Strona główna › Wyrażenia algebraiczne › Przekształcanie wzorów — wyznaczanie dowolnej wielkości

Przekształcanie wzorów — wyznaczanie dowolnej wielkości

Wzór to równanie zapisane literami — i to jest cała tajemnica. Skoro tak, to przekształca się go dokładnie tymi samymi ruchami, co równanie z jedną niewiadomą. Ta strona pokazuje metodę odwijania, która działa zawsze, i dwie kontrole pozwalające sprawdzić wynik bez zaglądania do odpowiedzi.

Dział: Wyrażenia algebraicznePoziom: klasa 7 – maturaZadań z E8: 13

Przejdź od razu do zadań (13) ↓

1Wzór to równanie z literami

W równaniu $2x + 3 = 11$ szukamy $x$ . We wzorze $P = a \cdot b$ możemy szukać $a$ — i robimy to identycznie.

Jedyna różnica polega na tym, że zamiast liczb mamy litery, więc wynik nie jest liczbą, tylko nowym wzorem.

To bywa źródłem oporu: uczeń oczekuje konkretnej wartości i nie ufa odpowiedzi, w której nadal są litery. Tymczasem taki wynik jest pełnoprawny i często bardziej użyteczny — działa dla wszystkich przypadków naraz.

Zasada, na której wszystko się opiera: cokolwiek robimy z jedną stroną równania, musimy zrobić z drugą. Równość zostaje zachowana.

Wolno dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić obustronnie. Dzielić tylko przez wielkość różną od zera — w zadaniach fizycznych i geometrycznych zwykle jest to spełnione, bo długości i czasy są dodatnie.

2Metoda odwijania

Najskuteczniejszy sposób: patrz na to, co opakowuje szukaną literę, i zdejmuj warstwy od zewnątrz.

Obraz jest dosłowny — jak przy rozpakowywaniu prezentu. Najpierw zdejmuje się to, co na wierzchu.

Kolejność zdejmowania jest odwrotna do kolejności działań. Skoro przy liczeniu najpierw mnożymy, a potem dodajemy, to przy odwijaniu najpierw usuwamy dodawanie, a potem mnożenie.

coś jest dodane do szukanej litery → odejmij obustronnie,
coś jest odjęte → dodaj obustronnie,
szukana jest pomnożona przez coś → podziel obustronnie,
szukana jest podzielona przez coś → pomnóż obustronnie.

Gdy szukana litera znajduje się w mianowniku, a poza tym ułamkiem nic więcej po tej stronie nie stoi, pierwszym ruchem jest pomnożenie obu stron przez ten mianownik — dopiero potem litera staje się dostępna. Jeśli obok ułamka jest jeszcze jakiś składnik, zdejmij najpierw jego: w $y = \frac{a}{x} + c$ odejmij $c$ , a dopiero potem mnóż przez $x$ . Mnożenie od razu daje $yx = a + cx$ , czyli szukaną po obu stronach — a to już trudniejszy przypadek, opisany niżej.

Metoda działa mechanicznie i nie wymaga pomysłowości. To jej największa zaleta.

3Dwie kontrole poprawności

Wynik przekształcenia da się sprawdzić samodzielnie, bez klucza odpowiedzi. Warto znać oba sposoby.

Kontrola przez podstawienie. Wstaw otrzymany wzór z powrotem do oryginału i uprość. Jeśli wychodzi tożsamość — na przykład $P = P$ — przekształcenie jest poprawne.

Kontrola wymiarowa. Sprawdź, czy jednostki po obu stronach się zgadzają. Wysokość wyznaczona z pola i podstawy musi powstać przez dzielenie, bo pole ma wymiar długości do kwadratu, a długość razy długość dałaby długość do sześcianu.

Druga kontrola jest szybsza i wyłapuje najczęstszy błąd tego działu — pomnożenie zamiast podzielenia.

Trzeci, praktyczny sposób: podstaw konkretne liczby do wzoru oryginalnego i do przekształconego. Oba muszą dać zgodny wynik.

4Po co się to robi

Przekształcanie wzorów wygląda na ćwiczenie techniczne, a jest podstawową czynnością w naukach ścisłych.

Bo dane bywają inne niż w podręczniku. Wzór na drogę zna każdy, ale zadanie podaje drogę i prędkość, a pyta o czas. Nie warto pamiętać trzech wzorów, skoro wystarczy jeden i umiejętność jego odwrócenia.

Bo tak działa fizyka i chemia. Ten sam wzór na gęstość służy do liczenia masy, objętości i samej gęstości — zależnie od tego, co jest znane.

Bo tak buduje się arkusze kalkulacyjne i programy. Formuła musi być zapisana względem tej wielkości, którą chcemy obliczyć.

Bo to oszczędza pamięć. Jeden wzór plus umiejętność przekształcania zastępuje kilka wzorów zapamiętanych osobno — a przy egzaminie z kartą wzorów to jedyne, co karta za ucznia nie zrobi.

5Trudniejsze przypadki

Trzy sytuacje wymagają dodatkowego ruchu i warto je rozpoznawać.

Szukana litera występuje dwa razy. Trzeba zebrać jej wystąpienia po jednej stronie i wyłączyć ją przed nawias. Dopiero wtedy da się podzielić.

Szukana jest pod potęgą. Konieczne jest pierwiastkowanie, a przy potędze parzystej trzeba pamiętać o warunku dodatniości — w zadaniach geometrycznych bok jest zawsze dodatni, więc wybiera się rozwiązanie dodatnie.

