Strona główna › Egzamin ósmoklasisty › Procenty na egzaminie ósmoklasisty

Procenty na egzaminie ósmoklasisty

Q: Jak obliczyć procent z liczby?

Zamień procent na ułamek dziesiętny i pomnóż przez całość — 15% z 240 to 240 · 0,15 = 36. W pamięci wygodnie jest liczyć przez dziesiątki: 10% to przesunięcie przecinka, a 5% to połowa tej wartości.

Q: Jak policzyć cenę przed obniżką?

Podziel cenę po obniżce przez mnożnik. Przy obniżce o 20% mnożnik wynosi 0,8, więc cena wyjściowa to zapłacona kwota podzielona przez 0,8. Dodawanie procentu z powrotem daje zły wynik, bo liczyłoby się go od niewłaściwej całości.

Q: O ile procent wzrosła cena?

Odejmij ceny, a różnicę podziel przez cenę wyjściową i pomnóż przez sto. Mianownikiem musi być stan sprzed zmiany — to najczęstsze miejsce pomyłki w tym typie zadań.

Q: Czy dwie obniżki po 10% dają 20%?

Nie, dają 19%. Druga obniżka liczona jest od ceny już obniżonej, czyli od mniejszej kwoty. Mnożniki się mnożą: 0,9 · 0,9 = 0,81, więc zostaje 81% ceny wyjściowej.

Q: Jak porównać dwie promocje?

Policz obie do końca na tej samej kwocie, na przykład na stu złotych, zamiast porównywać same procenty. Wynik procentowy nie zależy od wybranej kwoty, a takie porównanie nie daje się zmylić hasłom typu „drugi produkt za pół ceny”.

Q: Czym różni się punkt procentowy od procentu?

Punkt procentowy to zwykła różnica między dwiema wartościami procentowymi. Wzrost z 20% do 25% to pięć punktów procentowych, ale zarazem wzrost o 25% względem wartości wyjściowej. W treści zadania decyduje słowo „punkt”.

Dwadzieścia jeden z 30 zadań na tej stronie rozgrywa się wokół pieniędzy — cen, zarobków, podatku, rachunków — a dziesięć dotyczy wprost obniżek i zniżek. To nie jest dział o definicji procentu, tylko o cenach. Dlatego uczę tu jednej metody, mnożnika: jest szybsza od proporcji i jako jedyna nie myli się przy dwóch obniżkach po kolei. Pozostałe dziewięć zadań pokazuje, że procent działa tak samo poza sklepem — przy składzie mieszanki, wynikach ankiety czy powiększaniu boku kwadratu.

Dział: Egzamin ósmoklasistyPoziom: klasa 7–8Zadań: 30 — 22 z egzaminu ósmoklasisty i 8 z egzaminu gimnazjalnego

Przejdź od razu do zadań (30) ↓

Trzy pytania, które wracają w każdym arkuszu

Zadania z procentów sprowadzają się do trzech typów pytań i warto je od siebie odróżniać, zanim zacznie się liczyć:

Ile to procent? — znam część i całość, szukam procentu: $\dfrac{\text{część}}{\text{całość}} \cdot 100\%$
Procent z liczby — znam procent i całość, szukam części: $\text{całość} \cdot \dfrac{p}{100}$
Jaka to całość? — znam część i procent, szukam całości: $\dfrac{\text{część}}{p} \cdot 100$

Trzeci typ jest najtrudniejszy i najczęściej mylony, bo wymaga dzielenia zamiast mnożenia. To on stoi za zadaniami „cena po obniżce wynosi… ile kosztowało przed?”.

Procent to setna część całości, więc 25% to po prostu $\tfrac{25}{100} = \tfrac14 = 0{,}25$ . Zamiana na ułamek dziesiętny bywa najszybszą drogą do wyniku.

Mnożnik — najkrótsza droga do wyniku

Zamiast liczyć obniżkę i odejmować ją od ceny, można od razu policzyć, ile zostaje. Obniżka o 20% znaczy, że zostaje 80%, czyli mnożymy przez 0,8.

\text{podwyżka o } p\% \;\to\; \times\left(1 + \tfrac{p}{100}\right) \qquad \text{obniżka o } p\% \;\to\; \times\left(1 - \tfrac{p}{100}\right)

Podwyżka o 10% to mnożenie przez 1,1, obniżka o 15% — przez 0,85. Jeden rachunek zamiast dwóch, więc i mniej okazji do pomyłki.

Największa zaleta ujawnia się przy działaniu odwrotnym: skoro cena po obniżce to $\text{cena} \times 0{,}8$ , to cenę wyjściową odzyskujemy dzieleniem przez 0,8. Bez mnożnika trzeba tu układać proporcję.

Cena przed obniżką — skąd wziąć całość

To jeden z częstszych formatów: podana jest cena po obniżce i wielkość obniżki, a pytanie dotyczy ceny wyjściowej.

Odruch podpowiada, żeby dodać ten sam procent z powrotem — i to jest błąd. Procent liczy się zawsze od całości, a po obniżce całością jest już inna liczba.

Poprawnie: jeśli cena spadła o 20%, to zapłacona kwota stanowi 80% ceny wyjściowej. Dzielimy więc przez 0,8. Kontrola jest łatwa — wynik musi być wyższy od ceny po obniżce.

O ile procent wzrosło, a o ile spadło

Wzór jest krótki, ale kryje pułapkę w mianowniku:

\text{zmiana} = \dfrac{\text{nowa} - \text{stara}}{\text{stara}} \cdot 100\%

Dzielimy przez wartość wyjściową, bo to ona jest całością, względem której mierzymy zmianę. Podzielenie przez nową wartość daje inny wynik i jest najczęstszym błędem w tym typie zadań.

Stąd też bierze się asymetria, która bywa treścią zadań: wzrost z 40 do 50 to 25%, ale spadek z 50 do 40 to już 20%. Ta sama różnica, inna całość.

Dwie obniżki po kolei to nie suma procentów

Dwie kolejne obniżki po 10% nie dają 20%. Druga obniżka liczona jest od ceny już obniżonej, czyli od mniejszej kwoty.

Mnożnikiem widać to od razu: $0{,}9 \cdot 0{,}9 = 0{,}81$ , więc zostaje 81% ceny, a łączna obniżka wynosi 19%. Bez mnożnika trzeba liczyć w dwóch krokach i łatwo o skrót myślowy.

Ta sama zasada działa przy podwyżkach: dwie po 10% dają $1{,}1 \cdot 1{,}1 = 1{,}21$ , czyli wzrost o 21%, nie o 20%.

I przypadek, który lubią układacze zadań: podwyżka o 20%, a potem obniżka o 20% nie wraca do ceny wyjściowej. $1{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}96$ — cena jest o 4% niższa niż na początku.

Porównywanie promocji

Trzy zadania na tej stronie każą rozstrzygnąć, która oferta jest korzystniejsza. Bezpieczna metoda: policz obie do końca na tej samej kwocie, zamiast porównywać same procenty.

Typowe zestawienie to „30% taniej” kontra „drugi produkt za pół ceny”. Druga oferta przy dwóch sztukach daje 25% zniżki na całość, więc jest gorsza — mimo że „połowa” brzmi korzystniej niż „30%”.

Gdy w treści nie ma konkretnej ceny, przyjmij wygodną — na przykład 100 zł. Wynik procentowy nie zależy od tego, jaką kwotę wybierzesz.

Przykłady krok po kroku

Cztery zadania krok po kroku, po jednym z każdego typu, który wraca w arkuszach: procent z liczby, cena przed obniżką, zmiana procentowa i dwie obniżki po kolei.

Przykład 1 Procent z liczby

Oblicz 15% z 240 zł.

Zamieniam procent na ułamek dziesiętny: $15\% = 0{,}15$ .
Mnożę przez całość: $240 \cdot 0{,}15 = 36$ zł.
Sposób w pamięci, gdy nie ma kalkulatora: 10% z 240 to 24, a 5% to połowa z tego, czyli 12. Razem 36 ✓

Odpowiedź: 15% z 240 zł to 36 zł.

Przykład 2 Cena przed obniżką

Po obniżce o 20% kurtka kosztuje 96 zł. Ile kosztowała przed obniżką?

Obniżka o 20% znaczy, że zapłacona kwota to 80% ceny wyjściowej, czyli mnożnik 0,8.
Skoro $\text{cena} \cdot 0{,}8 = 96$ , to cenę odzyskuję dzieleniem: $96 : 0{,}8 = 120$ zł.
Kontrola: 20% ze 120 to 24 zł, a $120 - 24 = 96$ ✓
Uwaga na odruch: dodanie 20% do 96 dałoby 115,20 zł — wynik błędny, bo procent liczyłby się od niewłaściwej całości.

