Strona główna › Geometria przestrzenna › Zadania z graniastosłupów — przekątne i kąty

Zadania z graniastosłupów — przekątne i kąty

Q: Dlaczego wyniki tak często zawierają pierwiastek z dwóch?

Bo przekątna kwadratu wynosi a 2, a podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest właśnie kwadrat. Przy podstawie trójkątnej lub sześciokątnej pojawia się natomiast 3.

Budowę graniastosłupów, ich siatki i wzory na objętość opisuję osobno — to materiał znany ze szkoły podstawowej. Na poziomie licealnym pytania są inne: o przekątne, o kąty i o przekroje. Wszystkie sprowadzają się do jednej umiejętności: zobaczenia w bryle trójkąta prostokątnego i zastosowania twierdzenia Pitagorasa dwa razy zamiast raz.

Dział: Geometria przestrzennaPoziom: liceum — zakres podstawowy

1Przekątna bryły — dwa Pitagorasy pod rząd

W prostopadłościanie o krawędziach $a$ , $b$ , $c$ przekątna bryły łączy dwa przeciwległe wierzchołki. Liczy się ją w dwóch krokach:

Najpierw przekątna podstawy: $d_p = \sqrt{a^2 + b^2}$ — zwykły trójkąt prostokątny w płaszczyźnie podstawy.
Potem przekątna bryły: $d$ jest przeciwprostokątną w trójkącie o przyprostokątnych $d_p$ oraz $c$ .

Po podstawieniu jednego wzoru do drugiego pierwiastki się znoszą i zostaje:

d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}

Warto rozumieć to wyprowadzenie, a nie tylko wzór — bo w graniastosłupach o podstawie innej niż prostokąt pierwszy krok wygląda inaczej, a drugi zawsze tak samo.

Sześcian — trzy przekątne, które łatwo pomylić

Krawędź: $a$ .

Przekątna ściany: $a\sqrt2$ — przekątna kwadratu o boku $a$ .

Przekątna sześcianu: $a\sqrt3$ — ze wzoru $\sqrt{a^2+a^2+a^2}$ .

Trzy odcinki, trzy różne długości, a w zadaniach wszystkie bywają nazywane po prostu „przekątną”. Zawsze sprawdź, czy chodzi o ścianę, czy o bryłę.

W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym najdłuższa przekątna podstawy to $2a$ — bo sześciokąt foremny składa się z sześciu trójkątów równobocznych i przeciwległe wierzchołki są odległe o dwa boki. Wśród graniastosłupów prawidłowych to jedyny przypadek, w którym przekątna podstawy wychodzi bez pierwiastka. W prostopadłościanie zdarza się to częściej — zawsze, gdy boki podstawy tworzą trójkę pitagorejską, na przykład $3$ i $4$ dają $5$ .

2Kąty w graniastosłupie

Podstawa programowa wymienia to wprost (dział X, zakres podstawowy, punkt 3): „rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów”.

Najczęstszy jest kąt między przekątną bryły a podstawą. Mierzy się go w tym samym trójkącie, w którym liczyło się przekątną:

\operatorname{tg}\alpha = \frac{c}{d_p} = \frac{\text{wysokość}}{\text{przekątna podstawy}}

Drugi typowy kąt to kąt między przekątną bryły a krawędzią boczną — dopełniający do kąta prostego względem poprzedniego, bo oba leżą w tym samym trójkącie prostokątnym.

kąt	w jakim trójkącie	tangens
przekątna bryły – podstawa	$(d_p,\ c,\ d)$	$\frac{c}{d_p}$
przekątna bryły – krawędź boczna	ten sam trójkąt	$\frac{d_p}{c}$
przekątna ściany – krawędź podstawy	ściana boczna	$\frac{c}{a}$

Dwa pierwsze wiersze mają odwrotne tangensy i to jest najszybsza kontrola: jeśli oba wyszły takie same, gdzieś pomylono kąty. Suma tych kątów wynosi $90°$ .

Przy zadaniach z kątem danym w treści rachunek idzie w drugą stronę: z tangensa wyznacza się brakującą długość. Wynik zwykle zawiera pierwiastek i tak go zostawiamy — zaokrąglenie tylko zaciemnia strukturę.

