Strona główna › Proporcje › Wielkości wprost proporcjonalne

Wielkości wprost proporcjonalne

Dwie wielkości są wprost proporcjonalne, gdy ich iloraz jest stały. Nie wystarczy, żeby rosły razem — i to jest cała trudność tego tematu. Wzrost dziecka i jego wiek rosną razem, a proporcjonalne nie są. Sprawdzianem jest dzielenie, nie wrażenie.

Dział: ProporcjePoziom: klasa 7

1Stały iloraz, nie wspólny wzrost

Zacznijmy od definicji, bo od niej zależy każdy dalszy krok. Wielkości $x$ i $y$ są wprost proporcjonalne, gdy iloraz $y : x$ jest taki sam dla każdej pary wartości.

\frac{y}{x} = a \qquad \text{czyli} \qquad y = a \cdot x

Liczbę $a$ nazywamy współczynnikiem proporcjonalności. W zadaniach praktycznych ma zwykle konkretne znaczenie: cenę jednej sztuki, prędkość, wydajność.

Najprościej sprawdzić to tabelką. Jeśli sześć bułek kosztuje $9$ zł, a dziesięć — $15$ zł, to dzielimy:

liczba bułek	koszt	koszt : liczba
$\textcolor{#16A06A}{6}$	$\textcolor{#16A06A}{9}$ zł	$\textcolor{#E0453A}{1{,}5}$
$\textcolor{#16A06A}{10}$	$\textcolor{#16A06A}{15}$ zł	$\textcolor{#E0453A}{1{,}5}$
$\textcolor{#16A06A}{4}$	$\textcolor{#16A06A}{6}$ zł	$\textcolor{#E0453A}{1{,}5}$

Iloraz wyszedł wszędzie ten sam, więc wielkości są wprost proporcjonalne, a współczynnik $1{,}5$ to po prostu cena jednej bułki.

Jak czytać kolory na tej stronie

W rachunkach na zielono jest to, co dane w treści, a na czerwono to, co policzone. Przy tym temacie zielone liczby to zwykle pary z tabelki, a czerwone — ilorazy, które trzeba porównać między sobą.

2Dlaczego „rośnie razem” to za mało

To najczęstsze nieporozumienie w całym dziale i warto je rozbroić na przykładzie, a nie regułą.

Wzrost dziecka rośnie razem z wiekiem — ale nie jest do niego proporcjonalny. Roczne dziecko ma około $75$ cm, dziesięcioletnie około $140$ cm. Gdyby wielkości były proporcjonalne, dziesięć razy większy wiek dawałby dziesięć razy większy wzrost, czyli $750$ cm.

Sprawdzenie ilorazem pokazuje to od razu: $\textcolor{#16A06A}{75} : \textcolor{#16A06A}{1} = \textcolor{#E0453A}{75}$ , ale $\textcolor{#16A06A}{140} : \textcolor{#16A06A}{10} = \textcolor{#E0453A}{14}$ . Ilorazy są różne, więc proporcjonalności nie ma.

Odwrotnie bywa też z zależnościami, które proporcjonalne są, choć na pierwszy rzut oka nie wyglądają — na przykład obwód kwadratu i długość jego boku. Iloraz wynosi zawsze $4$ , niezależnie od rozmiaru.

Test na dwa pytania

1. Czy podwojenie jednej wielkości podwaja drugą? Dwa razy więcej bułek to dwa razy wyższy rachunek — tak. Dwa razy starsze dziecko nie jest dwa razy wyższe — nie.

2. Czy zeru odpowiada zero? Zero bułek kosztuje zero złotych, więc warunek jest spełniony. Wielkości wprost proporcjonalne zawsze przechodzą przez zero, bo z $y = ax$ dla $x = 0$ wychodzi $y = 0$ .

Drugie pytanie bywa szybsze od pierwszego i wyklucza wiele zależności od ręki: cena taksówki z opłatą początkową nie jest proporcjonalna do przejechanych kilometrów, bo za zero kilometrów też się płaci.

