  5. b=−1b = \textcolor{#16A06A}{-1}, więc punkt to (0,−1)(0, \textcolor{#E0453A}{-1}) → zostaje odpowiedź D
  6. Odpowiedź: D.
  7. Kontrola: f(0)=13⋅0−1=−1f(0) = \tfrac13 \cdot 0 - 1 = -1 ✓

💡 Wskazówka: Przy odpowiedziach złożonych z dwóch stwierdzeń rozstrzygaj je po kolei — pierwsze zwykle odsiewa połowę opcji, drugie wskazuje jedną. Nie próbuj oceniać całych zdań naraz.

⚠ Najczęstszy błąd: pomylenie roli współczynników i wybór punktu (0,13)\left(0, \tfrac13\right). Ułamek 13\tfrac13 opisuje nachylenie prostej, a nie miejsce jej przecięcia z osią OyOy. Dwie z czterech odpowiedzi są zbudowane właśnie na tej pomyłce.

Zadanie 4 (sierpień 2015)1 pktłatwe

Wykres funkcji liniowej y=2x−3y = 2x - 3 przecina oś OyOy w punkcie o współrzędnych
  • A. (0,−3)(0, -3)
  • B. (−3,0)(-3, 0)
  • C. (0,2)(0, 2)
  • D. (0,3)(0, 3)
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Krok 1 — co znaczy „przecina oś OyOy”. Wszystkie punkty osi OyOy mają pierwszą współrzędną równą zeru, więc szukamy wartości funkcji dla x=0x = 0.
  2. Krok 2 — podstawiamy.
  3. y=2⋅0−3=−3y = \textcolor{#16A06A}{2} \cdot 0 - \textcolor{#16A06A}{3} = \textcolor{#E0453A}{-3}
  4. Krok 3 — zapisujemy punkt. Pierwsza współrzędna zero, druga to obliczona wartość:
  5. (0,−3)(0, \textcolor{#E0453A}{-3})
  6. Odpowiedź: (0,−3)(0, -3), czyli A.
  7. Dla porównania: punkt (−3,0)(-3, 0) z odpowiedzi B leży na osi OxOx — to byłoby miejsce zerowe, gdyby wynosiło −3-3. Tutaj miejsce zerowe to x=32x = \tfrac32, więc B jest podwójnie błędna.

💡 Wskazówka: Zapamiętaj skojarzenie: oś OyOy → zero na pierwszym miejscu (0,b)(0, b), oś OxOx → zero na drugim (x0,0)(x_0, 0). Odpowiedzi A i B mają te same liczby w odwrotnej kolejności właśnie po to, żeby sprawdzić, czy to rozróżniasz.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź B, czyli zamiana kolejności współrzędnych. Drugi częsty: odpowiedź C ((0,2)(0,2)), z podania współczynnika kierunkowego zamiast wyrazu wolnego.

Zadanie 5 (sierpień 2014)1 pkttrudniejsze

Funkcja liniowa f(x)=ax+bf(x) = ax + b jest rosnąca i ma dodatnie miejsce zerowe. Stąd wynika, że
  • A. a>0a > 0 i b>0b > 0
  • B. a<0a < 0 i b<0b < 0
  • C. a<0a < 0 i b>0b > 0
  • D. a>0a > 0 i b<0b < 0
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Dwa warunki, z których każdy mówi coś o znakach — i trzeba je połączyć.
  2. Krok 1 — z monotoniczności. Funkcja rosnąca oznacza dodatni współczynnik kierunkowy:
  3. a>0\textcolor{#16A06A}{a > 0}
  4. Krok 2 — zapisujemy miejsce zerowe. Z ax+b=0ax + b = 0 wynika:
  5. x0=−bax_0 = \textcolor{#E0453A}{-\dfrac{b}{a}}
  6. Krok 3 — nakładamy warunek dodatniości.
  7. −ba>0\textcolor{#E0453A}{-\dfrac{b}{a}} > 0
  8. Skoro mianownik a\textcolor{#16A06A}{a} jest dodatni, cały ułamek jest dodatni tylko wtedy, gdy licznik −b-b jest dodatni:
  9. −b>0⟹b<0-b > 0 \quad \Longrightarrow \quad \textcolor{#E0453A}{b < 0}
  10. Odpowiedź: a>0a > 0 i b<0b < 0, czyli D.
  11. Sprawdzenie na przykładzie: f(x)=2x−6f(x) = 2x - 6 jest rosnąca (a=2>0a = 2 > 0), ma b=−6<0b = -6 < 0, a miejsce zerowe x=3>0x = 3 > 0 ✓ — wszystkie warunki spełnione.

