Strona główna › Funkcje › Miejsce zerowe funkcji liniowej

Miejsce zerowe funkcji liniowej

Miejsce zerowe to argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość zero. Przy funkcji liniowej sprowadza się to do rozwiązania jednego równania — a trudność zadań maturalnych bierze się zwykle nie z tego równania, tylko stąd, że we wzorze siedzi parametr — ma go połowa zadań w zestawie pod tą stroną. Ta strona jest o liczeniu ze wzoru; odczyt z rysunku opisuję na stronie o wykresie funkcji liniowej.

Dział: FunkcjePoziom: liceum — zakres podstawowyZadań z matury: 18

Przejdź od razu do zadań (18) ↓

1Definicja i podstawowy rachunek

Miejsce zerowe funkcji ff to taka liczba x0x_0, że f(x0)=0f(x_0) = 0. Dla funkcji liniowej f(x)=ax+bf(x) = ax + b oznacza to równanie ax+b=0ax + b = 0, czyli:

x0=−badla a≠0x_0 = -\frac{b}{a} \qquad \text{dla } a \neq 0

W praktyce lepiej nie podstawiać do tego wzoru, tylko za każdym razem rozwiązać równanie. Część wzorów wymaga wcześniejszego uporządkowania — w zestawie zadań pod tą stroną dwa na osiemnaście — a wtedy podstawianie do gotowego wzoru kończy się pomyleniem znaku. Rozwiązywanie równania działa tak samo w obu przypadkach, więc nie trzeba za każdym razem rozstrzygać, z którym z nich mamy do czynienia.

Trzy zdania, które znaczą to samo

„Miejscem zerowym funkcji ff jest liczba 44”.

„Wykres funkcji ff przecina oś OxOx w punkcie (4,0)(4, 0)”.

„Rozwiązaniem równania f(x)=0f(x) = 0 jest x=4x = 4”.

Zadania używają tych trzech sformułowań wymiennie. Rozpoznanie, że pytają o to samo, bywa całą trudnością zadania.

Zwróć uwagę na kolejność liczb w drugim zdaniu. Punkt przecięcia z osią OxOx ma zero na drugim miejscu, bo to wartość funkcji jest zerem, a nie argument. Zapis (0,4)(0, 4) oznaczałby coś zupełnie innego — przecięcie z osią OyOy.

2Kiedy miejsca zerowego nie ma

Zastrzeżenie a≠0a \neq 0 przy wzorze nie jest formalnością — to osobny przypadek, o który zadania pytają wprost.

współczynnikiwykresmiejsca zerowe
a≠0a \neq 0prosta ukośnadokładnie jedno
a=0a = 0, b≠0b \neq 0prosta pozioma nad lub pod osiąbrak
a=0a = 0, b=0b = 0prosta pokrywająca się z osią OxOxnieskończenie wiele

Drugi wiersz jest najczęstszą treścią zadania z parametrem: *dla jakiej wartości mm funkcja nie ma miejsca zerowego?* Odpowiedź sprowadza się do przyrównania współczynnika przy xx do zera — z zastrzeżeniem, że wyraz wolny musi wtedy pozostać różny od zera.

Trzeci wiersz bywa pomijany, a jest pułapką: funkcja f(x)=0f(x) = 0 ma miejsca zerowe, i to wszystkie liczby rzeczywiste naraz. Odpowiedź „nie ma miejsc zerowych” jest w tym przypadku błędna.

Warto zestawić to z funkcją kwadratową, która może mieć dwa miejsca zerowe, jedno albo żadne w zależności od wyróżnika. Liniowa jest pod tym względem prostsza: rozstrzyga znak jednej liczby, współczynnika aa, a nie rachunek na trzech współczynnikach. Zastrzeżenie jest jedno i widać je w tabeli wyżej: gdy a=0a = 0, o wyniku decyduje dopiero wyraz wolny. Piszę o tym na stronie o funkcji kwadratowej.

3Wzór z parametrem — schemat postępowania

Zadania maturalne z tej grupy prawie zawsze mają we wzorze literę inną niż xx: mm, kk, pp. Litera ta nie jest zmienną funkcji — jest stałą, której wartości jeszcze nie znamy. Zmienną pozostaje xx.

  1. Uporządkuj wzór do postaci ax+bax + b, traktując parametr jak zwykłą liczbę.
  2. Wskaż, co jest współczynnikiem przy xx, a co wyrazem wolnym. Parametr może siedzieć w jednym albo w drugim — i to decyduje o typie zadania.
  3. Dopiero teraz korzystaj z warunku podanego w treści: „miejscem zerowym jest liczba cc” znaczy f(c)=0f(c) = 0.
  4. Rozwiąż otrzymane równanie względem parametru, nie względem xx.

Punkt czwarty jest tym, na którym najczęściej gubi się wątek. Po podstawieniu konkretnej liczby za xx w równaniu zostaje już tylko parametr — i to on jest szukaną. Automatyczne „rozwiązuję względem iksa” daje wtedy wynik, o który nikt nie pytał.

Gdzie siedzi parametr

W wyrazie wolnym (np. f(x)=2x−mf(x) = 2x - m) — miejsce zerowe istnieje zawsze, a parametr tylko je przesuwa.

Przy xx (np. f(x)=(m−2)x+6f(x) = (m-2)x + 6) — parametr decyduje, czy miejsce zerowe w ogóle istnieje. To on może wyzerować współczynnik aa.

W obu naraz — trzeba rozważyć oba pytania po kolei: najpierw kiedy a=0a = 0, potem co się dzieje dla pozostałych wartości.

4Znak funkcji wokół miejsca zerowego

Miejsce zerowe dzieli oś na dwie części, a funkcja liniowa ma po każdej stronie stały znak. Który po której stronie — rozstrzyga znak współczynnika aa.

Dlatego nierówność typu f(x)>0f(x) > 0 dla funkcji liniowej rozwiązuje się w dwóch ruchach: znajdź miejsce zerowe, a potem wybierz właściwą stronę na podstawie znaku aa. Nie ma tu potrzeby robienia tabelki znaków.

Kontrola, która nic nie kosztuje: podstaw jedną liczbę z wybranego przedziału do wzoru i sprawdź, czy wartość rzeczywiście ma oczekiwany znak. Jeden rachunek rozstrzyga, czy przedział nie został wybrany odwrotnie.

Ta sama obserwacja przydaje się przy odczycie z rysunku: fragment wykresu nad osią to argumenty o wartościach dodatnich. Opisuję to razem z pozostałymi odczytami na stronie o wartościach funkcji.

5Przykłady krok po kroku

Cztery zadania w kolejności rosnącej trudności: wzór gotowy, wzór do uporządkowania, parametr w wyrazie wolnym i parametr przy zmiennej.

Przykład 1 Wzór podany wprost

Wyznacz miejsce zerowe funkcji f(x)=3x−12f(x) = 3x - 12.

  1. Przyrównuję wzór do zera: 3x−12=03x - 12 = 0.
  2. 3x=123x = 12, czyli x=4x = 4.
  3. Kontrola: f(4)=3⋅4−12=0f(4) = 3 \cdot 4 - 12 = 0 ✓
  4. Kontrola znaku: a=3>0a = 3 > 0, więc na lewo od czwórki wartości powinny być ujemne — f(0)=−12f(0) = -12 ✓

Odpowiedź: x=4x = 4

Kontrola przez podstawienie zajmuje jedną linijkę i wyłapuje każdy błąd znaku. Warto ją robić zawsze, bo w tym typie zadania pomyłka polega prawie wyłącznie na znaku.

