Strona główna › Egzamin ósmoklasisty › Działania na ułamkach na egzaminie ósmoklasisty

Działania na ułamkach na egzaminie ósmoklasisty

To nie jest strona o ułamkach jako takich — o tym, czym jest licznik i mianownik, piszę w teorii ułamków. Tu chodzi o wyrażenia, w których ułamek jest jednym z elementów obok liczby ujemnej, potęgi i nawiasu. Osiem z 24 zadań zawiera liczby ujemne, a sześć sprawdza kolejność działań.

Dział: Egzamin ósmoklasistyPoziom: klasa 7–8Zadań: 24 — 22 z egzaminu ósmoklasisty i 2 z egzaminu gimnazjalnego

Przejdź od razu do zadań (24) ↓

Ułamek zwykły czy dziesiętny — co się opłaca zamienić

W jednym wyrażeniu często stoją obok siebie 0,75 i 13\tfrac13. Liczyć da się na oba sposoby, ale jeden bywa wyraźnie krótszy.

Zasada praktyczna: jeśli w wyrażeniu jest ułamek, którego nie da się zapisać skończenie dziesiętnie — jak 13\tfrac13 czy 16\tfrac16 — zamieniaj wszystko na ułamki zwykłe. W przeciwnym razie pojawi się rozwinięcie nieskończone i rachunek stanie się przybliżony.

Warto mieć w pamięci najczęstsze pary: 0,5=120{,}5 = \tfrac12, 0,25=140{,}25 = \tfrac14, 0,75=340{,}75 = \tfrac34, 0,2=150{,}2 = \tfrac15, 0,125=180{,}125 = \tfrac18. Te zamiany robi się bez liczenia.

Kolejność działań w wyrażeniu z ułamkami

Kolejność jest ta sama co zawsze i nie zmienia jej obecność ułamków: najpierw nawiasy, potem potęgi i pierwiastki, następnie mnożenie i dzielenie, na końcu dodawanie i odejmowanie.

Kreska ułamkowa działa przy tym jak nawias — i to jest jej najczęściej pomijana własność. W zapisie 2+43\dfrac{2+4}{3} najpierw wykonujemy dodawanie w liczniku, choć żadnego nawiasu tam nie widać.

Mnożenie i dzielenie mają równy priorytet i wykonuje się je od lewej do prawej. W wyrażeniu 12:3⋅212 : 3 \cdot 2 wynik to 8, a nie 2 — dzielenie stoi pierwsze, więc idzie pierwsze.

Wspólny mianownik: kiedy naprawdę jest potrzebny

Wspólny mianownik jest konieczny tylko przy dodawaniu i odejmowaniu. Przy mnożeniu i dzieleniu nie robi nic poza wydłużeniem rachunku.

To częste nieporozumienie: uczeń sprowadza 23⋅35\tfrac23 \cdot \tfrac35 do wspólnego mianownika 15, choć wystarczy pomnożyć liczniki i mianowniki osobno. Wynik jest ten sam, ale drogi dwa razy dłuższej.

Przy dodawaniu wspólnym mianownikiem nie musi być iloczyn mianowników — wystarczy ich najmniejsza wspólna wielokrotność. Dla 16\tfrac16 i 14\tfrac14 jest to 12, a nie 24, co upraszcza całą resztę.

Mnożenie i dzielenie ułamków

Mnożenie jest najprostszym z czterech działań: licznik razy licznik, mianownik razy mianownik. Przed wymnożeniem warto skrócić na krzyż — wtedy liczby zostają małe i nie trzeba upraszczać wyniku.

Dzielenie zamieniamy na mnożenie przez odwrotność: ab:cd=ab⋅dc\tfrac{a}{b} : \tfrac{c}{d} = \tfrac{a}{b} \cdot \tfrac{d}{c}. Odwracamy drugi ułamek, nigdy pierwszy.

Liczbę mieszaną zamieniamy na niewłaściwą przed każdym mnożeniem i dzieleniem. 5135\tfrac13 to 163\tfrac{16}{3}, bo 5⋅3+1=165 \cdot 3 + 1 = 16 — zapomniana jedynka to jeden z częstszych błędów w tym dziale.

Liczby ujemne — znak wyniku przed rachunkiem

Osiem zadań na tej stronie zawiera liczby ujemne, a większość błędów w nich to zgubiony znak, nie pomyłka rachunkowa. Dlatego opłaca się ustalić znak zanim zacznie się liczyć.

Przy mnożeniu i dzieleniu decyduje liczba minusów: parzysta daje wynik dodatni, nieparzysta ujemny. Przy dodawaniu i odejmowaniu trzeba porównać wartości bezwzględne.

Ta wstępna kontrola bywa całym rozwiązaniem zadania zamkniętego. Jeśli w wyrażeniu (25−43):(−2)\left(\tfrac25 - \tfrac43\right) : (-2) nawias jest ujemny i dzielimy przez liczbę ujemną, wynik musi być dodatni — a to skreśla wszystkie ujemne odpowiedzi bez liczenia.

Porównywanie ułamków bez wspólnego mianownika

Najszybsza metoda to mnożenie na krzyż: żeby porównać 35\tfrac35 i 58\tfrac58, mnożymy 3⋅8=243 \cdot 8 = 24 oraz 5⋅5=255 \cdot 5 = 25. Większy iloczyn wskazuje większy ułamek, czyli 58\tfrac58.

Działa to tylko dla ułamków dodatnich. Przy ujemnych porządek się odwraca — z dwóch liczb ujemnych większa jest ta bliżej zera.

Czasem szybsze bywa porównanie z połową albo z jedynką. 49\tfrac{4}{9} jest mniejsze od połowy, a 59\tfrac{5}{9} większe — i to wystarcza, żeby je uporządkować bez żadnego mnożenia.

Przykłady krok po kroku

Cztery zadania krok po kroku: kolejność działań, liczby ujemne, mnożenie ze skracaniem i porównywanie.

Przykład 1 Kolejność działań z ułamkiem

Oblicz 2+13⋅62 + \dfrac13 \cdot 6.

  1. Mnożenie ma pierwszeństwo przed dodawaniem, więc zaczynam od 13⋅6\tfrac13 \cdot 6.
  2. 13⋅6=63=2\dfrac13 \cdot 6 = \dfrac{6}{3} = 2.
  3. Teraz dodawanie: 2+2=42 + 2 = 4.
  4. Uwaga na częsty błąd: gdyby liczyć od lewej, wyszłoby (2+13)⋅6=14\left(2 + \tfrac13\right) \cdot 6 = 14 — wynik zupełnie inny i zwykle obecny wśród odpowiedzi.

Odpowiedź: 2+13⋅6=42 + \dfrac13 \cdot 6 = 4.

Przykład 2 Wyrażenie z liczbami ujemnymi

Oblicz (25−43):(−2)\left(\dfrac25 - \dfrac43\right) : (-2).