💡 Wskazówka: Szybsza droga myślowa, bez wzorów: funkcja rośnie i przecina oś OxOx po prawej stronie zera, więc dla x=0x = 0 jest jeszcze poniżej osi. A f(0)=bf(0) = b, czyli b<0b < 0. Warto umieć zobaczyć to na szkicu wykresu.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź A, czyli uznanie, że „dodatnie miejsce zerowe” oznacza dodatni wyraz wolny. Jest odwrotnie: przy funkcji rosnącej dodatnie miejsce zerowe wymusza ujemny wyraz wolny. Najprościej sprawdzić to na konkretnym przykładzie, jak 2x−62x - 6.

Zadanie 6 (marzec 2012)1 pktłatwe

Funkcja liniowa f(x)=12x−6f(x) = \dfrac{1}{2}x - 6
  • A. jest malejąca i jej wykres przechodzi przez punkt (0,6)(0, 6).
  • B. jest rosnąca i jej wykres przechodzi przez punkt (0,6)(0, 6).
  • C. jest malejąca i jej wykres przechodzi przez punkt (0,−6)(0, -6).
  • D. jest rosnąca i jej wykres przechodzi przez punkt (0,−6)(0, -6).
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Krok 1 — monotoniczność. Współczynnik kierunkowy to 12>0\textcolor{#16A06A}{\tfrac12} > 0:
  2. funkcja jest rosnąca → zostają B i D
  3. Krok 2 — punkt na osi OyOy. Wyraz wolny to −6\textcolor{#16A06A}{-6}:
  4. f(0)=−6f(0) = \textcolor{#E0453A}{-6}, czyli wykres przechodzi przez (0,−6)(0, \textcolor{#E0453A}{-6}) → zostaje D
  5. Odpowiedź: D.
  6. Ten sam schemat co w zadaniu 3 na tej stronie — cztery odpowiedzi to wszystkie kombinacje dwóch pytań, więc dwa niezależne sprawdzenia wskazują jedną.

💡 Wskazówka: Znak przed liczbą 66 we wzorze jest częścią wyrazu wolnego: −6-6, nie 66. Odpowiedzi A i B testują tylko to, czy nie zgubiłeś minusa przy przepisywaniu.

⚠ Najczęstszy błąd: wybór punktu (0,6)(0, 6), czyli pominięcie minusa. Drugi częsty: uznanie funkcji za malejącą, bo we wzorze widać odejmowanie — o monotoniczności decyduje wyłącznie znak przy xx, a nie znak wyrazu wolnego.

Zadanie 7 (maj 2024)1 pktśrednie

Funkcja liniowa ff jest określona wzorem f(x)=(−2k+3)x+k−1f(x) = (-2k + 3)x + k - 1, gdzie k∈Rk \in \mathbb{R}. Funkcja ff jest malejąca dla każdej liczby kk należącej do przedziału
  • A. (−∞, 1)(-\infty,\, 1)
  • B. (−∞, −32)\left(-\infty,\, -\dfrac{3}{2}\right)
  • C. (1, +∞)(1,\, +\infty)
  • D. (32, +∞)\left(\dfrac{3}{2},\, +\infty\right)
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Funkcja liniowa jest malejąca dokładnie wtedy, gdy współczynnik przy xx jest ujemny. Tu tym współczynnikiem jest −2k+3\textcolor{#16A06A}{-2k + 3} — a nie k−1k - 1.
  2. −2k+3<0\textcolor{#16A06A}{-2k + 3} < 0
  3. −2k<−3-2k < \textcolor{#E0453A}{-3}
  4. Dzielimy obie strony przez −2\textcolor{#E0453A}{-2} — a to liczba ujemna, więc znak nierówności się odwraca:
  5. k>32k > \textcolor{#E0453A}{\tfrac32}
  6. Odpowiedź: k∈(32,+∞)k \in \left(\tfrac32, +\infty\right), czyli D.
  7. Kontrola na jednej liczbie z tego przedziału. Dla k=2k = 2 wzór wygląda tak: f(x)=(−4+3)x+1=−x+1f(x) = (-4 + 3)x + 1 = -x + 1 — i faktycznie maleje ✓