Szukana jest pod pierwiastkiem. Trzeba podnieść obie strony do kwadratu, co jest ruchem legalnym, o ile obie strony są nieujemne.

We wszystkich trzech przypadkach reguła odwijania nadal obowiązuje — dochodzą tylko nowe rodzaje „opakowań” do zdjęcia.

6W której klasie się to pojawia

Umiejętność wchodzi razem z równaniami i zostaje na stałe. Podstawa programowa wymaga jej wprost: w dziale o równaniach uczeń ma przekształcać proste wzory, aby wyznaczyć zadaną wielkość — we wzorach geometrycznych (na przykład na pola figur) i fizycznych (na przykład dotyczących prędkości, drogi i czasu). Poniższy podział na klasy jest praktyką podręczników; podstawa nie przypisuje tego do konkretnej klasy.

klasa 7 — równania z jedną niewiadomą, pierwsze przekształcenia wzorów geometrycznych,
klasa 8 — wyznaczanie wielkości ze wzorów na pola, objętości i prędkość,
liceum i studia — przekształcanie wzorów fizycznych i chemicznych, wzory z pierwiastkami i logarytmami.

Podstawą są wyrażenia algebraiczne — zwłaszcza wyłączanie czynnika przed nawias, bez którego trudniejsze przypadki są nie do przejścia.

To jedna z tych umiejętności, które w liceum są zakładane jako oczywiste. Braki z klasy siódmej ujawniają się dopiero tam, na fizyce.

7Ćwicz dalej

Materiał jest rozdzielony według poziomu:

Egzamin ósmoklasisty — 13 zadań z arkuszy CKE, w tym wzór Picka i trójki pitagorejskie,
Matura — przekształcanie wzorów z pierwiastkami, potęgami i logarytmami,
Karta pracy PDF — osobnej karty o przekształcaniu wzorów jeszcze nie ma, ale te same ruchy ćwiczy karta o równaniach liniowych, w tym zadanie „niewiadoma po obu stronach”: sześć zadań na wydruk, klucz na ostatniej stronie.

Test gotowości: wyznacz $t$ ze wzoru $s = v \cdot t$ . Jeśli od razu widzisz, że trzeba podzielić przez $v$ , a nie pomnożyć, materiał tej strony jest opanowany.

8Przykłady krok po kroku

Trzy własne przykłady: proste odwijanie, litera w mianowniku i szukana występująca dwa razy.

Przykład 1 Odwijanie warstwa po warstwie

Ze wzoru $P = \dfrac{a \cdot h}{2}$ wyznacz wysokość $h$ .

Patrzę, co opakowuje $h$ : jest pomnożone przez $a$ i podzielone przez $2$ .
Zdejmuję warstwę zewnętrzną — dzielenie przez dwa. Mnożę obie strony przez $2$ : $2P = a \cdot h$ .
Zostało mnożenie przez $a$ . Dzielę obie strony przez $a$ : $h = \dfrac{2P}{a}$ .
Kontrola wymiarowa: pole podzielone przez długość daje długość ✓
Kontrola liczbowa: dla $P = 12$ i $a = 6$ wychodzi $h = 4$ , a wtedy $\tfrac{6 \cdot 4}{2} = 12$ ✓
Kolejność zdejmowania była odwrotna do kolejności działań — najpierw dzielenie z zewnątrz, potem mnożenie.

Odpowiedź: $h = \dfrac{2P}{a}$ .

Przykład 2 Szukana litera w mianowniku

Ze wzoru na gęstość $d = \dfrac{m}{V}$ wyznacz objętość $V$ .

Szukana litera siedzi w mianowniku, więc najpierw muszę ją stamtąd wydobyć.
Mnożę obie strony przez $V$ : $d \cdot V = m$ .
Teraz $V$ jest pomnożone przez $d$ , więc dzielę obie strony przez $d$ : $V = \dfrac{m}{d}$ .
Kontrola wymiarowa: masa podzielona przez gęstość, czyli kilogramy przez kilogramy na metr sześcienny, daje metry sześcienne ✓
Kontrola podstawieniem: wstawiam wynik do oryginału — $d = \dfrac{m}{m/d} = d$ ✓
Reguła ogólna: gdy szukana jest w mianowniku, a ułamek stoi sam po swojej stronie, pierwszym ruchem jest pomnożenie przez ten mianownik. Gdyby obok stał jeszcze jakiś składnik, trzeba go najpierw usunąć.

Odpowiedź: $V = \dfrac{m}{d}$ .

Przykład 3 Szukana występuje dwa razy

Ze wzoru na obwód prostokąta $Ob = 2a + 2b$ wyznacz $a$ , a potem sprawdź, co się dzieje, gdy szukana litera występuje po obu stronach: $3x + 5 = x + 13$ .