  1. Najpierw kontrola znaku: w nawiasie od mniejszej liczby odejmuję większą, więc nawias będzie ujemny. Ujemna dzielona przez ujemną da wynik dodatni.
  2. Liczę nawias. Wspólny mianownik dla 5 i 3 to 15: 25=615\dfrac25 = \dfrac{6}{15}, 43=2015\dfrac43 = \dfrac{20}{15}.
  3. Odejmuję: 615−2015=−1415\dfrac{6}{15} - \dfrac{20}{15} = -\dfrac{14}{15}.
  4. Dzielenie przez (−2)(-2) to mnożenie przez −12-\tfrac12: −1415⋅(−12)=1430=715-\dfrac{14}{15} \cdot \left(-\dfrac12\right) = \dfrac{14}{30} = \dfrac{7}{15}.
  5. Wynik jest dodatni — zgadza się ze wstępną kontrolą ✓

Odpowiedź: (25−43):(−2)=715\left(\dfrac25 - \dfrac43\right) : (-2) = \dfrac{7}{15}.

Przykład 3 Mnożenie ze skracaniem na krzyż

Oblicz 914⋅712\dfrac{9}{14} \cdot \dfrac{7}{12}.

  1. Przed wymnożeniem skracam na krzyż — to trzyma liczby małe.
  2. 9 i 12 dzielą się przez 3: zostaje 3 i 4.
  3. 7 i 14 dzielą się przez 7: zostaje 1 i 2.
  4. Po skróceniu: 32⋅14=38\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{8}.
  5. Kontrola: bez skracania wyszłoby 63168\dfrac{63}{168}, a po uproszczeniu to samo 38\dfrac38 ✓

Odpowiedź: 914⋅712=38\dfrac{9}{14} \cdot \dfrac{7}{12} = \dfrac38.

Przykład 4 Porównywanie ułamków

Który ułamek jest większy: 35\dfrac35 czy 58\dfrac58?

  1. Mnożę na krzyż: licznik pierwszego przez mianownik drugiego i odwrotnie.
  2. 3⋅8=243 \cdot 8 = 24 oraz 5⋅5=255 \cdot 5 = 25.
  3. Większy iloczyn stoi po stronie 58\tfrac58, więc ten ułamek jest większy.
  4. Kontrola dziesiętnie: 35=0,6\tfrac35 = 0{,}6, a 58=0,625\tfrac58 = 0{,}625 ✓
  5. Obie liczby są większe od połowy, więc porównanie z 12\tfrac12 tu nie wystarczyło — dlatego mnożenie na krzyż.

Odpowiedź: Większy jest ułamek 58\dfrac58.

Najczęstsze błędy

Cztery błędy, które w tym dziale kosztują najwięcej punktów. Trzy pierwsze dotyczą znaku albo kolejności, nie samych ułamków.

Zgubienie jedynki przy zamianie liczby mieszanej

Skąd się bierze: Liczba 5135\tfrac13 bywa zamieniana na 153\tfrac{15}{3}, bo 5⋅3=155 \cdot 3 = 15 — i część ułamkowa znika. Wynik jest wtedy mniejszy o jedną trzecią, a rachunek dalej wygląda poprawnie.

Jak zrobić dobrze: Pamiętaj o dwóch krokach: pomnóż całość przez mianownik i dodaj licznik. 513=5⋅3+13=1635\tfrac13 = \tfrac{5 \cdot 3 + 1}{3} = \tfrac{16}{3}. Kontrola: ułamek niewłaściwy musi być większy od samej całości.

Dodawanie przed mnożeniem

Skąd się bierze: Wyrażenie czyta się od lewej do prawej jak zdanie, więc 2+13⋅62 + \tfrac13 \cdot 6 bywa liczone jako (2+13)⋅6\left(2+\tfrac13\right) \cdot 6. Różnica jest duża — 4 kontra 14.

Jak zrobić dobrze: Zanim policzysz, zaznacz ołówkiem, co ma pierwszeństwo: nawiasy, potem potęgi, potem mnożenie i dzielenie. Pamiętaj też, że kreska ułamkowa działa jak nawias.

Sprowadzanie do wspólnego mianownika przy mnożeniu

Skąd się bierze: Wspólny mianownik kojarzy się z „przygotowaniem ułamków do działania”, więc bywa robiony zawsze. Przy mnożeniu jest zbędny i tylko wydłuża rachunek, zwiększając szansę pomyłki.

Jak zrobić dobrze: Wspólny mianownik potrzebny jest wyłącznie przy dodawaniu i odejmowaniu. Przy mnożeniu skracaj na krzyż, przy dzieleniu odwróć drugi ułamek.

Zgubiony znak przy dzieleniu przez liczbę ujemną

Skąd się bierze: Po kilku krokach rachunku minus przed dzielnikiem umyka uwadze, zwłaszcza gdy wcześniej też były liczby ujemne. Wynik ma wtedy poprawną wartość, ale zły znak.

Jak zrobić dobrze: Ustal znak przed liczeniem: policz minusy w mnożeniu i dzieleniu — parzysta liczba daje plus, nieparzysta minus. Na końcu sprawdź, czy wynik zgadza się z tą przewidywaną.

Zadania z arkuszy CKE — działania na ułamkach

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 2 zadania z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.

Kolor pokazuje, co w co się zamienia. Przy sprowadzaniu do wspólnego mianownika widać, przez ile rozszerzamy pierwszy ułamek, a przez ile drugi. Przy dzieleniu przez ułamek kolorem zaznaczamy ten, który się odwraca. W zwykłych rachunkach liczby zostają czarne.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 10 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 18 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (styczeń 2026)1 pktłatwe

Dane jest wyrażenie (0,75⋅8+8⋅12):(−2)\left(0{,}75 \cdot 8 + 8 \cdot \dfrac{1}{2}\right) : (-2). Dokończ zdanie.
Wartość tego wyrażenia jest równa
  • A. -5
  • B. -3,5
  • C. 3,5
  • D. 5
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Najpierw liczymy wszystko w nawiasie, a w nawiasie — najpierw mnożenie.
  2. 0,75⋅8=60{,}75 \cdot 8 = 6 (bo 0,75=340{,}75 = \tfrac34, a 34\tfrac34 z 8 to 6).
  3. 8⋅12=48 \cdot \dfrac{1}{2} = 4.
  4. W nawiasie zostaje 6+4=106 + 4 = 10.
  5. Na koniec dzielenie: 10:(−2)=−510 : (-2) = -5.
  6. Odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Ułamki dziesiętne warto w pamięci zamieniać na zwykłe: 0,75=340{,}75 = \tfrac34, 0,25=140{,}25 = \tfrac14, 0,5=120{,}5 = \tfrac12. Rachunek robi się wtedy znacznie prostszy.

⚠ Najczęstszy błąd: pominięcie minusa przy dzieleniu przez (−2)(-2) i wybór odpowiedzi D. Dodatnia liczba dzielona przez ujemną daje ujemny wynik.

Zadanie 2 (czerwiec 2025)1 pktśrednie

Jurek przejechał rowerem 12 km, co stanowiło 23\dfrac{2}{3} długości zaplanowanej trasy. Dokończ zdanie.
Połowa zaplanowanej trasy ma długość
  • A. 6 km
  • B. 8 km
  • C. 9 km
  • D. 10 km
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Uwaga na pytanie — zadanie pyta o połowę trasy, a nie o całą trasę. Najpierw jednak musimy znaleźć całość.
  2. Najprościej „przez jedną trzecią”: skoro 23\textcolor{#16A06A}{\tfrac{2}{3}} trasy to 12 km, to 13\tfrac13 trasy to 12:2=612 : 2 = 6 km.
  3. Cała trasa (33\tfrac33) to 3⋅6=183 \cdot 6 = 18 km.
  4. Połowa trasy: 18:2=918 : 2 = 9 km.
  5. Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Metoda „na jedną część” działa zawsze: podziel przez licznik, pomnóż przez mianownik. Tu 12:2⋅3=1812 : 2 \cdot 3 = 18.

