Proporcje — równość dwóch stosunków

Odpowiedź: C

1. Zamiast liczyć osobno wpływ liczby maszyn i wpływ czasu, sprowadźmy wszystko do jednej wielkości: maszynogodziny. Jedna maszyna pracująca jedną godzinę to jedna maszynogodzina.
2. Pierwsza sytuacja: $\textcolor{#16A06A}{3}$ maszyny przez $\textcolor{#16A06A}{2}$ godziny to $3 \cdot 2 = \textcolor{#E0453A}{6}$ maszynogodzin, i wychodzi z nich $\textcolor{#16A06A}{1200}$ guzików.
3. Stąd wydajność: $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{1200}}{\textcolor{#E0453A}{6}} = \textcolor{#E0453A}{200}$ guzików na jedną maszynogodzinę.
4. Druga sytuacja: $\textcolor{#16A06A}{5}$ maszyn przez $\textcolor{#16A06A}{1}$ godzinę to $\textcolor{#E0453A}{5}$ maszynogodzin, czyli $\textcolor{#E0453A}{5} \cdot \textcolor{#E0453A}{200} = \textcolor{#E0453A}{1000}$ guzików.
5. Odpowiedź: C.
6. Kontrola bez liczenia wydajności — samym porównaniem. Druga sytuacja to $5$ maszynogodzin, pierwsza $6$, czyli pięć szóstych poprzedniej pracy. A $\tfrac56$ z $1200$ to $1000$ ✓.
7. Ta kontrola daje też natychmiastowe odrzucenie odpowiedzi $D$: skoro pracy jest mniej niż w pierwszej sytuacji, wynik musi być mniejszy niż $1200$ — a $1500$ jest większe.

💡 Wskazówka: Przelicz obie sytuacje na maszynogodziny i dopiero je porównaj. Wtedy nie trzeba osobno zastanawiać się, co rośnie, a co maleje: liczba maszyn i czas wchodzą do rachunku dokładnie tak samo, przez iloczyn. Ta sama sztuczka działa dla robotników („osobodni”) i dla wszystkiego, co się sumuje przez pracę.

⚠ Każda z podanych liczb odpowiada innej liczbie maszynogodzin, bo jedna maszynogodzina to $200$ guzików: $800$ to $4$ maszynogodziny, $900$ to $4{,}5$, a $1500$ — aż $7{,}5$. Poprawne $5$ daje $1000$. Najczęstsza pomyłka to przeliczenie tylko jednej zmiany — albo liczby maszyn ($1200 \cdot \tfrac53 = 2000$), albo czasu ($1200 : 2 = 600$) — i zatrzymanie się w połowie. Warto zauważyć, że żadna z tych dwóch liczb nie jest wśród odpowiedzi: zadanie wymaga uwzględnienia obu zmian naraz.

Odpowiedź: D

1. Odwrotna proporcjonalność znaczy jedno: iloczyn $x \cdot y$ jest taki sam w każdej kolumnie. Trzeba więc najpierw ustalić, ile ten iloczyn wynosi.
2. Jedyna kolumna, w której obie liczby są dane, to środkowa. Stąd stała:
3. $k = \textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#16A06A}{24} = \textcolor{#E0453A}{72}$
4. Teraz pierwsza kolumna: $a \cdot \textcolor{#16A06A}{36} = \textcolor{#E0453A}{72}$, czyli $a = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{72}}{\textcolor{#16A06A}{36}} = \textcolor{#E0453A}{2}$.
5. I trzecia: $\textcolor{#16A06A}{8} \cdot b = \textcolor{#E0453A}{72}$, czyli $b = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{72}}{\textcolor{#16A06A}{8}} = \textcolor{#E0453A}{9}$.
6. Odpowiedź: D.
7. Kontrola wszystkich trzech iloczynów naraz — to jedyna kontrola, która ma tu sens: $2 \cdot 36 = 72$, $3 \cdot 24 = 72$, $8 \cdot 9 = 72$ ✓. Wszystkie równe, więc tabela naprawdę opisuje wielkości odwrotnie proporcjonalne.
8. Warto sprawdzić, co się dzieje z odpowiedzią $B$, bo jest sprytniejsza od pozostałych. Daje ona $\tfrac43 \cdot 36 = 48$ oraz $8 \cdot 6 = 48$ — te dwie liczby się zgadzają! Odpowiedź $B$ opisuje więc poprawną tabelę odwrotnie proporcjonalną, tylko ze stałą $48$ zamiast $72$. Rozstrzyga dopiero środkowa kolumna, czyli ta jedyna, której nie trzeba było zgadywać.

