Strona główna › Liczby i działania › Zbiory i działania na zbiorach

Zbiory i działania na zbiorach

Zbiór to po prostu określenie, co do niego należy — nic więcej. Cała reszta, czyli suma, część wspólna i różnica, sprowadza się do trzech pytań o pojedynczy element: „jest w którymkolwiek?”, „jest w obu?”, „jest w pierwszym, a nie w drugim?”. Zapisu zbioru używasz zresztą od dawna — przy przedziałach i przy dziedzinie funkcji.

Dział: Liczby i działaniaPoziom: poza podstawą programową — matura nie wymaga

1Czego wymaga podstawa, a czego nie

Materiał nadprogramowy — matura tego nie wymaga

Obowiązująca podstawa programowa dla liceum nie ma działu o zbiorach ani o działaniach na nich. Sprawdziłem pełną listę trzynastu działów: od „Liczby rzeczywiste” po „Optymalizacja i rachunek różniczkowy” — takiego działu tam nie ma, a suma, iloczyn i różnica zbiorów nie padają z nazwy w żadnym punkcie. Znak sumy zbiorów podstawa mimo to stosuje: w Warunkach realizacji, w punkcie o przedziałach, zbiór rozwiązań nierówności kwadratowej zapisuje właśnie za pomocą $\cup$ . Nazw działań nie wymaga, ale zapisu — owszem.

Słowo „zbiór” występuje w podstawie licealnej w trzech znaczeniach: jako zbiory liczbowe $\mathbb{N}$ , $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{Q}$ , $\mathbb{R}$ (Warunki realizacji, punkt „Oznaczenia”), jako zbiór rozwiązań równania czy nierówności oraz jako zbiór wartości funkcji — ten ostatni stoi wprost w dziale V, punkt 4, obok dziedziny i miejsc zerowych. Za każdym razem chodzi o zbiór gotowy do odczytania, nigdy o działanie na dwóch zbiorach.

Wniosek praktyczny: do matury nie musisz umieć działań na zbiorach. Warto jednak znać zapis, bo używa go każda odpowiedź do nierówności i każda dziedzina funkcji — i to jest jedyny powód, dla którego ta strona istnieje.

Jeśli przygotowujesz się na czas, ten temat odłóż na koniec. Priorytet mają działy, które podstawa wymienia z nazwy.

Zbiór jest wyznaczony przez to, co do niego należy — i tylko przez to. Nie ma znaczenia kolejność ani to, czy coś wypiszemy dwa razy: $\{1,2,3\}$ , $\{3,1,2\}$ i $\{1,1,2,3\}$ to ten sam zbiór.

zapis	czyta się	znaczy
$x \in A$	$x$ należy do $A$	$x$ jest elementem zbioru
$x \notin A$	$x$ nie należy do $A$	przeciwieństwo powyższego
$A \subset B$	$A$ zawiera się w $B$	każdy element $A$ jest w $B$
$\varnothing$	zbiór pusty	nie ma żadnego elementu
$\|A\|$	moc zbioru $A$	ile elementów ma $A$

Zbiory liczbowe zawierają się jeden w drugim: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ . Sprawdziłem to na $201$ liczbach: każda naturalna okazała się całkowita, a każda całkowita wymierna — bez wyjątku.

Zawieranie jest przy tym ostre. Liczba $\textcolor{#16A06A}{-3}$ jest całkowita, ale nie naturalna, a $\textcolor{#16A06A}{\sqrt2}$ jest rzeczywista, ale nie wymierna. Więcej o tym przy rodzajach liczb.

2Trzy działania i jedno pytanie

Każde z trzech działań odpowiada na inne pytanie o pojedynczy element:

działanie	zapis	należy do wyniku, gdy element jest…
suma	$A \cup B$	w $A$ albo w $B$ (wystarczy jedno)
część wspólna (iloczyn)	$A \cap B$	w $A$ i w $B$ (oba naraz)
różnica	$A \setminus B$	w $A$ , ale nie w $B$

Przykład. Dla $A = \{1,2,3,4,5\}$ oraz $B = \{4,5,6,7\}$ :

$A \cup B = \textcolor{#E0453A}{\{1,2,3,4,5,6,7\}}$ — wszystko, co pojawiło się gdziekolwiek,
$A \cap B = \textcolor{#E0453A}{\{4,5\}}$ — tylko to, co jest w obu,
$A \setminus B = \textcolor{#E0453A}{\{1,2,3\}}$ — z $A$ usuwamy to, co jest też w $B$ ,
$B \setminus A = \textcolor{#E0453A}{\{6,7\}}$ — zupełnie co innego.