⚠ Najczęstszy błąd: zatrzymanie się na całej trasie (18 km) albo podanie 13\tfrac13 trasy (6 km — kusząca odpowiedź A). Zawsze wróć na koniec do pytania.

Zadanie 3 (maj 2025)1 pkttrudniejsze

Dane jest wyrażenie (2,4−513):(−2)\left(2{,}4 - 5\dfrac{1}{3}\right) : (-2). Dokończ zdanie.
Wartość tego wyrażenia jest równa
  • A. −1815-1\dfrac{8}{15}
  • B. −1715-1\dfrac{7}{15}
  • C. 17151\dfrac{7}{15}
  • D. 18151\dfrac{8}{15}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Sprowadzamy obie liczby do ułamków zwykłych: 2,4=1252{,}4 = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{12}{5}}, a 513=1635\dfrac13 = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{16}{3}} (bo 5⋅3+1=165 \cdot 3 + 1 = 16).
  2. Wspólny mianownik dla 5 i 3 to 15. Rozszerzamy: pierwszy ułamek razy 3, drugi razy 5.
  3. 125=3615\textcolor{#16A06A}{\dfrac{12}{5}} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{36}{15}}  oraz  163=8015\textcolor{#E0453A}{\dfrac{16}{3}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{80}{15}}.
  4. Odejmujemy: 3615−8015=−4415\textcolor{#16A06A}{\dfrac{36}{15}} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{80}{15}} = -\dfrac{44}{15}.
  5. Dzielimy przez (−2)(-2): −4415:(−2)=4430=2215-\dfrac{44}{15} : (-2) = \dfrac{44}{30} = \dfrac{22}{15}.
  6. Zamieniamy na liczbę mieszaną: 2215=1715\dfrac{22}{15} = 1\dfrac{7}{15} — odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Kontrola znaku bez rachunków: w nawiasie od mniejszej liczby (2,4) odejmujemy większą (5135\tfrac13), więc wynik jest ujemny. Ujemna dzielona przez ujemną daje dodatnią — to od razu skreśla odpowiedzi A i B.

⚠ Dwa typowe błędy: (1) zamiana 5135\tfrac13 na 153\tfrac{15}{3} zamiast 163\tfrac{16}{3} (zapomniana jedynka); (2) zgubienie minusa przy dzieleniu i wybór odpowiedzi B.

Zadanie 4 (maj 2024)1 pktśrednie

Wypisano ułamki spełniające łącznie następujące warunki:
• mianownik każdego z nich jest równy 4,
• licznik każdego z nich jest liczbą naturalną większą od mianownika,
• każdy z tych ułamków jest większy od liczby 3 oraz mniejszy od liczby 5.
Dokończ zdanie.
Wszystkich ułamków spełniających powyższe warunki jest
  • A. sześć.
  • B. siedem.
  • C. osiem.
  • D. dziewięć.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Każdy z tych ułamków ma postać n4\dfrac{n}{4}, gdzie nn to liczba naturalna.
  2. Zamieniamy warunek na liczniki: liczby 3 i 5 też zapisujemy z mianownikiem 4, żeby móc je porównać.
  3. 3=1243 = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{12}{4}} oraz 5=2045 = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{20}{4}}.
  4. Warunek 3<n4<53 < \dfrac{n}{4} < 5 zamienia się więc na 12<n<20\textcolor{#16A06A}{12} < n < \textcolor{#E0453A}{20}.
  5. Liczniki to zatem: 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 — siedem liczb.
  6. Sprawdzamy jeszcze drugi warunek (licznik większy od mianownika, czyli n>4n > 4) — wszystkie go spełniają.
  7. Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Gdy porównujesz ułamek z liczbą całkowitą, zamień tę liczbę na ułamek o tym samym mianowniku — problem zamienia się wtedy w proste porównanie liczników.

⚠ Najczęstszy błąd: doliczenie liczników 12 i 20 do wyniku. Nierówności są ostre ("większy od 3", "mniejszy od 5"), więc same 3 i 5 nie wchodzą.

Zadanie 5 (maj 2024)1 pktśrednie

Dane są dwie liczby xx i yy:   x=45⋅(−43)  \;x = \dfrac{4}{5} \cdot \left(-\dfrac{4}{3}\right)\; oraz   y=45+(−43)\;y = \dfrac{4}{5} + \left(-\dfrac{4}{3}\right). Uzupełnij zdania.
Liczba yy jest liczbą AB.
  • A. ujemną
  • B. dodatnią
Liczba xx jest CD od liczby yy.
  • C. mniejsza
  • D. większa
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A, C

  1. Liczba xx — mnożymy ułamki: licznik razy licznik, mianownik razy mianownik. 45⋅(−43)=−1615\dfrac{4}{5} \cdot \left(-\dfrac{4}{3}\right) = -\dfrac{16}{15}.
  2. Liczba yy — dodajemy, więc potrzebny wspólny mianownik 15: 45=1215\textcolor{#16A06A}{\dfrac{4}{5}} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{12}{15}} (razy 3), a 43=2015\textcolor{#E0453A}{\dfrac{4}{3}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{20}{15}} (razy 5).
  3. y=1215−2015=−815y = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{12}{15}} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{20}{15}} = -\dfrac{8}{15} — liczba ujemna, odpowiedź A.
  4. Porównujemy x=−1615x = -\dfrac{16}{15} z y=−815y = -\dfrac{8}{15}. Mianowniki są takie same, więc patrzymy na liczniki.
  5. Przy liczbach ujemnych większy licznik oznacza mniejszą liczbę: −1615<−815-\dfrac{16}{15} < -\dfrac{8}{15}.
  6. Zatem xx jest mniejsza od yy — odpowiedź C. Razem: A, C.

💡 Wskazówka: Przydatna obserwacja: mnożąc ułamek przez liczbę większą od 1 (a 43>1\tfrac43 > 1), oddalamy się od zera. Dlatego xx leży dalej w lewo niż yy.

⚠ Najczęstszy błąd: porównywanie liczb ujemnych „jak dodatnich” — czyli uznanie, że skoro 16>816 > 8, to −1615>−815-\tfrac{16}{15} > -\tfrac{8}{15}. Na osi liczbowej jest odwrotnie.

Zadanie 6 (czerwiec 2023)1 pktśrednie

Z tasiemki o długości 23\dfrac{2}{3} m odcięto kawałek o długości pół metra. Dokończ zdanie.
Pozostała po odcięciu część tasiemki ma długość
  • A. mniejszą od 15 cm.
  • B. większą od 15 cm, ale mniejszą od 16 cm.
  • C. równą 16 cm.
  • D. większą od 16 cm, ale mniejszą od 17 cm.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Odejmujemy ułamki — wspólny mianownik dla 3 i 2 to 6.
  2. 23=46\textcolor{#16A06A}{\dfrac{2}{3}} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{4}{6}} (razy 2)  oraz  12=36\textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{2}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{6}} (razy 3).
  3. 46−36=16\textcolor{#16A06A}{\dfrac{4}{6}} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{6}} = \dfrac{1}{6} metra.
  4. Zamieniamy na centymetry: 16\dfrac{1}{6} m =1006= \dfrac{100}{6} cm =1623= 16\dfrac{2}{3} cm ≈16,67\approx 16{,}67 cm.
  5. To liczba większa od 16, ale mniejsza od 17 — odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Nie zaokrąglaj za wcześnie. Gdyby ktoś przyjął 23\tfrac23 m ≈66\approx 66 cm, wyszłoby 16 cm i błędna odpowiedź C. Licz na ułamkach do samego końca.