Odpowiedź: Kurtka kosztowała 120 zł.

Przykład 3 O ile procent wzrosła cena

Cena biletu wzrosła z 40 zł do 50 zł. O ile procent?

Liczę różnicę: $50 - 40 = 10$ zł.
Dzielę przez wartość wyjściową, bo to ona jest całością: $\dfrac{10}{40} = 0{,}25$ .
Zamieniam na procent: $0{,}25 = 25\%$ .
Kontrola odwrotna: gdyby cena spadła z 50 do 40, byłoby to $\tfrac{10}{50} = 20\%$ — ta sama różnica, ale inna całość, więc inny procent.

Odpowiedź: Cena wzrosła o 25%.

Przykład 4 Dwie obniżki po kolei

Cena została obniżona o 10%, a potem jeszcze raz o 10%. O ile procent łącznie staniała?

Pierwsza obniżka: zostaje 90%, czyli mnożnik 0,9.
Druga liczona jest od ceny już obniżonej, więc znów mnożnik 0,9.
Razem: $0{,}9 \cdot 0{,}9 = 0{,}81$ , czyli zostaje 81% ceny wyjściowej.
Łączna obniżka: $100\% - 81\% = 19\%$ , a nie 20%.
Sprawdzenie na liczbach: ze 100 zł po pierwszej obniżce zostaje 90 zł, po drugiej 81 zł ✓

Odpowiedź: Cena staniała łącznie o 19%.

Najczęstsze błędy

Cztery błędy, które w tym dziale kosztują najwięcej punktów. Wszystkie sprowadzają się do jednego pytania: od czego liczymy procent.

Sumowanie kolejnych obniżek

Skąd się bierze: Dwie obniżki po 10% wyglądają na 20%, bo procenty są liczbami i chce się je dodać. Druga obniżka liczy się jednak od ceny już obniżonej, więc jest mniejsza w złotówkach.

Jak zrobić dobrze: Przemnóż mnożniki: $0{,}9 \cdot 0{,}9 = 0{,}81$ , czyli łącznie 19%. Ta sama zasada dotyczy podwyżek i mieszanych przypadków — podwyżka o 20% i obniżka o 20% dają 0,96, nie 1.

Dzielenie przez nową wartość przy zmianie procentowej

Skąd się bierze: We wzorze na zmianę mianownikiem jest wartość wyjściowa, ale w treści częściej rzuca się w oczy ta nowa. Wynik wychodzi wtedy zaniżony przy wzroście i zawyżony przy spadku.

Jak zrobić dobrze: Zapytaj: względem czego mierzę zmianę? Zawsze względem stanu sprzed zmiany. Kontrola: wzrost z 40 do 50 to 25%, a nie 20%.

Dodawanie procentu z powrotem przy szukaniu ceny wyjściowej

Skąd się bierze: Skoro cena spadła o 20%, wydaje się, że wystarczy dodać 20%. Ale te 20% liczyłoby się od ceny po obniżce, czyli od mniejszej kwoty — i wynik nie wraca do punktu wyjścia.

Jak zrobić dobrze: Podziel przez mnożnik: $96 : 0{,}8 = 120$ . Kontrola jest natychmiastowa — odejmij 20% od wyniku i sprawdź, czy wraca cena z treści.

Mylenie punktu procentowego z procentem

Skąd się bierze: Gdy wskaźnik rośnie z 20% do 25%, wzrósł o 5 punktów procentowych, ale o 25% swojej wartości. Oba zdania są prawdziwe i opisują to samo, a liczby są różne.

Jak zrobić dobrze: Punkty procentowe to zwykła różnica dwóch procentów. Procentowa zmiana wymaga podzielenia tej różnicy przez wartość wyjściową. W treści zadania szukaj słowa „punkt” — ono rozstrzyga.

Zadania z arkuszy CKE — procenty

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 8 zadań z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.

Kolor pokazuje jedno przejście, które rozwiązuje większość tych zadań: czerwona to procent, o który coś się zmienia, a zielona to mnożnik — ile z całości zostaje. Obniżka o 20% oznacza, że płacisz 80%, czyli mnożysz przez 0,8. Sam wynik zostaje czarny.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 10 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 16 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2026)1 pktśrednie

W pewnej hodowli rasowy kocur kosztuje

x

złotych, a rasowa kotka kosztuje

y

złotych. Janek kupił z tej hodowli rasowego kocura ze zniżką 40% oraz rasową kotkę ze zniżką 20%. Które wyrażenie poprawnie opisuje, ile złotych zapłacił Janek za te koty?

A. $0{,}4x + 0{,}2y$
B. $0{,}2x + 0{,}4y$
C. $0{,}8x + 0{,}6y$
D. $0{,}6x + 0{,}8y$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Kluczowe pytanie przy każdej zniżce: ile procent ceny faktycznie płacimy?
Kocur — zniżka $\textcolor{#E0453A}{40\%}$ , więc Janek płaci $100\% - \textcolor{#E0453A}{40\%} = \textcolor{#16A06A}{60\%}$ ceny, czyli $\textcolor{#16A06A}{0{,}6}x$ .
Kotka — zniżka $\textcolor{#E0453A}{20\%}$ , więc płaci $100\% - \textcolor{#E0453A}{20\%} = \textcolor{#16A06A}{80\%}$ ceny, czyli $\textcolor{#16A06A}{0{,}8}y$ .
Razem: $\textcolor{#16A06A}{0{,}6}x + \textcolor{#16A06A}{0{,}8}y$ — odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Zamiast liczyć zniżkę i odejmować, od razu policz mnożnik: zniżka 40% to mnożenie przez 0,6; zniżka 20% to mnożenie przez 0,8. Jeden krok zamiast dwóch.

⚠ Najczęstszy błąd w tym zadaniu: wpisanie samej zniżki zamiast tego, co zostaje — czyli wybór odpowiedzi A ( $0{,}4x + 0{,}2y$ ). To wyrażenie opisuje, ile Janek zaoszczędził, a nie ile zapłacił.

Zadanie 2 (czerwiec 2024)1 pktśrednie

W pewnym opakowaniu są płatki owsiane z rodzynkami. Masa zawartości tego opakowania jest równa 320 g, przy czym 15% tej masy stanowią rodzynki. Ola zmieszała całą zawartość tego opakowania z 80 g orzechów. Uzupełnij zdania.

W mieszance przygotowanej przez Olę masa orzechów jest większa o AB od masy rodzynek.

A. 32 g
B. 48 g

Mieszanka przygotowana przez Olę zawiera CD orzechów.

C. 20%
D. 25%

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A, C

Najpierw masa rodzynek — liczymy 15% z 320 g: $0{,}15 \cdot 320 = 48$ g.
Pierwsze zdanie pyta o różnicę mas: orzechy 80 g minus rodzynki 48 g, czyli $80 - 48 = 32$ g — odpowiedź A.
Drugie zdanie: jaki procent mieszanki stanowią orzechy? Uwaga — teraz całością jest cała mieszanka, a nie samo opakowanie.
Masa mieszanki: $320 + 80 = \textcolor{#16A06A}{400}$ g.
Liczymy udział orzechów: $\dfrac{80}{\textcolor{#16A06A}{400}} = \dfrac{1}{5} = 20\%$ — odpowiedź C.
Razem: A, C.

💡 Wskazówka: Przy pytaniu „jaki to procent” zawsze najpierw ustal, co jest całością — tu w pierwszym podpunkcie było to opakowanie (320 g), a w drugim cała mieszanka (400 g).

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie 80 g przez 320 g (czyli przez masę samego opakowania) i otrzymanie 25% — stąd wzięła się kusząca odpowiedź D. Orzechy są jednak częścią mieszanki, więc dzielimy przez 400 g.

Zadanie 3 (maj 2023)1 pkttrudniejsze

W sadzie rosną drzewa owocowe: grusze i jabłonie. Liczba grusz jest o 40% większa od liczby jabłoni. Jabłoni jest o 50 mniej niż grusz. Ile jabłoni rośnie w tym sadzie?

