Strona główna › Funkcje › Funkcje parzyste i nieparzyste

Funkcje parzyste i nieparzyste

Parzystość funkcji to symetria jej wykresu: parzysta wygląda tak samo po odbiciu względem osi $OY$ , nieparzysta — po obrocie o $180°$ wokół początku układu. Nazwa bierze się od potęg: $x^2$ , $x^4$ są parzyste, a $x^3$ , $x^5$ nieparzyste. Uwaga na najczęstsze nieporozumienie: te dwie własności nie wyczerpują możliwości — większość funkcji nie jest ani jedna, ani druga.

Dział: FunkcjePoziom: liceum — poza podstawą od 2025

1Dwa warunki i jedno zastrzeżenie

Sprawdzanie polega na wstawieniu $-x$ w miejsce $x$ i porównaniu wyniku z wyjściowym wzorem.

rodzaj	warunek	symetria wykresu
parzysta	$f(-x) = f(x)$	względem osi $OY$
nieparzysta	$f(-x) = -f(x)$	względem początku układu
ani jedna, ani druga	żadna z równości nie zachodzi dla wszystkich $x$	brak symetrii

Zanim jednak cokolwiek podstawisz, trzeba sprawdzić rzecz wcześniejszą:

Dziedzina musi być symetryczna

Warunek $f(-x) = f(x)$ wymaga, żeby oba argumenty należały do dziedziny.

Jeśli więc do dziedziny należy $3$ , a nie należy $-3$ , funkcja nie może być ani parzysta, ani nieparzysta — niezależnie od wzoru.

Przykład: $f(x) = \sqrt{x}$ jest określona tylko dla $x \geqslant 0$ , więc pytanie o parzystość nie ma tu sensu. Podobnie $f(x) = \frac{1}{x-2}$ , gdzie brakuje dwójki, a jest $-2$ .

Ten krok bywa pomijany, a rozstrzyga zadanie w jednej linijce — bez liczenia czegokolwiek.

Skąd nazwy? Dla $f(x) = x^n$ podstawienie $-x$ daje $(-x)^n = (-1)^n x^n$ . Gdy $n$ jest parzyste, znak minus znika i funkcja jest parzysta; gdy nieparzyste — minus zostaje. Nazwa jest więc dosłowna.

2Większość funkcji jest „żadna”

To najważniejsze zdanie tej strony. Parzystość i nieparzystość to wyjątkowe własności, a nie dwa przypadki wyczerpujące wszystkie możliwości.

$f(x) = x^2 + x$ — nie jest parzysta ani nieparzysta; wystarczy porównać $f(1) = 2$ z $f(-1) = 0$ .
$f(x) = 2x + 3$ — funkcja liniowa jest nieparzysta tylko wtedy, gdy $b = 0$ .
$f(x) = x^2 + 5$ — parzysta, bo wyraz wolny nie psuje symetrii względem osi $OY$ .

Wystarczy więc jeden kontrprzykład, żeby zamknąć sprawę: jeśli dla pewnego konkretnego $x$ obie równości zawodzą, funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta. Nie trzeba badać wszystkich argumentów.

Jedyna funkcja i parzysta, i nieparzysta

Gdyby obie równości zachodziły naraz, mielibyśmy $f(x) = -f(x)$ , czyli $2f(x) = 0$ .

Stąd $f(x) = 0$ dla każdego $x$ — jedyną taką funkcją jest funkcja stale równa zeru.

Wniosek praktyczny: odpowiedź „funkcja jest parzysta i nieparzysta” jest błędna zawsze poza tym jednym przypadkiem.

3Jak to skraca pracę

Symetria to informacja, którą można wykorzystać zamiast rachunku.

Szkicowanie wykresu — wystarczy narysować połowę i odbić. Przy funkcji parzystej lustrzanie względem osi $OY$ , przy nieparzystej — obrotem o $180°$ .
Miejsca zerowe — u funkcji parzystej i nieparzystej występują parami $x_0$ i $-x_0$ . Nieparzysta dodatkowo musi mieć miejsce zerowe w zerze, o ile jest tam określona.
Wartości — u parzystej $f(-5)$ liczy się jako $f(5)$ ; u nieparzystej wystarczy zmienić znak.