3Przeliczanie przez jedną sztukę

Gdy już wiadomo, że wielkości są proporcjonalne, wszystkie zadania rozwiązuje się jednym schematem: policz wartość dla jednej sztuki, potem pomnóż przez to, o co pytają.

Przykład: osiem zeszytów kosztuje $24$ zł, ile kosztuje trzynaście?

jeden zeszyt: $\textcolor{#16A06A}{24} : \textcolor{#16A06A}{8} = \textcolor{#E0453A}{3}$ zł,
trzynaście zeszytów: $13 \cdot 3 = \textcolor{#E0453A}{39}$ zł.

Tę samą rzecz można zapisać proporcją i pomnożyć na krzyż — to droga opisana na stronie o proporcjach. Obie prowadzą do tego samego, ale metoda przez jedną sztukę ma przewagę: jej wynik pośredni coś znaczy. Trójka to cena zeszytu, więc od razu widać, czy jest sensowna.

Warto też zauważyć, że współczynnik proporcjonalności bywa liczbą, którą zadanie podaje wprost, tylko innym słowem. „Samochód jedzie ze stałą prędkością $60$ km/h” znaczy dokładnie tyle, że droga jest wprost proporcjonalna do czasu, a współczynnikiem jest $60$ .

4Wykres — prosta przez początek układu

Wielkości wprost proporcjonalne mają wykres o bardzo charakterystycznym kształcie: to prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych.

Oba warunki są konieczne i oba coś znaczą.

prosta — bo równym przyrostom $x$ odpowiadają równe przyrosty $y$ ,
przez zero — bo dla $x = 0$ zawsze wychodzi $y = 0$ .

Dlatego wykres, który jest prostą, ale przecina oś pionową powyżej zera, nie przedstawia wielkości wprost proporcjonalnych. To typowa pułapka na sprawdzianach: rysunek wygląda „prosto”, więc kusi, żeby odpowiedzieć twierdząco.

Im większy współczynnik $a$ , tym prosta bardziej stroma. Porównując dwa wykresy na jednym rysunku, można więc odczytać, która zależność rośnie szybciej, bez liczenia czegokolwiek.

5Gdzie to wraca

Proporcjonalność prosta nie kończy się na jednym dziale — jest szkieletem, na którym opiera się później sporo tematów.

procenty — kwota podatku jest wprost proporcjonalna do podstawy opodatkowania,
skala i mapa — odległość na mapie jest wprost proporcjonalna do rzeczywistej,
prędkość, droga i czas — przy stałej prędkości droga jest wprost proporcjonalna do czasu,
podział proporcjonalny — rozdzielanie całości w zadanym stosunku.

W liceum ta sama zależność wraca pod nazwą funkcji liniowej postaci $y = ax$ — czyli funkcji liniowej bez wyrazu wolnego. Współczynnik proporcjonalności okazuje się wtedy współczynnikiem kierunkowym prostej.

Warto też znać jej przeciwieństwo: gdy stały jest iloczyn, a nie iloraz, mówimy o proporcjonalności odwrotnej. Tam wykresem nie jest prosta, tylko hiperbola.

6Przykłady krok po kroku

Trzy zadania: rozpoznanie proporcjonalności z tabelki, typowe przeliczenie przez jedną sztukę i przypadek, w którym proporcjonalności nie ma — bo rozpoznanie jej braku bywa właściwym zadaniem.

Przykład 1 Sprawdzenie z tabelki

Czy podane wielkości są wprost proporcjonalne? Liczba metrów tkaniny: $2$ , $5$ , $8$ . Koszt: $17$ zł, $42{,}50$ zł, $68$ zł.

Sprawdzam iloraz dla każdej pary — koszt dzielony przez liczbę metrów.
Pierwsza para: $\textcolor{#16A06A}{17} : \textcolor{#16A06A}{2} = \textcolor{#E0453A}{8{,}5}$ .
Druga: $\textcolor{#16A06A}{42{,}50} : \textcolor{#16A06A}{5} = \textcolor{#E0453A}{8{,}5}$ .
Trzecia: $\textcolor{#16A06A}{68} : \textcolor{#16A06A}{8} = \textcolor{#E0453A}{8{,}5}$ .
Wszystkie trzy ilorazy są równe, więc wielkości są wprost proporcjonalne, a współczynnik $8{,}5$ to cena jednego metra.
Kontrola drugą drogą: skoro pięć metrów kosztuje $42{,}50$ zł, to osiem powinno kosztować $42{,}50 : 5 \cdot 8 = 68$ zł ✓ — zgadza się z tabelką.

