Strona główna › Ułamki › Dodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych — przecinek pod przecinkiem

Dodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych — przecinek pod przecinkiem

Dodawanie i odejmowanie liczb z przecinkiem wygląda na osobny temat, a jest tym samym dodawaniem pisemnym, którego dziecko uczyło się na liczbach naturalnych — z jednym dodatkowym warunkiem. Warunek brzmi: przecinek musi stać pod przecinkiem. Kto go pilnuje, nie potrzebuje żadnej nowej reguły; kto go zgubi, dostaje wynik przesunięty o cały rząd wielkości — a przy dwóch miejscach po przecinku nawet o dwa — i zwykle nawet tego nie zauważa.

Dział: UłamkiPoziom: klasy 4–5Zadań z E8: 4

Przejdź od razu do zadań (4) ↓

1Jedna zasada: przecinek pod przecinkiem

Przy dodawaniu pisemnym liczb naturalnych podpisujemy jedności pod jednościami, dziesiątki pod dziesiątkami. Przy ułamkach dziesiętnych jest dokładnie tak samo — tylko kolumn jest więcej, bo doszły części dziesiąte, setne i tysięczne.

Przecinek jest granicą między całościami a częściami, więc ustawienie go w jednej kolumnie automatycznie ustawia wszystkie pozostałe. To jedyna rzecz, której trzeba pilnować.

Dlaczego to nie jest umowa, tylko konieczność

Dodawać wolno tylko rzeczy tego samego rodzaju: jedności do jedności, dziesiąte do dziesiątych. Trzy dziesiąte i trzy setne to nie jest sześć niczego — tak samo jak trzy jabłka i trzy skrzynki jabłek.

To ta sama zasada, która przy ułamkach zwykłych każe sprowadzać do wspólnego mianownika. Ułamki dziesiętne mają go już z góry — mianownikiem jest zawsze potęga dziesiątki — więc zamiast sprowadzać, wystarczy ustawić kolumny.

Dlatego dodawanie dziesiętnych jest łatwiejsze niż zwykłych: robotę, którą tam trzeba wykonać, tu wykonał za nas sam zapis.

W praktyce działanie zapisuje się w słupku, jedno pod drugim, z przecinkiem w jednej pionowej linii — i przecinek w wyniku stawia się w tej samej kolumnie, zanim jeszcze zacznie się dodawać. Wtedy nie da się o nim zapomnieć.

2Dopisywanie zer — wyrównanie długości

Kłopot zaczyna się, gdy liczby mają różną liczbę cyfr po przecinku. W działaniu 3,5+2,253{,}5 + 2{,}25 pierwsza liczba ma jedno miejsce, druga dwa — i kolumna setnych zostaje pusta.

Rozwiązanie: dopisz zero na końcu. Zero na końcu ułamka dziesiętnego niczego nie zmienia, bo 3,53{,}5 i 3,503{,}50 to ta sama liczba — trzy i pięć dziesiątych to tyle samo co trzy i pięćdziesiąt setnych.

3,5=3,503{,}5 = 3{,}5\textcolor{#16A06A}{0}

Teraz obie liczby mają po dwa miejsca i kolumny się zgadzają:

3,50+2,25=5,753{,}5\textcolor{#16A06A}{0} + 2{,}25 = 5{,}75

Zielone zero jest tu tylko po to, żeby było co dodać w kolumnie setnych. Dodane do 2525 setnych daje 2525 setnych — i właśnie o to chodzi.

Zero na końcu a zero po przecinku

Zero na KOŃCU nic nie zmienia: 3,5=3,50=3,5003{,}5 = 3{,}50 = 3{,}500.

Zero zaraz PO przecinku zmienia wszystko: 3,53{,}5 i 3,053{,}05 to zupełnie różne liczby — pięć dziesiątych to dziesięć razy więcej niż pięć setnych.

Dopisując zero, dokładaj je z prawej strony, nigdy między przecinek a cyfrę. To jest ta sama różnica, o której mówi strona o ułamkach dziesiętnych.

Ta sama sztuczka ratuje działania z liczbą całkowitą. W 7+0,457 + 0{,}45 siódemka nie ma przecinka — więc dopisujemy go z zerami: 7=7,007 = 7{,}00. Wtedy kolumny znów się zgadzają i wychodzi 7,457{,}45.

