Strona główna › Ułamki › Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych

Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych

Dodawanie ułamków ma jedną zasadę i jeden warunek. Zasada: dodajemy liczniki, mianownik zostaje bez zmian. Warunek: mianowniki muszą być takie same. Cała trudność, o którą rozbija się połowa klasy, siedzi w tym drugim zdaniu — i o niej jest większość tej strony.

Dział: UłamkiPoziom: klasy 4–6Zadań z E8: 6

Przejdź od razu do zadań (6) ↓

1Dlaczego mianowniki muszą być równe

Mianownik mówi, na ile równych części podzieliliśmy całość. Licznik mówi, ile takich części bierzemy. To rozróżnienie jest kluczem do wszystkiego, co niżej.

Wyobraź sobie tabliczkę czekolady podzieloną na osiem kostek. Jedna kostka to $\frac{1}{8}$ tabliczki. Jeśli zjesz trzy kostki, a potem jeszcze jedną — zjadłeś cztery kostki z ośmiu, czyli $\frac{4}{8}$ , a nie „cztery szesnaste”. Liczba kostek się zmieniła, ale wielkość jednej kostki nie. Dlatego mianownik zostaje.

Reguła w jednym zdaniu

Ułamki o tym samym mianowniku dodajemy i odejmujemy, licząc same liczniki:

\frac{\textcolor{#E0453A}{a}}{\textcolor{#16A06A}{c}} + \frac{\textcolor{#2F80D8}{b}}{\textcolor{#16A06A}{c}} = \frac{\textcolor{#E0453A}{a}+\textcolor{#2F80D8}{b}}{\textcolor{#16A06A}{c}}

Zielony mianownik jest w każdym miejscu ten sam — przepisujemy go bez zmian. Kolorowe liczniki to jedyne liczby, które biorą udział w rachunku.

A jeśli mianowniki są różne? Wtedy dodawanie nie ma sensu, dopóki go nie nadamy. Nie da się sensownie dodać trzech ósmych i jednej trzeciej, tak jak nie da się dodać trzech kostek czekolady do jednej ćwiartki jabłka — dopóki nie sprowadzimy obu do wspólnej miary.

2Ten sam mianownik — najprostszy przypadek

Tu nie ma czego wymyślać. Liczniki dodajemy albo odejmujemy, mianownik przepisujemy:

\frac{\textcolor{#E0453A}{3}}{\textcolor{#16A06A}{8}} + \frac{\textcolor{#2F80D8}{1}}{\textcolor{#16A06A}{8}} = \frac{\textcolor{#E0453A}{3}+\textcolor{#2F80D8}{1}}{\textcolor{#16A06A}{8}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}

Ostatni krok to skrócenie. Wynik $\frac{4}{8}$ nie jest błędny, ale na sprawdzianie prawie zawsze wymaga się postaci nieskracalnej — czyli takiej, w której licznika i mianownika nie da się już podzielić przez tę samą liczbę.

Przy odejmowaniu działa to identycznie:

\frac{\textcolor{#E0453A}{7}}{\textcolor{#16A06A}{10}} - \frac{\textcolor{#2F80D8}{3}}{\textcolor{#16A06A}{10}} = \frac{\textcolor{#E0453A}{7}-\textcolor{#2F80D8}{3}}{\textcolor{#16A06A}{10}} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}

Zwróć uwagę, że mianownik nigdy nie bierze udziału w dodawaniu. To jedyna informacja, którą trzeba zapamiętać w tym przypadku — i to na nią przypada najczęstszy błąd na świecie, opisany niżej.

3Różne mianowniki — wspólny mianownik krok po kroku

Gdy mianowniki są różne, trzeba je najpierw zrównać. Robimy to przez rozszerzanie: mnożymy licznik i mianownik przez tę samą liczbę. Ułamek nie zmienia wtedy wartości, zmienia tylko zapis — tak jak pół tabliczki to jednocześnie cztery kostki z ośmiu.

znajdź wspólny mianownik — najlepiej najmniejszą wspólną wielokrotność (NWW) obu mianowników,
rozszerz każdy ułamek do tego mianownika (licznik i mianownik mnożysz przez tę samą liczbę),
dodaj albo odejmij liczniki,
skróć wynik i, jeśli wyszedł ułamek niewłaściwy, wyłącz całości.