A. 20
B. 30
C. 70
D. 125

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Oznaczamy liczbę jabłoni przez $j$ . To od niej liczymy procenty, bo grusz jest o 40% więcej od jabłoni.
Grusz jest o $\textcolor{#E0453A}{40\%}$ więcej, czyli $\textcolor{#16A06A}{140\%}$ liczby jabłoni: $g = \textcolor{#16A06A}{1{,}4}\,j$ .
Drugi warunek mówi, że różnica wynosi 50: $g - j = 50$ .
Podstawiamy: $\textcolor{#16A06A}{1{,}4}\,j - j = 50$ , czyli $\textcolor{#E0453A}{0{,}4}\,j = 50$ .
Zauważ, co się stało: różnica między gruszami a jabłoniami to dokładnie te 40% nadwyżki. Stąd $j = 50 : \textcolor{#E0453A}{0{,}4} = 125$ .
Odpowiedź D. Sprawdzenie: grusz jest $1{,}4 \cdot 125 = 175$ , a $175 - 125 = 50$ ✓

💡 Wskazówka: Skoro różnica (50) to te dodatkowe 40%, można od razu policzyć: 50 to 40%, więc 1% to 1,25, a 100% to 125.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie, że 50 to 40% grusz, a nie jabłoni. Procent zawsze liczymy od tego, po czym stoi słowo „od” — tu „większa od liczby jabłoni”.

Zadanie 4 (czerwiec 2022)1 pktśrednie

Biuro podróży w ramach oferty promocyjnej obniżyło cenę wycieczki o 20%. Pani Anna skorzystała z promocji i za wycieczkę zapłaciła 1500 zł. Jaka była cena wycieczki przed obniżką?

A. 1800 zł
B. 1875 zł
C. 2000 zł
D. 2175 zł

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

To zadanie „w drugą stronę” — znamy cenę po obniżce, szukamy tej przed.
Obniżka o $\textcolor{#E0453A}{20\%}$ znaczy, że pani Anna zapłaciła $\textcolor{#16A06A}{80\%}$ ceny początkowej.
Zapisujemy to równaniem: $\textcolor{#16A06A}{0{,}8} \cdot c = 1500$ .
Skoro mnożyliśmy przez $\textcolor{#16A06A}{0{,}8}$ , to teraz dzielimy: $c = 1500 : \textcolor{#16A06A}{0{,}8} = 1875$ zł.
Odpowiedź B. Sprawdzenie: 20% z 1875 to 375, a $1875 - 375 = 1500$ ✓

💡 Wskazówka: Sposób „na 1 procent”: skoro 1500 zł to 80%, to 1% to $1500 : 80 = 18{,}75$ zł, a 100% to 1875 zł.

⚠ Bardzo częsty błąd: doliczenie 20% do ceny po obniżce ( $1500 + 300 = 1800$ zł — stąd odpowiedź A). Tak nie wolno, bo te 20% liczyło się od wyższej ceny początkowej, nie od 1500 zł.

Zadanie 5 (czerwiec 2021)1 pkttrudniejsze

Czekolada o masie 20 dag przed promocją kosztowała 9,60 zł. Producent przygotował dwie promocje:

Promocja I	Masa czekolady o 20% większa przy tej samej cenie.
Promocja II	Cena czekolady o 20% mniejsza przy tej samej masie.

Czy dla klienta kupującego 120 dag czekolady bardziej opłacalna jest promocja II niż I?

A	Tak,	ponieważ	1.	w promocji I masa czekolady wzrośnie o 4 dag, natomiast w promocji II masa się nie zmieni.

			2.	w promocji II 1 dag czekolady kosztuje mniej niż w promocji I.
B	Nie,
			3.	w promocji II trzeba kupić 6 czekolad, natomiast w promocji I — tylko 5.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A, 2

Żeby uczciwie porównać dwie różne promocje, sprowadzamy je do wspólnej miary — ceny za 1 dag.
Promocja I — masa większa o $\textcolor{#E0453A}{20\%}$ , cena bez zmian. Nowa masa: $20 \cdot \textcolor{#16A06A}{1{,}2} = 24$ dag za 9,60 zł.
Cena za dag: $9{,}60 : 24 = 0{,}40$ zł.
Promocja II — masa bez zmian, cena mniejsza o $\textcolor{#E0453A}{20\%}$ , czyli $\textcolor{#16A06A}{80\%}$ dawnej: $9{,}60 \cdot \textcolor{#16A06A}{0{,}8} = 7{,}68$ zł za 20 dag.
Cena za dag: $7{,}68 : 20 = 0{,}384$ zł.
$0{,}384 < 0{,}40$ , więc promocja II jest korzystniejsza — odpowiedź A, uzasadnienie 2.
Sprawdzenie na 120 dag: w promocji I trzeba kupić $120 : 24 = 5$ czekolad → $5 \cdot 9{,}60 = 48$ zł. W promocji II $120 : 20 = 6$ czekolad → $6 \cdot 7{,}68 = 46{,}08$ zł. Rzeczywiście taniej ✓

💡 Wskazówka: Kiedy porównujesz oferty o różnej wielkości opakowania, zawsze przelicz na cenę jednostkową (za 1 dag, za 1 litr, za 100 g). To jedyny uczciwy sposób porównania.

⚠ Uwaga na uzasadnienie 3.: liczba czekolad (6 kontra 5) jest prawdziwa, ale nic nie mówi o opłacalności — więcej sztuk wcale nie znaczy drożej. To klasyczna pułapka „prawdziwe zdanie, złe uzasadnienie”.

Zadanie 6 (maj 2021)1 pkttrudniejsze

Podatek od dochodów za rok 2016 w Polsce był obliczany według sposobów przedstawionych w tabeli.

Podstawa obliczenia podatku	Sposób obliczenia podatku
kwota mniejsza lub równa 85 528 zł	18% podstawy obliczenia podatku pomniejszone o 556,02 zł
kwota większa niż 85 528 zł	14 839,02 zł plus 32% nadwyżki ponad 85 528 zł

Uzupełnij zdania.

Podstawa obliczenia podatku dla pana Jana wyniosła 84 500 zł. Wysokość podatku (w zł) opisuje wyrażenie AB.

A. $0{,}18 \cdot 84\,500 - 556{,}02$
B. $0{,}18 \cdot (84\,500 - 556{,}02)$

Podstawa obliczenia podatku dla pani Zofii wyniosła 97 300 zł. Wysokość podatku (w zł) opisuje wyrażenie CD.

C. $14\,839{,}02 + 0{,}32 \cdot 85\,528$
D. $14\,839{,}02 + 0{,}32 \cdot (97\,300 - 85\,528)$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A, D

Pan Jan — jego podstawa to 84 500 zł, czyli mniej niż 85 528 zł. Bierzemy więc pierwszy wiersz tabeli.
Instrukcja mówi: „18% podstawy pomniejszone o 556,02 zł”. Czyli najpierw liczymy procent, a dopiero potem odejmujemy.
$\textcolor{#16A06A}{0{,}18} \cdot 84\,500 - 556{,}02$ — odpowiedź A.
Pani Zofia — 97 300 zł to więcej niż 85 528 zł, więc drugi wiersz tabeli.
Kluczowe słowo: nadwyżka ponad 85 528 zł. Nadwyżka to nie cały dochód, tylko to, co przekracza próg: $\textcolor{#E0453A}{97\,300 - 85\,528}$ .
Zatem podatek to $14\,839{,}02 + \textcolor{#16A06A}{0{,}32} \cdot \textcolor{#E0453A}{(97\,300 - 85\,528)}$ — odpowiedź D.
Razem: A, D.

💡 Wskazówka: W zadaniach z tabelą czytaj instrukcję słowo po słowie i zapisuj wyrażenie w tej samej kolejności. „Pomniejszone o” na końcu zdania oznacza odejmowanie na końcu obliczeń.

⚠ Dwa typowe błędy: (1) u pana Jana — wciągnięcie odejmowania do nawiasu (odpowiedź B), co zmienia wynik o kilkaset złotych; (2) u pani Zofii — policzenie 32% od progu zamiast od nadwyżki (odpowiedź C). Wtedy podatek wyszedłby ponad dwa razy za wysoki.

Zadanie 7 (marzec 2021)1 pkttrudniejsze

Cenę laptopa obniżono najpierw o 15%, a później o 150 zł. Po obu obniżkach laptop kosztuje 2400 zł. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Przed tymi dwoma obniżkami laptop kosztował 3000 zł.	P	F
Po obu obniżkach cena laptopa stanowi 85% ceny początkowej.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, F

Idziemy od tyłu. Cena końcowa to 2400 zł, a ostatnim krokiem było odjęcie 150 zł.
Zatem przed drugą obniżką laptop kosztował $2400 + 150 = 2550$ zł.
Ta kwota powstała po obniżce o $\textcolor{#E0453A}{15\%}$ , czyli stanowi $\textcolor{#16A06A}{85\%}$ ceny początkowej: $\textcolor{#16A06A}{0{,}85} \cdot c = 2550$ .
Stąd $c = 2550 : \textcolor{#16A06A}{0{,}85} = 3000$ zł ✓ — pierwsze zdanie prawdziwe.
Zdanie 2: sprawdzamy, jaki procent ceny początkowej stanowi 2400 zł: $\dfrac{2400}{3000} = 0{,}8 = 80\%$ , a nie 85% — fałsz.
Dlaczego? Bo $\textcolor{#16A06A}{85\%}$ to była cena po pierwszej obniżce. Potem doszło jeszcze 150 zł w dół.
Odpowiedzi: P, F.

