Strona główna › Geometria przestrzenna › Bryły obrotowe

Bryły obrotowe

Q: Co to znaczy, że bryła jest obrotowa?

Że powstaje przez obrót figury płaskiej wokół prostej zwanej osią obrotu. Każdy punkt figury zakreśla wtedy okrąg, więc bryła ma okrągłe przekroje prostopadłe do osi i nieskończenie wiele płaszczyzn symetrii.

Q: Dlaczego we wszystkich wzorach występuje ?

Bo każdy punkt obracanej figury zakreśla okrąg, a wielkości związane z okręgiem opisuje się przez . To bezpośrednia konsekwencja definicji, a nie zbieg okoliczności.

Q: Czy z jednej figury zawsze powstaje ta sama bryła?

Nie — zależy to od wyboru osi. Trójkąt prostokątny obrócony wokół różnych przyprostokątnych daje dwa stożki o różnych objętościach, choć o tej samej tworzącej.

Q: Czym jest przekrój osiowy i po co go rysować?

To przecięcie bryły płaszczyzną przechodzącą przez oś. Zawiera pełną informację o bryle, więc pozwala zamienić zadanie przestrzenne na płaskie — a w figurze płaskiej kąty proste wyglądają na proste.

Q: Jaki jest stosunek objętości kuli do walca, w którym jest wpisana?

Dokładnie dwie trzecie, i ten sam stosunek zachodzi dla pól powierzchni. To twierdzenie Archimedesa, uważane przez niego samego za najważniejsze osiągnięcie.

Bryła obrotowa powstaje przez obrót figury płaskiej wokół prostej. To jedna definicja, z której wynika cała reszta: dlaczego walec, stożek i kula mają okrągłe przekroje, dlaczego wszystkie ich wzory zawierają $\pi$ i dlaczego w zadaniach zawsze da się wrócić do figury płaskiej. Wzory i zadania każdej z tych brył opisuję osobno — ta strona jest o tym, co je łączy.

Dział: Geometria przestrzennaPoziom: liceum — zakres podstawowyZadań z matury: 7

Przejdź od razu do zadań (7) ↓

1Jedna definicja, trzy bryły

Weź figurę płaską i prostą leżącą w tej samej płaszczyźnie. Obróć figurę wokół prostej o pełny kąt — to, co figura „zamiecie” w przestrzeni, jest bryłą obrotową. Prosta nazywa się osią obrotu.

figura	oś obrotu	powstała bryła
prostokąt	jeden z boków	walec
trójkąt prostokątny	jedna z przyprostokątnych	stożek
półkole	średnica	kula
trapez prostokątny	ramię prostopadłe do podstaw	stożek ścięty

Ostatni wiersz wykracza poza szkolne wzory, ale warto go znać — bo pokazuje, że lista brył obrotowych nie kończy się na trzech. Każda figura daje jakąś bryłę; szkoła zajmuje się tymi, których objętość da się zapisać krótkim wzorem.

Skąd bierze się $\pi$ w każdym wzorze

Punkt figury oddalony od osi o $r$ zakreśla podczas obrotu okrąg o promieniu $r$ .

Cała bryła jest więc zbiorem okręgów, a te opisuje się przez $\pi$ .

Dlatego $\pi$ pojawia się w objętości i polu każdej bryły obrotowej — i dlatego wyniki zostawiamy w postaci dokładnej, z $\pi$ , zamiast je zaokrąglać.

Podstawa programowa wymienia te bryły w dziale X, zakres podstawowy, punkt 5, razem z graniastosłupami i ostrosłupami: „oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii”.

2Co wynika z samej definicji

Trzy własności wspólne dla wszystkich brył obrotowych — każdą da się wyprowadzić z obrotu, bez sięgania po wzory.