Pierwsza część. Odejmuję $2b$ od obu stron: $Ob - 2b = 2a$ .
Dzielę przez $2$ : $a = \dfrac{Ob - 2b}{2}$ .
Druga część. Zbieram wystąpienia $x$ po jednej stronie: odejmuję $x$ obustronnie, dostając $2x + 5 = 13$ .
Odejmuję $5$ : $2x = 8$ , więc $x = 4$ .
Gdyby zamiast liczb stały litery, po zebraniu wystąpień trzeba by wyłączyć szukaną przed nawias i dopiero wtedy dzielić.
Zróbmy to naprawdę. Ogólnie: $ax + b = cx + d$ . Odejmuję $cx$ i $b$ od obu stron: $ax - cx = d - b$ .
Wyłączam $x$ przed nawias: $x(a - c) = d - b$ , więc $x = \dfrac{d - b}{a - c}$ — pod warunkiem, że $a \neq c$ .
Kontrola: dla $a = 3$ , $b = 5$ , $c = 1$ , $d = 13$ wychodzi $x = \dfrac{13 - 5}{3 - 1} = 4$ — tyle samo, co w części liczbowej ✓
Kontrola pierwszej części: dla $Ob = 20$ i $b = 3$ wychodzi $a = 7$ , a wtedy $2 \cdot 7 + 2 \cdot 3 = 20$ ✓

Odpowiedź: $a = \dfrac{Ob - 2b}{2}$ , w równaniu $x = 4$ , a ogólnie $x = \dfrac{d - b}{a - c}$ .

9Najczęstsze błędy

Cztery błędy typowe przy przekształcaniu wzorów. Pierwszy jest najczęstszy i najtrudniejszy do zauważenia.

Mnożenie zamiast dzielenia

Skąd się bierze: Uczeń pamięta, jakie litery występują we wzorze, ale nie to, po której stronie kreski ułamkowej. Wynik składa się z właściwych liter, więc wygląda przekonująco i rzadko budzi podejrzenia.

Jak zrobić dobrze: Zrób kontrolę wymiarową. Wysokość wyznaczona z pola i podstawy musi powstać przez dzielenie — iloczyn dałby długość do sześcianu, co jest niemożliwe.

Wykonanie działania tylko po jednej stronie

Skąd się bierze: Równość zachowuje się wtedy, gdy to samo robimy z obiema stronami. Podzielenie tylko jednej z nich daje zapis, który nie wynika z oryginału, choć wygląda jak jego uproszczenie.

Jak zrobić dobrze: Zapisuj każdy ruch jawnie, na przykład „dzielę obie strony przez a”, i dopiero potem przepisuj równanie. Kontrolą jest podstawienie liczb do obu wersji wzoru.

Zdejmowanie warstw w niewłaściwej kolejności

Skąd się bierze: Przy odwijaniu obowiązuje kolejność odwrotna do kolejności działań. Rozpoczęcie od dzielenia, gdy na zewnątrz jest dodawanie, prowadzi do dzielenia tylko części wyrażenia i psuje równość.

Jak zrobić dobrze: Najpierw usuń to, co dodane albo odjęte, potem to, przez co pomnożone albo podzielone. Obraz rozpakowywania prezentu jest tu dosłowny — zdejmuje się od zewnątrz.

Dzielenie przy szukanej występującej dwa razy

Skąd się bierze: Gdy litera pojawia się w dwóch składnikach, nie da się jej wprost wydzielić — podzielenie usuwa tylko jedno wystąpienie. Wynik zawiera wtedy szukaną po obu stronach i nie jest rozwiązaniem.

Jak zrobić dobrze: Najpierw zbierz wszystkie wystąpienia po jednej stronie, potem wyłącz szukaną przed nawias i dopiero wtedy dziel przez to, co w nawiasie zostało.

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — obliczanie wartości i przekształcanie wzorów

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 2 zadania z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.

Kolor prowadzi przez przekształcanie wzoru: zielona to wielkość, którą wyznaczamy — śledź ją przez wszystkie kroki, aż zostanie sama po jednej stronie. Czerwona to to, co po kolei przenosimy na drugą stronę, żeby ją uwolnić. Widać wtedy dokładnie, co i w którym momencie zmienia stronę równania.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 8 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 8 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2026)1 pktśrednie

Sumę

S = 1 + 2 + 3 + \ldots + n

kolejnych liczb naturalnych od 1 do

n

można obliczyć ze wzoru

\;S = \dfrac{1}{2}n(n + 1)

. Uzupełnij zdania.

Suma stu kolejnych liczb naturalnych od 1 do 100 jest równa AB.

A. $5001$
B. $5050$

Wzór na sumę

S

po poprawnym przekształceniu ma postać CD.

C. $S = \dfrac{1}{2}n^2 + 1$
D. $S = \dfrac{1}{2}n^2 + \dfrac{1}{2}n$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, D

Pierwsze zdanie. Podstawiamy $n = 100$ do wzoru:
$S = \dfrac{1}{2} \cdot 100 \cdot (100 + 1) = 50 \cdot 101 = 5050$ — odpowiedź B.
Drugie zdanie. Przekształcamy wzór, wymnażając nawias. Mnożymy $\dfrac{1}{2}n$ przez każdy wyraz w nawiasie:
$\dfrac{1}{2}\textcolor{#16A06A}{n} \cdot \textcolor{#E0453A}{n} = \dfrac{1}{2}n^2$ oraz $\dfrac{1}{2}\textcolor{#16A06A}{n} \cdot \textcolor{#E0453A}{1} = \dfrac{1}{2}n$ .
Zatem $S = \dfrac{1}{2}n^2 + \dfrac{1}{2}n$ — odpowiedź D. Razem: B, D.

💡 Wskazówka: Wzór $S = \tfrac12 n(n+1)$ warto znać — to słynna sztuczka Gaussa. Sumę $1+2+\ldots+100$ liczy się, parując $1{+}100$ , $2{+}99$ itd.: pięćdziesiąt par po 101.