💡 Wskazówka: Gdy obniżek jest kilka, rozwiązuj zadanie od końca i cofaj każdy krok osobno: dodaj kwotę, którą odjęto, i podziel przez mnożnik, przez który mnożono.

⚠ Częsty błąd w drugim zdaniu: odruchowe przepisanie „85%” z treści zadania. Te 85% dotyczą tylko pierwszej obniżki — po drugiej cena spadła jeszcze niżej.

Zadanie 8 (czerwiec 2020)1 pktłatwe

W sklepie obniżono o 15% ceny wszystkich książek. Zosia wybrała książkę, która przed obniżką kosztowała 45 zł. Ile zapłaci Zosia za tę książkę?

A. 40,50 zł
B. 39,75 zł
C. 38,25 zł
D. 30,00 zł

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Obniżka o $\textcolor{#E0453A}{15\%}$ oznacza, że Zosia płaci $100\% - \textcolor{#E0453A}{15\%} = \textcolor{#16A06A}{85\%}$ ceny.
Liczymy jednym mnożeniem: $45 \cdot \textcolor{#16A06A}{0{,}85} = 38{,}25$ zł.
Odpowiedź C.
Można też dwuetapowo: $\textcolor{#E0453A}{15\%}$ z 45 zł to $0{,}15 \cdot 45 = 6{,}75$ zł zniżki, więc $45 - 6{,}75 = 38{,}25$ zł ✓

💡 Wskazówka: Rachunek w pamięci: 10% z 45 to 4,50, a 5% to połowa tego, czyli 2,25. Razem $\textcolor{#E0453A}{15\%} = 6{,}75$ zł.

⚠ Najczęstszy błąd: podanie samej zniżki (6,75 zł) albo pomyłka w rachunku dająca 40,50 zł — to wynik obniżki o 10%, nie o 15%.

Zadanie 9 (czerwiec 2020)1 pkttrudniejsze

W pewnej klasie przeprowadzono ankietę na temat liczby rodzeństwa uczniów. Okazało się, że 44% liczby uczniów ma siostrę, 72% — brata, a 4 uczniów ma i siostrę, i brata. Każdy uczeń tej klasy ma rodzeństwo. Ilu uczniów brało udział w ankiecie?

A. 25
B. 14
C. 11
D. 7

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Sumujemy oba procenty: $44\% + 72\% = \textcolor{#16A06A}{116\%}$ .
Wyszło ponad 100% — a to niemożliwe, chyba że kogoś policzyliśmy dwa razy.
Kto został policzony podwójnie? Ci, którzy mają i siostrę, i brata — raz w grupie 44%, drugi raz w grupie 72%.
Nadwyżka ponad całość to dokładnie ta grupa: $\textcolor{#16A06A}{116\%} - 100\% = \textcolor{#E0453A}{16\%}$ .
Z treści wiemy, że tych uczniów jest 4, więc $\textcolor{#E0453A}{16\%}$ klasy to 4 osoby.
Liczymy całość: 1% to $4 : 16 = 0{,}25$ ucznia, więc 100% to $0{,}25 \cdot 100 = 25$ uczniów.
Odpowiedź A. Sprawdzenie: 44% z 25 to 11 osób, 72% z 25 to 18 osób, a $11 + 18 - 4 = 25$ ✓

💡 Wskazówka: Gdy procenty sumują się do więcej niż 100%, nadwyżka to zawsze część wspólna — osoby należące do obu grup naraz.

⚠ Częsty błąd: uznanie, że 4 uczniów to 16 osób mniej niż... albo próba liczenia $44\% + 72\%$ jako liczby uczniów. Kusząca odpowiedź C (11) to liczba uczniów mających siostrę, a nie cała klasa.

Zadanie 10 (kwiecień 2020)1 pktśrednie

W trzech sklepach sportowych sprzedawano łyżwy figurowe w tej samej cenie. Na wiosnę każdy sklep ogłosił obniżkę:

Sklep Alfa	Płacisz tylko $\tfrac{2}{3}$ ceny.
Sklep Beta	Obniżka o 30%.
Sklep Gamma	Ścinamy ćwierć ceny.

Dokończ zdanie.
Po obniżce cena łyżew figurowych była

A. najniższa w sklepie Alfa.
B. najniższa w sklepie Beta.
C. najniższa w sklepie Gamma.
D. taka sama w trzech sklepach.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Każda oferta jest opisana inaczej — ułamkiem, procentem obniżki i słowami. Sprowadzamy wszystkie do jednej postaci: ile procent ceny płacimy.
Alfa — płacisz $\tfrac{2}{3}$ ceny, czyli $\textcolor{#16A06A}{66{,}(6)\%}$ .
Beta — obniżka o $\textcolor{#E0453A}{30\%}$ , więc płacisz $100\% - \textcolor{#E0453A}{30\%} = \textcolor{#16A06A}{70\%}$ .
Gamma — „ścinamy ćwierć”, czyli obniżka o $\textcolor{#E0453A}{25\%}$ , więc płacisz $\textcolor{#16A06A}{75\%}$ .
Porównujemy, ile płacimy: $\textcolor{#16A06A}{66{,}(6)\%} < \textcolor{#16A06A}{70\%} < \textcolor{#16A06A}{75\%}$ — najmniej w sklepie Alfa.
Odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Zawsze przelicz wszystkie oferty na to samo — najwygodniej na „ile procent ceny płacę”. Wtedy wystarczy porównać trzy liczby.

⚠ Dwie pułapki: (1) mieszanie „ile płacę” z „ile oszczędzam” — jeśli porównasz obniżki (33%, 30%, 25%), i tak wyjdzie Alfa, ale przy odrobinie nieuwagi łatwo odwrócić nierówność; (2) „ćwierć” to 25%, nie 40% ani 14%.

Zadanie 11 (grudzień 2018)1 pktśrednie

Oceń prawdziwość podanych zdań.

120% liczby 180 to tyle samo, co 180% liczby 120.	P	F
20% liczby 36 to tyle samo, co 40% liczby 18.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Zdanie 1: 120% z 180 to $1{,}2 \cdot 180 = 216$ , a 180% z 120 to $1{,}8 \cdot 120 = 216$ — równe ✓ prawda.
Skąd to się bierze? Bo w obu przypadkach mnożymy dokładnie te same liczby, tylko w innej kolejności: $\dfrac{120}{100} \cdot 180 = \dfrac{180}{100} \cdot 120$ . Mnożenie jest przemienne.
Zdanie 2: 20% z 36 to $0{,}2 \cdot 36 = 7{,}2$ , a 40% z 18 to $0{,}4 \cdot 18 = 7{,}2$ — równe ✓ prawda.
Tu działa inna reguła: procent podwoiliśmy ( $20\% \to 40\%$ ), a liczbę zmniejszyliśmy dwukrotnie ( $36 \to 18$ ) — zmiany się znoszą.
Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Zapamiętaj sztuczkę: $a\%$ z $b$ zawsze równa się $b\%$ z $a$ . Bywa bardzo wygodna — np. 4% z 50 liczy się gorzej niż 50% z 4, a wynik jest ten sam (2).

⚠ Częsty błąd: odrzucenie pierwszego zdania „na oko”, bo liczby wyglądają na zamienione przypadkowo. Warto po prostu policzyć obie strony — zajmuje to kilka sekund.

Zadanie 12 (grudzień 2017)1 pktśrednie

Maja grała z przyjaciółmi w ekonomiczną grę strategiczną. W trakcie gry zainwestowała w zakup nieruchomości 56 tys. gambitów — wirtualnych monet. Po upływie 30 minut odsprzedała tę nieruchomość za 280 tys. gambitów. Dokończ zdanie.
Wartość nieruchomości od momentu zakupienia do momentu sprzedaży

A. wzrosła o 500%.
B. wzrosła o 400%.
C. wzrosła o 80%.
D. wzrosła o 20%.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Pytanie brzmi „o ile procent wzrosła”, więc interesuje nas sam przyrost, a nie cała nowa wartość.
Przyrost: $280 - 56 = \textcolor{#E0453A}{224}$ tys. gambitów.
Ten przyrost odnosimy do wartości początkowej (56 tys.): $\dfrac{\textcolor{#E0453A}{224}}{56} = 4$ .
Zamieniamy na procenty: $4 = 400\%$ — odpowiedź B.
Kontrola: wartość wzrosła 5-krotnie ( $280 : 56 = \textcolor{#16A06A}{5}$ ), czyli do $\textcolor{#16A06A}{500\%}$ wartości początkowej. Ale wzrosła o $\textcolor{#16A06A}{500\%} - 100\% = 400\%$ .