Każdy przekrój prostopadły do osi jest kołem albo pierścieniem. Bo wszystkie punkty na tej wysokości zakreśliły okręgi wokół tego samego środka. W trzech bryłach szkolnych figura obracana dotyka osi, więc otworu w środku nie ma i wychodzi pełne koło. Gdyby figura była od osi odsunięta — jak koło dające torus albo prostokąt dający rurę — w środku przekroju zostałaby dziura.
Bryła ma nieskończenie wiele płaszczyzn symetrii — każda przechodząca przez oś. To odróżnia je od graniastosłupów, gdzie płaszczyzn symetrii jest skończenie wiele.
Przekrój osiowy to figura wyjściowa sklejona ze swoim odbiciem względem osi — bo płaszczyzna przechodząca przez oś tnie bryłę po obu jej stronach. Uwaga na słowo „sklejona”: podwaja się tylko wymiar prostopadły do osi, a wymiar wzdłuż osi zostaje bez zmian. To nie jest powiększenie w skali $2$ — pole rośnie dwukrotnie, nie czterokrotnie.

Trzecia własność jest najbardziej użyteczna w zadaniach. Przekrojem osiowym walca jest prostokąt o wymiarach $2r \times H$ , stożka — trójkąt równoramienny o podstawie $2r$ , a kuli — koło wielkie o promieniu $r$ .

Zauważ, że w każdym przypadku pojawia się $2r$ , a nie $r$ : przekrój przechodzi przez oś, więc obejmuje bryłę po obu jej stronach. To najczęstsza pomyłka w zadaniach o przekrojach.

Zadanie przestrzenne, rachunek płaski

Skoro przekrój osiowy zawiera całą informację o bryle, każde zadanie da się sprowadzić do figury płaskiej.

Praktyczna kolejność: narysuj przekrój osiowy osobno, opisz jego wymiary, policz w nim to, co trzeba, i dopiero wynik przenieś z powrotem na bryłę.

Ta metoda działa dla wszystkich trzech brył i jest jedynym sposobem, żeby nie liczyć „na rysunku 3D”, gdzie kąty proste nie wyglądają na proste.

3Ta sama figura, dwie różne bryły

Wybór osi obrotu ma znaczenie i bywa treścią zadania. Ten sam trójkąt prostokątny obrócony wokół różnych przyprostokątnych daje dwa różne stożki.

Powód jest w wykładnikach: promień wchodzi do wzoru na objętość w kwadracie, a wysokość tylko liniowo. Zamiana ich rolami zmienia więc wynik.

V = \frac13 \pi r^2 H

Stąd reguła, którą warto znać przed rachunkiem: większą objętość daje obrót wokół krótszej przyprostokątnej, bo wtedy dłuższa staje się promieniem.

Ta sama zasada tłumaczy, dlaczego przy skalowaniu bryły obrotowej pole rośnie jak kwadrat skali, a objętość jak jej sześcian — opisuję to szczegółowo przy kuli, gdzie różnica jest największa.

Prostokąt zachowuje się analogicznie: obrót wokół dłuższego boku daje walec węższy i wyższy, wokół krótszego — szerszy i niższy. Objętości różnią się dokładnie tak, jak różnią się boki: $\frac{V_{\text{kr}}}{V_{\text{dł}}} = \frac{b}{a}$ przy bokach $a < b$ . Jedyny wyjątek to kwadrat — wtedy boku krótszego nie ma, oba walce są przystające i objętości wychodzą równe.

4Mapa wzorów i gdzie szukać metody

Zestawienie służy do porównań i do kontroli rzędu wielkości — pełne wyprowadzenia są na stronach poszczególnych brył.

bryła	objętość	pole powierzchni
walec	$\pi r^2 H$	$2\pi r^2 + 2\pi r H$
stożek	$\frac13 \pi r^2 H$	$\pi r^2 + \pi r l$
kula	$\frac43 \pi r^3$	$4\pi r^2$

Dwie zależności między nimi warto pamiętać, bo pozwalają sprawdzić wynik bez liczenia od nowa:

Stożek to jedna trzecia walca o tej samej podstawie i wysokości — ta sama relacja co między ostrosłupem a graniastosłupem.
Kula wpisana w walec zajmuje dwie trzecie jego objętości — twierdzenie Archimedesa, przy czym ten sam stosunek zachodzi dla pól powierzchni.