Przykład 2 Wzór wymagający uporządkowania

Wyznacz miejsce zerowe funkcji f(x)=−14(x−8)+3f(x) = -\frac{1}{4}(x - 8) + 3.

  1. Przyrównuję do zera: −14(x−8)+3=0-\frac{1}{4}(x - 8) + 3 = 0.
  2. Przenoszę trójkę: −14(x−8)=−3-\frac{1}{4}(x - 8) = -3.
  3. Mnożę obie strony przez −4-4: x−8=12x - 8 = 12.
  4. x=20x = 20.
  5. Kontrola: f(20)=−14⋅12+3=−3+3=0f(20) = -\frac{1}{4} \cdot 12 + 3 = -3 + 3 = 0 ✓

Odpowiedź: x=20x = 20

Nie warto tu rozwijać nawiasu ani szukać współczynników aa i bb — równanie rozwiązuje się szybciej wprost. Wzór x0=−bax_0 = -\frac{b}{a} wymagałby najpierw uporządkowania, czyli tej samej pracy.

Przykład 3 Parametr w wyrazie wolnym

Funkcja liniowa ff dana jest wzorem f(x)=2x−(m+1)f(x) = 2x - (m + 1). Dla jakiej wartości mm miejscem zerowym tej funkcji jest liczba 33?

  1. Warunek „miejscem zerowym jest 33” znaczy f(3)=0f(3) = 0.
  2. Podstawiam: 2⋅3−(m+1)=02 \cdot 3 - (m + 1) = 0.
  3. 6−m−1=06 - m - 1 = 0, czyli 5−m=05 - m = 0.
  4. Stąd m=5m = 5 — i to jest szukana, nie xx.
  5. Kontrola: dla m=5m = 5 wzór to f(x)=2x−6f(x) = 2x - 6, a jego miejsce zerowe wynosi 33 ✓

Odpowiedź: m=5m = 5

Nawias przy odejmowaniu jest tu jedynym miejscem, gdzie można stracić punkt: −(m+1)-(m+1) to −m−1-m-1, a nie −m+1-m+1. Parametr stoi w wyrazie wolnym, więc miejsce zerowe istnieje dla każdej wartości mm — pytanie dotyczy tylko tego, która daje trójkę.

Przykład 4 Parametr przy zmiennej

Funkcja liniowa ff dana jest wzorem f(x)=(m−2)x+6f(x) = (m - 2)x + 6. Dla jakiej wartości mm funkcja nie ma miejsca zerowego?

  1. Funkcja liniowa nie ma miejsca zerowego, gdy współczynnik przy xx jest zerem, a wyraz wolny nie.
  2. Przyrównuję współczynnik: m−2=0m - 2 = 0, czyli m=2m = 2.
  3. Sprawdzam wyraz wolny: wynosi 66, więc jest różny od zera ✓
  4. Dla m=2m = 2 wzór to f(x)=6f(x) = 6 — prosta pozioma na wysokości sześciu, która nigdy nie tnie osi OxOx.
  5. Kontrola drugiego przypadku: dla każdego innego mm współczynnik jest niezerowy, więc miejsce zerowe istnieje i wynosi x=−6m−2x = \frac{-6}{m-2} ✓

Odpowiedź: m=2m = 2

Sprawdzenie wyrazu wolnego nie jest formalnością. Gdyby zamiast szóstki stało zero, dla m=2m = 2 funkcja byłaby tożsamościowo zerowa i miałaby nieskończenie wiele miejsc zerowych — odpowiedź byłaby wtedy dokładnie odwrotna.

6Najczęstsze błędy

Dwa pierwsze błędy dotyczą samego rachunku, trzy kolejne — czytania zadania z parametrem.

Podanie odpowiedzi jako punktu (0,x0)(0, x_0) zamiast (x0,0)(x_0, 0).

Skąd się bierze: Nazwa „miejsce zerowe” sugeruje, że zero powinno stać na pierwszym miejscu.

Jak zrobić dobrze: Zerem jest wartość, więc stoi na drugim miejscu. Punkt przecięcia z osią OxOx ma postać (x0,0)(x_0, 0).

Pomyłka znaku przy przenoszeniu wyrazu wolnego.

Skąd się bierze: Wzór x0=−bax_0 = -\frac{b}{a} bywa stosowany do wzoru, który nie został uporządkowany.

Jak zrobić dobrze: Rozwiąż równanie f(x)=0f(x) = 0 krok po kroku i sprawdź wynik podstawieniem. Jedna linijka kontroli zastępuje pamiętanie o minusie.

Rozwiązywanie równania z parametrem względem xx zamiast względem parametru.

Skąd się bierze: Odruch „w równaniu szukam iksa” jest silniejszy niż treść pytania.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź, co jest szukane. Jeśli treść podaje konkretne miejsce zerowe, to xx jest daną, a niewiadomą jest parametr.

Pominięcie warunku na wyraz wolny w zadaniu o braku miejsca zerowego.

Skąd się bierze: Wystarczające wydaje się wyzerowanie współczynnika przy xx.

Jak zrobić dobrze: Gdy oba współczynniki są zerami, funkcja jest tożsamościowo zerowa i ma nieskończenie wiele miejsc zerowych. Trzeba sprawdzić, że wyraz wolny pozostaje niezerowy.

Traktowanie parametru jak drugiej zmiennej funkcji.

Skąd się bierze: We wzorze widać dwie litery, więc obie wyglądają na zmienne.

Jak zrobić dobrze: Zmienną jest wyłącznie xx. Parametr to liczba, której wartości jeszcze nie znamy — przy rachunkach traktuj go dokładnie jak liczbę.

Zadania maturalne — miejsce zerowe funkcji liniowej

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane w treści. Czerwone — to, co policzone po drodze. Miejsce zerowe to argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość zero — czyli rozwiązanie równania f(x)=0f(x) = 0. Dla f(x)=ax+bf(x) = ax + b z a≠0a \neq 0 wychodzi zawsze jedno: x=−bax = -\tfrac{b}{a}. Dwie sytuacje wyjątkowe: gdy a=0a = 0 i b≠0b \neq 0, miejsca zerowego nie ma wcale; gdy funkcja jest określona różnymi wzorami na przedziałach, każde rozwiązanie trzeba sprawdzić, czy mieści się w swoim przedziale.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 10 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 17 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (czerwiec 2025)1 pktśrednie

Funkcja liniowa ff jest określona wzorem f(x)=12x−kf(x) = \dfrac{1}{2}x - k, gdzie kk jest liczbą rzeczywistą. Miejsce zerowe funkcji ff jest liczbą większą od 22. Liczba kk należy do przedziału
  • A. (−∞,−1)(-\infty, -1)
  • B. (−1,0)(-1, 0)
  • C. (0,1)(0, 1)
  • D. (1,∞)(1, \infty)
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Miejsce zerowe wyznaczamy z parametrem — a potem nakładamy na nie warunek z treści.
  2. Krok 1 — rozwiązujemy f(x)=0f(x) = 0.
  3. 12x−k=0⟹12x=k⟹x=2k\textcolor{#16A06A}{\tfrac12}x - \textcolor{#16A06A}{k} = 0 \quad \Longrightarrow \quad \tfrac12 x = \textcolor{#16A06A}{k} \quad \Longrightarrow \quad x = \textcolor{#E0453A}{2k}
  4. Krok 2 — wstawiamy warunek „większe od 2”.
  5. 2k>2\textcolor{#E0453A}{2k} > \textcolor{#16A06A}{2}
  6. Krok 3 — rozwiązujemy nierówność. Dzielimy przez 2, liczbę dodatnią, więc znak nierówności zostaje:
  7. k>1k > \textcolor{#E0453A}{1}
  8. Odpowiedź: k∈(1,∞)k \in (1, \infty), czyli D.
  9. Kontrola: dla k=3k = 3 mamy f(x)=12x−3f(x) = \tfrac12 x - 3, a miejsce zerowe to x=6>2x = 6 > 2 ✓. Dla k=0,5k = 0{,}5 wyszłoby x=1x = 1, czyli za mało.