💡 Wskazówka: Rozróżniaj dwa pytania: „wzrosła o ile procent” (liczymy sam przyrost) i „stanowi ile procent” (liczymy całą nową wartość). Różnią się dokładnie o 100 punktów procentowych.

⚠ Najczęstszy błąd w tym zadaniu: wybór 500% — czyli policzenie, ile procent wartości początkowej stanowi nowa cena, zamiast o ile wzrosła.

Zadanie 13 (kwiecień 2016, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

W tabeli podano, jak zmienia się cena biletu na prom w ciągu roku.

Cena podstawowa biletu na prom: 40 zł
w sezonie zimowym	cena podstawowa obniżona o 20%
w sezonie letnim	cena podstawowa podwyższona o 200%
poza sezonem	cena podstawowa

Dokończ zdanie.
Bilet na prom w sezonie letnim jest droższy od biletu w sezonie zimowym o

A. 88 zł
B. 72 zł
C. 48 zł
D. 32 zł

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Zima — cena obniżona o $\textcolor{#E0453A}{20\%}$ , czyli płacimy $\textcolor{#16A06A}{80\%}$ z 40 zł: $40 \cdot \textcolor{#16A06A}{0{,}8} = 32$ zł.
Lato — cena podwyższona o $\textcolor{#E0453A}{200\%}$ . Uwaga: to znaczy, że doliczamy dwukrotność ceny podstawowej.
Nowa cena to $100\% + \textcolor{#E0453A}{200\%} = \textcolor{#16A06A}{300\%}$ ceny podstawowej: $40 \cdot \textcolor{#16A06A}{3} = 120$ zł.
Różnica: $120 - 32 = 88$ zł — odpowiedź A.

💡 Wskazówka: „Podwyższona o 200%” to nie to samo co „podwyższona do 200%”. Pierwsze daje 120 zł (trzykrotność), drugie dałoby 80 zł (dwukrotność).

⚠ Najczęstszy błąd: potraktowanie podwyżki o 200% jako podwojenia ceny (80 zł) — wtedy różnica wyszłaby 48 zł, czyli kusząca odpowiedź C.

Zadanie 14 (kwiecień 2015, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

W konkursie przyznano nagrody pieniężne. Zdobywca pierwszego miejsca otrzymał 5000 zł. Nagroda za drugie miejsce była o 30% mniejsza niż za pierwsze. Nagroda za trzecie miejsce była o 40% mniejsza niż za drugie. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Uczestnik konkursu, który zdobył trzecie miejsce, otrzymał 1400 zł.	P	F
Nagroda za zdobycie trzeciego miejsca była o 70% mniejsza od nagrody za zajęcie pierwszego miejsca.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, F

Drugie miejsce — o $\textcolor{#E0453A}{30\%}$ mniej niż 5000 zł, czyli $\textcolor{#16A06A}{70\%}$ : $5000 \cdot \textcolor{#16A06A}{0{,}7} = 3500$ zł.
Trzecie miejsce — o $\textcolor{#E0453A}{40\%}$ mniej niż drugie (nie pierwsze!), czyli $\textcolor{#16A06A}{60\%}$ z 3500 zł: $3500 \cdot \textcolor{#16A06A}{0{,}6} = 2100$ zł.
Zdanie 1 mówi o 1400 zł, a wyszło 2100 zł — fałsz.
Zdanie 2: porównujemy trzecią nagrodę z pierwszą. $\dfrac{2100}{5000} = 0{,}42 = 42\%$ , więc nagroda jest mniejsza o $100\% - 42\% = 58\%$ , a nie o 70% — fałsz.
Skąd bierze się 58%, a nie $30\% + 40\% = 70\%$ ? Bo druga obniżka liczy się od już obniżonej kwoty: $\textcolor{#16A06A}{0{,}7} \cdot \textcolor{#16A06A}{0{,}6} = \textcolor{#16A06A}{0{,}42}$ .
Odpowiedzi: F, F.

💡 Wskazówka: Procentów nie wolno dodawać. Przy kilku kolejnych zmianach mnoży się mnożniki: dwie obniżki o 30% i 40% dają $0{,}7 \cdot 0{,}6 = 0{,}42$ , czyli łączną obniżkę o 58%.

⚠ To najczęstszy błąd w całym dziale procentów: sumowanie kolejnych obniżek ( $30\% + 40\% = 70\%$ ). Prowadzi on od razu do obu błędnych odpowiedzi w tym zadaniu.

Zadanie 15 (kwiecień 2014, egzamin gimnazjalny)1 pktłatwe

Promocja w zakładzie optycznym jest związana z wiekiem klienta: klient otrzymuje tyle procent zniżki, ile ma lat.
Cena okularów bez promocji wynosi 240 zł. Ile zapłaci za te okulary klient, który ma 35 lat?

A. 84 zł
B. 132 zł
C. 156 zł
D. 205 zł

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Klient ma 35 lat, więc dostaje $\textcolor{#E0453A}{35\%}$ zniżki.
Płaci zatem $100\% - \textcolor{#E0453A}{35\%} = \textcolor{#16A06A}{65\%}$ ceny.
$240 \cdot \textcolor{#16A06A}{0{,}65} = 156$ zł — odpowiedź C.
Sprawdzenie drugą drogą: $\textcolor{#E0453A}{35\%}$ z 240 zł to $0{,}35 \cdot 240 = 84$ zł zniżki, więc $240 - 84 = 156$ zł ✓

💡 Wskazówka: Rachunek w pamięci: 10% z 240 to 24 zł, więc 30% to 72 zł, a 5% to 12 zł. Razem zniżka $\textcolor{#E0453A}{35\%} = 84$ zł.

⚠ Najczęstszy błąd: podanie samej zniżki (84 zł — kusząca odpowiedź A) zamiast kwoty do zapłaty. Zawsze sprawdź, o co pyta zadanie: „ile zapłaci” czy „ile zaoszczędzi”.

Zadanie 16 (kwiecień 2014, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Promocja w zakładzie optycznym jest związana z wiekiem klienta: klient otrzymuje tyle procent zniżki, ile ma lat.
Okulary bez promocji kosztują 450 zł, a klient zgodnie z promocją może je kupić za 288 zł. Ile lat ma ten klient?

A. 64
B. 56
C. 44
D. 36

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Zadanie „w drugą stronę”: znamy obie ceny, szukamy procentu zniżki (a więc wieku klienta).
Najpierw sprawdzamy, jaką część ceny klient zapłacił: $\dfrac{288}{450} = \textcolor{#16A06A}{0{,}64} = \textcolor{#16A06A}{64\%}$ .
Skoro zapłacił $\textcolor{#16A06A}{64\%}$ , to zniżka wyniosła $100\% - \textcolor{#16A06A}{64\%} = \textcolor{#E0453A}{36\%}$ .
Zniżka równa się wiekowi, więc klient ma 36 lat — odpowiedź D.
Sprawdzenie: $\textcolor{#E0453A}{36\%}$ z 450 zł to 162 zł zniżki, a $450 - 162 = 288$ zł ✓

💡 Wskazówka: Dzielenie ceny nowej przez starą zawsze daje mnożnik — czyli ile procent zostało. Zniżkę otrzymasz, odejmując go od 100%.

⚠ Kusząca odpowiedź A (64) to wynik zatrzymania się w połowie drogi: 64% to część zapłacona, a nie zniżka. Zadanie pyta o wiek, czyli o procent zniżki.

Zadanie 17 (kwiecień 2013, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Cena brutto = cena netto + podatek VAT
Oceń prawdziwość podanych zdań.

Jeżeli cena netto 1 kg jabłek jest równa 2,50 zł, a cena brutto jest równa 2,70 zł, to podatek VAT wynosi 8% ceny netto.	P	F
Jeżeli cena netto podręcznika do matematyki jest równa 22 zł, to cena tej książki z 5% podatkiem VAT wynosi 24,10 zł.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, F

Zdanie 1: najpierw sam podatek — to różnica ceny brutto i netto: $2{,}70 - 2{,}50 = \textcolor{#E0453A}{0{,}20}$ zł.
Teraz sprawdzamy, jaki to procent ceny netto (bo od niej liczy się VAT): $\dfrac{\textcolor{#E0453A}{0{,}20}}{2{,}50} = 0{,}08 = 8\%$ ✓ — prawda.
Zdanie 2: VAT $\textcolor{#E0453A}{5\%}$ doliczamy do ceny netto, czyli cena brutto to $\textcolor{#16A06A}{105\%}$ ceny netto.
$22 \cdot \textcolor{#16A06A}{1{,}05} = 23{,}10$ zł, a w zdaniu podano 24,10 zł — fałsz.
Odpowiedzi: P, F.