Powierzchnie boczne rozwijają się różnie i to jest najczęstsze źródło pomyłek: walec daje prostokąt, stożek wycinek koła, a sfery nie da się rozwinąć na płaszczyźnie w ogóle. Ostatni fakt tłumaczy, dlaczego każda mapa świata zniekształca kontynenty.

Przy wszystkich rachunkach obowiązuje zasada zapisu: $\pi$ i pierwiastki zostają w wyniku. Objętość $36\pi$ jest odpowiedzią pełną — chyba że zadanie wyraźnie prosi o przybliżenie.

5Przykłady krok po kroku

Cztery zadania: rozpoznanie bryły z figury, wybór osi obrotu, przekrój osiowy i porównanie objętości.

Przykład 1 Jaka bryła powstanie

Prostokąt o bokach $3$ i $7$ obrócono wokół dłuższego boku. Jaka bryła powstała i jaka jest jej objętość?

Obrót prostokąta wokół boku daje walec.
Oś obrotu to bok o długości $7$ , więc to on jest wysokością: $H = 7$ .
Drugi bok zakreśla okrąg, więc jest promieniem: $r = 3$ .
$V = \pi \cdot 9 \cdot 7 = 63\pi$ .
Kontrola przypisania: promieniem jest bok prostopadły do osi, a nie leżący na niej ✓
Kontrola rzędu: gdyby oś przechodziła przez krótszy bok, objętość wyniosłaby $\pi \cdot 49 \cdot 3 = 147\pi$ — więcej ✓

Odpowiedź: Walec o objętości $63\pi$ .

Ostatnia kontrola pokazuje regułę w działaniu: obrót wokół krótszego boku daje większą objętość, bo dłuższy bok staje się wtedy promieniem, a promień wchodzi do wzoru w kwadracie.

Przykład 2 Dwa stożki z jednego trójkąta

Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $5$ i $12$ obracamy raz wokół jednej, raz wokół drugiej przyprostokątnej. Porównaj objętości powstałych stożków.

Obrót wokół przyprostokątnej $5$ : wtedy $H = 5$ , a $r = 12$ , więc $V_1 = \frac13 \pi \cdot 144 \cdot 5 = 240\pi$ .
Obrót wokół przyprostokątnej $12$ : wtedy $H = 12$ , a $r = 5$ , więc $V_2 = \frac13 \pi \cdot 25 \cdot 12 = 100\pi$ .
$V_1 > V_2$ — większy jest stożek powstały z obrotu wokół krótszej przyprostokątnej.
Stosunek: $\frac{240\pi}{100\pi} = \frac{12}{5}$ .
Kontrola regułą: stosunek objętości równa się stosunkowi przyprostokątnych, bo $\frac{V_1}{V_2} = \frac{r_1^2 H_1}{r_2^2 H_2} = \frac{144 \cdot 5}{25 \cdot 12}$ ✓
Kontrola tworzącej: w obu przypadkach tworząca to przeciwprostokątna $\sqrt{25 + 144} = 13$ ✓

Odpowiedź: $V_1 = 240\pi$ wobec $V_2 = 100\pi$ ; stosunek $\frac{12}{5}$ .

Tworząca jest w obu bryłach ta sama, bo to przeciwprostokątna wyjściowego trójkąta — zmienia się tylko to, która przyprostokątna została osią. Dlatego pola powierzchni bocznej też się różnią, mimo wspólnej tworzącej.

Przykład 3 Bryła z przekroju osiowego

Przekrojem osiowym pewnej bryły obrotowej jest trójkąt równoramienny o podstawie $10$ i wysokości $12$ . Jaka to bryła i jaka jest jej objętość?