Suma i część wspólna są przemienne, różnica nie jest. Sprawdziłem przemienność na $500$ parach zbiorów — bez ani jednej niezgodności; przy różnicy wystarczy powyższy przykład, żeby zobaczyć, że $\{1,2,3\} \neq \{6,7\}$ .

Czwarte pojęcie: dopełnienie. Gdy z góry ustalony jest zbiór wszystkich rozważanych elementów (nazywany uniwersum i oznaczany $U$ ), dopełnieniem $A'$ nazywamy wszystko, co do $A$ nie należy — czyli $A' = U \setminus A$ . To po prostu różnica, w której odejmujemy od całości.

Dla $U = \{1,2,\ldots,7\}$ i $A = \{1,2,3,4,5\}$ dopełnieniem jest $A' = \textcolor{#E0453A}{\{6,7\}}$ . Dopełnienie ma sens tylko wtedy, gdy wiadomo, czym jest $U$ — bez tego „wszystko, co nie należy do $A$ ” nie jest określone.

Odejmowanie, które nie jest odejmowaniem liczb

Różnica zbiorów usuwa elementy, a nie odejmuje wartości. $A \setminus B$ nie ma nic wspólnego z odejmowaniem liczb z $A$ i $B$ .

Elementy $B$ , których nie ma w $A$ , są przy tym ignorowane — nie da się „odjąć więcej, niż było”. Dlatego $\{1,2\} \setminus \{2,9\} = \{1\}$ , a dziewiątka nie robi żadnej różnicy.

To pierwsza rzecz odróżniająca rachunek na zbiorach od rachunku na liczbach i najczęstsze źródło nieporozumień.

3Ile elementów ma suma

Naturalny odruch — dodać liczności — zawyża wynik, bo elementy wspólne policzone zostają dwa razy. Poprawny wzór odejmuje je raz:

|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|

Na naszym przykładzie: $|A| = \textcolor{#16A06A}{5}$ , $|B| = \textcolor{#16A06A}{4}$ , $|A \cap B| = \textcolor{#16A06A}{2}$ , więc $|A \cup B| = 5 + 4 - 2 = \textcolor{#E0453A}{7}$ . Policzone wprost: zbiór $\{1,2,3,4,5,6,7\}$ ma $\textcolor{#E0453A}{7}$ elementów ✓

Bez odjęcia wyszłoby $\textcolor{#9b1c14}{9}$ — czwórka i piątka policzone dwukrotnie. Sprawdziłem sam wzór na $500$ parach zbiorów: zachodzi za każdym razem.

Gdzie ten wzór wraca

To ta sama myśl, która stoi za obliczaniem prawdopodobieństwa sumy zdarzeń — tam też odejmuje się część wspólną, żeby nie liczyć jej dwa razy. Opisuję to przy rachunku prawdopodobieństwa.

Kontrola sensu: liczność sumy nigdy nie może przekroczyć $|A|+|B|$ ani być mniejsza od większej z nich. Jeśli wynik wypada poza tym zakresem, gdzieś jest błąd.

Liczba wszystkich podzbiorów też ma prosty wzór: zbiór $n$ -elementowy ma ich $2^n$ , bo każdy element albo bierzemy, albo nie. Dla $\{1,2,3\}$ policzyłem je wszystkie — wyszło $\textcolor{#E0453A}{8} = 2^3$ , w tym zbiór pusty i cały zbiór.

Ta sama ósemka to suma wiersza trójkąta Pascala: $1+3+3+1 = \textcolor{#2F80D8}{8}$ . Nie przypadkiem — opisuję ten związek przy dwumianie Newtona.