⚠ Najczęstszy błąd: potraktowanie 16\tfrac16 m jako 16 cm (bo „szóstka”). 16\tfrac16 metra to 100:6≈16,67100 : 6 \approx 16{,}67 cm — właśnie te dwie trzecie centymetra decydują o odpowiedzi.

Zadanie 7 (czerwiec 2023)1 pktśrednie

Dane są cztery liczby:   0,7  \;0{,}7\;,   −0,65  \;-0{,}65\;,   −0,456  \;-0{,}456\;,   0,234\;0{,}234. Uzupełnij zdania.
Suma największej i najmniejszej spośród tych liczb jest równa AB.
  • A. 1,35
  • B. 0,05
Na osi liczbowej odległość między punktami odpowiadającymi liczbom -0,65 oraz -0,456 jest równa CD.
  • C. 0,194
  • D. 1,106
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, C

  1. Najpierw porządkujemy liczby na osi. Ujemne są zawsze mniejsze od dodatnich, a wśród ujemnych mniejsza jest ta „dalej od zera”: −0,65<−0,456<0,234<0,7-0{,}65 < -0{,}456 < 0{,}234 < 0{,}7.
  2. Największa to 0,7\textcolor{#16A06A}{0{,}7}, najmniejsza to −0,65\textcolor{#E0453A}{-0{,}65}.
  3. Suma: 0,7+(−0,65)=0,05\textcolor{#16A06A}{0{,}7} + (\textcolor{#E0453A}{-0{,}65}) = 0{,}05 — odpowiedź B.
  4. Drugie zdanie — odległość na osi to zawsze różnica większej i mniejszej (wynik musi być dodatni).
  5. −0,456−(−0,65)=−0,456+0,65=0,194-0{,}456 - (-0{,}65) = -0{,}456 + 0{,}65 = 0{,}194 — odpowiedź C. Razem: B, C.

💡 Wskazówka: Odległość dwóch punktów na osi zawsze wychodzi dodatnia. Jeśli otrzymasz wynik ujemny, po prostu odwróciłeś kolejność odejmowania.

⚠ Najczęstszy błąd przy odległości: dodanie liczb zamiast odjęcia (0,65+0,456=1,1060{,}65 + 0{,}456 = 1{,}106 — kusząca odpowiedź D). Obie liczby leżą po tej samej stronie zera, więc odległość musi być mniejsza niż każda z nich.

Zadanie 8 (maj 2023)1 pktśrednie

Dostęp do pliku jest chroniony hasłem ∗∗T∗∗\text{T} złożonym z dwóch liczb dwucyfrowych oddzielonych literą T. Pierwsza liczba hasła to sześcian liczby 4, a druga to najmniejszy wspólny mianownik ułamków 115\dfrac{1}{15} i 125\dfrac{1}{25}. Jakie jest hasło do pliku?
  • A. 24T4524\text{T}45
  • B. 24T7524\text{T}75
  • C. 64T4564\text{T}45
  • D. 64T7564\text{T}75
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Pierwsza liczba — sześcian liczby 4, czyli 43=4⋅4⋅4=644^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = \textcolor{#16A06A}{64}.
  2. Druga liczba — najmniejszy wspólny mianownik ułamków 115\tfrac{1}{15} i 125\tfrac{1}{25} to po prostu NWW(15,25)\mathrm{NWW}(15, 25).
  3. Rozkładamy: 15=3⋅515 = 3 \cdot 5, 25=5225 = 5^2. Bierzemy każdy czynnik w najwyższej potędze: 3⋅52=753 \cdot 5^2 = \textcolor{#E0453A}{75}.
  4. Sprawdzamy: 75:15=575 : 15 = 5 ✓ oraz 75:25=375 : 25 = 3 ✓ — 75 dzieli się przez oba mianowniki.
  5. Hasło: 64T75\textcolor{#16A06A}{64}\text{T}\textcolor{#E0453A}{75} — odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Wspólny mianownik zawsze da się uzyskać, mnożąc mianowniki (15⋅25=37515 \cdot 25 = 375) — ale najmniejszy to zwykle mniej. Tu 75, czyli pięć razy mniej.

⚠ Dwa typowe błędy: (1) policzenie 434^3 jako 4⋅3=124 \cdot 3 = 12 albo 4⋅6=244 \cdot 6 = 24 (kusząca odpowiedź A i B); (2) podanie 45 jako wspólnego mianownika — 45 nie dzieli się przez 25.

Zadanie 9 (czerwiec 2022)1 pkttrudniejsze

Liczby xx, (−56)\left(-\dfrac{5}{6}\right), yy są uporządkowane rosnąco. Liczba yy jest o 0,5 większa od (−56)\left(-\dfrac{5}{6}\right), a liczba (−56)\left(-\dfrac{5}{6}\right) jest o 0,5 większa od liczby xx. Jakie wartości mają liczby xx i yy?
  • A. x=−43x = -\dfrac{4}{3} i y=−13y = -\dfrac{1}{3}
  • B. x=−76x = -\dfrac{7}{6} i y=−16y = -\dfrac{1}{6}
  • C. x=−43x = -\dfrac{4}{3} i y=−12y = -\dfrac{1}{2}
  • D. x=−76x = -\dfrac{7}{6} i y=−13y = -\dfrac{1}{3}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Zamieniamy 0,5 na ułamek o mianowniku 6, żeby wszystko liczyć w jednej „walucie”: 0,5=12=360{,}5 = \tfrac12 = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{6}}.
  2. Liczba yy jest o 0,5 większa, więc dodajemy: y=−56+36=−26=−13y = \textcolor{#16A06A}{-\dfrac{5}{6}} + \textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{6}} = -\dfrac{2}{6} = -\dfrac{1}{3}.
  3. Liczba xx — tu uwaga na kierunek. To −56-\tfrac56 jest większe od xx, więc xx jest mniejsze: odejmujemy.
  4. x=−56−36=−86=−43x = \textcolor{#16A06A}{-\dfrac{5}{6}} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{6}} = -\dfrac{8}{6} = -\dfrac{4}{3}.
  5. Zatem x=−43x = -\dfrac43 i y=−13y = -\dfrac13 — odpowiedź A.
  6. Kontrola: −43<−56<−13-\dfrac43 < -\dfrac56 < -\dfrac13, czyli liczby są uporządkowane rosnąco ✓

💡 Wskazówka: Wynik zawsze skracaj do końca — −26-\tfrac26 to −13-\tfrac13, a −86-\tfrac86 to −43-\tfrac43. Odpowiedzi w arkuszu są podane w postaci skróconej.

⚠ Najczęstszy błąd: pomylenie kierunku przy liczbie xx i dodanie zamiast odjęcia. Zdanie brzmi „−56-\tfrac56 jest większa od xx”, czyli xx leży na lewo — trzeba odjąć.