3Przekroje graniastosłupa

Przekrój to figura powstała z przecięcia bryły płaszczyzną. W graniastosłupach dwa przypadki wracają najczęściej:

Przekrój przez dwie przeciwległe krawędzie boczne — zawsze prostokąt o wymiarach $d_p \times c$ , gdzie $d_p$ jest przekątną podstawy;
Przekrój równoległy do podstawy — figura przystająca do podstawy, niezależnie od wysokości cięcia.

Pierwszy przypadek jest tym, o który pytają zadania: jego pole to $d_p \cdot c$ , a przekątna tego prostokąta jest przekątną bryły. Trzy wielkości spotykają się więc w jednej figurze i zwykle wystarczy narysować sam przekrój, żeby zadanie stało się płaskie.

Rysuj przekrój osobno

Rysunek przestrzenny służy do znalezienia trójkąta, a nie do liczenia w nim.

Gdy już wiadomo, które odcinki tworzą trójkąt prostokątny, warto narysować go obok, płasko, z opisanymi bokami.

Większość błędów w stereometrii bierze się z liczenia „na rysunku 3D”, gdzie kąty proste nie wyglądają na proste.

W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym przekrój przez najdłuższą przekątną podstawy ma wymiary $2a \times c$ — i to jest największy przekrój prostopadły do podstawy, bo dłuższej cięciwy niż $2a$ w sześciokącie foremnym nie ma. Przekroje ukośne bywają większe: płaszczyzna poprowadzona nad środkowym pasem szerokości $a$ daje prostokąt $a\sqrt3 \times \sqrt{a^2+c^2}$ , więc przy $a = c$ jego pole wynosi $a^2\sqrt6$ wobec $2a^2$ . Ukośne przekroje sześcianu — z trójkątem równobocznym i sześciokątem foremnym włącznie — opisuję osobno.

4Objętość i pole, gdy dane są kąty

Podstawa dopuszcza liczenie objętości i pól „również z wykorzystaniem trygonometrii” (X pkt 5) — i właśnie tego dotyczy większość trudniejszych zadań.

Schemat jest zawsze ten sam:

Z kąta i jednej długości wyznacz brakujące wymiary — zwykle wysokość albo przekątną podstawy.
Z wymiarów policz pole podstawy.
Podstaw do $V = P_p \cdot H$ albo do $P_c = 2P_p + P_b$ .

Warto pamiętać, że w graniastosłupie objętość liczy się bez żadnego współczynnika — to odróżnia go od ostrosłupa, gdzie wchodzi jedna trzecia. Przy tej samej podstawie i wysokości graniastosłup mieści trzy razy więcej.

Pole powierzchni bocznej graniastosłupa prostego ma prostą postać: obwód podstawy razy wysokość. Wynika to z rozwinięcia — powierzchnia boczna jest prostokątem, dokładnie tak jak przy walcu, który bywa traktowany jako graniastosłup o nieskończenie wielu ścianach.

Ostatnia uwaga dotyczy zapisu: w zadaniach z sześcianem i graniastosłupem prawidłowym wyniki prawie zawsze zawierają $\sqrt2$ lub $\sqrt3$ . Zostawiamy je w postaci dokładnej, chyba że polecenie wyraźnie każe zaokrąglić.

5Przykłady krok po kroku

Cztery zadania: przekątna prostopadłościanu, przekątne sześcianu, kąt nachylenia i przekrój.

Przykład 1 Przekątna prostopadłościanu

Prostopadłościan ma krawędzie $2$ , $6$ i $9$ . Oblicz przekątną podstawy i przekątną bryły.

Przekątna podstawy o bokach $2$ i $6$ : $d_p = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$ .
Przekątna bryły: $d = \sqrt{d_p^2 + 9^2} = \sqrt{40 + 81} = \sqrt{121} = 11$ .
Kontrola wzorem skróconym: $\sqrt{2^2 + 6^2 + 9^2} = \sqrt{4 + 36 + 81} = \sqrt{121} = 11$ ✓
Kontrola sensu: przekątna bryły jest dłuższa od każdej krawędzi i od przekątnej podstawy — $11 > 9$ oraz $11 > 2\sqrt{10}$ ✓
Kontrola oszacowaniem: $36 < 40 < 49$ , więc $6 < 2\sqrt{10} < 7$ ✓

Odpowiedź: $d_p = 2\sqrt{10}$ , $d = 11$

Przekątna podstawy zostaje z pierwiastkiem, a przekątna bryły wychodzi całkowita — bo $40 + 81$ daje akurat kwadrat. Zadania często dobierają dane tak, żeby ostatni wynik był ładny, ale pośredni już nie.