7+0,45=7,00+0,45=7,457 + 0{,}45 = 7{,}\textcolor{#16A06A}{00} + 0{,}45 = 7{,}45

3Odejmowanie i pożyczanie

Odejmowanie działa identycznie: przecinek pod przecinkiem, brakujące miejsca uzupełnione zerami, a potem zwykłe odejmowanie pisemne z pożyczaniem.

Najtrudniejszy przypadek to odejmowanie od liczby całkowitej, bo tam wszystkie kolumny po przecinku są puste. 5−2,75 - 2{,}7 zapisujemy jako:

5−2,7=5,0−2,7=2,35 - 2{,}7 = 5{,}\textcolor{#16A06A}{0} - 2{,}7 = 2{,}3

W kolumnie dziesiątych stoi 0−70 - 7, więc trzeba pożyczyć jedną całość. Jedna całość to dziesięć dziesiątych, więc zero zamienia się w dziesiątkę, a piątka całości maleje do czwórki: 10−7=310 - 7 = 3 dziesiąte i 4−2=24 - 2 = 2 całości.

Przy dwóch miejscach po przecinku jest tak samo, tylko pożyczka przechodzi o kolumnę dalej:

4,2−1,85=4,20−1,85=2,354{,}2 - 1{,}85 = 4{,}2\textcolor{#16A06A}{0} - 1{,}85 = 2{,}35

Kontrola dodawaniem jest tu warta każdej sekundy: 2,35+1,85=4,22{,}35 + 1{,}85 = 4{,}2 ✓ Odejmowanie i dodawanie są działaniami odwrotnymi, więc jedno sprawdza drugie — i przy pożyczaniu to najprostszy sposób, żeby wyłapać błąd.

4Szacowanie — kontrola, która wyłapuje przesunięty przecinek

Część błędów w tym temacie przesuwa wynik o cały rząd wielkości — zgubiony przecinek w 18,5618{,}56 daje 18561856, czyli sto razy za dużo. Takich pomyłek nie da się przeoczyć, jeśli przed rachunkiem oszacuje się odpowiedź.

Szacowanie polega na zaokrągleniu obu liczb do całości i policzeniu w pamięci:

DziałanieSzacowanieDokładny wynikZgadza się?
12,7+5,8612{,}7 + 5{,}8613+6=1913 + 6 = 1918,5618{,}56tak — blisko 1919
20−3,4520 - 3{,}4520−3=1720 - 3 = 1716,5516{,}55tak — blisko 1717
3,5+2,253{,}5 + 2{,}254+2=64 + 2 = 65,755{,}75tak — blisko 66
0,8+0,150{,}8 + 0{,}15trochę mniej niż 110,950{,}95tak

Gdyby w ostatnim wierszu wyszło 2,32{,}3 albo 0,230{,}23, od razu byłoby widać, że coś jest nie tak — bo suma dwóch liczb mniejszych od jedynki nie może przekroczyć dwójki ani spaść poniżej większego składnika.

Dwie kontrole sensu warte zapamiętania: suma jest zawsze większa od każdego ze składników (przy liczbach dodatnich), a różnica jest zawsze mniejsza od odjemnej. Jeśli wynik łamie którąś z nich, błąd jest pewny i nie trzeba go nawet szukać w rachunku.

Czego szacowanie NIE wyłapie — i dlatego samo nie wystarcza

Szacowanie jest mocne wobec błędów przesuwających przecinek, ale ślepe na złe ustawienie kolumn, bo taki błąd zmienia wynik tylko o ułamek jednostki.

Zobacz na pierwszym błędzie z listy niżej: podpisanie 3,5+2,253{,}5 + 2{,}25 „do prawej” daje 5,305{,}30 zamiast 5,755{,}75. Oszacowanie brzmi „około 66” — i obie liczby, poprawna i błędna, do niego pasują. Kontrola przechodzi, choć wynik jest zły.