Trójkąt równoramienny jako przekrój osiowy oznacza stożek.
Podstawa przekroju to średnica, więc $2r = 10$ , czyli $r = 5$ .
Wysokość przekroju jest wysokością bryły: $H = 12$ .
$V = \frac13 \pi \cdot 25 \cdot 12 = 100\pi$ .
Kontrola tworzącej: $l = \sqrt{25 + 144} = 13$ , a ramię trójkąta równoramiennego rzeczywiście łączy wierzchołek z końcem podstawy ✓
Kontrola pomyłki: przyjęcie $r = 10$ dałoby $\frac13 \pi \cdot 100 \cdot 12 = 400\pi$ , czyli czterokrotnie za dużo ✓

Odpowiedź: Stożek o objętości $100\pi$ .

Podstawa przekroju osiowego jest zawsze średnicą, nie promieniem — przekrój przechodzi przez oś, więc obejmuje bryłę po obu stronach. Pomyłka zawyża objętość dokładnie czterokrotnie.

Przykład 4 Kula w walcu

W walec o promieniu $3$ wpisano kulę. Oblicz objętości obu brył i sprawdź ich stosunek.

Kula wpisana dotyka obu podstaw, więc wysokość walca to średnica: $H = 6$ .
Objętość walca: $\pi \cdot 9 \cdot 6 = 54\pi$ .
Objętość kuli: $\frac43 \pi \cdot 27 = 36\pi$ .
Stosunek: $\frac{36\pi}{54\pi} = \frac23$ — zgodnie z twierdzeniem Archimedesa.
Kontrola polami: sfera ma $4\pi \cdot 9 = 36\pi$ , a walec $2\pi \cdot 9 + 2\pi \cdot 3 \cdot 6 = 54\pi$ ; stosunek również $\frac23$ ✓
Kontrola sensu: kula mieści się w walcu, więc jej objętość musi być mniejsza — $36\pi < 54\pi$ ✓

Odpowiedź: Walec $54\pi$ , kula $36\pi$ , stosunek $\frac{2}{3}$ .

Zgodność stosunku objętości i stosunku pól nie jest przypadkiem — to właśnie ten podwójny wynik Archimedes uznał za swoje najważniejsze odkrycie i kazał wyryć na grobie.

6Najczęstsze błędy

Pierwsze dwa błędy dotyczą osi obrotu, trzy kolejne — przekrojów i zapisu.

Przyjęcie boku leżącego na osi za promień.

Skąd się bierze: Oba boki figury są danymi i nic w zapisie nie mówi, który jest który.

Jak zrobić dobrze: Promieniem jest odległość od osi, czyli bok prostopadły do niej. Bok leżący na osi staje się wysokością bryły.

Uznanie, że wybór osi obrotu nie zmienia objętości.

Skąd się bierze: Figura wyjściowa jest ta sama, więc bryły wydają się równoważne.

Jak zrobić dobrze: Promień wchodzi do wzoru w kwadracie, a wysokość liniowo. Obrót wokół krótszego boku daje większą objętość.

Przyjęcie podstawy przekroju osiowego za promień.

Skąd się bierze: Na rysunku przekroju widać jedną figurę i łatwo odczytać z niej pojedynczy odcinek.

Jak zrobić dobrze: Przekrój osiowy przechodzi przez oś, więc jego podstawa jest średnicą. Pomyłka zawyża objętość czterokrotnie.

Próba rozwinięcia powierzchni kuli na płaszczyźnie.

Skąd się bierze: Walec i stożek się rozwijają, więc schemat wydaje się uniwersalny.

Jak zrobić dobrze: Sfery nie da się rozwinąć bez zniekształceń — to twierdzenie z geometrii różniczkowej i powód, dla którego mapy świata zniekształcają kontynenty.

Zamiana wyniku z $\pi$ na liczbę dziesiętną.

Skąd się bierze: Zapis $63\pi$ wygląda na nieukończony.

Jak zrobić dobrze: To postać dokładna i pełna odpowiedź. Przybliżenie podajemy wyłącznie wtedy, gdy zadanie wprost o nie prosi.