💡 Wskazówka: Wyraz wolny k−1k - 1 jest w tym zadaniu wyłącznie dystraktorem — nie wpływa na monotoniczność w żaden sposób. Cała robota to wskazać, który z dwóch wyrażeń stoi przy xx, i rozwiązać jedną nierówność.

⚠ Dzielenie przez liczbę ujemną bez odwrócenia znaku: z −2k<−3-2k < -3 wynika k>32k > \tfrac32, a nie k<32k < \tfrac32. Drugi błąd jest jeszcze prostszy do popełnienia i prowadzi prosto do odpowiedzi A — wzięcie za współczynnik kierunkowy wyrazu k−1k - 1 i rozwiązanie k−1<0k - 1 < 0, czyli k<1k < 1.

Zadanie 8 (sierpień 2022)1 pktłatwe

Funkcja liniowa ff określona wzorem f(x)=(2m−5)x+22f(x) = (2m - 5)x + 22 jest rosnąca dla
  • A. m>25m > \dfrac{2}{5}
  • B. m>2,5m > 2{,}5
  • C. m>0m > 0
  • D. m>2m > 2
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Funkcja liniowa jest rosnąca dokładnie wtedy, gdy współczynnik przy xx jest dodatni:
  2. 2m−5>0\textcolor{#16A06A}{2m - 5} > 0
  3. 2m>52m > \textcolor{#16A06A}{5}
  4. Dzielimy przez 22 — liczbę dodatnią, więc znak nierówności zostaje bez zmian:
  5. m>52=2,5m > \textcolor{#E0453A}{\tfrac52} = \textcolor{#E0453A}{2{,}5}
  6. Odpowiedź: B.
  7. Kontrola: dla m=3m = 3 współczynnik wynosi 2⋅3−5=1>02 \cdot 3 - 5 = 1 > 0 ✓, a dla m=2m = 2 wynosi −1<0-1 < 0 ✗ — czyli granica 2,52{,}5 leży dokładnie tam, gdzie powinna.

💡 Wskazówka: Wyraz wolny 2222 jest duży i przyciąga wzrok, ale nie ma tu żadnego znaczenia. Ta sama funkcja z wyrazem wolnym 00, 2222 albo −1000-1000 rośnie dla dokładnie tych samych mm.

⚠ Odwrócony ułamek. Z 2m>52m > 5 wynika m>52m > \tfrac52, a nie m>25m > \tfrac25 — a odpowiedź A podaje właśnie 25\tfrac25. Oba zapisy używają tych samych dwóch liczb, więc pomyłki nie widać na pierwszy rzut oka. Najprostsze zabezpieczenie: zamienić wynik na postać dziesiętną. 52=2,5\tfrac52 = 2{,}5, a 25=0,4\tfrac25 = 0{,}4 — i wtedy widać, że dla m=1m = 1 współczynnik 2−5=−32 - 5 = -3 jest ujemny, więc 0,40{,}4 nie może być granicą.