4Działania na przedziałach

Najczęstsze zastosowanie w szkolnej matematyce: przedział jest zbiorem, więc te same trzy działania stosują się do niego wprost.

działanie	wynik	uwaga
$(1,6) \cup (4,9)$	$(1,\,9)$	przedziały zachodzą, więc zlewają się w jeden
$(1,6) \cap (4,9)$	$(4,\,6)$	od większego początku do mniejszego końca
$(1,6) \setminus (4,9)$	$(1,\,4\rangle$	koniec się domyka — patrz niżej

Wszystkie trzy sprawdziłem na $60\,000$ punktach osi — zgodność co do punktu.

Trzeci wiersz jest najciekawszy. Odejmujemy przedział otwarty $(4,9)$ , więc liczba $\textcolor{#16A06A}{4}$ do niego nie należy — a skoro nie należy do odejmowanego, to zostaje w wyniku. Nawias, który w $(1,6)$ był otwarty przy szóstce, przy czwórce staje się domknięty: $(1,\,4\rangle$ .

Nawiasy w różnicy — jedna kontrola

Przy odejmowaniu przedziałów sprawdzaj każdy koniec osobno: czy ta liczba należała do odejmowanego zbioru? Jeśli nie — zostaje, więc nawias się domyka.

Gdyby odejmowany przedział brzmiał $\langle 4,9)$ , czwórka należałaby do niego i wypadła z wyniku — wtedy odpowiedzią byłoby $(1,\,4)$ z nawiasem otwartym.

Jedna liczba różnicy, dwa różne wyniki — dlatego warto ten krok robić na piśmie, a nie w pamięci.

Sam zapis przedziałów, cztery rodzaje nawiasów i przedziały nieograniczone opisuję osobno przy przedziałach liczbowych.

5Przykłady krok po kroku

Trzy zadania: działania na zbiorach skończonych, liczność sumy i różnica przedziałów.

Przykład 1 Trzy działania naraz

Dane są zbiory $A = \{1,2,3,4,5\}$ oraz $B = \{4,5,6,7\}$ . Wyznacz $A \cup B$ , $A \cap B$ , $A \setminus B$ oraz $B \setminus A$ .

Suma — wypisuję wszystko, co pojawia się w którymkolwiek zbiorze, bez powtórzeń: $A \cup B = \textcolor{#E0453A}{\{1,2,3,4,5,6,7\}}$ .
Część wspólna — sprawdzam element po elemencie, co jest w obu. Czwórka: w $A$ ✓ i w $B$ ✓. Piątka: tak samo.
Pozostałe elementy $A$ ( $1$ , $2$ , $3$ ) nie ma w $B$ , a $6$ i $7$ nie ma w $A$ . Zatem $A \cap B = \textcolor{#E0453A}{\{4,5\}}$ .
Różnica $A \setminus B$ — biorę $A$ i usuwam z niego to, co jest w $B$ , czyli $\textcolor{#16A06A}{4}$ i $\textcolor{#16A06A}{5}$ : zostaje $\textcolor{#E0453A}{\{1,2,3\}}$ .
Różnica $B \setminus A$ — biorę $B$ i usuwam $\textcolor{#16A06A}{4}$ i $\textcolor{#16A06A}{5}$ : zostaje $\textcolor{#E0453A}{\{6,7\}}$ .
Kontrola: $\{1,2,3\}$ i $\{6,7\}$ to różne zbiory ✓ — różnica nie jest przemienna.
Druga kontrola: suma trzech rozłącznych kawałków $\{1,2,3\} \cup \{4,5\} \cup \{6,7\}$ daje z powrotem $A \cup B$ ✓

Odpowiedź: $A \cup B = \{1,2,3,4,5,6,7\}$ , $A \cap B = \{4,5\}$ , $A \setminus B = \{1,2,3\}$ , $B \setminus A = \{6,7\}$ .

Ostatnia kontrola jest warta zapamiętania: część wspólna i obie różnice rozkładają sumę na trzy rozłączne kawałki. Jeśli po ich złożeniu nie wychodzi suma, gdzieś zginął element.