Dlatego szacowanie warto łączyć z drugą kontrolą: odejmowanie sprawdzaj dodawaniem, a dodawanie odejmowaniem. Ta druga jest dokładna, więc łapie właśnie te pomyłki, które szacowanie przepuszcza. Dwie kontrole o różnych słabościach są warte więcej niż jedna powtórzona dwa razy.

5Gdzie to naprawdę wraca: pieniądze i miary

Ułamki dziesiętne w zadaniach tekstowych to prawie zawsze złotówki albo jednostki miary — i w obu przypadkach liczba miejsc po przecinku jest z góry ustalona.

Przy zadaniach z pieniędzmi warto trzymać się jednej kolejności: najpierw zsumuj wszystkie wydatki, potem odejmij od tego, co miałeś. Odejmowanie po kawałku — od kwoty odjąć pierwszy zakup, od reszty drugi — daje ten sam wynik, ale trzy razy więcej okazji do pomyłki przy pożyczaniu.

Ostatnia uwaga: jednostki muszą być te same, zanim zaczniesz liczyć. Do 1,51{,}5 m nie dodaje się wprost 3030 cm — najpierw zamiana na 0,30{,}3 m, dopiero potem dodawanie. Bez tego kroku przecinek trafia w złe miejsce, a szacowanie tego akurat nie wyłapie, bo błąd nie zmienia rzędu wielkości aż tak wyraźnie.

6Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: dodawanie z dopisaniem zera, odejmowanie od liczby całkowitej i zadanie z zakupami, w którym trzeba zrobić obie rzeczy naraz.

Przykład 1 Dodawanie liczb o różnej liczbie miejsc

Oblicz 12,7+5,8612{,}7 + 5{,}86.

  1. Najpierw szacuję, żeby mieć czym sprawdzić wynik: 13+6=1913 + 6 = 19, więc odpowiedź powinna być trochę mniejsza od 1919.
  2. Pierwsza liczba ma jedno miejsce po przecinku, druga dwa. Dopisuję zero: 12,7=12,7012{,}7 = 12{,}70.
  3. Podpisuję w słupku przecinek pod przecinkiem i od razu stawiam przecinek w wyniku, w tej samej kolumnie.
  4. Setne: 0+6=60 + 6 = 6. Dziesiąte: 7+8=157 + 8 = 15, więc zapisuję 55 i przenoszę 11 do całości.
  5. Całości: 12+5+112 + 5 + 1 (przeniesione) =18= 18. Wynik: 18,5618{,}56.
  6. Kontrola szacowaniem: 18,5618{,}56 leży tuż poniżej 1919 ✓ Kontrola odejmowaniem: 18,56−5,86=12,718{,}56 - 5{,}86 = 12{,}7 ✓

Odpowiedź: 12,7+5,86=18,5612{,}7 + 5{,}86 = 18{,}56

Przeniesienie jedynki z dziesiątych do całości jest tym samym przeniesieniem, które dziecko zna z dodawania liczb naturalnych — dziesięć dziesiątych to jedna całość, tak jak dziesięć jedności to jedna dziesiątka. Warto to powiedzieć wprost, bo wielu uczniów traktuje przeniesienie „przez przecinek” jako coś zakazanego.

Przykład 2 Odejmowanie od liczby całkowitej

Oblicz 20−3,4520 - 3{,}45.

  1. Szacowanie: 20−3=1720 - 3 = 17, więc wynik powinien być trochę mniejszy od 1717.
  2. Liczba 2020 nie ma przecinka, a odjemnik ma dwa miejsca. Dopisuję: 20=20,0020 = 20{,}00.
  3. Setne: 0−50 - 5 się nie da, pożyczam. Ale w kolumnie dziesiątych też stoi zero, więc pożyczka idzie aż od całości.
  4. Rozbijam to na kroki: jedna całość to 1010 dziesiątych, więc 20,0020{,}00 czytam jako 1919 całości i 1010 dziesiątych. Z tych dziesiątych pożyczam jedną: zostaje 99 dziesiątych i 1010 setnych.
  5. Teraz odejmuję: setne 10−5=510 - 5 = 5, dziesiąte 9−4=59 - 4 = 5, całości 19−3=1619 - 3 = 16. Wynik: 16,5516{,}55.
  6. Kontrola dodawaniem: 16,55+3,45=2016{,}55 + 3{,}45 = 20 ✓ Kontrola szacowaniem: 16,5516{,}55 leży tuż poniżej 1717 ✓