💡 Wskazówka: Nie próbuj zgadywać z odpowiedzi — wyznacz miejsce zerowe jako wyrażenie z parametrem (x=2kx = 2k) i dopiero wtedy nałóż warunek. Tak zadanie sprowadza się do jednej nierówności liniowej.

⚠ Najczęstszy błąd: pomylenie znaku i otrzymanie x=−2kx = -2k, co prowadzi do przedziału (−∞,−1)(-\infty, -1), czyli odpowiedzi A. Z 12x=k\tfrac12 x = k wynika x=2kx = 2k — mnożymy przez 2, a nie zmieniamy znak.

Zadanie 2 (maj 2022)1 pktśrednie

Miejscem zerowym funkcji liniowej ff określonej wzorem f(x)=−13(x+3)+5f(x) = -\dfrac{1}{3}(x + 3) + 5 jest liczba
  • A. −3-3
  • B. 92\dfrac{9}{2}
  • C. 55
  • D. 1212
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Wzór jest podany w postaci z nawiasem — nie trzeba go rozwijać, wystarczy rozwiązać równanie krok po kroku.
  2. Krok 1 — przyrównujemy do zera.
  3. −13(x+3)+5=0-\textcolor{#16A06A}{\tfrac13}(x + \textcolor{#16A06A}{3}) + \textcolor{#16A06A}{5} = 0
  4. Krok 2 — przenosimy piątkę na drugą stronę.
  5. −13(x+3)=−5-\textcolor{#16A06A}{\tfrac13}(x + \textcolor{#16A06A}{3}) = \textcolor{#E0453A}{-5}
  6. Krok 3 — mnożymy obie strony przez −3-3. Odwrotność −13-\tfrac13 to −3-3:
  7. x+3=15x + \textcolor{#16A06A}{3} = \textcolor{#E0453A}{15}
  8. Krok 4 — wyznaczamy xx.
  9. x=15−3=12x = \textcolor{#E0453A}{15} - \textcolor{#16A06A}{3} = 12
  10. Odpowiedź: 1212, czyli D.
  11. Kontrola: f(12)=−13⋅15+5=−5+5=0f(12) = -\tfrac13 \cdot 15 + 5 = -5 + 5 = 0 ✓

💡 Wskazówka: Zawsze podstaw znaleziony wynik do wzoru i sprawdź, czy wychodzi zero. Przy wzorach z nawiasami i ułamkami to jedyna pewna kontrola — zajmuje kilka sekund, a łapie błędy znaku.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź A (−3-3), czyli podanie liczby, która zeruje nawias, a nie całą funkcję. Nawias to tylko część wzoru — trzeba uwzględnić także dodane 55. Odpowiedź C (55) to przepisany wyraz wolny.

Zadanie 3 (maj 2019)1 pktśrednie

Miejscem zerowym funkcji liniowej ff określonej wzorem f(x)=3(x+1)−63f(x) = 3(x + 1) - 6\sqrt{3} jest liczba
  • A. 3−633 - 6\sqrt{3}
  • B. 1−631 - 6\sqrt{3}
  • C. 23−12\sqrt{3} - 1
  • D. 23−132\sqrt{3} - \dfrac{1}{3}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Krok 1 — przyrównujemy do zera.
  2. 3(x+1)−63=0\textcolor{#16A06A}{3}(x + \textcolor{#16A06A}{1}) - \textcolor{#16A06A}{6\sqrt3} = 0
  3. Krok 2 — przenosimy wyraz z pierwiastkiem.
  4. 3(x+1)=63\textcolor{#16A06A}{3}(x + \textcolor{#16A06A}{1}) = \textcolor{#16A06A}{6\sqrt3}
  5. Krok 3 — dzielimy obie strony przez 3. Tu jest sedno: dzielimy całą prawą stronę, więc 63:3=236\sqrt3 : 3 = 2\sqrt3:
  6. x+1=23x + \textcolor{#16A06A}{1} = \textcolor{#E0453A}{2\sqrt3}
  7. Krok 4 — wyznaczamy xx.
  8. x=23−1x = \textcolor{#E0453A}{2\sqrt3} - \textcolor{#16A06A}{1}
  9. Odpowiedź: 23−12\sqrt3 - 1, czyli C.
  10. Kontrola przybliżona: 23≈3,462\sqrt3 \approx 3{,}46, więc x≈2,46x \approx 2{,}46. Wtedy f(x)=3⋅3,46−6⋅1,73≈10,39−10,39=0f(x) = 3 \cdot 3{,}46 - 6 \cdot 1{,}73 \approx 10{,}39 - 10{,}39 = 0 ✓

💡 Wskazówka: Pierwiastek w zadaniu nie zmienia metody — traktuj 636\sqrt3 jak zwykłą liczbę i dziel ją przez 3 tak samo jak każdą inną. Dzielenie dotyczy współczynnika przed pierwiastkiem: 633=23\tfrac{6\sqrt3}{3} = 2\sqrt3.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź B (1−631 - 6\sqrt3), czyli przeniesienie wyrazów bez podzielenia przez 3, albo odpowiedź D — z podzielenia przez 3 tylko jedynki, a nie wyrazu z pierwiastkiem. Dzielenie musi objąć każdy wyraz po danej stronie.

Zadanie 4 (czerwiec 2018)1 pkttrudniejsze

Funkcja liniowa f(x)=(1−m2)x+m−1f(x) = (1 - m^2)x + m - 1 nie ma miejsc zerowych dla
  • A. m=1m = 1
  • B. m=0m = 0
  • C. m=−1m = -1
  • D. m=−2m = -2
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Funkcja liniowa nie ma miejsc zerowych tylko w jednym przypadku: gdy jest funkcją stałą różną od zera. Potrzebujemy więc, żeby współczynnik przy xx był zerem, a wyraz wolny — nie.
  2. Krok 1 — zerujemy współczynnik kierunkowy.
  3. 1−m2=0⟹m2=1⟹m=1   albo   m=−1\textcolor{#16A06A}{1 - m^2} = 0 \quad \Longrightarrow \quad m^2 = 1 \quad \Longrightarrow \quad m = \textcolor{#E0453A}{1} \;\text{ albo }\; m = \textcolor{#E0453A}{-1}
  4. Krok 2 — sprawdzamy wyraz wolny dla każdej z tych wartości. To krok, o którym najłatwiej zapomnieć.
  5. Dla m=1m = \textcolor{#E0453A}{1}: wyraz wolny m−1=1−1=0\textcolor{#16A06A}{m - 1} = 1 - 1 = \textcolor{#E0453A}{0}, więc f(x)=0f(x) = 0 dla każdego xx — funkcja jest tożsamościowo zerowa, czyli ma nieskończenie wiele miejsc zerowych. To nie ten przypadek ✗
  6. Dla m=−1m = \textcolor{#E0453A}{-1}: wyraz wolny m−1=−1−1=−2≠0\textcolor{#16A06A}{m - 1} = -1 - 1 = \textcolor{#E0453A}{-2} \neq 0, więc f(x)=−2f(x) = -2 dla każdego xx — funkcja stała, nigdy nie równa zeru ✓
  7. Odpowiedź: m=−1m = -1, czyli C.
  8. Dla porządku: dla m=0m = 0 mamy f(x)=x−1f(x) = x - 1 (miejsce zerowe x=1x = 1), a dla m=−2m = -2 mamy f(x)=−3x−3f(x) = -3x - 3 (miejsce zerowe x=−1x = -1) — obie mają miejsce zerowe.