Zadanie 10 (maj 2022)1 pktśrednie

Dokończ zdanie.
Wartość wyrażenia 425−32\dfrac{4^2}{5} - 3^2 jest równa
  • A. −295-\dfrac{29}{5}
  • B. −225-\dfrac{22}{5}
  • C. 75\dfrac{7}{5}
  • D. 615\dfrac{61}{5}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Najpierw potęgi: 42=164^2 = 16 oraz 32=93^2 = 9. Wyrażenie to 165−9\dfrac{16}{5} - 9.
  2. Żeby odjąć, zapisujemy 9 jako ułamek o mianowniku 5: 9=4559 = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{45}{5}}.
  3. 165−455=−295\textcolor{#16A06A}{\dfrac{16}{5}} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{45}{5}} = -\dfrac{29}{5}.
  4. Odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Kontrola sensu: 165\tfrac{16}{5} to nieco ponad 3, a odejmujemy 9 — wynik musi być ujemny i bliski -6. Odpowiedzi C i D odpadają od razu.

⚠ Uwaga na zapis 425\dfrac{4^2}{5} — kwadrat dotyczy tylko czwórki, nie całego ułamka. Gdyby podnieść do kwadratu cały ułamek, wyszłoby 1625\tfrac{16}{25} i zupełnie inny wynik.

Zadanie 11 (czerwiec 2021)1 pktśrednie

Poniżej zapisano trzy liczby:   p=27⋅927+9  \;p = \dfrac{27 \cdot 9}{27 + 9}\;,   r=27+927−9  \;r = \dfrac{27 + 9}{27 - 9}\;,   s=27−927:9\;s = \dfrac{27 - 9}{27 : 9}. Który zapis przedstawia poprawnie uporządkowane liczby pp, rr, ss od najmniejszej do największej?
  • A. s, r, ps,\ r,\ p
  • B. r, s, pr,\ s,\ p
  • C. s, p, rs,\ p,\ r
  • D. r, p, sr,\ p,\ s
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Kreska ułamkowa działa jak nawias — najpierw liczymy osobno cały licznik i cały mianownik, dopiero potem dzielimy.
  2. p=27⋅927+9=24336=6,75p = \dfrac{27 \cdot 9}{27 + 9} = \dfrac{243}{36} = 6{,}75.
  3. r=27+927−9=3618=2r = \dfrac{27 + 9}{27 - 9} = \dfrac{36}{18} = 2.
  4. s=27−927:9=183=6s = \dfrac{27 - 9}{27 : 9} = \dfrac{18}{3} = 6.
  5. Porządkujemy rosnąco: 2<6<6,752 < 6 < 6{,}75, czyli rr, ss, pp.
  6. Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Przy pp nie trzeba dzielić dokładnie — wystarczy zauważyć, że 24336\tfrac{243}{36} to niecałe 7, a s=6s = 6. To już rozstrzyga kolejność.

⚠ Najczęstszy błąd: liczenie „po kolei od lewej” bez traktowania kreski jak nawiasu — np. 27⋅9:27+927 \cdot 9 : 27 + 9, co daje zupełnie inny wynik.

Zadanie 12 (czerwiec 2021)1 pkttrudniejsze

Dane są cztery wyrażenia:
I. −16,55+6,05-16{,}55 + 6{,}05  ·  II. −534−4,75-5\dfrac{3}{4} - 4{,}75  ·  III. 23⋅(−1514)\dfrac{2}{3} \cdot \left(-15\dfrac{1}{4}\right)  ·  IV. (−1,5):17(-1{,}5) : \dfrac{1}{7}
Wartość którego wyrażenia nie jest równa (−1012)\left(-10\dfrac{1}{2}\right)?
  • A. I
  • B. II
  • C. III
  • D. IV
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Szukamy wartości −1012=−10,5-10\tfrac12 = -10{,}5. Sprawdzamy po kolei.
  2. I. −16,55+6,05=−10,5-16{,}55 + 6{,}05 = -10{,}5 ✓
  3. II. −534=−5,75-5\tfrac34 = -5{,}75, więc −5,75−4,75=−10,5-5{,}75 - 4{,}75 = -10{,}5 ✓
  4. III. −1514=−614-15\tfrac14 = -\dfrac{61}{4}, zatem 23⋅(−614)=−12212=−616=−1016\dfrac{2}{3} \cdot \left(-\dfrac{61}{4}\right) = -\dfrac{122}{12} = -\dfrac{61}{6} = -10\dfrac{1}{6} ✗
  5. IV. Dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność: (−1,5):17=(−1,5)⋅7=−10,5(-1{,}5) : \textcolor{#16A06A}{\dfrac{1}{7}} = (-1{,}5) \cdot \textcolor{#16A06A}{7} = -10{,}5 ✓
  6. Jedyne wyrażenie o innej wartości to III — odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Zanim policzysz III dokładnie, oszacuj: 23\tfrac23 z 15 to 10, a z 151415\tfrac14 trochę więcej — czyli około 10,17, nie 10,5. Szacowanie oszczędza czas.

⚠ Uwaga na wyrażenie IV: dzielenie przez 17\tfrac17 zwiększa liczbę siedmiokrotnie. Częsty błąd to potraktowanie tego jak dzielenia przez 7 i otrzymanie -0,214.

Zadanie 13 (maj 2021)1 pktśrednie

Dane są cztery liczby zapisane za pomocą wyrażeń arytmetycznych:
x=−62,5+30x = -62{,}5 + 30  ·  y=−14,4−12,6y = -14{,}4 - 12{,}6  ·  t=−12:0,3t = -12 : 0{,}3  ·  u=−8,02⋅6u = -8{,}02 \cdot 6
Która z tych liczb jest największa?
  • A. xx
  • B. yy
  • C. tt
  • D. uu
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Liczymy każdą wartość osobno:
  2. x=−62,5+30=−32,5x = -62{,}5 + 30 = -32{,}5
  3. y=−14,4−12,6=−27y = -14{,}4 - 12{,}6 = -27
  4. t=−12:0,3=−40t = -12 : 0{,}3 = -40 (dzielenie przez liczbę mniejszą od 1 zwiększa wartość bezwzględną)
  5. u=−8,02⋅6=−48,12u = -8{,}02 \cdot 6 = -48{,}12
  6. Wszystkie są ujemne, więc największa jest ta najbliższa zera: -27, czyli liczba yy.
  7. Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Wśród liczb ujemnych największa to ta o najmniejszej wartości bezwzględnej — najbliżej zera na osi liczbowej.

⚠ Dwa typowe błędy: (1) wybór uu jako „największej”, bo 48,12 to największa liczba — ale ze znakiem minus jest najmniejsza; (2) policzenie −12:0,3-12 : 0{,}3 jako -4 zamiast -40.