💡 Wskazówka: VAT zawsze liczy się od ceny netto, nie od brutto. Cena brutto to $100\% + \text{stawka VAT}$ ceny netto.

⚠ W drugim zdaniu łatwo o błąd rachunkowy: 5% z 22 zł to 1,10 zł (nie 2,10 zł). Kwota 24,10 zł odpowiadałaby stawce około 9,5%.

Zadanie 18 (kwiecień 2012, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Dokończ zdanie tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe.
Cena płyty kompaktowej po 30% obniżce wynosi 49 zł. Cena tej płyty przed obniżką była równa

A. 14,70 zł.
B. 34,30 zł.
C. 63,70 zł.
D. 70,00 zł.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Obniżka o $\textcolor{#E0453A}{30\%}$ oznacza, że 49 zł to $\textcolor{#16A06A}{70\%}$ ceny początkowej.
Zapisujemy: $\textcolor{#16A06A}{0{,}7} \cdot c = 49$ , więc $c = 49 : \textcolor{#16A06A}{0{,}7} = 70$ zł.
Odpowiedź D. Sprawdzenie: $\textcolor{#E0453A}{30\%}$ z 70 zł to 21 zł, a $70 - 21 = 49$ zł ✓

💡 Wskazówka: Szybka kontrola sensowności: cena przed obniżką musi być wyższa niż 49 zł. To od razu skreśla odpowiedzi A i B — zostają tylko dwie do sprawdzenia.

⚠ Typowy błąd: doliczenie 30% do 49 zł ( $49 \cdot 1{,}3 = 63{,}70$ — kusząca odpowiedź C). Procent obniżki liczył się od ceny początkowej, więc trzeba dzielić, a nie mnożyć.

Zadanie 19 (grudzień 2011, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Firma składa się z dwóch oddziałów. W marcu zysk pierwszego oddziału był równy 30 tys. zł, a drugiego 24 tys. zł. W kwietniu zysk pierwszego oddziału zmniejszył się o 10% w stosunku do marca, ale zysk całej firmy był taki sam jak w marcu. O ile procent w stosunku do poprzedniego miesiąca zwiększył się w kwietniu zysk drugiego oddziału?

A. 10%
B. 12,5%
C. 8%
D. 14,5%

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Zysk całej firmy w marcu: $30 + 24 = 54$ tys. zł. W kwietniu ma być tyle samo.
Pierwszy oddział spadł o $\textcolor{#E0453A}{10\%}$ , czyli do $\textcolor{#16A06A}{90\%}$ : $30 \cdot \textcolor{#16A06A}{0{,}9} = 27$ tys. zł.
Skoro całość ma dać 54 tys., drugi oddział musiał zarobić $54 - 27 = 27$ tys. zł.
Wzrost drugiego oddziału: z 24 na 27, czyli o $\textcolor{#E0453A}{3}$ tys. zł.
Liczymy, jaki to procent poprzedniej wartości: $\dfrac{\textcolor{#E0453A}{3}}{24} = 0{,}125 = 12{,}5\%$ .
Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę, że oba oddziały zmieniły się o te same 3 tys. zł — ale procenty wyszły różne (10% i 12,5%), bo liczyły się od różnych podstaw (30 i 24 tys.).

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź 10% — założenie, że skoro jeden oddział stracił 10%, to drugi musi zyskać 10%. Procenty liczone od różnych kwot nie znoszą się w ten sposób.

Zadanie 20 (materiały CKE)1 pktśrednie

W kwietniu sprzedano 60 opakowań lodów, a w maju — 150 opakowań tych lodów. O ile procent sprzedaż lodów była wyższa w maju niż w kwietniu?

A. 250%
B. 150%
C. 90%
D. 40%

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Pytanie „o ile procent wyższa” — liczymy sam przyrost.
Przyrost sprzedaży: $150 - 60 = \textcolor{#E0453A}{90}$ opakowań.
Odnosimy go do miesiąca, z którym porównujemy, czyli do kwietnia (60): $\dfrac{\textcolor{#E0453A}{90}}{60} = 1{,}5 = 150\%$ .
Odpowiedź B.
Kontrola: sprzedaż wzrosła $150 : 60 = \textcolor{#16A06A}{2{,}5}$ raza, czyli do $\textcolor{#16A06A}{250\%}$ — a wzrosła o $\textcolor{#16A06A}{250\%} - 100\% = 150\%$ .

💡 Wskazówka: Zawsze dziel przez wartość wyjściową (tę, z którą porównujesz), nie przez nową. Tu podstawą jest kwiecień.

⚠ Dwa typowe błędy: (1) wybór 250% — to ile sprzedaż stanowi, a nie o ile wzrosła; (2) wybór 90% — podanie samego przyrostu (90 opakowań) jako procentu.

Zadanie 21 (materiały CKE)1 pktśrednie

Właściciel sklepu, sprzedający pewien towar po 75 zł za sztukę, zarabia 2% tej kwoty. Ile sztuk tego towaru musi sprzedać, aby zarobić 300 zł?

A. 120
B. 150
C. 200
D. 300

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Najpierw: ile właściciel zarabia na jednej sztuce? To 2% z 75 zł.
$0{,}02 \cdot 75 = \textcolor{#16A06A}{1{,}50}$ zł na sztuce.
Teraz pytanie robi się proste: ile razy $\textcolor{#16A06A}{1{,}50}$ zł mieści się w 300 zł?
$300 : \textcolor{#16A06A}{1{,}50} = 200$ sztuk — odpowiedź C.

💡 Wskazówka: W zadaniach „ile sztuk / ile razy” najpierw policz wartość jednostkową (na jedną sztukę), a potem podziel cel przez tę wartość.

⚠ Częsty błąd: dzielenie 300 zł przez 75 zł (wychodzi 4) albo liczenie 2% z 300 zł. Zarobek to 1,50 zł ze sztuki — i to jest liczba, przez którą dzielimy.

Zadanie 22 (materiały CKE)1 pkttrudniejsze

W pewnej klasie przeprowadzono ankietę na temat liczby rodzeństwa. Wszyscy uczniowie ją wypełnili. Okazało się, że 44% liczby uczniów ma siostrę, 72% — brata, a 4 uczniów ma i siostrę, i brata. Każdy uczeń tej klasy ma rodzeństwo. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Brata i siostrę ma 16% liczby uczniów tej klasy.	P	F
Ankietę wypełniło 25 uczniów.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Sumujemy podane procenty: $44\% + 72\% = \textcolor{#16A06A}{116\%}$ .
Skoro każdy uczeń ma rodzeństwo, wszyscy mieszczą się w tych dwóch grupach — a suma przekroczyła 100%.
Nadwyżka bierze się stąd, że uczniów mających oboje rodzeństwa policzyliśmy dwa razy: $\textcolor{#16A06A}{116\%} - 100\% = \textcolor{#E0453A}{16\%}$ ✓ — pierwsze zdanie prawdziwe.
Zdanie 2: wiemy, że $\textcolor{#E0453A}{16\%}$ klasy to 4 uczniów.
1% to $4 : 16 = 0{,}25$ , więc cała klasa to $0{,}25 \cdot 100 = 25$ uczniów ✓ — prawda.
Sprawdzenie: siostrę ma $0{,}44 \cdot 25 = 11$ osób, brata $0{,}72 \cdot 25 = 18$ osób, a $11 + 18 - 4 = 25$ ✓
Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Warunek „każdy uczeń ma rodzeństwo” jest kluczowy — dzięki niemu wiadomo, że nikt nie wypada poza obie grupy i suma musi zamknąć się w 100% po odjęciu części wspólnej.

⚠ Częsty błąd: uznanie, że skoro 4 uczniów ma oboje, to 4% klasy. Liczba 4 to liczba osób, a nie procent — trzeba dopiero ustalić, jaką część klasy stanowi.

Zadanie 23 (materiały CKE)1 pktśrednie

Długość boku kwadratu

ABCD

zwiększono o 12% i otrzymano kwadrat

PRST

. Dokończ zdanie.
Obwód kwadratu

PRST

jest większy od obwodu kwadratu

ABCD

A. 3%
B. 12%
C. 24%
D. 48%

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Oznaczmy bok kwadratu $ABCD$ przez $a$ . Jego obwód to $4a$ .
Bok zwiększono o $\textcolor{#E0453A}{12\%}$ , więc nowy bok wynosi $\textcolor{#16A06A}{1{,}12}\,a$ .
Obwód nowego kwadratu: $4 \cdot \textcolor{#16A06A}{1{,}12}\,a = \textcolor{#16A06A}{1{,}12} \cdot 4a$ .
Widać, że nowy obwód to $\textcolor{#16A06A}{1{,}12}$ starego — czyli też wzrósł o $\textcolor{#E0453A}{12\%}$ .
Odpowiedź B.
Dlaczego tak jest? Obwód jest wprost proporcjonalny do boku: mnożenie boku przez $\textcolor{#16A06A}{1{,}12}$ mnoży obwód przez dokładnie tyle samo.