Odpowiedź: 20−3,45=16,5520 - 3{,}45 = 16{,}55

Podwójna pożyczka przez dwie kolumny zer jest najtrudniejszym miejscem w całym temacie. Jest na to skrót: zamiast odejmować od 20,0020{,}00, odejmij od 19,9919{,}99 — same dziewiątki, więc żadnej pożyczki nie ma — a do wyniku dodaj brakujący grosz. Tutaj 19,99−3,45=16,5419{,}99 - 3{,}45 = 16{,}54, plus 0,010{,}01 daje 16,5516{,}55. Dopóki jednak mechanizm pożyczki nie jest zrozumiały, lepiej liczyć krok po kroku, bo skrót zapamiętany bez uzasadnienia gubi się równie łatwo.

Przykład 3 Zakupy — sumowanie i reszta

Ola kupiła książkę za 24,9024{,}90 zł, zeszyt za 8,758{,}75 zł i długopis za 13,5013{,}50 zł. Zapłaciła banknotem 5050 zł. Ile dostała reszty?

  1. Szacowanie na start: około 25+9+14=4825 + 9 + 14 = 48 zł, więc reszty powinno być około 22 zł. Gdyby wyszło 2020 zł albo 0,200{,}20 zł — wiadomo, że gdzieś uciekł przecinek.
  2. Sumuję wszystkie wydatki naraz, nie po kawałku. Wszystkie kwoty mają po dwa miejsca, więc nic nie trzeba dopisywać.
  3. 24,90+8,75=33,6524{,}90 + 8{,}75 = 33{,}65
  4. 33,65+13,50=47,1533{,}65 + 13{,}50 = 47{,}15 — tyle Ola wydała.
  5. Reszta: 50−47,1550 - 47{,}15. Dopisuję zera do pięćdziesiątki: 50,00−47,15=2,8550{,}00 - 47{,}15 = 2{,}85.
  6. Kontrola dodawaniem: 47,15+2,85=5047{,}15 + 2{,}85 = 50 ✓ Kontrola szacowaniem: około 22 zł, wyszło 2,852{,}85 zł ✓

Odpowiedź: Ola dostała 2,852{,}85 zł reszty.

Zwróć uwagę na kolejność: najpierw suma wydatków, potem jedno odejmowanie. Gdyby liczyć po kolei — 50−24,9050 - 24{,}90, potem minus 8,758{,}75, potem minus 13,5013{,}50 — wynik byłby ten sam, ale zamiast jednej pożyczki trzeba by ją zrobić trzy razy. Mniej kroków to mniej okazji do pomyłki.

7Najczęstsze błędy

Pierwsze dwa błędy dotyczą zapisu w słupku i to one odpowiadają za większość złych wyników. Dwa kolejne biorą się z nawyków przeniesionych z liczb naturalnych.

Wyrównanie liczb do prawej strony zamiast do przecinka

Skąd się bierze: Przy liczbach naturalnych podpisuje się je „do prawej” i to zawsze działa. Przy dziesiętnych ten nawyk niszczy rachunek: w działaniu 3,5+2,253{,}5 + 2{,}25 podpisanie do prawej stawia piątkę z pierwszej liczby pod setnymi drugiej, czyli traktuje 3,53{,}5 jak 3,05\textcolor{#9b1c14}{3{,}05}. Wychodzi 5,30\textcolor{#9b1c14}{5{,}30} zamiast 5,755{,}75 — różnica prawie pół jednostki.

Jak zrobić dobrze: Podpisuj przecinek pod przecinkiem, a puste kolumny uzupełnij zerami z prawej strony. Wtedy liczby mają jednakową długość i wyrównanie do prawej przestaje szkodzić, bo pokrywa się z wyrównaniem do przecinka.

Zgubiony przecinek w wyniku

Skąd się bierze: Uczeń poprawnie ustawia słupek, poprawnie dodaje, a potem zapisuje sam ciąg cyfr — i z 18,5618{,}56 robi się 1856\textcolor{#9b1c14}{1856}. To błąd czysto mechaniczny, ale kosztuje cały punkt, bo odpowiedź jest sto razy za duża.