💡 Wskazówka: Samo wyzerowanie współczynnika kierunkowego nie wystarcza — trzeba jeszcze sprawdzić, czy wyraz wolny nie zeruje się razem z nim. Odpowiedź A jest w zadaniu właśnie po to: m=1m = 1 zeruje współczynnik, ale też wyraz wolny, i wtedy miejsc zerowych jest nieskończenie wiele, a nie zero.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź A, czyli zatrzymanie się po pierwszym kroku i wybór pierwszego rozwiązania równania m2=1m^2 = 1. Warto policzyć wyraz wolny dla obu wartości mm i porównać — to jedna linijka rachunku, która rozstrzyga zadanie.

Zadanie 5 (czerwiec 2017)1 pktłatwe

Funkcja liniowa ff jest określona wzorem f(x)=21−73xf(x) = 21 - \dfrac{7}{3}x. Miejscem zerowym funkcji ff jest
  • A. −9-9
  • B. −73-\dfrac{7}{3}
  • C. 99
  • D. 2121
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Krok 1 — przyrównujemy do zera.
  2. 21−73x=0\textcolor{#16A06A}{21} - \textcolor{#16A06A}{\tfrac73}x = 0
  3. Krok 2 — przenosimy wyraz z xx.
  4. 21=73x\textcolor{#16A06A}{21} = \textcolor{#16A06A}{\tfrac73}x
  5. Krok 3 — dzielimy przez ułamek, czyli mnożymy przez odwrotność.
  6. x=21:73=21⋅37=637=9x = \textcolor{#16A06A}{21} : \textcolor{#16A06A}{\tfrac73} = \textcolor{#16A06A}{21} \cdot \dfrac{3}{7} = \dfrac{63}{7} = \textcolor{#E0453A}{9}
  7. Odpowiedź: 99, czyli C.
  8. Kontrola: f(9)=21−73⋅9=21−21=0f(9) = 21 - \tfrac73 \cdot 9 = 21 - 21 = 0 ✓

💡 Wskazówka: Uważaj na kolejność wyrazów: tu wyraz wolny stoi pierwszy, a wyraz z xx ma minus. Wynik wychodzi dodatni, mimo że we wzorze widać minus — bo przenosimy go na drugą stronę. Odpowiedź A czeka na tego, kto zgubi ten znak.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź A (−9-9), czyli błąd znaku przy przenoszeniu wyrazów. Drugi częsty: odpowiedź D (2121), czyli podanie wyrazu wolnego — to wartość funkcji dla x=0x = 0, a nie miejsce zerowe.

Zadanie 6 (maj 2016)1 pktłatwe

Dana jest funkcja liniowa f(x)=34x+6f(x) = \dfrac{3}{4}x + 6. Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba
  • A. 88
  • B. 66
  • C. −6-6
  • D. −8-8
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Krok 1 — przyrównujemy do zera.
  2. 34x+6=0\textcolor{#16A06A}{\tfrac34}x + \textcolor{#16A06A}{6} = 0
  3. Krok 2 — przenosimy wyraz wolny.
  4. 34x=−6\textcolor{#16A06A}{\tfrac34}x = \textcolor{#E0453A}{-6}
  5. Krok 3 — mnożymy przez odwrotność ułamka.
  6. x=−6⋅43=−243=−8x = \textcolor{#E0453A}{-6} \cdot \dfrac{4}{3} = \dfrac{-24}{3} = \textcolor{#E0453A}{-8}
  7. Odpowiedź: −8-8, czyli D.
  8. Kontrola: f(−8)=34⋅(−8)+6=−6+6=0f(-8) = \tfrac34 \cdot (-8) + 6 = -6 + 6 = 0 ✓

💡 Wskazówka: Znak miejsca zerowego można przewidzieć bez rachunków: gdy współczynnik kierunkowy i wyraz wolny mają ten sam znak (tu oba dodatnie), miejsce zerowe jest ujemne — bo x=−bax = -\tfrac{b}{a}. To odsiewa odpowiedzi A i B od razu.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź A (88), czyli zgubienie minusa przy przenoszeniu szóstki. Odpowiedź C (−6-6) to sam przeniesiony wyraz wolny, bez podzielenia przez współczynnik 34\tfrac34.

Zadanie 7 (maj 2011)1 pktśrednie

Funkcja liniowa określona jest wzorem f(x)=−2 x+4f(x) = -\sqrt{2}\,x + 4. Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba
  • A. −22-2\sqrt{2}
  • B. 22\dfrac{\sqrt{2}}{2}
  • C. −22-\dfrac{\sqrt{2}}{2}
  • D. 222\sqrt{2}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Krok 1 — przyrównujemy do zera i przenosimy wyrazy.
  2. −2 x+4=0⟹2 x=4-\textcolor{#16A06A}{\sqrt2}\,x + \textcolor{#16A06A}{4} = 0 \quad \Longrightarrow \quad \textcolor{#16A06A}{\sqrt2}\,x = \textcolor{#16A06A}{4}
  3. Krok 2 — dzielimy przez 2\sqrt2.
  4. x=42x = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{4}}{\textcolor{#16A06A}{\sqrt2}}
  5. Krok 3 — usuwamy niewymierność z mianownika. Mnożymy licznik i mianownik przez 2\sqrt2:
  6. x=42⋅22=422=22x = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{4}}{\textcolor{#16A06A}{\sqrt2}} \cdot \dfrac{\sqrt2}{\sqrt2} = \dfrac{4\sqrt2}{2} = \textcolor{#E0453A}{2\sqrt2}
  7. Odpowiedź: 222\sqrt2, czyli D.
  8. Kontrola: f(22)=−2⋅22+4=−2⋅2+4=0f(2\sqrt2) = -\sqrt2 \cdot 2\sqrt2 + 4 = -2 \cdot 2 + 4 = 0 ✓ — bo 2⋅2=2\sqrt2 \cdot \sqrt2 = 2.

💡 Wskazówka: Wynik musi być dodatni: współczynnik kierunkowy jest ujemny, wyraz wolny dodatni, więc x=−ba>0x = -\tfrac{b}{a} > 0. To od razu odrzuca odpowiedzi A i C. Zostaje sprawdzić tylko, czy wynik to 222\sqrt2 czy 22\tfrac{\sqrt2}{2}.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź B (22\tfrac{\sqrt2}{2}), czyli odwrócenie ułamka przy usuwaniu niewymierności — to wynik dla 12\tfrac{1}{\sqrt2}, a nie 42\tfrac{4}{\sqrt2}. Warto pamiętać, że 42=22≈2,83\tfrac{4}{\sqrt2} = 2\sqrt2 \approx 2{,}83, a 22≈0,71\tfrac{\sqrt2}{2} \approx 0{,}71 — te liczby różnią się czterokrotnie.