⚠ Najczęstszy błąd w drugim zdaniu: pomnożenie $\tfrac12 n$ tylko przez $n$ i przepisanie jedynki bez zmian (odpowiedź C). Mnożenie przez nawias dotyczy obu składników.

Zadanie 2 (maj 2024)1 pkttrudniejsze

Dane jest równanie

\;5x = \dfrac{y}{w}\;

, gdzie

x

y

w

są różne od 0. Paweł przekształcał je, aby wyznaczyć kolejno

x

y

w

, i otrzymał:
I.

x = \dfrac{y}{5w}

· II.

y = \dfrac{5x}{w}

· III.

w = \dfrac{y}{5x}

Które z równań I–III są poprawnymi przekształceniami?

A. I i II
B. II i III
C. I i III
D. I, II, III

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Najwygodniej najpierw pozbyć się ułamka: mnożymy obie strony przez $\textcolor{#E0453A}{w}$ .
$5x \cdot \textcolor{#E0453A}{w} = y$ , czyli $\textcolor{#16A06A}{y} = 5xw$ — i to jest postać wyjściowa do wszystkich przekształceń.
I. Wyznaczamy $x$ : dzielimy $y = 5xw$ obustronnie przez $\textcolor{#E0453A}{5w}$ , otrzymując $\textcolor{#16A06A}{x} = \dfrac{y}{\textcolor{#E0453A}{5w}}$ ✓
II. Wyznaczamy $y$ : właśnie policzyliśmy, że $\textcolor{#16A06A}{y} = 5xw$ . Paweł napisał $\dfrac{5x}{w}$ , czyli podzielił przez $w$ zamiast pomnożyć ✗
III. Wyznaczamy $w$ : dzielimy $y = 5xw$ obustronnie przez $\textcolor{#E0453A}{5x}$ , otrzymując $\textcolor{#16A06A}{w} = \dfrac{y}{\textcolor{#E0453A}{5x}}$ ✓
Poprawne są I i III — odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Szybki test poprawności: podstaw konkretne liczby spełniające równanie, np. $x = 1$ , $w = 2$ , $y = 10$ (bo $5 \cdot 1 = \tfrac{10}{2}$ ). Wzór II daje $\tfrac{5}{2}$ zamiast 10 — od razu widać błąd.

⚠ Najczęstszy błąd: gdy niewiadoma jest w mianowniku, uczniowie odruchowo przenoszą ją „przez znak równości” bez zmiany działania. Mnożenie obu stron przez mianownik jest bezpieczniejsze.

Zadanie 3 (czerwiec 2022)1 pktśrednie

Dany jest wzór na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa:

\;P_c = 2P_p + P_b

, gdzie

P_c

— pole powierzchni całkowitej,

P_p

— pole podstawy,

P_b

— pole powierzchni bocznej. Dokończ zdanie.
Pole podstawy

P_p

wyznaczone poprawnie z powyższego wzoru opisano równaniem

A. $P_p = \dfrac{P_c - P_b}{2}$
B. $P_p = \dfrac{P_c}{2} - P_b$
C. $P_p = P_c - \dfrac{P_b}{2}$
D. $P_p = P_c - P_b$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Chcemy zostawić $\textcolor{#16A06A}{P_p}$ samo po jednej stronie. Przeszkadzają mu dwie rzeczy: dodane $\textcolor{#E0453A}{P_b}$ i mnożnik $\textcolor{#E0453A}{2}$ .
Krok 1 — pozbywamy się dodawania. Odejmujemy $\textcolor{#E0453A}{P_b}$ od obu stron: $P_c - \textcolor{#E0453A}{P_b} = 2\textcolor{#16A06A}{P_p}$ .
Krok 2 — pozbywamy się mnożnika. Dzielimy obie strony przez $\textcolor{#E0453A}{2}$ : $\textcolor{#16A06A}{P_p} = \dfrac{P_c - \textcolor{#E0453A}{P_b}}{\textcolor{#E0453A}{2}}$ .
Odpowiedź A.
Uwaga na kolejność: dzielimy przez 2 całą różnicę, a nie samo $P_c$ — dlatego wynik ma kreskę ułamkową pod całym licznikiem.

💡 Wskazówka: Przekształcając wzór, odwracaj działania w odwrotnej kolejności niż przy liczeniu: najpierw cofnij dodawanie, potem mnożenie. Tak jak przy rozpakowywaniu paczki — od zewnątrz do środka.

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie przez 2 tylko $P_c$ (odpowiedź B). To znaczyłoby, że $P_b$ nie zostało podzielone — a przecież dzielimy całą stronę równania.

Zadanie 4 (maj 2021)1 pkttrudniejsze

Trójki liczb naturalnych $a$ , $b$ , $c$ spełniające warunek $a^2 + b^2 = c^2$ nazywamy trójkami pitagorejskimi. Niektóre z nich znajdujemy ze wzorów:

\;a = 2n + 1

\;b = 2n(n + 1)

\;c = 2n^2 + 2n + 1

, gdzie $n$ to dowolna liczba naturalna ( $n \ge 1$ ).
Uzupełnij zdania.

Liczba

a

zawsze będzie AB.

A. parzysta
B. nieparzysta

Liczby

b

c

różnią się o CD.