Jak zrobić dobrze: Postaw przecinek w wyniku zanim zaczniesz dodawać — od razu po podpisaniu liczb, w tej samej pionowej kolumnie. Wtedy nie trzeba o nim pamiętać na końcu, bo już tam stoi. Szacowanie wyłapuje ten błąd natychmiast: 18561856 nijak nie przypomina spodziewanych 1919.

Dopisywanie zera po przecinku zamiast na końcu

Skąd się bierze: Z polecenia „dopisz zero, żeby wyrównać” uczeń robi 3,05\textcolor{#9b1c14}{3{,}05} zamiast 3,503{,}50. Zero wstawione zaraz za przecinek przesuwa wszystkie cyfry o jedno miejsce w prawo i dzieli liczbę przez dziesięć — a to już nie jest ta sama liczba, tylko dziesięciokrotnie mniejsza.

Jak zrobić dobrze: Zero dokłada się z prawej strony, na samym końcu. Sprawdzian jest prosty: po dopisaniu przeczytaj liczbę na głos. „Trzy i pięćdziesiąt setnych” brzmi jak tyle samo co „trzy i pięć dziesiątych”; „trzy i pięć setnych” brzmi wyraźnie mniej — i wtedy wiadomo, że zero poszło w złe miejsce.

Odejmowanie mniejszej cyfry od większej niezależnie od kolejności

Skąd się bierze: W kolumnie stoi 0−50 - 5, więc uczeń odejmuje odwrotnie i zapisuje 55, zamiast pożyczyć z sąsiedniej kolumny. Rachunek wygląda schludnie, a wynik jest za duży. W 4,2−1,854{,}2 - 1{,}85 każda kolumna liczona „większa minus mniejsza” daje 3,65\textcolor{#9b1c14}{3{,}65} zamiast 2,352{,}35 — czyli odpowiedź większą o 1,301{,}30, a więc o ponad jedną całość.

Jak zrobić dobrze: Gdy w kolumnie odjemna cyfra jest mniejsza, pożycz z kolumny na lewo: jedna całość to dziesięć dziesiątych, jedna dziesiąta to dziesięć setnych. I zawsze sprawdzaj wynik dodawaniem — jeśli różnica dodana do odjemnika nie daje odjemnej, gdzieś jest błąd.

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — działania na ułamkach

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Kolor pokazuje, co w co się zamienia. Przy sprowadzaniu do wspólnego mianownika widać, przez ile rozszerzamy pierwszy ułamek, a przez ile drugi. Przy dzieleniu przez ułamek kolorem zaznaczamy ten, który się odwraca. W zwykłych rachunkach liczby zostają czarne.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (styczeń 2026)1 pktłatwe

Dane jest wyrażenie (0,75⋅8+8⋅12):(−2)\left(0{,}75 \cdot 8 + 8 \cdot \dfrac{1}{2}\right) : (-2). Dokończ zdanie.
Wartość tego wyrażenia jest równa
  • A. −5-5
  • B. −3,5-3{,}5
  • C. 3,53{,}5
  • D. 55
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Najpierw liczymy wszystko w nawiasie, a w nawiasie — najpierw mnożenie.
  2. 0,75⋅8=60{,}75 \cdot 8 = 6 (bo 0,75=340{,}75 = \tfrac34, a 34\tfrac34 z 8 to 6).
  3. 8⋅12=48 \cdot \dfrac{1}{2} = 4.
  4. W nawiasie zostaje 6+4=106 + 4 = 10.
  5. Na koniec dzielenie: 10:(−2)=−510 : (-2) = -5.
  6. Odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Ułamki dziesiętne warto w pamięci zamieniać na zwykłe: 0,75=340{,}75 = \tfrac34, 0,25=140{,}25 = \tfrac14, 0,5=120{,}5 = \tfrac12. Rachunek robi się wtedy znacznie prostszy.

⚠ Najczęstszy błąd: pominięcie minusa przy dzieleniu przez (−2)(-2) i wybór odpowiedzi D. Dodatnia liczba dzielona przez ujemną daje ujemny wynik.