Zadanie 14 (maj 2021)1 pktśrednie

Uzupełnij zdania.
Wartość wyrażenia 37+35\dfrac{3}{7} + \dfrac{3}{5} jest liczbą AB.
  • A. mniejszą od 1
  • B. większą od 1
Wartość wyrażenia 37−35\dfrac{3}{7} - \dfrac{3}{5} jest liczbą CD.
  • C. ujemną
  • D. dodatnią
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, C

  1. Wspólny mianownik dla 7 i 5 to 35. Rozszerzamy: 37=1535\textcolor{#16A06A}{\dfrac{3}{7}} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{15}{35}} (razy 5), a 35=2135\textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{5}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{21}{35}} (razy 7).
  2. Suma: 1535+2135=3635>1\textcolor{#16A06A}{\dfrac{15}{35}} + \textcolor{#E0453A}{\dfrac{21}{35}} = \dfrac{36}{35} > 1 — odpowiedź B.
  3. Różnica: 1535−2135=−635\textcolor{#16A06A}{\dfrac{15}{35}} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{21}{35}} = -\dfrac{6}{35} — liczba ujemna, odpowiedź C.
  4. Razem: B, C.

💡 Wskazówka: Można odpowiedzieć bez liczenia. Ułamki mają ten sam licznik, więc większy jest ten o mniejszym mianowniku: 35>37\tfrac35 > \tfrac37. Skoro odejmujemy większy od mniejszego — wynik ujemny. A skoro 35\tfrac35 to ponad połowa i 37\tfrac37 też ponad jedną trzecią — suma przekracza 1.

⚠ Najczęstszy błąd: dodawanie „licznik do licznika, mianownik do mianownika” (37+35=612\tfrac{3}{7} + \tfrac{3}{5} = \tfrac{6}{12}). Tak się ułamków nie dodaje — potrzebny jest wspólny mianownik.

Zadanie 15 (marzec 2021)1 pktśrednie

Która z poniższych nierówności jest prawdziwa?
  • A. 259<239\dfrac{25}{9} < \dfrac{23}{9}
  • B. 54+52>4\dfrac{5}{4} + \dfrac{5}{2} > 4
  • C. 1317⋅3>3917\dfrac{13}{17} \cdot 3 > \dfrac{39}{17}
  • D. 1112>1113\dfrac{11}{12} > \dfrac{11}{13}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. A — ten sam mianownik, więc decyduje licznik: 25>2325 > 23, czyli 259>239\tfrac{25}{9} > \tfrac{23}{9}. Nierówność jest odwrotna — fałsz.
  2. B — 54+52=1,25+2,5=3,75\dfrac{5}{4} + \dfrac{5}{2} = 1{,}25 + 2{,}5 = 3{,}75, a to mniej niż 4 — fałsz.
  3. C — 1317⋅3=3917\dfrac{13}{17} \cdot 3 = \dfrac{39}{17}, czyli obie strony są równe. Nierówność ostra „>>” nie zachodzi — fałsz.
  4. D — ten sam licznik (11), więc decyduje mianownik: im mniejszy mianownik, tym większy ułamek (dzielimy na mniej części). Skoro 12<1312 < 13, to 1112>1113\dfrac{11}{12} > \dfrac{11}{13} ✓ — prawda.
  5. Odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Dwie reguły, które załatwiają większość porównań: ten sam mianownik → większy licznik wygrywa; ten sam licznik → mniejszy mianownik wygrywa (bo tort dzielony na mniej kawałków daje większe kawałki).

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź C — przy szybkim czytaniu 1317⋅3\tfrac{13}{17} \cdot 3 wygląda na coś większego, ale to dokładnie 3917\tfrac{39}{17}. Znak „>>” wymaga ścisłej większości.

Zadanie 16 (marzec 2021)1 pktśrednie

Dane są trzy wyrażenia:
I. 6⋅1236 \cdot 1\dfrac{2}{3}  ·  II. 6:1,26 : 1{,}2  ·  III. 7,25−2147{,}25 - 2\dfrac{1}{4}
Dokończ zdanie.
Liczbami całkowitymi są wartości wyrażeń
  • A. I, II i III.
  • B. Tylko I i II.
  • C. Tylko II i III.
  • D. Tylko I i III.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. I. Zamieniamy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy: 123=531\dfrac23 = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{5}{3}}.
  2. 6⋅53=303=106 \cdot \textcolor{#16A06A}{\dfrac{5}{3}} = \dfrac{30}{3} = 10 — liczba całkowita ✓
  3. II. 6:1,26 : 1{,}2 — mnożymy obie liczby przez 10, żeby pozbyć się przecinka: 60:12=560 : 12 = 5 — całkowita ✓
  4. III. 214=2,252\dfrac14 = 2{,}25, więc 7,25−2,25=57{,}25 - 2{,}25 = 5 — całkowita ✓
  5. Wszystkie trzy dają liczby całkowite — odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Przy dzieleniu przez liczbę z przecinkiem pomnóż obie liczby przez 10 (albo 100). Wynik dzielenia się nie zmieni, a rachunek robi się dużo prostszy.

⚠ Częsty błąd w I: pomnożenie 6 tylko przez część całkowitą (6⋅1=66 \cdot 1 = 6) i osobne dodanie 23\tfrac23. Liczbę mieszaną trzeba najpierw zamienić na ułamek niewłaściwy.

Zadanie 17 (czerwiec 2020)1 pktśrednie

Dane są trzy wyrażenia arytmetyczne:
I. 75,5⋅2−7⋅6,9975{,}5 \cdot 2 - 7 \cdot 6{,}99  ·  II. (4,6+5,5)⋅10(4{,}6 + 5{,}5) \cdot 10  ·  III. 0,26⋅4000{,}26 \cdot 400
Które spośród tych wyrażeń mają wartość większą od 100?
  • A. Tylko I i II.
  • B. Tylko I i III.
  • C. Tylko II i III.
  • D. Tylko I, II i III.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. I. 75,5⋅2=15175{,}5 \cdot 2 = 151, a 7⋅6,99=48,937 \cdot 6{,}99 = 48{,}93. Zatem 151−48,93=102,07>100151 - 48{,}93 = 102{,}07 > 100 ✓
  2. II. (4,6+5,5)⋅10=10,1⋅10=101>100(4{,}6 + 5{,}5) \cdot 10 = 10{,}1 \cdot 10 = 101 > 100 ✓
  3. III. 0,26⋅400=104>1000{,}26 \cdot 400 = 104 > 100 ✓
  4. Wszystkie trzy przekraczają 100 — odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Sprytne szacowanie w I: 6,99 to prawie 7, więc 7⋅6,997 \cdot 6{,}99 to prawie 49, ale trochę mniej. Od 151 odejmujemy niecałe 49, więc zostaje ponad 102.

⚠ Najczęstszy błąd w III: pomyłka o rząd wielkości — 0,26⋅4000{,}26 \cdot 400 to 104, a nie 10,4. Warto sprawdzić: 0,25⋅400=1000{,}25 \cdot 400 = 100, a 0,26 to trochę więcej.

Zadanie 18 (kwiecień 2020)1 pktśrednie

Dokończ zdanie.
Wartość wyrażenia 57−27⋅(−32)\dfrac{5}{7} - \dfrac{2}{7} \cdot \left(-\dfrac{3}{2}\right) jest równa
  • A. −1514-\dfrac{15}{14}
  • B. −914-\dfrac{9}{14}
  • C. 27\dfrac{2}{7}
  • D. 87\dfrac{8}{7}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Kolejność działań: najpierw mnożenie, dopiero potem odejmowanie.
  2. 27⋅(−32)=−614=−37\dfrac{2}{7} \cdot \left(-\dfrac{3}{2}\right) = -\dfrac{6}{14} = -\dfrac{3}{7} (skracamy przez 2).
  3. Wstawiamy do wyrażenia: 57−(−37)\dfrac{5}{7} - \left(-\dfrac{3}{7}\right).
  4. Odejmowanie liczby ujemnej to dodawanie: 57+37=87\dfrac{5}{7} + \dfrac{3}{7} = \dfrac{8}{7}.
  5. Odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Skracaj przed mnożeniem: w 27⋅32\tfrac{2}{7} \cdot \tfrac{3}{2} dwójki się skracają, zostaje od razu 37\tfrac37 — bez liczenia 614\tfrac{6}{14}.