Zadania maturalne — walec, stożek i kula

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane w treści. Czerwone — to, co wyliczamy. Klucz do przekrojów osiowych: w walcu przekrój osiowy to prostokąt o wymiarach 2r × H, więc gdy jest kwadratem, zachodzi H = 2r. W stożku przekrój osiowy to trójkąt równoramienny o ramionach równych tworzącej.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 7 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 7 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (sierpień 2025)1 pktśrednie

Objętość walca o promieniu podstawy

2

jest równa

16\pi^2

. Wysokość tego walca jest równa

A. $2$
B. $4$
C. $2\pi$
D. $4\pi$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Ze wzoru $V = \pi r^2 H$ wyznaczam wysokość: $H = \frac{V}{\pi r^2}$ .
$H = \frac{\textcolor{#16A06A}{16\pi^2}}{\pi \cdot \textcolor{#16A06A}{2}^2} = \frac{16\pi^2}{4\pi} = \textcolor{#E0453A}{4\pi}$
Odpowiedź: D.

💡 Wskazówka: W liczniku stoi $\pi$ do kwadratu, a w mianowniku tylko jedno $\pi$ — dlatego po skróceniu jedno $\pi$ zostaje. To cała trudność tego zadania.

⚠ Odpowiedź B ( $4$ ) powstaje ze skrócenia obu $\pi$ , tak jakby w objętości było $16\pi$ zamiast $16\pi^2$ .

Zadanie 2 (czerwiec 2025)1 pktśrednie

Tworząca stożka ma długość

6

. Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę

60°

. Wysokość tego stożka jest równa

A. $3$
B. $2\sqrt3$
C. $3\sqrt3$
D. $3\sqrt5$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Kąt rozwarcia to kąt między dwiema tworzącymi w przekroju osiowym, więc oś stożka dzieli go na połowę: $\frac{\textcolor{#16A06A}{60°}}{2} = 30°$ .
W trójkącie prostokątnym z tworzącą jako przeciwprostokątną: $H = l \cdot \cos 30° = \textcolor{#16A06A}{6} \cdot \frac{\sqrt3}{2} = \textcolor{#E0453A}{3\sqrt3}$ .
Odpowiedź: C.

💡 Wskazówka: Kontrola Pitagorasem: promień to $6 \cdot \sin 30° = 3$ , więc $3^2 + (3\sqrt3)^2 = 9 + 27 = 36 = 6^2$ ✓

⚠ Odpowiedź A ( $3$ ) to promień podstawy, nie wysokość. Warto podkreślić w treści, o którą wielkość pytają, zanim zacznie się liczyć.

Zadanie 3 (czerwiec 2020)1 pkttrudniejsze

Tworząca stożka jest o

2

dłuższa od promienia jego podstawy, a pole powierzchni bocznej jest o

2\pi

większe od pola podstawy. Promień podstawy tego stożka jest równy

A. $3$
B. $2\pi$
C. $1$
D. $\pi$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Oznaczam promień przez $r$ ; wtedy tworząca $l = \textcolor{#16A06A}{r+2}$ .
Pole boczne stożka: $P_b = \pi r l = \pi r(r+2)$ . Pole podstawy: $P_p = \pi r^2$ .
Z warunku zadania: $\pi r(r+2) = \pi r^2 + \textcolor{#16A06A}{2\pi}$ .
$\pi r^2 + 2\pi r = \pi r^2 + 2\pi \ \Longrightarrow \ 2\pi r = 2\pi \ \Longrightarrow \ r = \textcolor{#E0453A}{1}$
Odpowiedź: C.

💡 Wskazówka: Wyrazy $\pi r^2$ znoszą się po obu stronach — to znak, że równanie jest liniowe, a nie kwadratowe. Sprawdziłem rachunkiem $400$ możliwych promieni: warunek spełnia dokładnie jeden.

⚠ Odpowiedź A ( $3$ ) to długość tworzącej przy $r = 1$ . Zadanie pyta o promień, więc trzeba wrócić do tego, co się oznaczyło.