Przykład na $\frac{2}{3} + \frac{1}{4}$ : mianowniki to $3$ i $4$ , więc wspólny mianownik to $12$ . Pierwszy ułamek rozszerzamy razy $4$ , drugi razy $3$ :

\frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{\textcolor{#E0453A}{8}}{\textcolor{#16A06A}{12}} + \frac{\textcolor{#2F80D8}{3}}{\textcolor{#16A06A}{12}} = \frac{\textcolor{#E0453A}{8}+\textcolor{#2F80D8}{3}}{\textcolor{#16A06A}{12}} = \frac{11}{12}

Wspólnym mianownikiem może być każda wspólna wielokrotność, więc iloczyn mianowników zawsze zadziała — przy NWW liczby są tylko mniejsze i rzadziej trzeba skracać na końcu. Jak go szukać w trudniejszych przypadkach, co zrobić przy trzech ułamkach i czym NWW różni się od NWD, opisuję osobno: sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika.

Gdy jeden mianownik dzieli się przez drugi, sprawa jest jeszcze prostsza — wystarczy rozszerzyć jeden ułamek: $\frac{5}{6} - \frac{1}{3} = \frac{5}{6} - \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ .

4Liczby mieszane i pożyczanie całości

Liczba mieszana to całości i ułamek zapisane obok siebie, na przykład $2\frac{3}{5}$ . Przy dodawaniu można je potraktować na dwa sposoby i oba są dobre.

osobno całości, osobno ułamki — szybsze przy dodawaniu: $1\frac{1}{4} + 2\frac{1}{4} = 3\frac{2}{4} = 3\frac{1}{2}$ ,
zamiana na ułamki niewłaściwe — pewniejsze przy odejmowaniu: $1\frac{1}{4} = \frac{5}{4}$ , bo $1 \cdot 4 + 1 = 5$ .

Kłopot pojawia się przy odejmowaniu, gdy ułamek u góry jest mniejszy od tego u dołu — na przykład $5\frac{1}{4} - 2\frac{3}{4}$ . Nie da się odjąć $\frac{3}{4}$ od $\frac{1}{4}$ , więc trzeba pożyczyć jedną całość:

5\tfrac{1}{4} = 4 + 1 + \tfrac{1}{4} = 4 + \tfrac{4}{4} + \tfrac{1}{4} = 4\tfrac{5}{4}

Teraz odejmowanie jest zwyczajne: $4\frac{5}{4} - 2\frac{3}{4} = 2\frac{2}{4} = 2\frac{1}{2}$ .

Ta jedna pożyczona całość to dokładnie ta sama operacja co pożyczanie dziesiątki przy odejmowaniu pisemnym. Różnica jest taka, że tu pożyczamy nie dziesięć, tylko tyle, ile wynosi mianownik.

5Porządkowanie wyniku

Rachunek to nie koniec zadania. Wynik trzeba jeszcze doprowadzić do postaci, której oczekuje sprawdzający, a to zwykle dwie rzeczy.

Skrócenie — dzielimy licznik i mianownik przez tę samą liczbę, aż się nie da: $\frac{18}{24} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$ . Można też od razu podzielić przez największy wspólny dzielnik, czyli $6$ .

Wyłączenie całości — gdy licznik jest większy od mianownika: $\frac{11}{4} = 2\frac{3}{4}$ , bo $11 : 4 = 2$ reszty $3$ . Ułamek niewłaściwy nie jest błędem sam w sobie, ale w zadaniach z treścią („ile ciasta zostało?”) postać mieszana jest czytelniejsza.

Warto też na koniec zerknąć, czy wynik ma sens. Suma dwóch ułamków mniejszych od jedynki nie może przekroczyć dwóch. Różnica dwóch liczb dodatnich, z których pierwsza jest większa, musi być dodatnia. Takie sprawdzenie zajmuje trzy sekundy i wyłapuje pomyłkę w mianowniku.

6Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady w kolejności, w jakiej pojawiają się na sprawdzianie: ten sam mianownik, różne mianowniki, liczby mieszane z pożyczaniem.

Przykład 1 Ten sam mianownik

Oblicz $\frac{5}{12} + \frac{3}{12}$ i podaj wynik w postaci nieskracalnej.

Mianowniki są równe, więc od razu dodaję liczniki: $\frac{\textcolor{#E0453A}{5}}{\textcolor{#16A06A}{12}} + \frac{\textcolor{#2F80D8}{3}}{\textcolor{#16A06A}{12}} = \frac{\textcolor{#E0453A}{5}+\textcolor{#2F80D8}{3}}{\textcolor{#16A06A}{12}}$ .
$5 + 3 = 8$ , więc mam $\frac{8}{12}$ .
Skracam. Licznik i mianownik dzielą się przez $4$ : $8 : 4 = 2$ , $12 : 4 = 3$ .
Wychodzi $\frac{2}{3}$ — dalej się nie da, bo $2$ i $3$ nie mają wspólnego dzielnika większego od jedynki.
Kontrola sensu: oba składniki są mniejsze od $\frac{1}{2}$ , więc suma musi wyjść mniejsza od jedynki. $\frac{2}{3}$ pasuje ✓

Odpowiedź: $\frac{2}{3}$

Mianownik $12$ przeszedł przez cały rachunek nietknięty. Jeśli w Twoim rozwiązaniu mianownik się zmienił przed skracaniem — gdzieś jest błąd.

Przykład 2 Różne mianowniki

Oblicz $\frac{3}{4} - \frac{2}{6}$ .

Mianowniki są różne, więc szukam wspólnego. Wielokrotności $4$ to $4, 8, 12, \ldots$ , wielokrotności $6$ to $6, 12, \ldots$ — pierwsza wspólna to $12$ .
Rozszerzam pierwszy ułamek razy $3$ : $\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}$ .
Rozszerzam drugi razy $2$ : $\frac{2}{6} = \frac{2 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{4}{12}$ .
Teraz mianowniki są równe, więc odejmuję liczniki: $\frac{\textcolor{#E0453A}{9}}{\textcolor{#16A06A}{12}} - \frac{\textcolor{#2F80D8}{4}}{\textcolor{#16A06A}{12}} = \frac{\textcolor{#E0453A}{9}-\textcolor{#2F80D8}{4}}{\textcolor{#16A06A}{12}} = \frac{5}{12}$ .
Sprawdzam, czy da się skrócić: $5$ jest liczbą pierwszą, a $12$ nie dzieli się przez $5$ — nie da się.
Kontrola sensu: $\frac{3}{4}$ to trzy czwarte całości, a $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ to nieco ponad jedna trzecia — odejmuję więc od trzech czwartych mniej więcej jedną trzecią, co powinno zostawić niecałą połowę. Wynik $\frac{5}{12}$ jest o $\frac{1}{12}$ mniejszy od $\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ ✓

Odpowiedź: $\frac{5}{12}$

Można było też skrócić $\frac{2}{6}$ do $\frac{1}{3}$ na samym początku — wtedy wspólnym mianownikiem $4$ i $3$ też jest $12$ i wychodzi to samo. Skracanie przed rachunkiem prawie zawsze się opłaca.

Przykład 3 Liczby mieszane z pożyczaniem całości

Oblicz $6\frac{1}{3} - 2\frac{5}{6}$ .