Zadanie 8 (informator CKE)1 pkttrudniejsze

Funkcja ff jest określona wzorem f(x)={x−4dla x⩽3−x+2dla x>3f(x) = \begin{cases} x - 4 & \text{dla } x \leqslant 3 \\ -x + 2 & \text{dla } x > 3 \end{cases} Ile miejsc zerowych ma ta funkcja?
  • A. 00
  • B. 11
  • C. 22
  • D. 33
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Funkcja jest określona różnymi wzorami na dwóch przedziałach. Każdy wzór trzeba rozwiązać osobno, a potem sprawdzić, czy rozwiązanie mieści się w swoim przedziale — i to jest cała treść tego zadania.
  2. Gałąź 1 — wzór x−4x - 4, obowiązuje dla x⩽3x \leqslant \textcolor{#16A06A}{3}.
  3. x−4=0⟹x=4x - \textcolor{#16A06A}{4} = 0 \quad \Longrightarrow \quad x = \textcolor{#E0453A}{4}
  4. Sprawdzamy: czy 4⩽3\textcolor{#E0453A}{4} \leqslant \textcolor{#16A06A}{3}? Nie — więc ta liczba nie jest miejscem zerowym funkcji ff, bo w punkcie x=4x = 4 obowiązuje już drugi wzór ✗
  5. Gałąź 2 — wzór −x+2-x + 2, obowiązuje dla x>3x > \textcolor{#16A06A}{3}.
  6. −x+2=0⟹x=2-x + \textcolor{#16A06A}{2} = 0 \quad \Longrightarrow \quad x = \textcolor{#E0453A}{2}
  7. Sprawdzamy: czy 2>3\textcolor{#E0453A}{2} > \textcolor{#16A06A}{3}? Nie — więc i to nie jest miejsce zerowe ✗
  8. Wniosek: żadne z dwóch rozwiązań nie należy do swojego przedziału, więc funkcja nie ma miejsc zerowych.
  9. Odpowiedź: 00, czyli A.
  10. Sprawdźmy to jeszcze inaczej: dla x⩽3x \leqslant 3 mamy f(x)=x−4⩽3−4=−1<0f(x) = x - 4 \leqslant 3 - 4 = -1 < 0, a dla x>3x > 3 mamy f(x)=−x+2<−3+2=−1<0f(x) = -x + 2 < -3 + 2 = -1 < 0. Funkcja jest ujemna wszędzie — więc zera osiągnąć nie może.

💡 Wskazówka: Przy funkcji określonej przedziałami rozwiązanie równania to połowa pracy. Druga połowa to sprawdzenie przynależności do przedziału — i właśnie na tym te zadania są zbudowane. Tu oba rozwiązania „wypadają” poza swoje przedziały.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź C (22), czyli policzenie dwóch równań, otrzymanie dwóch liczb i uznanie ich za dwa miejsca zerowe — bez sprawdzenia przedziałów. To dokładnie ta pułapka, na której zadanie stoi.

Zadanie 9 (informator CKE)1 pkttrudniejsze

Funkcja ff jest określona wzorem f(x)={−3x+4dla x<12x−1dla x⩾1f(x) = \begin{cases} -3x + 4 & \text{dla } x < 1 \\ 2x - 1 & \text{dla } x \geqslant 1 \end{cases} Ile miejsc zerowych ma ta funkcja?
  • A. 00
  • B. 11
  • C. 22
  • D. 33
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Ten sam schemat co w poprzednim zadaniu — i znowu oba rozwiązania wypadną poza swoje przedziały.
  2. Gałąź 1 — wzór −3x+4-3x + 4, obowiązuje dla x<1x < \textcolor{#16A06A}{1}.
  3. −3x+4=0⟹x=43-\textcolor{#16A06A}{3}x + \textcolor{#16A06A}{4} = 0 \quad \Longrightarrow \quad x = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{4}{3}}
  4. Sprawdzamy: 43≈1,33\textcolor{#E0453A}{\tfrac43} \approx 1{,}33, a warunek to x<1x < \textcolor{#16A06A}{1}. Nie należy ✗
  5. Gałąź 2 — wzór 2x−12x - 1, obowiązuje dla x⩾1x \geqslant \textcolor{#16A06A}{1}.
  6. 2x−1=0⟹x=12\textcolor{#16A06A}{2}x - \textcolor{#16A06A}{1} = 0 \quad \Longrightarrow \quad x = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{2}}
  7. Sprawdzamy: 12=0,5\textcolor{#E0453A}{\tfrac12} = 0{,}5, a warunek to x⩾1x \geqslant \textcolor{#16A06A}{1}. Nie należy ✗
  8. Odpowiedź: 00 miejsc zerowych, czyli A.
  9. Dlaczego zera nie ma nigdzie — sprawdzenie niezależne. Zobaczmy, jakie wartości funkcja w ogóle przyjmuje na każdym przedziale:
  10. dla x<1x < 1: wzór −3x+4-3x + 4 maleje wraz ze wzrostem xx, a w pobliżu jedynki dąży do −3+4=1-3 + 4 = \textcolor{#E0453A}{1} — więc na całym (−∞,1)(-\infty, 1) wartości są większe od 1
  11. dla x⩾1x \geqslant 1: wzór 2x−12x - 1 rośnie, a startuje od 2−1=12 - 1 = \textcolor{#E0453A}{1} — więc wartości są nie mniejsze niż 1
  12. Najmniejsza wartość funkcji to 1\textcolor{#E0453A}{1}, więc funkcja nigdzie nie osiąga zera ✓ — to potwierdza wynik otrzymany z gałęzi.

💡 Wskazówka: Oba zadania z informatora CKE mają odpowiedź 00 — to nie przypadek, tylko celowo dobrany zestaw pokazujący, że rozwiązanie równania nie jest jeszcze miejscem zerowym. Zawsze sprawdź przynależność do przedziału.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź C (22) — z policzenia dwóch rozwiązań i pominięcia warunków. Drugi częsty: odpowiedź B (11), gdy uczeń sprawdzi tylko jedną gałąź i zatrzyma się na pierwszym „pasującym” wyniku.

Zadanie 10 (czerwiec 2013)1 pktłatwe

Liczba (−3)(-3) jest miejscem zerowym funkcji f(x)=(2m−1)x+9f(x) = (2m - 1)x + 9. Wtedy
  • A. m=−2m = -2
  • B. m=0m = 0
  • C. m=2m = 2
  • D. m=3m = 3
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. „Liczba −3-3 jest miejscem zerowym” znaczy dokładnie jedno: f(−3)=0f(\textcolor{#16A06A}{-3}) = 0. Podstawiamy tę liczbę w miejsce xx i rozwiązujemy równanie — ale teraz niewiadomą jest mm, nie xx.
  2. (2m−1)⋅(−3)+9=0(2m - 1) \cdot \textcolor{#16A06A}{(-3)} + \textcolor{#16A06A}{9} = 0
  3. −3(2m−1)=−9-3(2m - 1) = \textcolor{#E0453A}{-9}
  4. Dzielimy obie strony przez −3-3:
  5. 2m−1=32m - 1 = \textcolor{#E0453A}{3}
  6. 2m=4⟹m=22m = \textcolor{#E0453A}{4} \qquad \Longrightarrow \qquad m = \textcolor{#E0453A}{2}
  7. Odpowiedź: C.
  8. Kontrola: dla m=2m = 2 wzór to f(x)=3x+9f(x) = 3x + 9, a jego miejsce zerowe to x=−3x = -3 ✓

💡 Wskazówka: Cała ta grupa zadań opiera się na jednym zdaniu: miejsce zerowe podstawiamy w miejsce xx i przyrównujemy wzór do zera. Zmienia się tylko to, czego szukamy — nie xx, a parametr. Warto od razu zapisać f(dana liczba)=0f(\text{dana liczba}) = 0, zanim się cokolwiek policzy.

⚠ Przyrównanie do zera samego nawiasu: 2m−1=02m - 1 = 0, czyli m=12m = \tfrac12. To warunek na to, żeby funkcja była stała, a nie na to, żeby miała miejsce zerowe w −3-3. Drugi błąd to znak przy mnożeniu przez liczbę ujemną — −3⋅(2m−1)-3 \cdot (2m-1) to −6m+3-6m + 3, a nie −6m−3-6m - 3; ta pomyłka daje m=1m = 1 i żadną z podanych odpowiedzi, co samo w sobie jest sygnałem, że coś poszło nie tak.