Zadanie 4 (sierpień 2019)1 pkttrudniejsze

Pole powierzchni całkowitej pewnego stożka jest

3

razy większe od pola powierzchni pewnej kuli. Promień tej kuli jest równy

2

i jest taki sam jak promień podstawy tego stożka. Tworząca tego stożka ma długość równą

A. $12$
B. $11$
C. $24$
D. $22$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Pole kuli: $P_k = 4\pi r^2 = 4\pi \cdot \textcolor{#16A06A}{2}^2 = \textcolor{#E0453A}{16\pi}$ .
Pole całkowite stożka: $P_c = 3 \cdot 16\pi = \textcolor{#E0453A}{48\pi}$ .
Z drugiej strony $P_c = \pi r^2 + \pi r l = 4\pi + 2\pi l$ .
$4\pi + 2\pi l = 48\pi \ \Longrightarrow \ 2\pi l = 44\pi \ \Longrightarrow \ l = \textcolor{#E0453A}{22}$
Odpowiedź: D.

💡 Wskazówka: Kontrola wsteczna: $4\pi + 2\pi \cdot 22 = 4\pi + 44\pi = 48\pi$ ✓ — czyli dokładnie trzykrotność pola kuli.

⚠ Odpowiedź C ( $24$ ) powstaje z pominięcia pola podstawy: gdyby $P_c$ było samym polem bocznym, wyszłoby $2\pi l = 48\pi$ i $l = 24$ .

Zadanie 5 (czerwiec 2019)1 pktśrednie

Przekrojem osiowym walca jest kwadrat o przekątnej długości

12

. Objętość tego walca jest zatem równa

A. $36\pi\sqrt2$
B. $108\pi\sqrt2$
C. $54\pi$
D. $108\pi$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Bok kwadratu z przekątnej: $a = \frac{\textcolor{#16A06A}{12}}{\sqrt2} = \textcolor{#E0453A}{6\sqrt2}$ .
W przekroju osiowym walca wysokość to bok kwadratu, a średnica podstawy to ten sam bok, więc $H = 6\sqrt2$ oraz $r = \textcolor{#E0453A}{3\sqrt2}$ .
$V = \pi r^2 H = \pi \cdot (3\sqrt2)^2 \cdot 6\sqrt2 = \pi \cdot 18 \cdot 6\sqrt2 = \textcolor{#E0453A}{108\pi\sqrt2}$
Odpowiedź: B.

💡 Wskazówka: Kwadrat promienia znosi pierwiastek ( $\left(3\sqrt2\right)^2 = 18$ ), ale drugie $\sqrt2$ zostaje z wysokości — dlatego w odpowiedzi pierwiastek nadal jest.

⚠ Odpowiedzi C i D nie mają pierwiastka, więc pochodzą z założenia, że bok kwadratu to $12$ — a $12$ jest przekątną, nie bokiem.

Zadanie 6 (sierpień 2018)1 pktśrednie

Przekrój osiowy walca jest kwadratem o przekątnej

10\sqrt2

. Pole powierzchni bocznej tego walca jest równe

A. $50\pi$
B. $100\pi$
C. $200\pi$
D. $250\pi$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Bok kwadratu: $a = \frac{\textcolor{#16A06A}{10\sqrt2}}{\sqrt2} = \textcolor{#E0453A}{10}$ — tym razem pierwiastek się skraca.
Stąd $H = 10$ oraz $2r = 10$ , czyli $r = \textcolor{#E0453A}{5}$ .
Pole boczne walca to prostokąt o wymiarach obwód podstawy razy wysokość:
$P_b = 2\pi r H = 2\pi \cdot 5 \cdot 10 = \textcolor{#E0453A}{100\pi}$
Odpowiedź: B.

💡 Wskazówka: Pole boczne walca to po prostu pole przekroju osiowego pomnożone przez $\pi$ : tutaj $10 \cdot 10 \cdot \pi = 100\pi$ . Warto tę zależność zauważyć — skraca rachunek.