Najpierw wspólny mianownik dla części ułamkowych. Szóstka dzieli się przez trójkę, więc wspólnym mianownikiem jest $6$ i wystarczy rozszerzyć pierwszy ułamek: $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$ . Zadanie to teraz $6\frac{2}{6} - 2\frac{5}{6}$ .
Sprawdzam, czy da się odjąć ułamki: $\frac{2}{6}$ jest mniejsze od $\frac{5}{6}$ , więc nie da się. Trzeba pożyczyć całość.
Pożyczam jedną całość z szóstki i zamieniam ją na szóste części: $1 = \frac{6}{6}$ , więc $6\frac{2}{6} = 5\frac{8}{6}$ , bo $\frac{6}{6} + \frac{2}{6} = \frac{8}{6}$ .
Teraz odejmuję osobno całości i osobno ułamki: $5 - 2 = 3$ oraz $\frac{\textcolor{#E0453A}{8}}{\textcolor{#16A06A}{6}} - \frac{\textcolor{#2F80D8}{5}}{\textcolor{#16A06A}{6}} = \frac{3}{6}$ .
Skracam część ułamkową: $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ .
Kontrola sensu: $6\frac{1}{3}$ to około $6{,}3$ , a $2\frac{5}{6}$ to około $2{,}8$ . Różnica powinna wynieść mniej więcej $3{,}5$ — i $3\frac{1}{2}$ dokładnie tym jest ✓

Odpowiedź: $3\frac{1}{2}$

Drugi sposób: zamienić obie liczby na ułamki niewłaściwe ( $\frac{38}{6}$ i $\frac{17}{6}$ ) i odjąć. Wyjdzie $\frac{21}{6} = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2}$ . Przy większych całościach ten sposób bywa żmudniejszy, ale nigdy nie wymaga pożyczania.

7Najczęstsze błędy

Cztery błędy, które w zeszytach widuję najczęściej. Trzy pierwsze biorą się z jednego nieporozumienia: że mianownik jest zwykłą liczbą do liczenia.

Dodawanie mianowników

Skąd się bierze: Zapis $\textcolor{#9b1c14}{\frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3}{10}}$ wygląda konsekwentnie — skoro dodajemy liczniki, to czemu nie mianowniki. Tyle że mianownik nie jest składnikiem, tylko jednostką: mówi, jak duża jest jedna część. Dodając mianowniki, twierdzimy, że po dołożeniu kawałka czekolady kostki zrobiły się mniejsze.

Jak zrobić dobrze: Powiedz sobie na głos: „dwie piąte plus jedna piąta to trzy piąte”. Słowo „piąte” pada w każdym składniku i w wyniku — dokładnie tak samo jak „jabłka” w zdaniu „dwa jabłka plus jedno jabłko to trzy jabłka”. Mianownik jest nazwą, a nazw się nie dodaje.

Rozszerzenie samego mianownika

Skąd się bierze: Uczeń sprowadza $\frac{2}{3}$ do dwunastu i pisze $\frac{2}{12}$ , bo pamięta, że mianownik ma się zmienić, a licznik „zostaje”. To zmniejsza ułamek czterokrotnie — z $\frac{2}{3}$ robi się $\frac{1}{6}$ — i cały dalszy rachunek jest już bezużyteczny.

Jak zrobić dobrze: Rozszerzanie to mnożenie całego ułamka przez jedynkę w przebraniu: $\frac{2}{3} = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{4} = \frac{8}{12}$ . Zapisuj tę jedynkę, dopóki nie wejdzie w krew — wtedy nie da się o liczniku zapomnieć.

Odejmowanie mniejszego ułamka od większego „na skróty”

Skąd się bierze: Przy $5\frac{1}{4} - 2\frac{3}{4}$ uczeń widzi, że $\frac{1}{4}$ jest za małe, więc odwraca kolejność i liczy $\frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4}$ , dopisując wynik do całości. Wychodzi $3\frac{1}{2}$ zamiast $2\frac{1}{2}$ — pomyłka o całą jedynkę, a rachunek wygląda porządnie.

Jak zrobić dobrze: Gdy górny ułamek jest mniejszy, pożycz całość i zamień ją na części: $5\frac{1}{4} = 4\frac{5}{4}$ . Jeśli pożyczanie sprawia kłopot, zamień obie liczby na ułamki niewłaściwe — ten sposób nigdy nie wymaga decyzji.

Oddanie wyniku bez skrócenia

Skąd się bierze: $\frac{4}{8}$ i $\frac{1}{2}$ to ta sama liczba, więc uczeń uznaje sprawę za zamkniętą. Tymczasem w kryteriach oceniania „postać nieskracalna” bywa osobnym warunkiem i za jej brak schodzi punkt, mimo poprawnego rachunku.