Warto też znać reguły łączenia, bo pozwalają rozstrzygnąć parzystość bez podstawiania:

działanie	wynik
parzysta $+$ parzysta	parzysta
nieparzysta $+$ nieparzysta	nieparzysta
parzysta $+$ nieparzysta	zwykle żadna
parzysta $\cdot$ parzysta	parzysta
nieparzysta $\cdot$ nieparzysta	parzysta
parzysta $\cdot$ nieparzysta	nieparzysta

Piąty wiersz zaskakuje najczęściej, a jest oczywisty po podstawieniu: dwa minusy się znoszą. Dokładnie dlatego $x^3 \cdot x^5 = x^8$ jest funkcją parzystą.

Trzeci wiersz tłumaczy, dlaczego $x^2 + x$ nie jest ani parzysta, ani nieparzysta — to suma funkcji parzystej i nieparzystej, a takie sumy symetrii nie mają.

4Czy to jest na maturze

Nie. W podstawie programowej z matematyki dla liceum, obowiązującej od 2025 roku, nie ma parzystości ani nieparzystości funkcji. Sprawdziłem to, licząc wystąpienia rdzenia „parzyst” w całym dokumencie — są trzy i żadne nie dotyczy funkcji:

dwa razy o liczbach, w przykładach kombinatorycznych: „ile jest czterocyfrowych nieparzystych liczb całkowitych dodatnich…” oraz to samo zadanie w wersji z liczbami parzystymi,
raz o stopniu pierwiastka, w dziale I: *„stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych”* — to zupełnie inne znaczenie słowa, wracające przy dziedzinie funkcji, gdzie o dziedzinie decyduje właśnie parzystość stopnia pierwiastka.

Warto tę trzecią pozycję znać, bo pokazuje, jak łatwo pomylić dwie rzeczy noszące tę samą nazwę: parzystość stopnia pierwiastka jest w podstawie i decyduje o dziedzinie, a parzystość funkcji — czyli temat tej strony — nie występuje w niej wcale.

Jak zwykle rozdzielam dwa pytania:

Czy jest w wymaganiach? Nie. Zadanie maturalne nie poprosi o zbadanie parzystości funkcji.
Czy warto to znać? Tak, jako narzędzie: przy szkicowaniu wykresów funkcji trygonometrycznych i wielomianowych symetria oszczędza połowę pracy, a przy sprawdzaniu wyniku bywa najszybszą kontrolą.

Sama symetria wykresu jest natomiast w podstawie obecna pośrednio — przez przekształcanie wykresów, gdzie odbicia $y = -f(x)$ i $y = f(-x)$ są wymienione wprost. Funkcja parzysta to dokładnie taka, dla której drugie z tych przekształceń niczego nie zmienia.

To dobre ujęcie na potrzeby matury: nie „czy funkcja jest parzysta”, tylko „czy odbicie względem osi $OY$ daje ten sam wykres”.

5Przykłady krok po kroku

Cztery zadania: funkcja parzysta, nieparzysta, przypadek bez żadnej symetrii oraz taki, w którym rozstrzyga sama dziedzina.

Przykład 1 Funkcja parzysta

Zbadaj parzystość funkcji $f(x) = x^4 - 3x^2 + 1$ .

Dziedziną jest cały zbiór liczb rzeczywistych, więc jest symetryczna — można badać dalej ✓
Podstawiam $-x$ : $f(-x) = (-x)^4 - 3(-x)^2 + 1$ .
Potęgi parzyste zjadają minus: $(-x)^4 = x^4$ oraz $(-x)^2 = x^2$ .
$f(-x) = x^4 - 3x^2 + 1 = \textcolor{#E0453A}{f(x)}$ , więc funkcja jest parzysta.
Kontrola liczbowa: $f(2) = 16 - 12 + 1 = 5$ oraz $f(-2) = 5$ ✓
Kontrola drugim punktem: $f(1) = 1 - 3 + 1 = -1$ oraz $f(-1) = -1$ ✓
Kontrola regułą: same potęgi parzyste plus stała, czyli suma funkcji parzystych — a to zawsze daje funkcję parzystą ✓

Odpowiedź: Funkcja parzysta.

Wyraz wolny $1$ nie psuje parzystości, bo funkcja stała jest parzysta. Psułby ją dopiero składnik z potęgą nieparzystą — na przykład $x$ albo $x^3$ .