⚠ Najczęstszy błąd: pominięcie podwójnego minusa i wykonanie odejmowania (57−37=27\tfrac57 - \tfrac37 = \tfrac27 — kusząca odpowiedź C). „Minus razy minus daje plus” działa też przy odejmowaniu liczby ujemnej.

Zadanie 19 (marzec 2020)1 pktłatwe

Dokończ zdanie.
Wartość wyrażenia 43⋅3−23\dfrac{4}{3} \cdot 3 - 2^3 jest równa
  • A. −143-\dfrac{14}{3}
  • B. -4
  • C. -7
  • D. −83-\dfrac{8}{3}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Najpierw potęga: 23=2⋅2⋅2=82^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8.
  2. Potem mnożenie: 43⋅3=123=4\dfrac{4}{3} \cdot 3 = \dfrac{12}{3} = 4 (trójki się skracają).
  3. Na końcu odejmowanie: 4−8=−44 - 8 = -4.
  4. Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Mnożenie ułamka przez jego mianownik zawsze „zjada” mianownik — zostaje sam licznik. Stąd 43⋅3=4\tfrac43 \cdot 3 = 4 bez żadnych rachunków.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie 232^3 jako 2⋅3=62 \cdot 3 = 6 (wyszłoby -2) albo pomnożenie tylko licznika i mianownika przez 3.

Zadanie 20 (grudzień 2017)1 pkttrudniejsze

Uzupełnij zdania.
Wartość wyrażenia 4,5:0,754{,}5 : 0{,}75 jest równa wartości wyrażenia AB.
  • A. 45075\dfrac{450}{75}
  • B. 4575\dfrac{45}{75}
Wartość wyrażenia 1,25⋅0,41{,}25 \cdot 0{,}4 jest równa wartości wyrażenia CD.
  • C. 125⋅4100\dfrac{125 \cdot 4}{100}
  • D. 125⋅41000\dfrac{125 \cdot 4}{1000}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A, D

  1. Pierwsze zdanie. Dzielenie zapisujemy jako ułamek: 4,5:0,75=4,50,754{,}5 : 0{,}75 = \dfrac{4{,}5}{0{,}75}.
  2. Żeby usunąć przecinki, mnożymy licznik i mianownik przez tę samą liczbę — tu przez 100: 4,5⋅1000,75⋅100=45075\dfrac{4{,}5 \cdot 100}{0{,}75 \cdot 100} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{450}}{\textcolor{#16A06A}{75}} — odpowiedź A.
  3. (Sprawdzenie: 450:75=6450 : 75 = 6, i rzeczywiście 4,5:0,75=64{,}5 : 0{,}75 = 6.)
  4. Drugie zdanie. Tu mnożymy, więc liczymy miejsca po przecinku: 1,25 ma dwa, 0,4 ma jedno — razem trzy.
  5. Zatem 1,25⋅0,4=125100⋅410=125⋅410001{,}25 \cdot 0{,}4 = \dfrac{125}{100} \cdot \dfrac{4}{10} = \dfrac{125 \cdot 4}{\textcolor{#E0453A}{1000}} — odpowiedź D.
  6. (Sprawdzenie: 5001000=0,5\dfrac{500}{1000} = 0{,}5, i rzeczywiście 1,25⋅0,4=0,51{,}25 \cdot 0{,}4 = 0{,}5.)
  7. Razem: A, D.

💡 Wskazówka: Kluczowa różnica: przy dzieleniu mnożymy obie liczby przez to samo (wynik bez zmian), przy mnożeniu mianowniki się mnożą (100⋅10=1000100 \cdot 10 = 1000).

⚠ Najczęstszy błąd w pierwszym zdaniu: pomnożenie tylko mianownika przez 100, a licznika przez 10 (odpowiedź B) — to zmienia wynik dziesięciokrotnie.

Zadanie 21 (kwiecień 2014, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Dokończ zdanie tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe.
Liczbą większą od 13\dfrac{1}{3} jest
  • A. 300900\dfrac{300}{900}
  • B. 300900−1\dfrac{300}{900 - 1}
  • C. 300900+1\dfrac{300}{900 + 1}
  • D. 300−1900\dfrac{300 - 1}{900}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Punkt wyjścia: 13=300900\dfrac{1}{3} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{300}{900}} — wszystkie odpowiedzi to warianty tego samego ułamka.
  2. A to dokładnie 300900=13\textcolor{#16A06A}{\dfrac{300}{900}} = \dfrac13 — równe, więc nie większe ✗
  3. B — mianownik zmniejszony o 1. Mniejszy mianownik przy tym samym liczniku daje większy ułamek ✓
  4. C — mianownik zwiększony, więc ułamek jest mniejszy ✗
  5. D — licznik zmniejszony, więc ułamek jest mniejszy ✗
  6. Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Dwie reguły na całe życie: większy licznik → większy ułamek, większy mianownik → mniejszy ułamek. Tu wystarczyło zobaczyć, gdzie stoi minus.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź D — intuicja podpowiada, że „minus w liczniku i minus w mianowniku zachowują się tak samo”. Zachowują się dokładnie odwrotnie.

Zadanie 22 (kwiecień 2013, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Ile spośród liczb   23\;\dfrac{2}{3}, 12\dfrac{1}{2}, 1025\dfrac{10}{25}, 14  \dfrac{1}{4}\; spełnia warunek 25<x<35\dfrac{2}{5} < x < \dfrac{3}{5}?
  • A. Jedna liczba.
  • B. Dwie liczby.
  • C. Trzy liczby.
  • D. Cztery liczby.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Najwygodniej zamienić wszystko na ułamki dziesiętne. Granice: 25=0,4\textcolor{#16A06A}{\dfrac{2}{5}} = \textcolor{#16A06A}{0{,}4} oraz 35=0,6\textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{5}} = \textcolor{#E0453A}{0{,}6}.
  2. 23≈0,667\dfrac{2}{3} \approx 0{,}667 — to więcej niż 0,6\textcolor{#E0453A}{0{,}6} ✗
  3. 12=0,5\dfrac{1}{2} = 0{,}5 — mieści się między 0,4\textcolor{#16A06A}{0{,}4} a 0,6\textcolor{#E0453A}{0{,}6} ✓
  4. 1025=25=0,4\dfrac{10}{25} = \dfrac{2}{5} = \textcolor{#16A06A}{0{,}4} — to dokładnie granica, a nierówność jest ostra, więc nie liczy się ✗
  5. 14=0,25\dfrac{1}{4} = 0{,}25 — mniej niż 0,4\textcolor{#16A06A}{0{,}4} ✗
  6. Warunek spełnia tylko jedna liczba — odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Warto znać na pamięć: 15=0,2\tfrac15 = 0{,}2, 14=0,25\tfrac14 = 0{,}25, 13≈0,33\tfrac13 \approx 0{,}33, 12=0,5\tfrac12 = 0{,}5, 23≈0,67\tfrac23 \approx 0{,}67, 34=0,75\tfrac34 = 0{,}75. Oszczędza mnóstwo czasu na egzaminie.