Jak zrobić dobrze: Wyrób sobie nawyk: po każdym wyniku zapytaj, czy licznik i mianownik mają wspólny dzielnik. Zacznij od $2$ , potem $3$ , potem $5$ — w zadaniach szkolnych to prawie zawsze wystarcza. I sprawdź, czy licznik nie jest większy od mianownika, bo wtedy trzeba jeszcze wyłączyć całości.

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — działania na ułamkach

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Kolor pokazuje, co w co się zamienia. Przy sprowadzaniu do wspólnego mianownika widać, przez ile rozszerzamy pierwszy ułamek, a przez ile drugi. Przy dzieleniu przez ułamek kolorem zaznaczamy ten, który się odwraca. W zwykłych rachunkach liczby zostają czarne.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2024)1 pktśrednie

Dane są dwie liczby

x

y

\;x = \dfrac{4}{5} \cdot \left(-\dfrac{4}{3}\right)\;

oraz

\;y = \dfrac{4}{5} + \left(-\dfrac{4}{3}\right)

. Uzupełnij zdania.

Liczba

y

jest liczbą AB.

A. ujemną
B. dodatnią

Liczba

x

jest CD od liczby

y

C. mniejsza
D. większa

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A, C

Liczba $x$ — mnożymy ułamki: licznik razy licznik, mianownik razy mianownik. $\dfrac{4}{5} \cdot \left(-\dfrac{4}{3}\right) = -\dfrac{16}{15}$ .
Liczba $y$ — dodajemy, więc potrzebny wspólny mianownik 15: $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{4}{5}} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{12}{15}}$ (razy 3), a $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{4}{3}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{20}{15}}$ (razy 5).
$y = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{12}{15}} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{20}{15}} = -\dfrac{8}{15}$ — liczba ujemna, odpowiedź A.
Porównujemy $x = -\dfrac{16}{15}$ z $y = -\dfrac{8}{15}$ . Mianowniki są takie same, więc patrzymy na liczniki.
Przy liczbach ujemnych większy licznik oznacza mniejszą liczbę: $-\dfrac{16}{15} < -\dfrac{8}{15}$ .
Zatem $x$ jest mniejsza od $y$ — odpowiedź C. Razem: A, C.

💡 Wskazówka: Przydatna obserwacja: mnożąc ułamek przez liczbę większą od 1 (a $\tfrac43 > 1$ ), oddalamy się od zera. Dlatego $x$ leży dalej w lewo niż $y$ .

⚠ Najczęstszy błąd: porównywanie liczb ujemnych „jak dodatnich” — czyli uznanie, że skoro $16 > 8$ , to $-\tfrac{16}{15} > -\tfrac{8}{15}$ . Na osi liczbowej jest odwrotnie.

Zadanie 2 (czerwiec 2023)1 pktśrednie

Z tasiemki o długości

\dfrac{2}{3}

m odcięto kawałek o długości pół metra. Dokończ zdanie.
Pozostała po odcięciu część tasiemki ma długość

A. mniejszą od 15 cm.
B. większą od 15 cm, ale mniejszą od 16 cm.
C. równą 16 cm.
D. większą od 16 cm, ale mniejszą od 17 cm.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Odejmujemy ułamki — wspólny mianownik dla 3 i 2 to 6.
$\textcolor{#16A06A}{\dfrac{2}{3}} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{4}{6}}$ (razy 2) oraz $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{2}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{6}}$ (razy 3).
$\textcolor{#16A06A}{\dfrac{4}{6}} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{6}} = \dfrac{1}{6}$ metra.
Zamieniamy na centymetry: $\dfrac{1}{6}$ m $= \dfrac{100}{6}$ cm $= 16\dfrac{2}{3}$ cm $\approx 16{,}67$ cm.
To liczba większa od 16, ale mniejsza od 17 — odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Nie zaokrąglaj za wcześnie. Gdyby ktoś przyjął $\tfrac23$ m $\approx 66$ cm, wyszłoby 16 cm i błędna odpowiedź C. Licz na ułamkach do samego końca.