Przykład 2 Trzy odcinki w sześcianie

Sześcian ma krawędź $4$ . Oblicz przekątną jego ściany i przekątną bryły, a następnie porównaj je.

Przekątna ściany to przekątna kwadratu: $4\sqrt2$ .
Przekątna bryły: $\sqrt{16 + 16 + 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt3$ .
Porównanie: $4\sqrt2$ wobec $4\sqrt3$ — większa jest przekątna bryły, bo $2 < 3$ .
Kontrola przez drugi Pitagoras: $\sqrt{\left(4\sqrt2\right)^2 + 4^2} = \sqrt{32 + 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt3$ ✓
Kontrola kolejności: krawędź $4$ , przekątna ściany $4\sqrt2$ , przekątna bryły $4\sqrt3$ — rosną, bo $1 < \sqrt2 < \sqrt3$ ✓

Odpowiedź: Przekątna ściany $4\sqrt2$ , przekątna bryły $4\sqrt3$ .

Trzy odcinki różnią się tylko pierwiastkiem: $\sqrt1$ , $\sqrt2$ , $\sqrt3$ . To najprostszy sposób, żeby zapamiętać ich kolejność i nie pomylić przekątnej ściany z przekątną bryły.

Przykład 3 Kąt nachylenia przekątnej

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma $6$ , a wysokość $6\sqrt2$ . Oblicz tangens kąta między przekątną bryły a podstawą.

Podstawą jest kwadrat o boku $6$ , więc jej przekątna wynosi $6\sqrt2$ .
Kąt mierzę w trójkącie o przyprostokątnych $d_p = 6\sqrt2$ oraz $c = 6\sqrt2$ .
$\operatorname{tg}\alpha = \frac{6\sqrt2}{6\sqrt2} = 1$ .
Tangens równy jedynce oznacza kąt $45°$ .
Kontrola drugim kątem: między przekątną a krawędzią boczną tangens wynosi $\frac{6\sqrt2}{6\sqrt2} = 1$ , więc też $45°$ — i suma daje $90°$ ✓
Kontrola przekątną bryły: $\sqrt{72 + 72} = \sqrt{144} = 12$ , a trójkąt o przyprostokątnych równych jest równoramienny ✓

Odpowiedź: $\operatorname{tg}\alpha = 1$ , czyli $\alpha = 45°$

Równość obu tangensów jest tu skutkiem szczególnych danych, a nie regułą. W ogólnym przypadku tangensy obu kątów są odwrotnościami — i właśnie to jest kontrolą, że nie pomylono kątów.

Przykład 4 Przekrój przez przeciwległe krawędzie

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym o krawędzi podstawy $5$ i wysokości $8$ poprowadzono przekrój przez dwie przeciwległe krawędzie boczne. Oblicz jego pole.

Przekrój jest prostokątem o wymiarach $d_p \times c$ , gdzie $d_p$ to przekątna podstawy.
$d_p = 5\sqrt2$ .
Pole: $5\sqrt2 \cdot 8 = 40\sqrt2$ .
Kontrola przekątną przekroju: $\sqrt{\left(5\sqrt2\right)^2 + 8^2} = \sqrt{50 + 64} = \sqrt{114}$ — i to jest przekątna bryły ✓
Kontrola wzorem skróconym: $\sqrt{25 + 25 + 64} = \sqrt{114}$ ✓
Kontrola rzędu: pole przekroju jest większe od pola ściany bocznej ( $5 \cdot 8 = 40$ ), bo $\sqrt2 > 1$ ✓

Odpowiedź: Pole przekroju wynosi $40\sqrt2$ .

Ostatnia kontrola ma sens geometryczny: przekrój przez przekątną jest szerszy od ściany, bo przekątna podstawy jest dłuższa od jej boku. Wynik mniejszy niż $40$ oznaczałby pomyłkę.