Zadanie 11 (informator CKE)1 pktłatwe

Liczba 11 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f(x)=(2−m)x+1f(x) = (2 - m)x + 1. Wynika stąd, że
  • A. m=0m = 0
  • B. m=1m = 1
  • C. m=2m = 2
  • D. m=3m = 3
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Podstawiamy x=1x = \textcolor{#16A06A}{1} i przyrównujemy do zera:
  2. (2−m)⋅1+1=0(2 - m) \cdot \textcolor{#16A06A}{1} + \textcolor{#16A06A}{1} = 0
  3. 2−m+1=02 - m + 1 = 0
  4. 3−m=0⟹m=3\textcolor{#E0453A}{3} - m = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad m = \textcolor{#E0453A}{3}
  5. Odpowiedź: D.
  6. Kontrola: dla m=3m = 3 wzór to f(x)=(2−3)x+1=−x+1f(x) = (2 - 3)x + 1 = -x + 1, a jego miejsce zerowe to x=1x = 1 ✓

💡 Wskazówka: Podstawienie x=1x = 1 jest najwygodniejszym przypadkiem w całej tej grupie: mnożenie przez jedynkę nic nie zmienia, więc równanie sprowadza się do dodania wyrazu wolnego do nawiasu. Warto to zauważyć i nie rozpisywać mnożenia.

⚠ Odpowiedź m=2m = 2 to wynik przyrównania do zera samego nawiasu (2−m=02 - m = 0) — z pominięciem wyrazu wolnego. Dla m=2m = 2 funkcja jest stała i równa 11, więc miejsca zerowego nie ma wcale. Odpowiedź m=1m = 1 wychodzi z zapomnianego minusa we wzorze x0=−bax_0 = -\tfrac{b}{a}: kto zapisze 12−m=1\tfrac{1}{2-m} = 1 zamiast −12−m=1-\tfrac{1}{2-m} = 1, dostanie 2−m=12 - m = 1, czyli właśnie m=1m = 1. To jeszcze jeden argument za podstawianiem — tam nie ma gdzie zgubić znaku.

Zadanie 12 (informator CKE)1 pktśrednie

Liczba x=−7x = -7 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f(x)=(3−a)x+7f(x) = (3 - a)x + 7 dla
  • A. a=−7a = -7
  • B. a=2a = 2
  • C. a=3a = 3
  • D. a=−1a = -1
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Podstawiamy x=−7x = \textcolor{#16A06A}{-7}:
  2. (3−a)⋅(−7)+7=0(3 - a) \cdot \textcolor{#16A06A}{(-7)} + \textcolor{#16A06A}{7} = 0
  3. −7(3−a)=−7-7(3 - a) = \textcolor{#E0453A}{-7}
  4. Obie strony dzielimy przez −7-7 — dwie siódemki się skracają, co jest tu całą sztuczką:
  5. 3−a=13 - a = \textcolor{#E0453A}{1}
  6. a=2a = \textcolor{#E0453A}{2}
  7. Odpowiedź: B.
  8. Kontrola: dla a=2a = 2 wzór to f(x)=x+7f(x) = x + 7, a jego miejsce zerowe to x=−7x = -7 ✓

💡 Wskazówka: Liczba 77 występuje w zadaniu dwa razy — jako miejsce zerowe (ze znakiem minus) i jako wyraz wolny. To nie przypadek: po podstawieniu obie strony dzielą się przez −7-7 i zostaje bardzo prosty rachunek. Kiedy w zadaniu widać powtórzoną liczbę, warto poszukać takiego skrócenia zamiast mnożyć nawias.

⚠ Odpowiedź a=3a = 3 to znowu przyrównanie do zera samego nawiasu — a dla a=3a = 3 funkcja jest stała i równa 77, więc miejsca zerowego nie ma. Odpowiedź a=−7a = -7 to po prostu przepisane miejsce zerowe: liczba z treści postawiona w roli parametru. Obie te odpowiedzi da się odrzucić bez rachunku, jeśli tylko sprawdzić, co się dzieje ze wzorem po podstawieniu.

Zadanie 13 (czerwiec 2024)1 pktłatwe

Liczba 22 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f(x)=(3−m)x+4f(x) = (3 - m)x + 4. Liczba mm jest równa
  • A. 00
  • B. 33
  • C. 44
  • D. 55
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Podstawiamy x=2x = \textcolor{#16A06A}{2}:
  2. (3−m)⋅2+4=0(3 - m) \cdot \textcolor{#16A06A}{2} + \textcolor{#16A06A}{4} = 0
  3. 6−2m+4=0\textcolor{#E0453A}{6} - \textcolor{#E0453A}{2}m + \textcolor{#16A06A}{4} = 0
  4. 10=2m⟹m=5\textcolor{#E0453A}{10} = \textcolor{#E0453A}{2}m \qquad \Longrightarrow \qquad m = \textcolor{#E0453A}{5}
  5. Odpowiedź: D.
  6. Kontrola: dla m=5m = 5 wzór to f(x)=(3−5)x+4=−2x+4f(x) = (3 - 5)x + 4 = -2x + 4, a jego miejsce zerowe to x=2x = 2 ✓

💡 Wskazówka: Można też pójść drugą drogą, krótszą, jeśli ktoś woli myśleć wzorem: miejsce zerowe funkcji ax+bax + b to −ba-\tfrac{b}{a}, więc warunek brzmi −43−m=2-\tfrac{4}{3-m} = 2, czyli 3−m=−23 - m = -2. Wychodzi to samo, ale trzeba pamiętać o znaku minus we wzorze — dlatego podstawianie jest bezpieczniejsze.

⚠ Odpowiedź 33 to przyrównanie do zera nawiasu — dla m=3m = 3 funkcja jest stała i równa 44, więc nie ma miejsca zerowego. Odpowiedź 44 to przepisany wyraz wolny. Trzeci wariant pomyłki: rozwiązanie 6−2m+4=06 - 2m + 4 = 0 jako 6−2m=46 - 2m = 4, co daje m=1m = 1 — i żadnej z podanych odpowiedzi, więc błąd sam się ujawnia.

Zadanie 14 (czerwiec 2019)1 pkttrudniejsze

Funkcja liniowa ff jest określona wzorem f(x)=(a+1)x+11f(x) = (a + 1)x + 11, gdzie aa to pewna liczba rzeczywista, ma miejsce zerowe równe x=34x = \dfrac{3}{4}. Stąd wynika, że
  • A. a=−413a = -\dfrac{41}{3}
  • B. a=413a = \dfrac{41}{3}
  • C. a=−473a = -\dfrac{47}{3}
  • D. a=473a = \dfrac{47}{3}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Podstawiamy x=34x = \textcolor{#16A06A}{\tfrac34}:
  2. (a+1)⋅34+11=0(a + 1) \cdot \textcolor{#16A06A}{\tfrac34} + \textcolor{#16A06A}{11} = 0
  3. (a+1)⋅34=−11(a + 1) \cdot \textcolor{#16A06A}{\tfrac34} = \textcolor{#E0453A}{-11}
  4. Dzielenie przez 34\tfrac34 to mnożenie przez 43\tfrac43:
  5. a+1=−11⋅43=−443a + 1 = \textcolor{#E0453A}{-11} \cdot \tfrac43 = \textcolor{#E0453A}{-\tfrac{44}{3}}
  6. Na koniec odejmujemy 11 — i tu trzeba zamienić jedynkę na 33\tfrac33, żeby dodać ułamki:
  7. a=−443−1=−443−33=−473a = \textcolor{#E0453A}{-\tfrac{44}{3}} - 1 = -\tfrac{44}{3} - \tfrac{3}{3} = \textcolor{#E0453A}{-\tfrac{47}{3}}
  8. Odpowiedź: C.
  9. Kontrola: dla a=−473a = -\tfrac{47}{3} współczynnik kierunkowy to a+1=−443a + 1 = -\tfrac{44}{3}, a miejsce zerowe −11−443=11⋅344=3344=34-\dfrac{11}{-\frac{44}{3}} = \dfrac{11 \cdot 3}{44} = \dfrac{33}{44} = \dfrac34 ✓

💡 Wskazówka: Najbezpieczniej nie mnożyć nawiasu przez 34\tfrac34, tylko potraktować całe (a+1)(a+1) jak jedną niewiadomą, wyznaczyć ją, a odjęcie jedynki zostawić na sam koniec. Wtedy w rachunku jest tylko jeden ułamek zamiast trzech.