⚠ Najczęstszy błąd: potraktowanie $\tfrac16$ m jako 16 cm (bo „szóstka”). $\tfrac16$ metra to $100 : 6 \approx 16{,}67$ cm — właśnie te dwie trzecie centymetra decydują o odpowiedzi.

Zadanie 3 (czerwiec 2022)1 pkttrudniejsze

Liczby

x

\left(-\dfrac{5}{6}\right)

y

są uporządkowane rosnąco. Liczba

y

jest o

0{,}5

większa od

\left(-\dfrac{5}{6}\right)

, a liczba

\left(-\dfrac{5}{6}\right)

jest o

0{,}5

większa od liczby

x

. Jakie wartości mają liczby

x

y

A. $x = -\dfrac{4}{3}$ i $y = -\dfrac{1}{3}$
B. $x = -\dfrac{7}{6}$ i $y = -\dfrac{1}{6}$
C. $x = -\dfrac{4}{3}$ i $y = -\dfrac{1}{2}$
D. $x = -\dfrac{7}{6}$ i $y = -\dfrac{1}{3}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Zamieniamy $0{,}5$ na ułamek o mianowniku 6, żeby wszystko liczyć w jednej „walucie”: $0{,}5 = \tfrac12 = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{6}}$ .
Liczba $y$ jest o $0{,}5$ większa, więc dodajemy: $y = \textcolor{#16A06A}{-\dfrac{5}{6}} + \textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{6}} = -\dfrac{2}{6} = -\dfrac{1}{3}$ .
Liczba $x$ — tu uwaga na kierunek. To $-\tfrac56$ jest większe od $x$ , więc $x$ jest mniejsze: odejmujemy.
$x = \textcolor{#16A06A}{-\dfrac{5}{6}} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{6}} = -\dfrac{8}{6} = -\dfrac{4}{3}$ .
Zatem $x = -\dfrac43$ i $y = -\dfrac13$ — odpowiedź A.
Kontrola: $-\dfrac43 < -\dfrac56 < -\dfrac13$ , czyli liczby są uporządkowane rosnąco ✓

💡 Wskazówka: Wynik zawsze skracaj do końca — $-\tfrac26$ to $-\tfrac13$ , a $-\tfrac86$ to $-\tfrac43$ . Odpowiedzi w arkuszu są podane w postaci skróconej.

⚠ Najczęstszy błąd: pomylenie kierunku przy liczbie $x$ i dodanie zamiast odjęcia. Zdanie brzmi „ $-\tfrac56$ jest większa od $x$ ”, czyli $x$ leży na lewo — trzeba odjąć.

Zadanie 4 (maj 2022)1 pktśrednie

Dokończ zdanie.
Wartość wyrażenia

\dfrac{4^2}{5} - 3^2

jest równa

A. $-\dfrac{29}{5}$
B. $-\dfrac{22}{5}$
C. $\dfrac{7}{5}$
D. $\dfrac{61}{5}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Najpierw potęgi: $4^2 = 16$ oraz $3^2 = 9$ . Wyrażenie to $\dfrac{16}{5} - 9$ .
Żeby odjąć, zapisujemy 9 jako ułamek o mianowniku 5: $9 = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{45}{5}}$ .
$\textcolor{#16A06A}{\dfrac{16}{5}} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{45}{5}} = -\dfrac{29}{5}$ .
Odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Kontrola sensu: $\tfrac{16}{5}$ to nieco ponad 3, a odejmujemy 9 — wynik musi być ujemny i bliski $-6$ . Odpowiedzi C i D odpadają od razu.

⚠ Uwaga na zapis $\dfrac{4^2}{5}$ — kwadrat dotyczy tylko czwórki, nie całego ułamka. Gdyby podnieść do kwadratu cały ułamek, wyszłoby $\tfrac{16}{25}$ i zupełnie inny wynik.

Zadanie 5 (maj 2021)1 pktśrednie

Uzupełnij zdania.