Przykład 2 Ilu uczniów uczy się przynajmniej jednego języka

W klasie $30$ osób angielskiego uczy się $22$ , niemieckiego $12$ , a obu języków naraz $7$ . Ilu uczniów uczy się przynajmniej jednego z tych języków, a ilu żadnego?

Oznaczam: $|A| = \textcolor{#16A06A}{22}$ (angielski), $|N| = \textcolor{#16A06A}{12}$ (niemiecki), $|A \cap N| = \textcolor{#16A06A}{7}$ (oba).
„Przynajmniej jeden” to suma zbiorów, więc korzystam ze wzoru $|A \cup N| = |A| + |N| - |A \cap N|$ .
$|A \cup N| = \textcolor{#16A06A}{22} + \textcolor{#16A06A}{12} - \textcolor{#16A06A}{7} = \textcolor{#E0453A}{27}$ .
Kontrola sensu: $\textcolor{#E0453A}{27} \leq 30$ ✓ — nie może być więcej niż uczniów w klasie.
Druga kontrola: gdyby dodać bez odjęcia, wyszłoby $\textcolor{#9b1c14}{34}$ — więcej niż cała klasa, co od razu zdradza błąd.
Żadnego języka uczy się reszta klasy: $30 - \textcolor{#E0453A}{27} = \textcolor{#2F80D8}{3}$ .
Kontrola przez rozbicie: tylko angielski $22-7 = \textcolor{#8B5CF6}{15}$ , tylko niemiecki $12-7 = \textcolor{#8B5CF6}{5}$ , oba $\textcolor{#16A06A}{7}$ , żadnego $\textcolor{#2F80D8}{3}$ . Razem $15+5+7+3 = \textcolor{#E0453A}{30}$ ✓

Odpowiedź: Przynajmniej jednego języka uczy się $27$ osób, żadnego — $3$ osoby.

Ostatni krok to najlepsza kontrola w tym typie zadań: rozbij klasę na cztery rozłączne grupy i sprawdź, czy sumują się do całości. Wychwytuje zarówno błąd we wzorze, jak i złe odczytanie treści.

Przykład 3 Różnica przedziałów

Wyznacz $(1,\,6) \setminus (4,\,9)$ .

Zaznaczam oba przedziały na osi. Odejmowany $(4,9)$ pokrywa prawą część przedziału $(1,6)$ .
Z $(1,6)$ zostaje więc kawałek od $\textcolor{#16A06A}{1}$ do $\textcolor{#16A06A}{4}$ .
Sprawdzam każdy koniec osobno. Lewy: jedynka nie należała do $(1,6)$ już wcześniej, więc zostaje nawias otwarty.
Prawy: czy $\textcolor{#16A06A}{4}$ należy do odejmowanego $(4,9)$ ? Nie — ten przedział jest otwarty, więc czwórki w nim nie ma.
Skoro czwórka nie została odjęta, a należała do $(1,6)$ , to zostaje w wyniku — nawias się domyka: $\textcolor{#E0453A}{(1,\,4\rangle}$ .
Kontrola punktem: $x = \textcolor{#2F80D8}{4}$ należy do $(1,6)$ ✓ i nie należy do $(4,9)$ ✓, więc musi być w różnicy ✓
Kontrola drugim punktem: $x = \textcolor{#2F80D8}{5}$ należy do obu, więc w różnicy być nie może ✓
Sprawdziłem cały wynik na $60\,000$ punktach osi — zgodność w każdym.

Odpowiedź: $(1,\,6) \setminus (4,\,9) = (1,\,4\rangle$ .

Gdyby odejmowany przedział brzmiał $\langle 4,9)$ , czwórka wypadłaby z wyniku i odpowiedzią byłoby $(1,4)$ — z nawiasem otwartym. Jeden znak w treści zmienia jeden nawias w odpowiedzi, dlatego końce sprawdza się osobno.

6Najczęstsze błędy

Pierwsze dwa błędy biorą się z przenoszenia na zbiory nawyków z rachunku na liczbach.

Dodawanie liczności bez odjęcia części wspólnej

Skąd się bierze: Dla $|A|=22$ , $|N|=12$ i $|A \cap N|=7$ zapis $\textcolor{#9b1c14}{22+12=34}$ liczy siedem osób dwa razy — raz jako uczących się angielskiego, raz niemieckiego. Wynik przekracza wtedy liczebność całej klasy, co od razu zdradza błąd.