⚠ Zgubienie ostatniego kroku. Liczba −443-\tfrac{44}{3} to a+1a + 1, a nie aa — i właśnie dlatego trzy z czterech odpowiedzi mają w mianowniku trójkę: zadanie sprawdza, czy pamiętasz odjąć jedynkę i czy umiesz to zrobić na ułamkach (1=331 = \tfrac33, więc wynik to −473-\tfrac{47}{3}, nie −453-\tfrac{45}{3} ani −433-\tfrac{43}{3}). Drugi błąd: dzielenie przez 34\tfrac34 potraktowane jak mnożenie przez 34\tfrac34 — daje −334-\tfrac{33}{4} i prowadzi w slepą uliczkę.

Zadanie 15 (maj 2024)1 pktśrednie

Funkcje liniowe ff oraz gg, określone wzorami f(x)=3x+6f(x) = 3x + 6 oraz g(x)=ax+7g(x) = ax + 7, mają to samo miejsce zerowe. Współczynnik aa we wzorze funkcji gg jest równy
  • A. −72-\dfrac{7}{2}
  • B. −27-\dfrac{2}{7}
  • C. 27\dfrac{2}{7}
  • D. 72\dfrac{7}{2}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Zadanie rozpada się na dwa kroki, bo o miejscu zerowym funkcji ff wiemy wszystko — jej wzór nie ma parametru.
  2. Krok 1 — miejsce zerowe funkcji ff.
  3. 3x+6=0⟹x=−2\textcolor{#16A06A}{3}x + \textcolor{#16A06A}{6} = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad x = \textcolor{#E0453A}{-2}
  4. Krok 2 — ta sama liczba musi być miejscem zerowym funkcji gg, czyli g(−2)=0g(\textcolor{#E0453A}{-2}) = 0:
  5. a⋅(−2)+7=0a \cdot \textcolor{#E0453A}{(-2)} + \textcolor{#16A06A}{7} = 0
  6. −2a=−7⟹a=72-2a = \textcolor{#E0453A}{-7} \qquad \Longrightarrow \qquad a = \textcolor{#E0453A}{\tfrac72}
  7. Odpowiedź: D.
  8. Kontrola: g(x)=72x+7g(x) = \tfrac72 x + 7, więc g(−2)=−7+7=0g(-2) = -7 + 7 = 0 ✓

💡 Wskazówka: „Mają to samo miejsce zerowe” to informacja o jednej liczbie, która pasuje do obu wzorów. Zawsze zaczynaj od tej funkcji, która nie ma parametru — z niej tę liczbę po prostu wyliczysz, a potem podstawisz do drugiej. Próba porównywania wzorów −63=−7a-\tfrac{6}{3} = -\tfrac{7}{a} też działa, ale łatwiej się w niej pomylić o znak.

⚠ Znak. Z −2a=−7-2a = -7 wynika a=72a = \tfrac72, a nie −72-\tfrac72 — dwa minusy się skracają. Odpowiedzi B i C pilnują czegoś innego: odwrócenia ułamka. Miejsce zerowe funkcji ff to −2-2, więc w rachunku dzielimy 77 przez 22, a nie 22 przez 77; wynik jest większy od 11, nie mniejszy.

Zadanie 16 (sierpień 2020)1 pktśrednie

Funkcje liniowe ff i gg określone wzorami f(x)=−4x+12f(x) = -4x + 12 i g(x)=−2x+k+3g(x) = -2x + k + 3 mają wspólne miejsce zerowe. Stąd wynika, że
  • A. k=−6k = -6
  • B. k=−3k = -3
  • C. k=3k = 3
  • D. k=6k = 6
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Ten sam schemat co w poprzednim zadaniu, tylko parametr siedzi teraz w wyrazie wolnym, a nie przy xx.
  2. Krok 1 — miejsce zerowe funkcji ff (jej wzór nie ma parametru):
  3. −4x+12=0⟹x=3\textcolor{#16A06A}{-4}x + \textcolor{#16A06A}{12} = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad x = \textcolor{#E0453A}{3}
  4. Krok 2 — ta sama liczba jest miejscem zerowym gg, czyli g(3)=0g(\textcolor{#E0453A}{3}) = 0:
  5. −2⋅3+k+3=0\textcolor{#16A06A}{-2} \cdot \textcolor{#E0453A}{3} + k + \textcolor{#16A06A}{3} = 0
  6. −6+k+3=0\textcolor{#E0453A}{-6} + k + \textcolor{#16A06A}{3} = 0
  7. k−3=0⟹k=3k - \textcolor{#E0453A}{3} = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad k = \textcolor{#E0453A}{3}
  8. Odpowiedź: C.
  9. Kontrola: dla k=3k = 3 mamy g(x)=−2x+6g(x) = -2x + 6, a jego miejsce zerowe to x=3x = 3 ✓ — takie samo jak funkcji ff.

💡 Wskazówka: Warto od razu zauważyć, że k+3k + 3 to cały wyraz wolny funkcji gg. Skoro miejscem zerowym ma być 33, a współczynnik kierunkowy to −2-2, to wyraz wolny musi wynosić 66 — bo −2⋅3+6=0-2 \cdot 3 + 6 = 0. Zostaje k+3=6k + 3 = 6, czyli k=3k = 3, bez rozpisywania równania.

⚠ Zgubienie trójki z wyrazu wolnego i odpowiedź k=6k = 6 — czyli podanie wartości całego wyrazu wolnego k+3k + 3 zamiast samego kk. To najczęstsza pomyłka w tym zadaniu i dokładnie na nią przygotowana jest odpowiedź D. Drugi błąd to znak: z −6+k+3=0-6 + k + 3 = 0 wynika k=3k = 3, a nie k=−3k = -3.