Zadanie 2 (maj 2021)1 pktśrednie

Dane są cztery liczby zapisane za pomocą wyrażeń arytmetycznych:
x=−62,5+30x = -62{,}5 + 30  ·  y=−14,4−12,6y = -14{,}4 - 12{,}6  ·  t=−12:0,3t = -12 : 0{,}3  ·  u=−8,02⋅6u = -8{,}02 \cdot 6
Która z tych liczb jest największa?
  • A. xx
  • B. yy
  • C. tt
  • D. uu
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Liczymy każdą wartość osobno:
  2. x=−62,5+30=−32,5x = -62{,}5 + 30 = -32{,}5
  3. y=−14,4−12,6=−27y = -14{,}4 - 12{,}6 = -27
  4. t=−12:0,3=−40t = -12 : 0{,}3 = -40 (dzielenie przez liczbę mniejszą od 1 zwiększa wartość bezwzględną)
  5. u=−8,02⋅6=−48,12u = -8{,}02 \cdot 6 = -48{,}12
  6. Wszystkie są ujemne, więc największa jest ta najbliższa zera: −27-27, czyli liczba yy.
  7. Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Wśród liczb ujemnych największa to ta o najmniejszej wartości bezwzględnej — najbliżej zera na osi liczbowej.

⚠ Dwa typowe błędy: (1) wybór uu jako „największej”, bo 48,12 to największa liczba — ale ze znakiem minus jest najmniejsza; (2) policzenie −12:0,3-12 : 0{,}3 jako −4-4 zamiast −40-40.

Zadanie 3 (maj 2021)1 pktśrednie

Uzupełnij zdania.
Wartość wyrażenia 37+35\dfrac{3}{7} + \dfrac{3}{5} jest liczbą AB.
  • A. mniejszą od 1
  • B. większą od 1
Wartość wyrażenia 37−35\dfrac{3}{7} - \dfrac{3}{5} jest liczbą CD.
  • C. ujemną
  • D. dodatnią
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, C

  1. Wspólny mianownik dla 7 i 5 to 35. Rozszerzamy: 37=1535\textcolor{#16A06A}{\dfrac{3}{7}} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{15}{35}} (razy 5), a 35=2135\textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{5}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{21}{35}} (razy 7).
  2. Suma: 1535+2135=3635>1\textcolor{#16A06A}{\dfrac{15}{35}} + \textcolor{#E0453A}{\dfrac{21}{35}} = \dfrac{36}{35} > 1 — odpowiedź B.
  3. Różnica: 1535−2135=−635\textcolor{#16A06A}{\dfrac{15}{35}} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{21}{35}} = -\dfrac{6}{35} — liczba ujemna, odpowiedź C.
  4. Razem: B, C.

💡 Wskazówka: Można odpowiedzieć bez liczenia. Ułamki mają ten sam licznik, więc większy jest ten o mniejszym mianowniku: 35>37\tfrac35 > \tfrac37. Skoro odejmujemy większy od mniejszego — wynik ujemny. A skoro 35\tfrac35 to ponad połowa i 37\tfrac37 też ponad jedną trzecią — suma przekracza 1.

⚠ Najczęstszy błąd: dodawanie „licznik do licznika, mianownik do mianownika” (37+35=612\tfrac{3}{7} + \tfrac{3}{5} = \tfrac{6}{12}). Tak się ułamków nie dodaje — potrzebny jest wspólny mianownik.

Zadanie 4 (czerwiec 2020)1 pktśrednie

Dane są trzy wyrażenia arytmetyczne:
I. 75,5⋅2−7⋅6,9975{,}5 \cdot 2 - 7 \cdot 6{,}99  ·  II. (4,6+5,5)⋅10(4{,}6 + 5{,}5) \cdot 10  ·  III. 0,26⋅4000{,}26 \cdot 400
Które spośród tych wyrażeń mają wartość większą od 100?
  • A. Tylko I i II.
  • B. Tylko I i III.
  • C. Tylko II i III.
  • D. Tylko I, II i III.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. I. 75,5⋅2=15175{,}5 \cdot 2 = 151, a 7⋅6,99=48,937 \cdot 6{,}99 = 48{,}93. Zatem 151−48,93=102,07>100151 - 48{,}93 = 102{,}07 > 100 ✓
  2. II. (4,6+5,5)⋅10=10,1⋅10=101>100(4{,}6 + 5{,}5) \cdot 10 = 10{,}1 \cdot 10 = 101 > 100 ✓
  3. III. 0,26⋅400=104>1000{,}26 \cdot 400 = 104 > 100 ✓
  4. Wszystkie trzy przekraczają 100 — odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Sprytne szacowanie w I: 6,996{,}99 to prawie 7, więc 7⋅6,997 \cdot 6{,}99 to prawie 49, ale trochę mniej. Od 151 odejmujemy niecałe 49, więc zostaje ponad 102.