C. $1$
D. $n$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, C

Pierwsze zdanie. Wyrażenie $a = \textcolor{#16A06A}{2n} + \textcolor{#E0453A}{1}$ — składnik $\textcolor{#16A06A}{2n}$ jest zawsze parzysty (bo to dwójka razy coś), a dodanie $\textcolor{#E0453A}{1}$ czyni całość nieparzystą.
Odpowiedź B. (Sprawdzenie: dla $n = 1, 2, 3$ mamy $a = 3, 5, 7$ — same nieparzyste ✓)
Drugie zdanie. Liczymy różnicę, wcześniej wymnażając nawias w $b$ : $b = 2n(n+1) = \textcolor{#16A06A}{2n^2 + 2n}$ .
Zauważ, że $c = \textcolor{#16A06A}{2n^2 + 2n} + \textcolor{#E0453A}{1}$ — to dokładnie $b$ powiększone o $\textcolor{#E0453A}{1}$ .
Zatem $c - b = \textcolor{#E0453A}{1}$ — odpowiedź C. Razem: B, C.

💡 Wskazówka: Zawsze warto wymnożyć nawias, zanim porównasz dwa wyrażenia. Po rozpisaniu $b$ od razu widać, że $c$ to po prostu $b + 1$ .

⚠ Częsty błąd w drugim zdaniu: odejmowanie „na oko” bez rozpisania $2n(n+1)$ i wybór odpowiedzi D. Litera $n$ pojawia się w obu wzorach, ale to nie znaczy, że jest różnicą.

Zadanie 5 (maj 2021)1 pkttrudniejsze

Trójki pitagorejskie wyznaczamy ze wzorów:

\;a = 2n + 1

\;b = 2n(n + 1)

\;c = 2n^2 + 2n + 1

, gdzie $n \ge 1$ jest liczbą naturalną.
Dokończ zdanie.
Jeżeli najmniejsza z liczb

a

b

c

jest równa 9, to największa z tych liczb jest równa

A. $41$
B. $73$
C. $145$
D. $181$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Najpierw ustalmy, która z trzech liczb jest najmniejsza, a która największa.
Z poprzedniego zadania wiemy, że $c = b + 1$ , więc $c$ jest zawsze największa.
Zostaje porównać $a$ i $b$ . Sprawdźmy $n = 1$ : $a = 3$ , $b = 4$ . Dla większych $n$ różnica tylko rośnie, bo $b$ zawiera $n^2$ . Zatem $\textcolor{#16A06A}{a}$ jest najmniejsza.
Skoro $\textcolor{#16A06A}{a} = 9$ , to $2n + 1 = 9$ , czyli $\textcolor{#E0453A}{n} = 4$ .
Liczymy największą: $c = 2 \cdot \textcolor{#E0453A}{4}^2 + 2 \cdot \textcolor{#E0453A}{4} + 1 = 32 + 8 + 1 = 41$ — odpowiedź A.
Sprawdzenie, czy to naprawdę trójka pitagorejska: $b = 2 \cdot 4 \cdot 5 = 40$ , a $9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681 = 41^2$ ✓

💡 Wskazówka: Zadanie ma dwa etapy: najpierw z jednej danej wyznacz parametr $n$ , a dopiero potem policz to, o co pytają. To typowa konstrukcja zadań ze wzorem z parametrem.

⚠ Najczęstszy błąd: podstawienie $n = 9$ zamiast rozwiązania równania $2n + 1 = 9$ . Wtedy wychodzi $c = 181$ — kusząca odpowiedź D.

Zadanie 6 (marzec 2021)1 pktśrednie

Zależność między liczbą przekątnych (

k

) a liczbą boków (

n

) wielokąta wypukłego określa wzór

\;k = \dfrac{n(n - 3)}{2}

. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Liczba przekątnych w dwunastokącie wypukłym jest trzy razy większa od liczby przekątnych w czworokącie wypukłym.	P	F
Liczba przekątnych w ośmiokącie wypukłym jest o 11 większa od liczby przekątnych w sześciokącie wypukłym.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, P

Za każdym razem podstawiamy liczbę boków do wzoru.
Dwunastokąt ( $\textcolor{#E0453A}{n = 12}$ ): $k = \dfrac{12 \cdot (12 - 3)}{2} = \dfrac{12 \cdot 9}{2} = \textcolor{#16A06A}{54}$ .
Czworokąt ( $\textcolor{#E0453A}{n = 4}$ ): $k = \dfrac{4 \cdot 1}{2} = \textcolor{#16A06A}{2}$ .
Zdanie 1: czy $\textcolor{#16A06A}{54} = 3 \cdot \textcolor{#16A06A}{2}$ ? Nie — $3 \cdot 2 = 6$ , a nie 54 — fałsz.
Ośmiokąt ( $\textcolor{#E0453A}{n = 8}$ ): $k = \dfrac{8 \cdot 5}{2} = \textcolor{#16A06A}{20}$ . Sześciokąt ( $\textcolor{#E0453A}{n = 6}$ ): $k = \dfrac{6 \cdot 3}{2} = \textcolor{#16A06A}{9}$ .
Zdanie 2: $\textcolor{#16A06A}{20} - \textcolor{#16A06A}{9} = 11$ ✓ — prawda.
Odpowiedzi: F, P.

💡 Wskazówka: Skąd bierze się ten wzór? Z każdego z $n$ wierzchołków wychodzi $n-3$ przekątnych (nie liczymy jego samego ani dwóch sąsiadów), a każdą przekątną liczymy dwa razy — stąd dzielenie przez 2.