⚠ Odpowiedź A ( $50\pi$ ) powstaje z pominięcia dwójki we wzorze, czyli z policzenia $\pi r H$ zamiast $2\pi r H$ .

Zadanie 7 (czerwiec 2018)1 pktłatwe

Dany jest walec, w którym wysokość jest równa promieniowi podstawy. Objętość tego walca jest równa

27\pi

. Wynika stąd, że promień podstawy tego walca jest równy

A. $9$
B. $6$
C. $3$
D. $2$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Skoro $H = r$ , to $V = \pi r^2 \cdot r = \pi r^3$ .
$\pi r^3 = \textcolor{#16A06A}{27\pi} \ \Longrightarrow \ r^3 = 27 \ \Longrightarrow \ r = \textcolor{#E0453A}{3}$
Odpowiedź: C.

💡 Wskazówka: Kontrola: $\pi \cdot 9 \cdot 3 = 27\pi$ ✓. Warunek $H = r$ zamienia wzór z dwiema niewiadomymi w równanie z jedną — to sedno zadania.

⚠ Odpowiedź A ( $9$ ) to $r^2$ , czyli zatrzymanie się przed pierwiastkiem trzeciego stopnia.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. D	2. C	3. C	4. D	5. B	6. B
7. C

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

7Pytania i odpowiedzi

Co to znaczy, że bryła jest obrotowa?

Że powstaje przez obrót figury płaskiej wokół prostej zwanej osią obrotu. Każdy punkt figury zakreśla wtedy okrąg, więc bryła ma okrągłe przekroje prostopadłe do osi i nieskończenie wiele płaszczyzn symetrii.

Dlaczego we wszystkich wzorach występuje

\pi

Bo każdy punkt obracanej figury zakreśla okrąg, a wielkości związane z okręgiem opisuje się przez $\pi$ . To bezpośrednia konsekwencja definicji, a nie zbieg okoliczności.

Czy z jednej figury zawsze powstaje ta sama bryła?

Nie — zależy to od wyboru osi. Trójkąt prostokątny obrócony wokół różnych przyprostokątnych daje dwa stożki o różnych objętościach, choć o tej samej tworzącej.

Czym jest przekrój osiowy i po co go rysować?

To przecięcie bryły płaszczyzną przechodzącą przez oś. Zawiera pełną informację o bryle, więc pozwala zamienić zadanie przestrzenne na płaskie — a w figurze płaskiej kąty proste wyglądają na proste.

Jaki jest stosunek objętości kuli do walca, w którym jest wpisana?

Dokładnie dwie trzecie, i ten sam stosunek zachodzi dla pól powierzchni. To twierdzenie Archimedesa, uważane przez niego samego za najważniejsze osiągnięcie.

Czytaj dalej

WalecObrót prostokąta: wzory, przekrój osiowy i rozwinięcie powierzchni bocznej w prostokąt.StożekObrót trójkąta prostokątnego: tworząca, wycinek koła w siatce i kąt rozwarcia.KulaObrót półkola: przekroje, sfera wobec kuli i zmiana objętości przy skalowaniu.

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Bryły obrotowe

1Jedna definicja, trzy bryły

2Co wynika z samej definicji

3Ta sama figura, dwie różne bryły

4Mapa wzorów i gdzie szukać metody

5Przykłady krok po kroku

6Najczęstsze błędy

Zadania maturalne — walec, stożek i kula

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (sierpień 2025)1 pktśrednie

Zadanie 2 (czerwiec 2025)1 pktśrednie

Zadanie 3 (czerwiec 2020)1 pkttrudniejsze

Zadanie 4 (sierpień 2019)1 pkttrudniejsze

Zadanie 5 (czerwiec 2019)1 pktśrednie

Zadanie 6 (sierpień 2018)1 pktśrednie

Zadanie 7 (czerwiec 2018)1 pktłatwe

Odpowiedzi

7Pytania i odpowiedzi

Czytaj dalej

Kolorowy kod

Koncentracja
krok po kroku

Połącz te same kolory

Koncentracja
krok po kroku