Przykład 2 Funkcja nieparzysta

Zbadaj parzystość funkcji $g(x) = x^3 - 4x$ .

Dziedzina: cały zbiór liczb rzeczywistych — symetryczna ✓
$g(-x) = (-x)^3 - 4(-x) = -x^3 + 4x$ .
Wyłączam minus: $-x^3 + 4x = -(x^3 - 4x) = \textcolor{#E0453A}{-g(x)}$ .
Zachodzi $g(-x) = -g(x)$ , więc funkcja jest nieparzysta.
Kontrola liczbowa: $g(3) = 27 - 12 = 15$ oraz $g(-3) = -27 + 12 = -15$ ✓
Kontrola w zerze: $g(0) = 0$ — i tak być musi, bo funkcja nieparzysta określona w zerze przyjmuje tam wartość zero ✓
Kontrola regułą: obie potęgi są nieparzyste, a suma funkcji nieparzystych jest nieparzysta ✓

Odpowiedź: Funkcja nieparzysta.

Krok z wyłączeniem minusa jest tu całą techniką. Zapis $-x^3 + 4x$ sam w sobie niczego nie rozstrzyga — dopiero po wyciągnięciu minusa widać, że to $-g(x)$ .

Przykład 3 Ani parzysta, ani nieparzysta

Zbadaj parzystość funkcji $h(x) = x^2 + x$ .

Dziedzina symetryczna ✓, więc badam warunki.
$h(-x) = (-x)^2 + (-x) = x^2 - x$ .
Czy $h(-x) = h(x)$ ? To znaczyłoby $x^2 - x = x^2 + x$ , czyli $-x = x$ — nieprawda poza zerem.
Czy $h(-x) = -h(x)$ ? To znaczyłoby $x^2 - x = -x^2 - x$ , czyli $x^2 = -x^2$ — też nieprawda poza zerem.
Funkcja jest więc ani parzysta, ani nieparzysta ✓
Najkrótsze uzasadnienie: $h(1) = \textcolor{#16A06A}{2}$ , a $h(-1) = \textcolor{#16A06A}{0}$ . Gdyby była parzysta, wyszłoby $2$ ; gdyby nieparzysta — $-2$ ✓
Kontrola regułą: to suma funkcji parzystej ( $x^2$ ) i nieparzystej ( $x$ ), a taka suma nie ma symetrii ✓

Odpowiedź: Ani parzysta, ani nieparzysta.

W rozwiązaniu wystarczy sam kontrprzykład z $x = 1$ — dwie liczby zamiast dwóch przekształceń. Pełny rachunek pokazuję tylko po to, żeby było widać, że kontrprzykład niczego nie pomija.

Przykład 4 Rozstrzyga dziedzina

Zbadaj parzystość funkcji $p(x) = \frac{1}{x - 2}$ .

Dziedzina: wszystkie liczby rzeczywiste poza $x = \textcolor{#16A06A}{2}$ .
Czy jest symetryczna? Liczba $-2$ do dziedziny należy, a $2$ — nie.
Warunek parzystości wymagałby porównania $p(2)$ z $p(-2)$ , a pierwsza z tych wartości nie istnieje.
Funkcja nie jest więc ani parzysta, ani nieparzysta — i rozstrzyga to sama dziedzina, bez podstawiania ✓
Kontrola przez wzór: $p(-x) = \frac{1}{-x-2} = -\frac{1}{x+2}$ , co nie równa się ani $p(x)$ , ani $-p(x)$ ✓
Kontrola liczbowa: $p(1) = -1$ , $p(-1) = -\frac13$ — ani równe, ani przeciwne ✓
Kontrola porównawcza: funkcja $\frac{1}{x}$ jest nieparzysta, więc problemem nie jest ułamek, tylko przesunięcie o $2$ ✓

Odpowiedź: Ani parzysta, ani nieparzysta — dziedzina nie jest symetryczna.

Ostatnia kontrola pokazuje mechanizm: przesunięcie wykresu w bok psuje symetrię względem osi $OY$ , bo oś zostaje na miejscu, a wykres nie.

6Najczęstsze błędy

Dwa pierwsze błędy dotyczą definicji, trzy kolejne — rachunku i wniosków.

Założenie, że każda funkcja jest parzysta albo nieparzysta.