⚠ Najczęstszy błąd: zaliczenie 1025\tfrac{10}{25}. Po skróceniu to dokładnie 25\tfrac25, czyli granica przedziału — a znak „<<” jej nie obejmuje.

Zadania otwarte

Zadanie 23 (czerwiec 2025)3 pktśrednie

Kamil otrzymał 300 złotych na zakup koszulki i torby sportowej. Na koszulkę wydał 15\dfrac{1}{5} tej kwoty. Za torbę sportową zapłacił 35\dfrac{3}{5} kwoty, która została mu po zakupie koszulki. Oblicz, ile złotych zostało Kamilowi po zakupach. Zapisz obliczenia.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 96 zł

  1. Koszulka — 15\dfrac{1}{5} z 300 zł: 300:5=60300 : 5 = 60 zł.
  2. Po tym zakupie zostało mu: 300−60=240300 - 60 = \textcolor{#16A06A}{240} zł.
  3. Torba — uwaga na kluczowe słowa: 35\dfrac{3}{5} liczymy nie z 300 zł, tylko z tego, co zostało, czyli z 240\textcolor{#16A06A}{240} zł.
  4. 35\dfrac{3}{5} z 240\textcolor{#16A06A}{240} zł: 240:5=48240 : 5 = 48, więc 3⋅48=1443 \cdot 48 = 144 zł.
  5. Zostało: 240−144=96\textcolor{#16A06A}{240} - 144 = 96 zł.
  6. Odpowiedź: Kamilowi zostało 96 zł.
  7. Szybsza droga: skoro na torbę poszło 35\tfrac35 reszty, to zostało mu 25\tfrac25 reszty, czyli 25⋅240=96\tfrac25 \cdot \textcolor{#16A06A}{240} = 96 zł ✓

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę na to, od czego liczymy ułamek. Tutaj podstawa zmienia się w trakcie zadania: najpierw 300 zł, potem 240 zł.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie 35\tfrac35 z 300 zł (czyli 180 zł) zamiast z reszty. Wtedy wyszłoby, że Kamilowi zostało 60 zł — i całe zadanie na zero punktów.

Zadanie 24 (maj 2021)2 pktśrednie

Paweł powiedział, że podzieli tabliczkę czekolady w taki sposób, że bratu przypadnie 12\dfrac{1}{2} całej tabliczki, siostrze 512\dfrac{5}{12} całej tabliczki, a jemu 16\dfrac{1}{6} całej tabliczki. Czy taki podział tabliczki czekolady jest możliwy? Uzasadnij swoją odpowiedź.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: Nie — części sumują się do 13/12, czyli więcej niż cała tabliczka

  1. Cała tabliczka to jedna całość, czyli 1. Sprawdzamy więc, ile daje suma wszystkich trzech części.
  2. Wspólny mianownik dla 2, 12 i 6 to 12. Rozszerzamy każdy ułamek:
  3. 12=612\textcolor{#16A06A}{\dfrac{1}{2}} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{6}{12}} (razy 6)  ·  512\dfrac{5}{12} zostaje bez zmian  ·  16=212\textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{6}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{2}{12}} (razy 2).
  4. Sumujemy: 612+512+212=1312\textcolor{#16A06A}{\dfrac{6}{12}} + \dfrac{5}{12} + \textcolor{#E0453A}{\dfrac{2}{12}} = \dfrac{13}{12}.
  5. Otrzymaliśmy 1312=1112\dfrac{13}{12} = 1\dfrac{1}{12}, czyli więcej niż całą tabliczkę.
  6. Odpowiedź: taki podział nie jest możliwy — Pawłowi zabrakłoby 112\dfrac{1}{12} tabliczki, bo obiecał łącznie więcej, niż ma.

💡 Wskazówka: W zadaniach „czy taki podział jest możliwy” zawsze sprawdzaj, czy części sumują się do dokładnie 1. Mniej niż 1 oznacza, że coś zostaje; więcej — że podział jest niewykonalny.

⚠ Za samą odpowiedź „nie” bez obliczeń komisja nie przyzna punktów. Trzeba pokazać sumę 1312\tfrac{13}{12} i wyraźnie napisać, że to więcej niż jedna całość.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. A2. C3. C4. B5. A, C6. D
7. B, C8. D9. A10. A11. B12. C
13. B14. B, C15. D16. A17. D18. D
19. B20. A, D21. B22. A23. 96 zł24. Nie — części sumują się do 13/12, czyli więcej niż cała tabliczka

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów liczę i zapisuję sam — Mateusz Będkowski.

Pytania i odpowiedzi

Zamieniać ułamki dziesiętne na zwykłe czy odwrotnie?

Jeśli w wyrażeniu jest ułamek, którego nie da się zapisać skończenie dziesiętnie — jak jedna trzecia albo jedna szósta — zamieniaj wszystko na ułamki zwykłe. W przeciwnym razie pojawi się rozwinięcie nieskończone i rachunek stanie się przybliżony.

Jaka jest kolejność działań?

Najpierw nawiasy, potem potęgi i pierwiastki, następnie mnożenie i dzielenie, na końcu dodawanie i odejmowanie. Mnożenie i dzielenie mają równy priorytet i wykonuje się je od lewej do prawej. Kreska ułamkowa działa jak nawias.

Kiedy potrzebny jest wspólny mianownik?

Tylko przy dodawaniu i odejmowaniu. Przy mnożeniu wystarczy pomnożyć liczniki i mianowniki, a przy dzieleniu — odwrócić drugi ułamek i pomnożyć. Sprowadzanie do wspólnego mianownika w tych dwóch działaniach niczego nie ułatwia.

Jak szybko porównać dwa ułamki?

Pomnóż na krzyż: licznik pierwszego przez mianownik drugiego i odwrotnie. Większy iloczyn wskazuje większy ułamek. Metoda działa dla liczb dodatnich; przy ujemnych porządek się odwraca.

Ujemny przez ujemny to plus czy minus?

Plus. Przy mnożeniu i dzieleniu decyduje liczba minusów — parzysta daje wynik dodatni, nieparzysta ujemny. Warto ustalić znak przed rozpoczęciem rachunku, bo często pozwala od razu odrzucić część odpowiedzi.

Jak zamienić liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy?

Pomnóż część całkowitą przez mianownik i dodaj licznik — mianownik zostaje bez zmian. Pominięcie tego dodawania to najczęstszy błąd w tym dziale; kontrolą jest sprawdzenie, czy wynik jest większy od samej części całkowitej.

Czytaj dalej

Ułamki — teoriaBudowa ułamka, skracanie, rozszerzanie i zamiana na dziesiętne od podstawOś liczbowa na egzaminieGdzie leży ułamek między liczbami całkowitymi i jak porównać liczby ujemneProcenty na egzaminieProcent jako ułamek o mianowniku sto — ten sam rachunek, inny zapisPotęgi na egzaminiePotęga ułamka i kolejność działań w dłuższym wyrażeniuEgzamin ósmoklasisty z matematykiJak zbudowany jest arkusz i jak się do niego przygotować
Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-30. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa Mateusza Będkowskiego.