Zadanie 17 (maj 2025)1 pkttrudniejsze

Funkcja liniowa ff jest określona wzorem f(x)=(3−m)x−4f(x) = (3 - m)x - 4. Funkcja ff nie ma miejsca zerowego dla mm równego
  • A. (−3)(-3)
  • B. 00
  • C. 33
  • D. 44
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. To zadanie jest odwrotnością wszystkich poprzednich: nie szukamy miejsca zerowego, tylko pytamy, kiedy go nie ma.
  2. Zacznijmy od tego, kiedy ono jest. Jeśli współczynnik przy xx jest różny od zera, równanie ax+b=0ax + b = 0 ma zawsze dokładnie jedno rozwiązanie: x=−bax = -\tfrac{b}{a}. Nie ma tu żadnej możliwości, żeby zabrakło rozwiązania.
  3. Zostaje więc jedyny przypadek: współczynnik przy xx równy zero. Wtedy ze wzoru zostaje sama liczba i wykresem jest prosta pozioma.
  4. 3−m=0⟹m=3\textcolor{#16A06A}{3 - m} = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad m = \textcolor{#E0453A}{3}
  5. Sprawdzamy, co wtedy zostaje ze wzoru:
  6. f(x)=(3−3)x−4=−4f(x) = (3 - 3)x - \textcolor{#16A06A}{4} = \textcolor{#E0453A}{-4}
  7. Funkcja przyjmuje wartość −4-4 dla każdego xx — nigdy zera. Wykresem jest prosta pozioma na wysokości −4-4, która nie przecina osi OxOx.
  8. Odpowiedź: C.
  9. Warunek ma dwie części: a=0a = 0 i b≠0b \neq 0. Tutaj b=−4≠0b = -4 \neq 0, więc jest spełniony. Gdyby wyraz wolny też był zerem, funkcja byłaby stale równa zero i miejscem zerowym byłaby każda liczba — czyli znowu nie byłoby „braku”.

💡 Wskazówka: Zapamiętaj to jako regułę, a nie jako rachunek: funkcja liniowa nie ma miejsca zerowego tylko wtedy, gdy jest stała i różna od zera. Dla a≠0a \neq 0 prosta jest ukośna, a każda ukośna prosta musi kiedyś przeciąć oś OxOx. Dlatego pytanie „kiedy nie ma miejsca zerowego” zawsze sprowadza się do równania a=0a = 0 — i do sprawdzenia, czy przy tym b≠0b \neq 0.

⚠ Przyrównanie do zera wyrazu wolnego albo całego wzoru zamiast współczynnika przy xx. Warunek dotyczy wyłącznie tego, co stoi przy xx. Drugi, poważniejszy błąd jest pojęciowy: szukanie takiego mm, dla którego równanie (3−m)x−4=0(3-m)x - 4 = 0 jest sprzeczne „samo z siebie” — przy m≠3m \neq 3 ono nigdy sprzeczne nie jest, bo zawsze można podzielić przez 3−m3 - m. Dopiero gdy dzielić nie wolno, robi się interesująco.

Zadania otwarte

Zadanie 18 (informator CKE)2 pktśrednie

Oblicz miejsce zerowe funkcji f(x)={2x+1dla x⩽0x+2dla x>0f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{dla } x \leqslant 0 \\ x + 2 & \text{dla } x > 0 \end{cases}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: x=−12x = -\dfrac{1}{2}

  1. Funkcja jest określona dwoma wzorami, więc równanie f(x)=0f(x) = 0 trzeba rozwiązać osobno w każdej gałęzi — i za każdym razem sprawdzić, czy otrzymana liczba należy do przedziału tej gałęzi. Bez tego sprawdzenia zadania nie da się zrobić poprawnie.
  2. Gałąź pierwsza: 2x+1=0\textcolor{#16A06A}{2x + 1} = 0 dla x⩽0x \textcolor{#16A06A}{\leqslant 0}
  3. x=−12x = \textcolor{#E0453A}{-\tfrac12}  — i czy −12⩽0-\tfrac12 \leqslant 0? Tak ✓ Ta liczba jest miejscem zerowym.
  4. Gałąź druga: x+2=0\textcolor{#16A06A}{x + 2} = 0 dla x>0x \textcolor{#16A06A}{> 0}
  5. x=−2x = \textcolor{#E0453A}{-2}  — i czy −2>0-2 > 0? Nie ✗ Ta liczba nie jest miejscem zerowym, bo w tym przedziale funkcja jest opisana zupełnie innym wzorem.
  6. Dla x=−2x = -2 obowiązuje pierwszy wzór, a on daje f(−2)=2⋅(−2)+1=−3≠0f(-2) = 2 \cdot (-2) + 1 = \textcolor{#E0453A}{-3} \neq 0 — co potwierdza, że −2-2 trzeba odrzucić.
  7. Odpowiedź: funkcja ma jedno miejsce zerowe, x=−12x = -\tfrac12.
  8. Kontrola: f(−12)=2⋅(−12)+1=−1+1=0f\left(-\tfrac12\right) = 2 \cdot \left(-\tfrac12\right) + 1 = -1 + 1 = 0 ✓

💡 Wskazówka: Każdy pierwiastek równania musi przejść dwa testy: czy spełnia równanie i czy leży w przedziale tego wzoru, z którego wyszedł. Drugi test jest tym, co odróżnia to zadanie od zwykłego „oblicz miejsce zerowe” — i tym, na czym najczęściej traci się punkt. Warto go zapisać jawnie w rozwiązaniu, a nie robić w głowie.

⚠ Podanie obu liczb, −12-\tfrac12 i −2-2, jako miejsc zerowych. Liczba −2-2 jest poprawnym rozwiązaniem równania x+2=0x + 2 = 0, ale nie jest miejscem zerowym funkcji, bo wzór x+2x+2 obowiązuje wyłącznie dla x>0x > 0. Drugi wariant tego samego błędu: sprawdzenie przynależności tylko przy pierwszej gałęzi i przepisanie drugiej bez namysłu.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. D2. D3. C4. C5. C6. D
7. D8. A9. A10. C11. D12. B
13. D14. C15. D16. C17. C18. x=−12x = -\dfrac{1}{2}

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

7Pytania i odpowiedzi

Ile miejsc zerowych ma funkcja liniowa?

Jedno, gdy współczynnik przy xx jest różny od zera. Żadnego, gdy funkcja jest stała i niezerowa. Nieskończenie wiele, gdy jest tożsamościowo równa zeru.

Czy miejsce zerowe może być ujemne albo ułamkowe?

Tak, bez żadnych ograniczeń — miejsce zerowe to zwykła liczba rzeczywista, a nie liczba naturalna. Wynik −23-\frac{2}{3} jest równie poprawny jak 44 i nie świadczy o błędzie. Ułamek pojawia się dokładnie wtedy, gdy wyraz wolny nie dzieli się przez współczynnik przy xx — a to zależy od obu liczb naraz, nie od tego, czy same są całkowite. W drugim przykładzie na tej stronie współczynnik wynosi −14-\frac{1}{4}, a miejsce zerowe to całkowite 2020. Warto go zostawić w postaci ułamka zwykłego, bo zaokrąglenie do postaci dziesiętnej bywa uznawane za wynik przybliżony.

Czym różni się miejsce zerowe od wyrazu wolnego?

Miejsce zerowe to punkt przecięcia z osią poziomą, a wyraz wolny bb — z pionową. Obie liczby widać na wykresie, ale na różnych osiach i o różnym znaczeniu.

Jak sprawdzić wynik bez rysowania wykresu?

Podstawić otrzymaną liczbę do wzoru funkcji. Jeśli wyjdzie zero, wynik jest poprawny — to najszybsza kontrola, jaka istnieje w tym dziale.

Po co w treści zadania parametr, skoro utrudnia rachunek?

Bo sprawdza, czy uczeń rozumie rolę współczynników, a nie tylko umie rozwiązać równanie. To ten sam wzór funkcji dla całej rodziny prostych naraz.

Czytaj dalej

Wykres funkcji liniowejTo samo miejsce zerowe widziane z rysunku, razem ze współczynnikiem kierunkowym.Wartości funkcji i odczyt z wykresuKiedy odpowiedź jest liczbą z osi poziomej, a kiedy z pionowej.Funkcja kwadratowaDla porównania: tam liczba miejsc zerowych zależy od wyróżnika, nie od jednego współczynnika.
Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.