⚠ Najczęstszy błąd w III: pomyłka o rząd wielkości — 0,26⋅4000{,}26 \cdot 400 to 104, a nie 10,4. Warto sprawdzić: 0,25⋅400=1000{,}25 \cdot 400 = 100, a 0,26 to trochę więcej.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. A2. B3. B, C4. D

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

8Pytania i odpowiedzi

Jak dodawać ułamki dziesiętne?

Zapisz liczby jedna pod drugą tak, żeby przecinek stał pod przecinkiem, a brakujące miejsca po przecinku uzupełnij zerami. Potem dodawaj kolumnami tak samo jak liczby naturalne, pamiętając o przeniesieniach. Przecinek w wyniku stawiaj w tej samej kolumnie co w składnikach — najlepiej od razu, zanim zaczniesz liczyć.

Czy trzeba dopisywać zera, żeby liczby miały tyle samo miejsc?

Nie trzeba, ale bardzo warto — puste kolumny to najczęstsze źródło pomyłek. Zero dopisane na końcu ułamka dziesiętnego niczego nie zmienia, bo 3,53{,}5 i 3,503{,}50 to ta sama liczba. Uwaga: zero dokłada się z prawej strony, nigdy zaraz po przecinku.

Jak odjąć ułamek dziesiętny od liczby całkowitej, na przykład 20−3,4520 - 3{,}45?

Dopisz do liczby całkowitej przecinek i tyle zer, ile miejsc ma odjemnik: 20=20,0020 = 20{,}00. Dalej odejmujesz zwykłym sposobem pisemnym z pożyczaniem. Tu pożyczka idzie przez dwie kolumny zer, więc warto rozpisać ją krok po kroku, a wynik sprawdzić dodawaniem: 16,55+3,45=2016{,}55 + 3{,}45 = 20.

Dlaczego przecinek musi stać pod przecinkiem?

Bo dodawać wolno tylko wielkości tego samego rodzaju: jedności do jedności, dziesiąte do dziesiątych, setne do setnych. Przecinek jest granicą między całościami a częściami, więc ustawienie go w jednej kolumnie ustawia poprawnie wszystkie pozostałe. To ta sama zasada, która przy ułamkach zwykłych każe sprowadzać do wspólnego mianownika.

Jak sprawdzić, czy wynik jest dobry?

Najszybciej szacowaniem: zaokrąglij oba składniki do całości i policz w pamięci. Jeśli dokładny wynik jest daleko od oszacowania, gdzieś uciekł przecinek. Odejmowanie sprawdza się dodawaniem — różnica dodana do odjemnika musi dać odjemną.

Czy 0,50{,}5 i 0,500{,}50 to ta sama liczba?

Tak. Pięć dziesiątych to tyle samo co pięćdziesiąt setnych — zero na końcu nie zmienia wartości, zmienia tylko zapis. Zupełnie inaczej jest z zerem zaraz po przecinku: 0,050{,}05 to pięć setnych, czyli dziesięć razy mniej niż 0,50{,}5.

Czytaj dalej

Działania na ułamkachHub działu: dodawanie, mnożenie, dzielenie i skracanieUłamki dziesiętneCo znaczy każde miejsce po przecinku i które zera są ważneDodawanie i odejmowanie ułamków zwykłychTa sama zasada, tylko ze wspólnym mianownikiem zamiast kolumnDzielenie ułamków dziesiętnychPrzesuwanie przecinka i dlaczego wolno to robićObliczenia praktyczne na egzaminieZadania z cenami i miarami z arkuszy CKE, z rozwiązaniami
Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.