6Najczęstsze błędy

Pierwsze dwa błędy dotyczą przekątnych, trzy kolejne — kątów i rachunku.

Mylenie przekątnej ściany z przekątną bryły.

Skąd się bierze: W obu przypadkach mówi się po prostu „przekątna”, a na rysunku obie wychodzą z tego samego wierzchołka.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź, czy odcinek leży w jednej ścianie, czy przechodzi przez wnętrze. W sześcianie pierwsza ma $a\sqrt2$ , druga $a\sqrt3$ .

Liczenie przekątnej bryły jednym twierdzeniem Pitagorasa.

Skąd się bierze: Odcinek wygląda na przeciwprostokątną jednego trójkąta.

Jak zrobić dobrze: Potrzebne są dwa kroki: najpierw przekątna podstawy, potem przekątna bryły. Skrócony wzór $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ jest zapisem obu naraz.

Przyjęcie tangensa kąta w odwrotną stronę.

Skąd się bierze: Oba kąty leżą w tym samym trójkącie, więc łatwo pomylić, który jest przy podstawie.

Jak zrobić dobrze: Kąt z podstawą ma tangens $\frac{\text{wysokość}}{\text{przekątna podstawy}}$ . Kontrola: tangensy obu kątów są odwrotnościami, a kąty sumują się do $90°$ .

Liczenie w rysunku przestrzennym zamiast w płaskim trójkącie.

Skąd się bierze: Rysunek 3D wygląda na wystarczający, a przerysowywanie na czysto wydaje się stratą czasu.

Jak zrobić dobrze: Narysuj znaleziony trójkąt osobno, płasko. Na rysunku przestrzennym kąty proste nie wyglądają na proste i to jest źródło większości błędów.

Dopisywanie jednej trzeciej do objętości graniastosłupa.

Skąd się bierze: Współczynnik ten pamięta się z ostrosłupa i bywa doklejany odruchowo.

Jak zrobić dobrze: Objętość graniastosłupa to po prostu pole podstawy razy wysokość. Jedna trzecia dotyczy wyłącznie brył zbieżnych do wierzchołka.

7Pytania i odpowiedzi

Jak liczyć przekątną graniastosłupa o podstawie innej niż prostokąt?

Tak samo, tylko pierwszy krok wygląda inaczej: najpierw wyznaczamy przekątną podstawy odpowiednią dla danego wielokąta, a potem stosujemy twierdzenie Pitagorasa z wysokością bryły. Drugi krok jest zawsze identyczny.

Ile różnych przekątnych ma prostopadłościan?

Cztery przekątne bryły, wszystkie równej długości, oraz przekątne ścian — po dwie w każdej z sześciu ścian. W zadaniach chodzi zwykle o jedną przekątną bryły i jedną wybranej ściany.

Jaki kształt ma przekrój przez dwie przeciwległe krawędzie boczne?

Zawsze prostokąt, bo krawędzie boczne graniastosłupa prostego są równoległe i prostopadłe do podstaw. Jego wymiary to przekątna podstawy oraz wysokość bryły.

Czy suma kątów przekątnej z podstawą i z krawędzią boczną wynosi 90 stopni?

Tak, bo oba kąty leżą w tym samym trójkącie prostokątnym i są jego kątami ostrymi. Dlatego ich tangensy są odwrotnościami — to najszybsza kontrola poprawności.

Dlaczego wyniki tak często zawierają pierwiastek z dwóch?

Bo przekątna kwadratu wynosi $a\sqrt2$ , a podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest właśnie kwadrat. Przy podstawie trójkątnej lub sześciokątnej pojawia się natomiast $\sqrt3$ .

Czytaj dalej

GraniastosłupyBudowa, rodzaje i siatki — materiał, na którym te zadania się opierają.OstrosłupyBryła porównawcza: ta sama podstawa, a objętość trzy razy mniejsza.Twierdzenie PitagorasaNarzędzie stosowane tu dwa razy pod rząd — najpierw w podstawie, potem w przekroju.Przekroje sześcianu i ostrosłupówPrzekroje ukośne: trójkąt równoboczny i sześciokąt foremny w sześcianie.

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.