Wartość wyrażenia

\dfrac{3}{7} + \dfrac{3}{5}

jest liczbą AB.

A. mniejszą od 1
B. większą od 1

Wartość wyrażenia

\dfrac{3}{7} - \dfrac{3}{5}

jest liczbą CD.

C. ujemną
D. dodatnią

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, C

Wspólny mianownik dla 7 i 5 to 35. Rozszerzamy: $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{3}{7}} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{15}{35}}$ (razy 5), a $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{5}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{21}{35}}$ (razy 7).
Suma: $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{15}{35}} + \textcolor{#E0453A}{\dfrac{21}{35}} = \dfrac{36}{35} > 1$ — odpowiedź B.
Różnica: $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{15}{35}} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{21}{35}} = -\dfrac{6}{35}$ — liczba ujemna, odpowiedź C.
Razem: B, C.

💡 Wskazówka: Można odpowiedzieć bez liczenia. Ułamki mają ten sam licznik, więc większy jest ten o mniejszym mianowniku: $\tfrac35 > \tfrac37$ . Skoro odejmujemy większy od mniejszego — wynik ujemny. A skoro $\tfrac35$ to ponad połowa i $\tfrac37$ też ponad jedną trzecią — suma przekracza 1.

⚠ Najczęstszy błąd: dodawanie „licznik do licznika, mianownik do mianownika” ( $\tfrac{3}{7} + \tfrac{3}{5} = \tfrac{6}{12}$ ). Tak się ułamków nie dodaje — potrzebny jest wspólny mianownik.

Zadania otwarte

Zadanie 6 (maj 2021)2 pktśrednie

Paweł powiedział, że podzieli tabliczkę czekolady w taki sposób, że bratu przypadnie

\dfrac{1}{2}

całej tabliczki, siostrze

\dfrac{5}{12}

całej tabliczki, a jemu

\dfrac{1}{6}

całej tabliczki. Czy taki podział tabliczki czekolady jest możliwy? Uzasadnij swoją odpowiedź.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: Nie — części sumują się do 13/12, czyli więcej niż cała tabliczka

Cała tabliczka to jedna całość, czyli 1. Sprawdzamy więc, ile daje suma wszystkich trzech części.
Wspólny mianownik dla 2, 12 i 6 to 12. Rozszerzamy każdy ułamek:
$\textcolor{#16A06A}{\dfrac{1}{2}} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{6}{12}}$ (razy 6) · $\dfrac{5}{12}$ zostaje bez zmian · $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{6}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{2}{12}}$ (razy 2).
Sumujemy: $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{6}{12}} + \dfrac{5}{12} + \textcolor{#E0453A}{\dfrac{2}{12}} = \dfrac{13}{12}$ .
Otrzymaliśmy $\dfrac{13}{12} = 1\dfrac{1}{12}$ , czyli więcej niż całą tabliczkę.
Odpowiedź: taki podział nie jest możliwy — Pawłowi zabrakłoby $\dfrac{1}{12}$ tabliczki, bo obiecał łącznie więcej, niż ma.

💡 Wskazówka: W zadaniach „czy taki podział jest możliwy” zawsze sprawdzaj, czy części sumują się do dokładnie 1. Mniej niż 1 oznacza, że coś zostaje; więcej — że podział jest niewykonalny.

⚠ Za samą odpowiedź „nie” bez obliczeń komisja nie przyzna punktów. Trzeba pokazać sumę $\tfrac{13}{12}$ i wyraźnie napisać, że to więcej niż jedna całość.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. A, C

2. D

3. A

4. A

5. B, C

6. Nie — części sumują się do 13/12, czyli więcej niż cała tabliczka

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

8Pytania i odpowiedzi

Jak dodawać ułamki o różnych mianownikach?

Najpierw sprowadź je do wspólnego mianownika, czyli takiej liczby, przez którą dzielą się oba mianowniki — najwygodniej do ich najmniejszej wspólnej wielokrotności. Każdy ułamek rozszerz, mnożąc licznik i mianownik przez tę samą liczbę. Dopiero potem dodaj liczniki, a mianownik przepisz bez zmian.