⚠ Częsty błąd: intuicja „trzy razy więcej boków, więc trzy razy więcej przekątnych”. Liczba przekątnych rośnie znacznie szybciej niż liczba boków — zależy od $n^2$ .

Zadanie 7 (czerwiec 2020)1 pktśrednie

Zależność drogi od czasu i przyśpieszenia w ruchu jednostajnie przyśpieszonym (gdy prędkość początkowa jest równa 0) opisuje wzór

\;s = \dfrac{at^2}{2}

, gdzie

s

— droga,

t

— czas,

a

— przyśpieszenie. Dokończ zdanie.
Przyśpieszenie

a

poprawnie wyznaczone z tego wzoru można opisać równaniem

A. $a = \dfrac{st^2}{2}$
B. $a = \dfrac{t^2}{2s}$
C. $a = \dfrac{2s}{t^2}$
D. $a = 2st^2$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Chcemy uwolnić $\textcolor{#16A06A}{a}$ . Przeszkadzają mu: dzielenie przez $\textcolor{#E0453A}{2}$ i mnożenie przez $\textcolor{#E0453A}{t^2}$ .
Krok 1 — pozbywamy się mianownika. Mnożymy obie strony przez $\textcolor{#E0453A}{2}$ : $2s = \textcolor{#16A06A}{a}\,\textcolor{#E0453A}{t^2}$ .
Krok 2 — pozbywamy się $t^2$ . Dzielimy obie strony przez $\textcolor{#E0453A}{t^2}$ : $\textcolor{#16A06A}{a} = \dfrac{2s}{\textcolor{#E0453A}{t^2}}$ .
Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Kontrola jednostkowa: przyśpieszenie ma rosnąć, gdy w tym samym czasie pokonujemy większą drogę. W odpowiedzi C $s$ jest w liczniku ✓, a w odpowiedzi B w mianowniku ✗.

⚠ Najczęstszy błąd: „przerzucenie” $t^2$ na drugą stronę bez zmiany działania (odpowiedź D, gdzie $t^2$ zostało w liczniku). To, co po jednej stronie mnoży, po drugiej dzieli.

Zadanie 8 (grudzień 2017)1 pktłatwe

Punkt kratowy to miejsce przecięcia linii kwadratowej siatki. Pole wielokąta o wierzchołkach w punktach kratowych można obliczyć ze wzoru Picka:

\;P = W + \dfrac{1}{2}B - 1

, gdzie $W$ — liczba punktów kratowych wewnątrz wielokąta, $B$ — liczba punktów kratowych na jego brzegu.
Wewnątrz pewnego wielokąta znajduje się 5 punktów kratowych, a na jego brzegu jest 6 punktów kratowych. Dokończ zdanie.
Pole tego wielokąta jest równe

A. $6$
B. $6{,}5$
C. $7$
D. $7{,}5$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Podstawiamy do wzoru: $\textcolor{#16A06A}{W} = 5$ (punkty wewnątrz) oraz $\textcolor{#E0453A}{B} = 6$ (punkty na brzegu).
$P = \textcolor{#16A06A}{5} + \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{6} - 1$
$P = \textcolor{#16A06A}{5} + 3 - 1 = 7$
Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Uważnie przypisz liczby do liter — $W$ to punkty wewnątrz (od słowa „wewnątrz”), a $B$ to punkty na brzegu. Zamiana ich miejscami daje inny wynik.

⚠ Najczęstszy błąd: zamiana $W$ i $B$ miejscami — wtedy $6 + 2{,}5 - 1 = 7{,}5$ , czyli kusząca odpowiedź D. Drugi błąd: pominięcie odjęcia jedynki na końcu.

Zadanie 9 (grudzień 2017)1 pkttrudniejsze

Wzór Picka: $\;P = W + \dfrac{1}{2}B - 1$ , gdzie $W$ — liczba punktów kratowych wewnątrz wielokąta, $B$ — liczba punktów kratowych na brzegu.
Uzupełnij zdania.

Wielokąt, którego pole jest równe 15, może mieć AB punktów kratowych leżących na brzegu.

A. $7$
B. $8$

Pole wielokąta, który ma dwukrotnie więcej punktów kratowych na brzegu niż wewnątrz, wyraża się liczbą CD.

C. parzystą
D. nieparzystą

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, D

Pierwsze zdanie. Podstawiamy $P = 15$ : $15 = \textcolor{#16A06A}{W} + \dfrac{1}{2}\textcolor{#E0453A}{B} - 1$ , czyli $\textcolor{#16A06A}{W} + \dfrac{1}{2}\textcolor{#E0453A}{B} = 16$ .
Kluczowa obserwacja: $\textcolor{#16A06A}{W}$ musi być liczbą całkowitą (to liczba punktów), więc $\dfrac12 \textcolor{#E0453A}{B}$ też musi być całkowite — a to znaczy, że $\textcolor{#E0453A}{B}$ jest parzyste.
Spośród podanych liczb parzysta jest tylko $\textcolor{#E0453A}{8}$ — odpowiedź B. (Wtedy $\textcolor{#16A06A}{W} = 16 - 4 = 12$ ✓)
Drugie zdanie. Warunek „dwa razy więcej na brzegu niż wewnątrz” zapisujemy jako $\textcolor{#E0453A}{B} = 2\textcolor{#16A06A}{W}$ .
Podstawiamy do wzoru: $P = \textcolor{#16A06A}{W} + \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{2W} - 1 = \textcolor{#16A06A}{W} + \textcolor{#16A06A}{W} - 1 = 2\textcolor{#16A06A}{W} - 1$ .
Wyrażenie $2\textcolor{#16A06A}{W} - 1$ to zawsze liczba nieparzysta (parzysta minus jeden) — odpowiedź D. Razem: B, D.