Zadanie 9 (czerwiec 2019)1 pktśrednie

Funkcja ff jest określona dla każdej liczby rzeczywistej xx wzorem f(x)=(m5−1)x+3f(x) = \left(m\sqrt{5} - 1\right)x + 3. Ta funkcja jest rosnąca dla każdej liczby mm spełniającej warunek
  • A. m>15m > \dfrac{1}{\sqrt{5}}
  • B. m>1−5m > 1 - \sqrt{5}
  • C. m<5−1m < \sqrt{5} - 1
  • D. m<15m < \dfrac{1}{\sqrt{5}}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Warunek jest ten sam co zawsze — współczynnik przy xx dodatni:
  2. m5−1>0\textcolor{#16A06A}{m\sqrt5 - 1} > 0
  3. m5>1m\sqrt5 > \textcolor{#16A06A}{1}
  4. Dzielimy przez 5\textcolor{#16A06A}{\sqrt5}. To liczba dodatnia (bo 5≈2,24\sqrt5 \approx 2{,}24), więc znak nierówności zostaje:
  5. m>15m > \textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{\sqrt5}}
  6. Odpowiedź: A.
  7. Gdyby trzeba było usunąć niewymierność z mianownika: 15=55≈0,45\dfrac{1}{\sqrt5} = \dfrac{\sqrt5}{5} \approx 0{,}45. Kontrola: dla m=1m = 1 współczynnik to 5−1≈1,24>0\sqrt5 - 1 \approx 1{,}24 > 0 ✓

💡 Wskazówka: Pierwiastek w roli współczynnika nic nie zmienia w metodzie — zmienia tylko to, że łatwiej się pomylić. Jedyne, co trzeba o nim wiedzieć, to że 5>0\sqrt5 > 0, więc dzielenie przez niego nie odwraca znaku nierówności.

⚠ Dwie z czterech odpowiedzi mają odwrócony znak nierówności — to pułapka na odruch „jest pierwiastek, więc coś się odwraca”. Nie odwraca się nic, bo 5\sqrt5 jest dodatnie. Trzecia pułapka jest rachunkowa: odpowiedź B, m>1−5m > 1 - \sqrt5, wychodzi z odjęcia 5\sqrt5 od obu stron zamiast podzielenia przez 5\sqrt5. To dwie różne operacje — m5m\sqrt5 to iloczyn, nie suma.

Zadanie 10 (maj 2014)1 pkttrudniejsze

Funkcja liniowa f(x)=(m2−4)x+2f(x) = \left(m^2 - 4\right)x + 2 jest malejąca, gdy
  • A. m∈(−∞, −2)m \in (-\infty,\, -2)
  • B. m∈(2, +∞)m \in (2,\, +\infty)
  • C. m∈{−2, 2}m \in \{-2,\, 2\}
  • D. m∈(−2, 2)m \in (-2,\, 2)
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Warunek na malenie jest ten sam co zawsze, ale tym razem prowadzi do nierówności kwadratowej:
  2. m2−4<0\textcolor{#16A06A}{m^2 - 4} < 0
  3. Rozkładamy na czynniki i szukamy miejsc zerowych:
  4. (m−2)(m+2)<0⟹m=2  lub  m=−2(m - \textcolor{#E0453A}{2})(m + \textcolor{#E0453A}{2}) < 0 \qquad \Longrightarrow \qquad m = \textcolor{#E0453A}{2} \ \text{ lub } \ m = \textcolor{#E0453A}{-2}
  5. Wyrażenie m2−4m^2 - 4 to parabola o ramionach w górę, więc wartości ujemne przyjmuje między swoimi zerami:
  6. m∈(−2, 2)m \in (\textcolor{#E0453A}{-2},\, \textcolor{#E0453A}{2})
  7. Odpowiedź: D.
  8. Kontrola na trzech liczbach: dla m=0m = 0 współczynnik to −4<0-4 < 0 ✓ (maleje), dla m=3m = 3 to 5>05 > 0 ✗ (rośnie), dla m=2m = 2 to 00 ✗ (stała).

💡 Wskazówka: To pierwsze zadanie w tym zestawie, w którym warunek na współczynnik nie jest liniowy. Nierówność m2−4<0m^2 - 4 < 0 rozwiązuje się jak każdą nierówność kwadratową: znajdź miejsca zerowe i zapytaj, gdzie parabola o ramionach w górę jest pod osią — czyli między nimi. Można też krócej: m2<4m^2 < 4 znaczy ∣m∣<2|m| < 2.