Odpowiedź: Tak, są wprost proporcjonalne; współczynnik wynosi $8{,}5$ zł za metr.

Przykład 2 Przeliczenie przez jedną sztukę

Siedem jednakowych paczek waży $10{,}5$ kg. Ile ważą cztery takie paczki?

Masa jest wprost proporcjonalna do liczby paczek, bo paczki są jednakowe.
Jedna paczka: $\textcolor{#16A06A}{10{,}5} : \textcolor{#16A06A}{7} = \textcolor{#E0453A}{1{,}5}$ kg.
Cztery paczki: $\textcolor{#16A06A}{4} \cdot 1{,}5 = \textcolor{#E0453A}{6}$ kg.
Kontrola sensu: cztery paczki to mniej niż siedem, więc wynik musi być mniejszy od $10{,}5$ kg ✓
Kontrola przez proporcję: $\frac{10{,}5}{7} = \frac{x}{4}$ , po pomnożeniu na krzyż $7x = 42$ , czyli $x = 6$ ✓ — obie drogi zgodne.

Odpowiedź: Cztery paczki ważą $6$ kg.

Przykład 3 Gdy proporcjonalności nie ma

Za wypożyczenie roweru płaci się $10$ zł opłaty stałej plus $5$ zł za godzinę. Czy koszt jest wprost proporcjonalny do czasu wypożyczenia?

Liczę koszt dla kilku czasów: za jedną godzinę $10 + 5 = \textcolor{#E0453A}{15}$ zł, za dwie $10 + 10 = \textcolor{#E0453A}{20}$ zł, za cztery $10 + 20 = \textcolor{#E0453A}{30}$ zł.
Sprawdzam ilorazy: $\textcolor{#E0453A}{15} : \textcolor{#16A06A}{1} = 15$ , $\textcolor{#E0453A}{20} : \textcolor{#16A06A}{2} = 10$ , $\textcolor{#E0453A}{30} : \textcolor{#16A06A}{4} = 7{,}5$ .
Ilorazy maleją, więc nie są wprost proporcjonalne.
Szybsza droga: za zero godzin trzeba zapłacić $10$ zł, a przy proporcjonalności zeru musi odpowiadać zero. To wystarczy, żeby odpowiedzieć bez liczenia.
Uwaga na to, co jest tu prawdą: proporcjonalny do czasu jest sam koszt godzin ( $5$ zł za godzinę). Dopiero opłata stała psuje proporcjonalność całego rachunku.

Odpowiedź: Nie — przez opłatę stałą zeru godzin nie odpowiada zero złotych.

7Najczęstsze błędy

Cztery pomyłki, które w tym temacie wracają najczęściej. Pierwsza jest źródłem większości złych odpowiedzi w zadaniach typu prawda–fałsz.

Uznanie za proporcjonalne wszystkiego, co rośnie razem

Skąd się bierze: „Im więcej, tym więcej” brzmi jak definicja proporcjonalności, a nią nie jest. Wzrost i wiek dziecka rosną razem, obwód i pole kwadratu też — a proporcjonalne nie są ani jedne, ani drugie.

Jak zrobić dobrze: Zawsze policz iloraz dla co najmniej dwóch par. Jeśli wyjdzie ta sama liczba — proporcjonalność jest; jeśli różne — nie ma, choćby obie wielkości rosły.

Pominięcie opłaty stałej

Skąd się bierze: W zadaniach o abonamencie, opłacie początkowej taksówki czy stałej opłacie za prąd koszt rośnie równomiernie i wykres jest prostą — ale nie przechodzi przez zero. To najczęstsza pułapka w zadaniach z życia codziennego.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź, ile trzeba zapłacić za zero sztuk albo zero godzin. Jeśli więcej niż zero, proporcjonalności nie ma, i to bez żadnych rachunków.