💡 Wskazówka: Wzór Picka ma ukryte ograniczenie: skoro $W$ jest liczbą całkowitą, to $B$ musi być parzyste, żeby pole wyszło sensownie. Warto to zapamiętać jako szybki filtr.

⚠ Najczęstszy błąd w drugim zdaniu: podstawienie konkretnych liczb (np. $W = 3$ , $B = 6$ ) i uznanie, że jeden przykład wystarczy. Trzeba pokazać ogólnie, że wynik ma postać $2W - 1$ .

Zadanie 10 (kwiecień 2020)1 pkttrudniejsze

Dany jest wzór opisujący pole trapezu:

\;P = \dfrac{(x + y) \cdot h}{2}

, gdzie

x

y

oznaczają długości podstaw, a

h

— wysokość trapezu. Którym równaniem opisano

x

wyznaczone poprawnie z tego wzoru?

A. $x = \dfrac{P}{2} - hy$
B. $x = \dfrac{P}{2h} - y$
C. $x = 2P - hy$
D. $x = \dfrac{2P}{h} - y$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Uwalniamy $\textcolor{#16A06A}{x}$ krok po kroku — jest zamknięty w nawiasie, który jest mnożony przez $h$ i dzielony przez 2.
Krok 1. Mnożymy obie strony przez $\textcolor{#E0453A}{2}$ : $\textcolor{#E0453A}{2}P = (\textcolor{#16A06A}{x} + y) \cdot h$ .
Krok 2. Dzielimy obie strony przez $\textcolor{#E0453A}{h}$ : $\dfrac{\textcolor{#E0453A}{2}P}{\textcolor{#E0453A}{h}} = \textcolor{#16A06A}{x} + y$ .
Krok 3. Odejmujemy $\textcolor{#E0453A}{y}$ od obu stron: $\textcolor{#16A06A}{x} = \dfrac{2P}{h} - \textcolor{#E0453A}{y}$ .
Odpowiedź D.
Sprawdzenie na liczbach: dla $x = 3$ , $y = 5$ , $h = 4$ pole wynosi $\tfrac{8 \cdot 4}{2} = 16$ . Wzór D daje $\tfrac{2 \cdot 16}{4} - 5 = 8 - 5 = 3$ ✓

💡 Wskazówka: Zawsze sprawdzaj przekształcony wzór na konkretnych liczbach — wymyśl prosty trapez, policz pole, a potem podstaw do swojego wzoru. Powinien oddać wyjściowe $x$ .

⚠ Najczęstszy błąd: odejmowanie $y$ przed podzieleniem przez $h$ , co daje odpowiedź B lub C. Kolejność jest odwrotna: najpierw uwalniamy cały nawias, dopiero potem to, co w środku.

Zadanie 11 (kwiecień 2020)1 pktśrednie

W trójkącie

KLM

poprowadzono wysokość

KN

— odcinek wychodzący z wierzchołka

K

i prostopadły do boku

LM

(punkt

N

leży na boku

LM

). Długości niektórych odcinków opisano wyrażeniami:

\;|KL| = 2y

\;|LM| = 2x

\;|KN| = k + 1

. Dokończ zdanie.
Pole trójkąta

KLM

opisano wyrażeniem

A. $x(k + 1)$
B. $2x(k + 1)$
C. $y(k + 1)$
D. $2y(k + 1)$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Wzór na pole trójkąta: $P = \dfrac{1}{2} \cdot \text{podstawa} \cdot \text{wysokość}$ — ale podstawa i wysokość muszą do siebie pasować.
Wysokość $KN$ jest prostopadła do boku $LM$ , więc odpowiadającą jej podstawą jest właśnie $\textcolor{#16A06A}{LM} = \textcolor{#16A06A}{2x}$ .
Podstawiamy: $P = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{2x} \cdot \textcolor{#E0453A}{(k + 1)}$ .
Dwójki się skracają: $P = x\textcolor{#E0453A}{(k+1)}$ — odpowiedź A.
Bok $|KL| = 2y$ jest tu rozpraszaczem — nie ma do niego podanej wysokości, więc do policzenia pola się nie przyda.

💡 Wskazówka: W zadaniach z polem trójkąta zawsze najpierw sprawdź, do którego boku jest prostopadła podana wysokość. Tylko ta para (bok + odpowiadająca mu wysokość) daje poprawne pole.

⚠ Dwa typowe błędy: (1) użycie boku $KL = 2y$ zamiast $LM$ (odpowiedzi C i D); (2) pominięcie mnożenia przez $\tfrac12$ i otrzymanie $2x(k+1)$ — kusząca odpowiedź B.

Zadanie 12 (grudzień 2011, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Aby dobrać rozmiar ramy roweru do wzrostu użytkownika, można posłużyć się regułą: rozmiar odpowiedniej ramy otrzymamy, gdy od 40% wzrostu użytkownika (w cm) odejmiemy 15 cm. Niech

r

oznacza rozmiar ramy (w cm), a

w

— wzrost użytkownika (też w cm). Którym wzorem nie można wyrazić opisanej reguły?