⚠ Wszystkie trzy błędne odpowiedzi są poprawnymi odpowiedziami na inne pytanie, i to warto zobaczyć naraz. Zbiór {−2,2}\{-2, 2\} to dokładnie te mm, dla których m2−4=0m^2 - 4 = 0 — czyli dla których funkcja jest stała. Przedziały (−∞,−2)(-\infty, -2) i (2,+∞)(2, +\infty) to obszary, gdzie m2−4>0m^2 - 4 > 0, czyli gdzie funkcja rośnie. Kto rozwiąże m2−4>0m^2 - 4 > 0 zamiast <0< 0, trafi na A albo B i będzie musiał wybierać między nimi na chybił trafił — a to sygnał, że znak nierówności poszedł w złą stronę.

Zadanie 11 (sierpień 2011)1 pktłatwe

Funkcja liniowa f(x)=(m−2)x−11f(x) = (m - 2)x - 11 jest rosnąca dla
  • A. m>2m > 2
  • B. m>0m > 0
  • C. m<13m < 13
  • D. m<11m < 11
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. m−2>0⟹m>2\textcolor{#16A06A}{m - 2} > 0 \qquad \Longrightarrow \qquad m > \textcolor{#E0453A}{2}
  2. Odpowiedź: A.
  3. To najprostszy możliwy wariant tego zadania: jedna nierówność, jedno przeniesienie, bez dzielenia.

💡 Wskazówka: Warunek dotyczy wyłącznie wyrażenia stojącego przy xx. Wyraz wolny −11-11 nie ma z monotonicznością nic wspólnego — najłatwiej to sobie potwierdzić na przykładzie: f(x)=x−11f(x) = x - 11 i f(x)=x+1000f(x) = x + 1000 są obie rosnące, choć jedna leży bardzo nisko, a druga bardzo wysoko.

⚠ Odpowiedzi C i D operują liczbą 1111 przepisaną z wyrazu wolnego (13=11+213 = 11 + 2, a 1111 to sam wyraz wolny) i obie mają jeszcze odwrócony znak nierówności. To typowa konstrukcja: podać w odpowiedziach liczby, które występują w zadaniu, ale w niewłaściwej roli.

Zadanie 12 (listopad 2010)1 pktśrednie

Wskaż mm, dla którego funkcja liniowa określona wzorem f(x)=(m−1)x+3f(x) = (m - 1)x + 3 jest stała.
  • A. m=1m = 1
  • B. m=2m = 2
  • C. m=3m = 3
  • D. m=−1m = -1
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Funkcja liniowa jest stała dokładnie wtedy, gdy współczynnik przy xx jest równy zero. To jedyny przypadek, w którym warunek jest równaniem, a nie nierównością:
  2. m−1=0⟹m=1\textcolor{#16A06A}{m - 1} = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad m = \textcolor{#E0453A}{1}
  3. Odpowiedź: A.
  4. Sprawdźmy, co wtedy zostaje ze wzoru: f(x)=(1−1)x+3=3f(x) = (1 - 1)x + 3 = \textcolor{#E0453A}{3}. Funkcja przyjmuje wartość 33 dla każdego xx, a jej wykresem jest prosta pozioma.

💡 Wskazówka: Trzy stany, jeden współczynnik: a>0a > 0 — rośnie, a<0a < 0 — maleje, a=0a = 0 — jest stała. Pytanie o funkcję stałą to zawsze równanie a=0a = 0, nigdy nierówność. Ten przypadek graniczny wraca w zadaniach o wartość najmniejszą i największą, bo funkcja liniowa ma je tylko wtedy, gdy jest stała.

⚠ Szukanie zera całego wzoru zamiast samego współczynnika — czyli rozwiązywanie (m−1)x+3=0(m-1)x + 3 = 0. Warunek dotyczy tylko wyrażenia przy xx. Drugi błąd jest pojęciowy: uznanie, że funkcja stała nie jest funkcją liniową i że takiego mm nie ma. Jest — wzór y=ax+by = ax + b dopuszcza a=0a = 0, i wtedy wykresem nadal jest prosta, tylko pozioma.