Odwrócenie ilorazu przy liczeniu współczynnika

Skąd się bierze: Zamiast dzielić koszt przez liczbę sztuk, dzieli się liczbę sztuk przez koszt. Wynik bywa liczbą, która wygląda porządnie — na przykład zamiast ceny $1{,}5$ zł za bułkę wychodzi $0{,}\overline{6}$ bułki za złotówkę.

Jak zrobić dobrze: Nazwij współczynnik słowami, zanim go policzysz: „cena za jedną sztukę” znaczy złotówki podzielone przez sztuki. Kontrola: jednostka wyniku musi pasować do pytania.

Mylenie proporcjonalności prostej z odwrotną

Skąd się bierze: Oba pojęcia brzmią podobnie i oba opisują „zależność”. W zadaniach o pracy i czasie ( $8$ robotników w $6$ dni) uczeń mnoży zamiast dzielić, bo zakłada proporcjonalność prostą tam, gdzie jest odwrotna.

Jak zrobić dobrze: Zapytaj: czy dwa razy więcej jednej wielkości daje dwa razy więcej drugiej, czy dwa razy mniej? Więcej robotników to krócej, nie dłużej — więc iloczyn jest stały, nie iloraz.

8Pytania i odpowiedzi

Kiedy wielkości są wprost proporcjonalne?

Wtedy, gdy ich iloraz jest stały, czyli gdy jedną można otrzymać z drugiej przez pomnożenie przez tę samą liczbę. Sam wspólny wzrost nie wystarczy — trzeba sprawdzić, czy dzielenie daje za każdym razem ten sam wynik.

Jak sprawdzić proporcjonalność z tabelki?

Podziel wartości z drugiego wiersza przez odpowiadające im wartości z pierwszego i porównaj otrzymane liczby. Jeśli wszystkie są równe, wielkości są wprost proporcjonalne, a ta wspólna liczba to współczynnik proporcjonalności. Wystarczy sprawdzić wszystkie pary, bo jedna zgodna para niczego nie dowodzi.

Co to jest współczynnik proporcjonalności?

To stała liczba, przez którą mnoży się jedną wielkość, żeby otrzymać drugą. W zadaniach praktycznych ma zwykle konkretne znaczenie: cena jednej sztuki, prędkość, wydajność na godzinę. Warto go nazwać słowami, bo to od razu podpowiada, czy wynik jest sensowny.

Jak wygląda wykres wielkości wprost proporcjonalnych?

To prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych. Oba warunki są konieczne: prosta, bo równym przyrostom jednej wielkości odpowiadają równe przyrosty drugiej, i przez zero, bo zeru zawsze odpowiada zero. Prosta przecinająca oś pionową powyżej zera nie przedstawia proporcjonalności.

Czy opłata stała psuje proporcjonalność?

Tak. Jeśli za zero sztuk albo zero godzin trzeba już coś zapłacić, to zeru nie odpowiada zero i proporcjonalności nie ma. Koszt rośnie wtedy równomiernie i wykres jest prostą, ale przesuniętą do góry o wysokość opłaty stałej.

Czym różni się proporcjonalność prosta od odwrotnej?

W prostej stały jest iloraz, w odwrotnej — iloczyn. Przy prostej dwa razy więcej jednej wielkości daje dwa razy więcej drugiej, przy odwrotnej dwa razy mniej. Wykresem prostej jest prosta przez początek układu, a odwrotnej — hiperbola.

Czytaj dalej

ProporcjeStosunek, proporcja i mnożenie na krzyż — dział nadrzędny Proporcjonalność odwrotnaPrzeciwieństwo: stały iloczyn zamiast stałego ilorazu Podział proporcjonalnyRozdzielanie całości w zadanym stosunku — trzeci punkt tego działu Skala i mapaProporcjonalność prosta w najczęstszym zastosowaniu Prędkość, droga, czasPrzy stałej prędkości droga jest wprost proporcjonalna do czasu

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-03. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.