💡 Wskazówka: Zapamiętaj różnicę: gdy bok rośnie o 12%, obwód rośnie o 12%, ale pole rośnie o więcej — bo mnoży się przez $1{,}12^2 = 1{,}2544$ , czyli o 25,44%.

⚠ Kusząca odpowiedź C (24%) bierze się z pomnożenia 12% przez 2, a D (48%) — z pomnożenia przez 4 („bo kwadrat ma cztery boki”). Ale mnożąc wszystkie boki przez to samo, mnożymy obwód tylko raz.

Zadanie 30 (grudzień 2011, egzamin gimnazjalny)1 pktłatwe

Aby dobrać rozmiar ramy roweru do wzrostu użytkownika, można posłużyć się regułą: rozmiar odpowiedniej ramy otrzymamy, gdy od 40% wzrostu użytkownika (w cm) odejmiemy 15 cm.
Jaki rozmiar powinna mieć, według tej reguły, rama dla rowerzysty o wzroście 175 cm?

A. 55 cm
B. 64 cm
C. 90 cm
D. 96 cm

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Regułę zapisujemy wzorem: rozmiar ramy $= \textcolor{#16A06A}{40\%}$ wzrostu $- 15$ cm.
Liczymy $\textcolor{#16A06A}{40\%}$ ze 175 cm: $\textcolor{#16A06A}{0{,}4} \cdot 175 = 70$ cm.
W pamięci najwygodniej tak: 10% ze 175 to 17,5, więc $\textcolor{#16A06A}{40\%}$ to $4 \cdot 17{,}5 = 70$ cm.
Odejmujemy 15 cm: $70 - \textcolor{#E0453A}{15} = 55$ cm.
Odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Kolejność działań jest tu kluczowa: najpierw licz procent, potem odejmuj. Gdyby odjąć odwrotnie ( $0{,}4 \cdot (175 - 15)$ ), wyszłoby 64 cm — i stąd bierze się kusząca odpowiedź B.

⚠ Najczęstszy błąd: zatrzymanie się na samych 40% wzrostu (70 cm) i nieodjęcie 15 cm. Drugi błąd: policzenie 40% już po odjęciu piętnastki — to zupełnie inna reguła.

Zadania otwarte

Zadanie 24 (czerwiec 2025)2 pktśrednie

Takie same hulajnogi są sprzedawane w sklepach A, B, C. W sklepie B cena hulajnogi stanowi 80% ceny hulajnogi w sklepie A. W sklepie C cena hulajnogi stanowi 120% ceny hulajnogi w sklepie B. Uzasadnij, że cena hulajnogi w sklepie C jest niższa od ceny hulajnogi w sklepie A. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: dowód (cena w C to 96% ceny w A)

Oznaczmy cenę w sklepie A przez $a$ — to nasz punkt odniesienia.
Sklep B: cena stanowi $\textcolor{#16A06A}{80\%}$ ceny z A, czyli $b = \textcolor{#16A06A}{0{,}8}\,a$ .
Sklep C: cena stanowi $\textcolor{#16A06A}{120\%}$ ceny z B (uwaga — nie z A!), czyli $c = \textcolor{#16A06A}{1{,}2}\,b$ .
Podstawiamy jedno do drugiego: $c = \textcolor{#16A06A}{1{,}2} \cdot \textcolor{#16A06A}{0{,}8}\,a = \textcolor{#E0453A}{0{,}96}\,a$ .
Otrzymaliśmy, że cena w sklepie C stanowi $\textcolor{#E0453A}{96\%}$ ceny w sklepie A.
Skoro $\textcolor{#E0453A}{0{,}96} < 1$ , to $c < a$ — cena w sklepie C jest niższa niż w sklepie A. co należało uzasadnić
Można też na konkretnej liczbie: gdyby w A hulajnoga kosztowała 100 zł, to w B 80 zł, a w C $80 \cdot 1{,}2 = 96$ zł — mniej niż 100 zł. (Uwaga: taki przykład ilustruje, ale sam w sobie nie jest pełnym uzasadnieniem.)

💡 Wskazówka: Przy kilku kolejnych zmianach procentowych po prostu mnóż mnożniki: $0{,}8 \cdot 1{,}2 = 0{,}96$ . Kolejność mnożenia nie ma znaczenia — wynik będzie ten sam.

⚠ Najczęstszy błąd rozumowania: „spadek o 20%, potem wzrost o 20%, więc wychodzi na zero”. Nie wychodzi — bo wzrost liczy się od mniejszej kwoty. Zostaje 96%, czyli 4% straty.

Zadanie 25 (maj 2022)2 pktśrednie

Do wykonania naszyjnika Hania przygotowała 4 korale srebrne, 8 korali czerwonych i kilka korali zielonych. Następnie ze wszystkich przygotowanych korali zrobiła naszyjnik. Zielone korale stanowią 20% wszystkich korali w zrobionym naszyjniku. Oblicz, ile zielonych korali jest w naszyjniku. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 3 zielone korale

Trik polega na tym, żeby patrzeć nie na zielone, tylko na całą resztę — bo tylko ją znamy w sztukach.
Korale niezielone: $4 + 8 = 12$ sztuk.
Skoro zielone stanowią $\textcolor{#E0453A}{20\%}$ naszyjnika, to pozostałe stanowią $100\% - \textcolor{#E0453A}{20\%} = \textcolor{#16A06A}{80\%}$ .
Zatem 12 korali to $\textcolor{#16A06A}{80\%}$ całości: $\textcolor{#16A06A}{0{,}8} \cdot n = 12$ , skąd $n = 12 : \textcolor{#16A06A}{0{,}8} = 15$ korali w całym naszyjniku.
Zielone: $15 - 12 = 3$ korale.
Odpowiedź: w naszyjniku są 3 zielone korale. Sprawdzenie: $\dfrac{3}{15} = 0{,}2 = 20\%$ ✓

💡 Wskazówka: Gdy szukana wielkość jest podana w procentach, a znasz tylko resztę — policz procent dopełniający i pracuj na nim. To skraca zadanie o połowę.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie 20% z 12 korali ( $= 2{,}4$ ) i zaokrąglenie do 2 lub 3. Te 20% dotyczą wszystkich korali w naszyjniku, a nie samych srebrnych i czerwonych.

Zadanie 26 (czerwiec 2020)3 pkttrudniejsze

Pani Maria w 2015 roku łącznie zarobiła 43 740 zł. W każdym miesiącu od stycznia do września włącznie otrzymywała pensję tej samej wysokości. W październiku otrzymała podwyżkę, po której miesięcznie zarabiała 3780 zł. Oblicz, o ile procent wzrosła miesięczna pensja pani Marii po podwyżce. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: o 5%

Najpierw liczymy miesiące. Styczeń–wrzesień to 9 miesięcy starej pensji, a październik–grudzień to 3 miesiące nowej.
Zarobki po podwyżce: $3 \cdot 3780 = 11\,340$ zł.
Zarobki przed podwyżką to reszta rocznej sumy: $43\,740 - 11\,340 = 32\,400$ zł.
Stara pensja miesięczna: $32\,400 : 9 = 3600$ zł.
Podwyżka w złotówkach: $3780 - 3600 = \textcolor{#E0453A}{180}$ zł.
Liczymy, jaki to procent starej pensji: $\dfrac{\textcolor{#E0453A}{180}}{3600} = 0{,}05 = 5\%$ .
Odpowiedź: pensja wzrosła o 5%. Sprawdzenie: $3600 \cdot \textcolor{#16A06A}{1{,}05} = 3780$ zł ✓

💡 Wskazówka: Policz miesiące na palcach — „od stycznia do września włącznie” to 9 miesięcy, a nie 8. Błąd tutaj psuje całe zadanie.

⚠ Dwa typowe błędy: (1) podzielenie całej rocznej kwoty przez 12 (wyszłaby średnia 3645 zł, a nie stara pensja); (2) odniesienie podwyżki do nowej pensji ( $180 : 3780 \approx 4{,}8\%$ ) zamiast do starej.