💡 Wskazówka: Zacznij od kolumny, w której obie wartości są podane — to ona wyznacza stałą. Dopiero mając ją, uzupełniaj pozostałe. Odwrotna kolejność (najpierw porównywanie kolumn ze sobą) prowadzi do rachunków z dwiema niewiadomymi tam, gdzie wystarczy jedno mnożenie.

⚠ Odpowiedź $B$ jest tu najgroźniejsza, bo jest wewnętrznie spójna — jej dwa iloczyny są równe ($48$ i $48$), więc kontrola „czy iloczyny się zgadzają” przepuści ją, jeśli sprawdzisz tylko te dwie kolumny i pominiesz środkową. Trzeba porównać wszystkie trzy. Pozostałe dwa dystraktory rozsypują się od razu: $A$ daje iloczyny $216$ i $180$, a $C$ — $108$ i $768$. Drugi typowy błąd to potraktowanie tabeli jako wprost proporcjonalnej: wtedy ze stałego ilorazu $24 : 3 = 8$ wyszłoby $a = 4{,}5$ oraz $b = 64$, czyli para, której wśród odpowiedzi w ogóle nie ma.

Odpowiedź: A

1. Ta sama robota, więc stały jest nakład pracy — tym razem liczony w osobodniach.
2. $\textcolor{#16A06A}{25}$ pracowników przez $\textcolor{#16A06A}{156}$ dni to $25 \cdot 156 = \textcolor{#E0453A}{3900}$ osobodni.
3. Ten sam nakład trzeba wykonać w $\textcolor{#16A06A}{100}$ dni, więc potrzeba $\dfrac{\textcolor{#E0453A}{3900}}{\textcolor{#16A06A}{100}} = \textcolor{#E0453A}{39}$ pracowników.
4. I teraz najważniejsze: zadanie pyta, ilu trzeba zatrudnić dodatkowo, a nie ilu ma być łącznie. Ekipa już liczy $\textcolor{#16A06A}{25}$ osób, więc:
5. $\textcolor{#E0453A}{39} - \textcolor{#16A06A}{25} = \textcolor{#E0453A}{14}$
6. Odpowiedź: A.
7. Kontrola „do przodu”: $39$ pracowników przez $100$ dni to $39 \cdot 100 = 3900$ osobodni — dokładnie tyle, ile wykonała pierwsza ekipa ✓.
8. Kontrola kierunkiem, zanim jeszcze cokolwiek policzysz: czasu jest mniej ($100$ zamiast $156$ dni), więc ludzi musi być więcej niż $25$. To od razu odrzuca odpowiedź $C$, a odpowiedź $D$ czyni podejrzaną — bo $39$ to liczba zbyt „okrągła” jak na przyrost.

💡 Wskazówka: Przeczytaj pytanie do końca. „Należy zatrudnić do pracy o…” pyta o przyrost, nie o stan końcowy — a rachunek naturalnie prowadzi najpierw do stanu końcowego. Odjęcie tego, co już jest, to osobny krok i najczęściej pomijany.

⚠ Odpowiedź $D$, czyli $39$ — podanie łącznej liczby pracowników zamiast przyrostu. To wynik poprawnego rachunku zatrzymanego jeden krok za wcześnie i dlatego najczęstszy. Odpowiedź $C$, czyli $25$, to po prostu liczba z treści. Odpowiedź $B$, czyli $17$, odpowiada potraktowaniu wielkości jako wprost proporcjonalnych: $\tfrac{25 \cdot 100}{156} \approx 16{,}03$, a po zaokrągleniu w górę — $17$. Ten błąd łatwo wychwycić kierunkiem: skoro dni jest mniej, to ludzi nie może być mniej niż na początku.