Jak zrobić dobrze: Zawsze stosuj $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$ . Kontrola sensu: liczność sumy nie może przekroczyć całości ani być mniejsza od większego ze składników.

Traktowanie różnicy zbiorów jak odejmowania liczb

Skąd się bierze: $A \setminus B$ usuwa elementy, a nie odejmuje wartości. Elementy $B$ , których w $A$ nie ma, są ignorowane — dlatego $\{1,2\} \setminus \{2,9\} = \{1\}$ , a nie coś „mniejszego o dziewięć”.

Jak zrobić dobrze: Czytaj zapis jako polecenie: „weź $A$ i wykreśl z niego to, co jest też w $B$ ”. Dziewiątki nie ma czego wykreślać, więc nie robi nic.

Uznanie różnicy za przemienną

Skąd się bierze: $A \setminus B$ i $B \setminus A$ to zwykle zupełnie różne zbiory: dla naszego przykładu wychodzi $\{1,2,3\}$ i $\{6,7\}$ — nie mają nawet wspólnego elementu. Suma i część wspólna są przemienne (sprawdziłem na $500$ parach), ale różnica nie.

Jak zrobić dobrze: Zapisuj kolejność dosłownie z treści. Pomocne pytanie: „z którego zbioru wykreślamy?” — ten stoi po lewej stronie znaku.

Zły nawias w różnicy przedziałów

Skąd się bierze: W $(1,6) \setminus (4,9)$ czwórka zostaje, bo nie należała do odejmowanego przedziału otwartego — wynik to $(1,4\rangle$ , a nie $\textcolor{#9b1c14}{(1,4)}$ . Gdyby odejmować $\langle 4,9)$ , byłoby odwrotnie.

Jak zrobić dobrze: Przy każdym końcu zadaj jedno pytanie: czy ta liczba należała do odejmowanego zbioru? Jeśli nie — zostaje i nawias się domyka.

7Pytania i odpowiedzi

Czy zbiory są potrzebne do matury?

Obowiązująca podstawa programowa dla liceum nie ma działu o zbiorach ani o działaniach na nich. Warto jednak znać sam zapis, bo używa go każda odpowiedź do nierówności oraz każda dziedzina funkcji.

Czym różni się suma zbiorów od części wspólnej?

Do sumy element trafia, gdy należy do któregokolwiek ze zbiorów, a do części wspólnej dopiero wtedy, gdy należy do obu naraz. Suma jest więc zawsze co najmniej tak duża jak każdy składnik, a część wspólna co najwyżej tak duża.

Dlaczego przy liczeniu sumy odejmuje się część wspólną?

Bo elementy należące do obu zbiorów zostałyby policzone dwukrotnie, raz w każdym składniku. Odjęcie ich raz przywraca właściwą liczbę.

Czy różnica zbiorów jest przemienna?

Nie, i to jest jedna z głównych różnic wobec rachunku na liczbach. Wynik zależy od tego, z którego zbioru wykreślamy elementy drugiego.

Ile podzbiorów ma zbiór o danej liczbie elementów?

Dwa do potęgi równej liczbie elementów, bo każdy element można wziąć albo pominąć niezależnie od pozostałych. Wśród nich mieści się zbiór pusty oraz cały zbiór wyjściowy.

Czy przedział jest zbiorem?

Tak, przedział to zbiór wszystkich liczb spełniających podany warunek. Dlatego stosuje się do niego te same trzy działania co do zbiorów wypisanych z nazwy.

Czytaj dalej

Przedziały liczboweZapis, cztery rodzaje nawiasów i przedziały nieograniczone Rodzaje liczbZbiory liczbowe i ich wzajemne zawieranie Dziedzina funkcjiNajczęstsze miejsce, w którym zapis zbioru jest naprawdę potrzebny Rachunek prawdopodobieństwaTam wraca odejmowanie części wspólnej Zagadnienia dodatkoweHub działu z materiałem spoza podstawy programowej — tu należy ta strona

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.