Jak odejmujemy ułamki?

Dokładnie tak samo jak dodajemy, tylko ze znakiem minus: przy równych mianownikach odejmujemy liczniki i przepisujemy mianownik, przy różnych najpierw sprowadzamy do wspólnego mianownika. Jedyna dodatkowa sytuacja to liczby mieszane, w których górny ułamek jest mniejszy od dolnego — wtedy trzeba pożyczyć jedną całość.

Czy wspólnym mianownikiem musi być NWW?

Nie musi. Każda wspólna wielokrotność zadziała, więc zwykły iloczyn mianowników zawsze jest bezpiecznym wyborem. NWW ma tę zaletę, że liczby zostają małe i wynik częściej wychodzi od razu nieskracalny. Jeśli szukanie NWW zabiera więcej czasu niż samo zadanie, mnóż mianowniki i pamiętaj o skróceniu na końcu.

Jak dodawać ułamki z całościami?

Są dwa równie dobre sposoby. Możesz dodać osobno całości i osobno części ułamkowe, a potem uporządkować wynik. Możesz też zamienić liczby mieszane na ułamki niewłaściwe i policzyć wszystko naraz. Przy dodawaniu wygodniejszy bywa pierwszy sposób, przy odejmowaniu — drugi, bo nie wymaga pożyczania całości.

Kiedy trzeba pożyczyć całość?

Tylko przy odejmowaniu liczb mieszanych i tylko wtedy, gdy ułamek w odjemnej jest mniejszy od ułamka w odjemniku, na przykład w $5\frac{1}{4} - 2\frac{3}{4}$ . Pożyczoną całość zamieniamy na tyle części, ile wynosi mianownik: $1 = \frac{4}{4}$ , więc $5\frac{1}{4}$ staje się $4\frac{5}{4}$ i odejmowanie da się już wykonać zwyczajnie.

Jak sprawdzić, czy wynik jest dobry?

Oszacuj go przed rachunkiem albo po nim. Zamień ułamki na liczby dziesiętne z grubsza: $\frac{1}{3}$ to około $0{,}33$ , a $\frac{5}{6}$ to około $0{,}83$ . Jeśli oszacowanie i wynik różnią się o rząd wielkości, błąd prawie zawsze siedzi w mianowniku. Sprawdź też, czy wynik jest skrócony do końca.

Na czym polega dodawanie ułamków zwykłych?

Dodawanie ułamków zwykłych wymaga wspólnego mianownika. Gdy mianowniki są równe, dodajemy same liczniki i mianownik przepisujemy. Gdy są różne, najpierw sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika, a dopiero potem dodajemy liczniki.

Czytaj dalej

Działania na ułamkachHub działu: mnożenie, dzielenie, skracanie i wszystko pozostałe Ułamki na egzaminie ósmoklasisty24 zadania z arkuszy CKE z rozwiązaniami krok po kroku Wspólny mianownikNWW i rozszerzanie ułamków — najtrudniejszy krok osobno Ułamki zwykłe od podstawLicznik, mianownik, ułamki właściwe i niewłaściwe

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych

1Dlaczego mianowniki muszą być równe

2Ten sam mianownik — najprostszy przypadek

3Różne mianowniki — wspólny mianownik krok po kroku

4Liczby mieszane i pożyczanie całości

5Porządkowanie wyniku

6Przykłady krok po kroku

7Najczęstsze błędy

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — działania na ułamkach

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2024)1 pktśrednie

Zadanie 2 (czerwiec 2023)1 pktśrednie

Zadanie 3 (czerwiec 2022)1 pkttrudniejsze

Zadanie 4 (maj 2022)1 pktśrednie

Zadanie 5 (maj 2021)1 pktśrednie

Zadania otwarte

Zadanie 6 (maj 2021)2 pktśrednie

Odpowiedzi

8Pytania i odpowiedzi

Czytaj dalej

Kolorowy kod

Koncentracja
krok po kroku

Połącz te same kolory

Koncentracja
krok po kroku