Odpowiedź: P, P

1. Najpierw nakład pracy, tak jak w poprzednich zadaniach: $\textcolor{#16A06A}{3}$ ciągniki przez $\textcolor{#16A06A}{8}$ godzin to $3 \cdot 8 = \textcolor{#E0453A}{24}$ ciągnikogodziny. Ta liczba opisuje pole $P$ i nie zmienia się w żadnym z dwóch stwierdzeń.
2. Stwierdzenie pierwsze. $\textcolor{#16A06A}{2}$ ciągniki muszą wypracować te same $\textcolor{#E0453A}{24}$ ciągnikogodziny, więc potrzebują $\dfrac{\textcolor{#E0453A}{24}}{\textcolor{#16A06A}{2}} = \textcolor{#E0453A}{12}$ godzin. Zgadza się — PRAWDA.
3. Stwierdzenie drugie jest trudniejsze, bo zmienia się nie tylko liczba ciągników, ale i wydajność. „O połowę szybciej” znaczy, że każdy ciągnik robi w godzinę półtora raza tyle co poprzednio.
4. $\textcolor{#16A06A}{4}$ ciągniki pracujące z wydajnością $\textcolor{#E0453A}{1{,}5}$ zwykłego ciągnika dają razem $4 \cdot \textcolor{#E0453A}{1{,}5} = \textcolor{#E0453A}{6}$ zwykłych ciągników.
5. Czas: $\dfrac{\textcolor{#E0453A}{24}}{\textcolor{#E0453A}{6}} = \textcolor{#E0453A}{4}$ godziny. Zgadza się — PRAWDA.
6. Odpowiedź: PP.
7. Kontrola sensu obu stwierdzeń. Pierwsze: mniej ciągników niż w treści ($2$ zamiast $3$), więc czas musi być dłuższy niż $8$ godzin — i jest, $12$ ✓. Drugie: siła robocza odpowiada $6$ ciągnikom, czyli dwa razy większa niż wyjściowe $3$, więc czas ma być dwa razy krótszy niż $8$ godzin — i jest, $4$ ✓.
8. Warto zatrzymać się nad sformułowaniem „o połowę szybciej”, bo bywa czytane na dwa sposoby. Przyjęcie, że znaczy ono „w połowie czasu” (czyli dwa razy szybciej), dałoby $4 \cdot 2 = 8$ zwykłych ciągników i czas $24 : 8 = 3$ godziny — a wtedy drugie stwierdzenie byłoby fałszywe. Klucz odpowiedzi mówi, że jest prawdziwe, więc rozstrzyga na rzecz odczytania „półtora raza szybciej”. To jest ten rzadki przypadek, w którym klucz nie tylko potwierdza rachunek, ale i ustala znaczenie słów w treści.

💡 Wskazówka: Licz nakład pracy raz, na początku, i potem tylko dziel go przez „siłę roboczą” w każdym wariancie. Gdy zmienia się wydajność, przelicz ekipę na równoważną liczbę zwykłych maszyn — cztery ciągniki półtora raza szybsze to sześć zwykłych — i dalej rachunek wygląda tak samo jak wcześniej.

⚠ W pierwszym stwierdzeniu typowy błąd to odjęcie zamiast podzielenia: skoro ciągników jest o jeden mniej, to czas „o jedną trzecią dłuższy”, czyli niecałe $11$ godzin. Proporcjonalność odwrotna nie działa przez dodawanie i odejmowanie. W drugim — pomnożenie czasu przez $1{,}5$ zamiast podzielenia przez $1{,}5$, albo policzenie samej zmiany liczby ciągników z pominięciem wydajności: $24 : 4 = 6$ godzin, a nie $4$.