Skąd się bierze: Nazwy sugerują podział wyczerpujący, jak przy liczbach.

Jak zrobić dobrze: Większość funkcji nie jest ani jedna, ani druga. Wystarczy jeden kontrprzykład, na przykład $h(1) = 2$ wobec $h(-1) = 0$ .

Pominięcie sprawdzenia dziedziny.

Skąd się bierze: Rachunek na wzorze wydaje się całą pracą.

Jak zrobić dobrze: Dziedzina musi być symetryczna. Dla $\frac{1}{x-2}$ pytanie o parzystość jest bezprzedmiotowe, choć wzór wygląda niewinnie.

Uznanie $f(-x) = -x^3 + 4x$ za dowód braku symetrii.

Skąd się bierze: Wyrażenie nie wygląda jak wyjściowe, więc odruchowo zamyka się sprawę.

Jak zrobić dobrze: Trzeba jeszcze wyłączyć minus: $-x^3 + 4x = -(x^3 - 4x)$ , czyli dokładnie $-g(x)$ . Funkcja jest nieparzysta.

Twierdzenie, że funkcja bywa parzysta i nieparzysta jednocześnie.

Skąd się bierze: Obie równości sprawdza się osobno i czasem obie wydają się spełnione w zerze.

Jak zrobić dobrze: Jedyną taką funkcją jest stale równa zeru. W innych przypadkach z obu warunków naraz wynikałoby $\textcolor{#9b1c14}{f(x) = -f(x)}$ dla wszystkich $x$ .

Mylenie parzystości funkcji z parzystością wykładnika w każdym składniku.

Skąd się bierze: Reguła „parzyste potęgi” działa dla jednomianów i bywa uogólniana za szeroko.

Jak zrobić dobrze: Reguła dotyczy sumy: wszystkie potęgi muszą być parzyste. W $x^2 + x$ jeden składnik psuje całość.

7Pytania i odpowiedzi

Jak sprawdzić, czy funkcja jest parzysta?

Najpierw upewnić się, że dziedzina jest symetryczna, a potem wstawić minus iks w miejsce iksa. Jeśli wynik jest identyczny ze wzorem wyjściowym, funkcja jest parzysta; jeśli jest jego przeciwieństwem — nieparzysta.

Czy funkcja może nie być ani parzysta, ani nieparzysta?

Tak i tak jest najczęściej. Wystarczy jeden argument, dla którego obie równości zawodzą — na przykład dla funkcji iks kwadrat plus iks wartości w jedynce i minus jedynce wynoszą dwa i zero.

Dlaczego dziedzina musi być symetryczna?

Bo warunek porównuje wartości w punktach iks i minus iks, więc oba muszą należeć do dziedziny. Jeśli jeden z nich wypada, porównania nie da się przeprowadzić i funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.

Jak parzystość wygląda na wykresie?

Funkcja parzysta ma wykres symetryczny względem osi pionowej, a nieparzysta — symetryczny względem początku układu, czyli niezmieniony po obrocie o sto osiemdziesiąt stopni.

Czy parzystość funkcji jest na maturze?

Nie, w podstawie programowej nie występuje. Warto ją jednak znać jako narzędzie: przy szkicowaniu wykresów pozwala narysować połowę i odbić, a przy sprawdzaniu wyników bywa najszybszą kontrolą.

Czytaj dalej

Symetrie wykresu funkcjiOdbicia $y = -f(x)$ i $y = f(-x)$ — parzystość to przypadek, gdy drugie z nich nic nie zmienia.Dziedzina funkcjiPierwszy krok każdego takiego zadania — bez symetrycznej dziedziny nie ma czego badać.Wykres funkcji cosinusNajbardziej znana funkcja parzysta; sinus dla odmiany jest nieparzysty.WielomianyPotęgi parzyste i nieparzyste w jednym wzorze — stąd bierze się nazwa całego pojęcia.Liczby parzyste i nieparzysteSkąd wzięła się nazwa: od parzystości wykładnika w jednomianach — $x^2$ jest parzysta, $x^3$ nieparzysta. To jednak tylko źródło nazwy, a **nie metoda**: sprawdzanie wykładników składnik po składniku zawodzi (błąd nr 5), a funkcje bez wykładników w ogóle się tak nie badają.

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.