Zadanie 13 (sierpień 2010)1 pktłatwe

Wskaż mm, dla którego funkcja liniowa f(x)=(m−1)x+6f(x) = (m - 1)x + 6 jest rosnąca.
  • A. m=−1m = -1
  • B. m=0m = 0
  • C. m=1m = 1
  • D. m=2m = 2
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Warunek: m−1>0\textcolor{#16A06A}{m - 1} > 0, czyli m>1m > \textcolor{#E0453A}{1}. Odpowiedzi są konkretnymi liczbami, więc najszybciej sprawdzić je po kolei — wystarczy policzyć sam współczynnik przy xx:
  2. m=−1 ⇒ a=−2m = -1 \ \Rightarrow \ a = \textcolor{#E0453A}{-2} (maleje)  ·  m=0 ⇒ a=−1m = 0 \ \Rightarrow \ a = \textcolor{#E0453A}{-1} (maleje)
  3. m=1 ⇒ a=0m = 1 \ \Rightarrow \ a = \textcolor{#E0453A}{0} (stała)  ·  m=2 ⇒ a=1m = 2 \ \Rightarrow \ a = \textcolor{#E0453A}{1} (rośnie) ✓
  4. Odpowiedź: D.

💡 Wskazówka: Gdy odpowiedziami są pojedyncze liczby, a nie przedziały, podstawianie jest szybsze od rozwiązywania nierówności — i bezpieczniejsze, bo nie ma gdzie pomylić znaku. Liczy się tylko współczynnik przy xx; wyrazu wolnego 66 można w ogóle nie przepisywać.

⚠ Odpowiedź m=1m = 1 daje a=0a = 0, czyli funkcję stałą — a stała nie rośnie. To ta sama granica co w poprzednim zadaniu i najczęstsza pomyłka w obu: potraktowanie warunku jako a⩾0a \geqslant 0 zamiast a>0a > 0. „Rosnąca” znaczy, że wartości rzeczywiście rosną; funkcja o stałej wartości 66 nie rośnie ani nie maleje.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. P, F2. C3. D4. A5. D6. D
7. D8. B9. A10. D11. A12. A
13. D

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

7Pytania i odpowiedzi

Czy wyraz wolny wpływa na monotoniczność?

Nie. Wyraz wolny przesuwa wykres w pionie, ale nie zmienia nachylenia prostej. O kierunku decyduje wyłącznie współczynnik przy xx.

Czy funkcja stała jest rosnąca?

Nie. Funkcja stała nie jest ani rosnąca, ani malejąca — jej wartości się nie zmieniają. Dlatego warunki na monotoniczność zapisujemy nierównościami ostrymi.

Dlaczego funkcja liniowa zwykle nie ma wartości największej?

Bo przy niezerowym współczynniku przyjmuje wszystkie wartości rzeczywiste — dla każdej liczby znajdzie się argument dający wynik większy. Wartości skrajne istnieją tylko w przedziale domkniętym albo gdy funkcja jest stała.

Czy funkcja o większym współczynniku jest bardziej rosnąca?

Rośnie szybciej, ale monotoniczność nie ma stopni — funkcja albo rośnie, albo nie. Współczynnik mówi dodatkowo o tempie, czyli o nachyleniu prostej.

Jak sprawdzić odpowiedź w zadaniu z parametrem?

Podstawić jedną liczbę z otrzymanego przedziału i sprawdzić, czy funkcja rzeczywiście ma żądaną własność. Warto też sprawdzić wartość graniczną — powinna dawać funkcję stałą.

Czytaj dalej

Wykres funkcji liniowejTen sam współczynnik widziany na rysunku: nachylenie prostej i jej kierunek.Miejsce zerowe funkcji liniowejZadania z parametrem rozwiązywane tą samą techniką, tylko z równaniem zamiast nierówności.Wartości funkcji i odczyt z wykresuWartości skrajne w przedziale domkniętym i przedziały monotoniczności czytane z rysunku.
Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.