Zadanie 27 (czerwiec 2019)2 pktśrednie

We wtorek w kwiaciarni obowiązywały ceny:

róża	8 zł	goździk	3 zł
gerbera	5 zł	tulipan	3 zł

Za dodatki użyte do wykonania bukietu dolicza się 20% wartości kwiatów, z których wykonano ten bukiet. Ile zapłaci tego dnia klient za bukiet złożony z 3 tulipanów, 2 róż i 5 goździków? Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 48 zł

Liczymy wartość samych kwiatów, pilnując, żeby brać właściwe ceny z cennika:
3 tulipany: $3 \cdot 3 = 9$ zł · 2 róże: $2 \cdot 8 = 16$ zł · 5 goździków: $5 \cdot 3 = 15$ zł.
Razem kwiaty: $9 + 16 + 15 = 40$ zł.
Dodatki to $\textcolor{#E0453A}{20\%}$ wartości kwiatów: $0{,}2 \cdot 40 = 8$ zł.
Do zapłaty: $40 + 8 = 48$ zł.
Odpowiedź: klient zapłaci 48 zł. Szybciej: skoro doliczamy $\textcolor{#E0453A}{20\%}$ , płacimy $\textcolor{#16A06A}{120\%}$ wartości kwiatów, czyli $40 \cdot \textcolor{#16A06A}{1{,}2} = 48$ zł ✓

💡 Wskazówka: Gdy do kwoty doliczasz procent, użyj mnożnika 1,2 zamiast liczyć dwa razy — mniej rachunków, mniej okazji do pomyłki.

⚠ Uwaga na cennik: gerbera (5 zł) w tym bukiecie nie występuje, a tulipan i goździk kosztują tyle samo (3 zł) — łatwo o pomyłkę przy przepisywaniu cen.

Zadanie 28 (materiały CKE)3 pkttrudniejsze

Uczniowie klasy VII wybierali przewodniczącego klasy. Było dwoje kandydatów: Ania i Bartek. Każdy z uczniów oddał jeden ważny głos. Ania uzyskała 56,25% wszystkich głosów, pokonując Bartka 4 głosami. Ile uczniów wzięło udział w głosowaniu? Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 32 uczniów

Skoro kandydatów było dwoje i każdy głos był ważny, procenty muszą sumować się do 100%.
Bartek uzyskał więc $100\% - 56{,}25\% = 43{,}75\%$ głosów.
Ania wygrała o różnicę tych procentów: $56{,}25\% - 43{,}75\% = \textcolor{#E0453A}{12{,}5\%}$ .
Z treści wiemy, że ta przewaga to 4 głosy, zatem $\textcolor{#E0453A}{12{,}5\%}$ wszystkich głosów $= 4$ .
Liczymy całość: $\textcolor{#E0453A}{12{,}5\%} = \tfrac{1}{8}$ , więc wszystkich głosów jest $4 \cdot 8 = 32$ .
Odpowiedź: w głosowaniu wzięło udział 32 uczniów.
Sprawdzenie: Ania $0{,}5625 \cdot 32 = 18$ głosów, Bartek $32 - 18 = 14$ głosów, a $18 - 14 = 4$ ✓

💡 Wskazówka: Warto znać ułamkowe odpowiedniki: $12{,}5\% = \tfrac18$ , $6{,}25\% = \tfrac1{16}$ , $56{,}25\% = \tfrac9{16}$ . Zamiana na ułamek często ratuje przed brzydkim dzieleniem.

⚠ Najczęstszy błąd: potraktowanie 4 głosów jako 56,25% albo jako różnicy liczonej tylko od głosów Ani. Przewaga 4 głosów odpowiada różnicy procentów, a nie któremuś z nich osobno.

Zadanie 29 (materiały CKE)3 pkttrudniejsze

Sprzedawca rozważa dwie opcje obniżki ceny pewnego towaru. Która obniżka jest większa: od razu o 45%, czy: najpierw o 25%, a następnie o 20%? Odpowiedź uzasadnij. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: większa jest obniżka od razu o 45%

Porównujemy nie same obniżki, tylko ile ceny zostaje po każdej opcji — to najprostszy sposób.
Opcja I — obniżka o $\textcolor{#E0453A}{45\%}$ za jednym razem. Zostaje $100\% - \textcolor{#E0453A}{45\%} = \textcolor{#16A06A}{55\%}$ ceny.
Opcja II — dwie obniżki po kolei. Po pierwszej ( $\textcolor{#E0453A}{25\%}$ ) zostaje $\textcolor{#16A06A}{75\%}$ , po drugiej ( $\textcolor{#E0453A}{20\%}$ ) zostaje $\textcolor{#16A06A}{80\%}$ tego, co było.
Mnożymy mnożniki: $\textcolor{#16A06A}{0{,}75} \cdot \textcolor{#16A06A}{0{,}8} = \textcolor{#16A06A}{0{,}6}$ , czyli zostaje $\textcolor{#16A06A}{60\%}$ ceny — łączna obniżka to 40%.
Porównujemy: w opcji I zostaje $\textcolor{#16A06A}{55\%}$ , w opcji II $\textcolor{#16A06A}{60\%}$ . Mniej zostaje w opcji I, więc to ona jest większą obniżką.
Odpowiedź: większa jest obniżka od razu o 45% (o 5 punktów procentowych większa niż druga opcja).
Na liczbach: przy cenie 100 zł opcja I daje 55 zł, a opcja II $100 \to 75 \to 60$ zł. Rzeczywiście 55 zł $<$ 60 zł ✓

💡 Wskazówka: Dwie kolejne obniżki nigdy nie sumują się do zwykłej sumy procentów — zawsze wychodzi mniej niż $25\% + 20\% = 45\%$ , bo druga obniżka liczy się od już obniżonej ceny.

⚠ Najczęstszy błąd: dodanie $25\% + 20\% = 45\%$ i odpowiedź „obie obniżki są takie same”. To najpopularniejsza pułapka w całym dziale procentów.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. D	2. A, C	3. D	4. B	5. A, 2	6. A, D
7. P, F	8. C	9. A	10. A	11. P, P	12. B
13. A	14. F, F	15. C	16. D	17. P, F	18. D
19. B	20. B	21. C	22. P, P	23. B	24. dowód (cena w C to 96% ceny w A)
25. 3 zielone korale	26. o 5%	27. 48 zł	28. 32 uczniów	29. większa jest obniżka od razu o 45%	30. A

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów liczę i zapisuję sam — Mateusz Będkowski.

Pytania i odpowiedzi

Jak obliczyć procent z liczby?

Zamień procent na ułamek dziesiętny i pomnóż przez całość — 15% z 240 to $240 \cdot 0{,}15 = 36$ . W pamięci wygodnie jest liczyć przez dziesiątki: 10% to przesunięcie przecinka, a 5% to połowa tej wartości.

Jak policzyć cenę przed obniżką?

Podziel cenę po obniżce przez mnożnik. Przy obniżce o 20% mnożnik wynosi 0,8, więc cena wyjściowa to zapłacona kwota podzielona przez 0,8. Dodawanie procentu z powrotem daje zły wynik, bo liczyłoby się go od niewłaściwej całości.

O ile procent wzrosła cena?

Odejmij ceny, a różnicę podziel przez cenę wyjściową i pomnóż przez sto. Mianownikiem musi być stan sprzed zmiany — to najczęstsze miejsce pomyłki w tym typie zadań.

Czy dwie obniżki po 10% dają 20%?

Nie, dają 19%. Druga obniżka liczona jest od ceny już obniżonej, czyli od mniejszej kwoty. Mnożniki się mnożą: $0{,}9 \cdot 0{,}9 = 0{,}81$ , więc zostaje 81% ceny wyjściowej.

Jak porównać dwie promocje?

Policz obie do końca na tej samej kwocie, na przykład na stu złotych, zamiast porównywać same procenty. Wynik procentowy nie zależy od wybranej kwoty, a takie porównanie nie daje się zmylić hasłom typu „drugi produkt za pół ceny”.

Czym różni się punkt procentowy od procentu?

Punkt procentowy to zwykła różnica między dwiema wartościami procentowymi. Wzrost z 20% do 25% to pięć punktów procentowych, ale zarazem wzrost o 25% względem wartości wyjściowej. W treści zadania decyduje słowo „punkt”.

Czytaj dalej

Procenty — teoriaCzym jest procent, zamiana na ułamki, promile i procent składany Obliczenia praktyczne na egzaminieZakupy, rachunki i ceny jednostkowe — te same sytuacje bez procentów Odczytywanie danych na egzaminieProcenty na diagramie kołowym — trzynaście zadań łączy oba działy Podział proporcjonalny na egzaminieStosunek a procent — dlaczego $5:3$ to nie $53\%$Egzamin ósmoklasisty z matematykiJak zbudowany jest arkusz i jak się do niego przygotować

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-30. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa Mateusza Będkowskiego.