A. $r = \dfrac{2}{5}w - 15$
B. $r = \dfrac{2}{5}(w - 37{,}5)$
C. $r = \dfrac{2w - 75}{5}$
D. $r = 0{,}4(w - 15)$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Najpierw zapisujemy regułę wprost: $40\%$ wzrostu to $\textcolor{#16A06A}{0{,}4w}$ , od tego odejmujemy 15, więc $r = \textcolor{#16A06A}{0{,}4w} - \textcolor{#E0453A}{15}$ .
Teraz sprawdzamy, które wzory dają to samo.
A. $\dfrac{2}{5} = 0{,}4$ , więc $\textcolor{#16A06A}{0{,}4w} - \textcolor{#E0453A}{15}$ ✓ — to dokładnie nasz wzór.
B. Wymnażamy: $\dfrac{2}{5}(w - 37{,}5) = \textcolor{#16A06A}{0{,}4w} - 0{,}4 \cdot 37{,}5 = \textcolor{#16A06A}{0{,}4w} - \textcolor{#E0453A}{15}$ ✓
C. Rozdzielamy ułamek: $\dfrac{2w - 75}{5} = \dfrac{2w}{5} - \dfrac{75}{5} = \textcolor{#16A06A}{0{,}4w} - \textcolor{#E0453A}{15}$ ✓
D. Wymnażamy: $0{,}4(w - 15) = \textcolor{#16A06A}{0{,}4w} - 0{,}4 \cdot 15 = \textcolor{#16A06A}{0{,}4w} - 6$ ✗ — odejmujemy 6, a nie 15!
Odpowiedź D — tego wzoru użyć nie można.

💡 Wskazówka: Szybki test: podstaw wygodną liczbę, np. $w = 100$ cm. Reguła daje $40 - 15 = 25$ . Wzory A, B, C dają 25, a D daje $0{,}4 \cdot 85 = 34$ — od razu widać wyjątek.

⚠ Najczęstszy błąd: uznanie D za poprawne, bo „wygląda podobnie”. Wstawienie 15 do nawiasu zmienia sens — odejmujemy wtedy 15 od wzrostu, a nie od gotowego wyniku.

Zadanie 13 (listopad 2012, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Zaczynając od punktu

(0, 0)

, budujemy łamaną zwijającą się w spiralę: pierwszy odcinek jest poziomy (równoległy do osi

x

) i ma długość 1, a każdy następny jest prostopadły do poprzedniego. Długości kolejnych odcinków to 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, … — co dwa odcinki rosną o 1. Kolejne odcinki numerujemy liczbami naturalnymi. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Jeżeli $n$ jest liczbą parzystą, to odcinek o numerze $n$ jest równoległy do osi $y$ .	P	F
Jeżeli $n$ jest liczbą nieparzystą, to długość odcinka o numerze $n$ jest równa $\dfrac{n}{2} + 1$ .	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, F

Zdanie 1. Odcinki na przemian zmieniają kierunek: pierwszy poziomy, drugi pionowy, trzeci poziomy, czwarty pionowy…
Odcinki o numerach $\textcolor{#16A06A}{\text{nieparzystych}}$ są więc poziome (równoległe do osi $x$ ), a o numerach $\textcolor{#E0453A}{\text{parzystych}}$ — pionowe, czyli równoległe do osi $y$ ✓ — prawda.
Zdanie 2. Wystarczy jeden kontrprzykład. Weźmy najprostszą liczbę nieparzystą, $n = 1$ .
Z treści wiemy, że pierwszy odcinek ma długość $\textcolor{#16A06A}{1}$ .
Podany wzór daje natomiast $\dfrac{\textcolor{#E0453A}{1}}{2} + 1 = \textcolor{#E0453A}{1{,}5}$ .
Ponieważ $\textcolor{#16A06A}{1} \ne \textcolor{#E0453A}{1{,}5}$ , wzór jest błędny już dla pierwszego odcinka — fałsz.
Odpowiedzi: P, F.

💡 Wskazówka: Żeby obalić zdanie zaczynające się od „jeżeli…, to…”, wystarczy jeden przypadek, w którym nie działa. Zaczynaj zawsze od najmniejszej możliwej liczby — jest najłatwiejsza do sprawdzenia.

⚠ Najczęstszy błąd: sprawdzanie wzoru dla dużych $n$ i gubienie się w rachunkach, zamiast od razu podstawić $n = 1$ . Drugi błąd: mylenie „równoległy do osi $y$ ” (pionowy) z „równoległy do osi $x$ ” (poziomy).

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. B, D	2. C	3. A	4. B, C	5. A	6. F, P
7. C	8. C	9. B, D	10. D	11. A	12. D
13. P, F

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

10Pytania i odpowiedzi

Czym różni się przekształcanie wzoru od rozwiązywania równania?

Właściwie niczym — wzór to równanie zapisane literami, więc przekształca się go tymi samymi ruchami. Jedyna różnica polega na tym, że wynikiem nie jest liczba, tylko nowy wzór. Taka odpowiedź jest pełnoprawna i użyteczniejsza, bo działa dla wszystkich przypadków naraz.

Jak wyznaczyć jedną wielkość ze wzoru?

Sprawdź, co opakowuje szukaną literę, i zdejmuj te warstwy od zewnątrz, wykonując każde działanie na obu stronach równania. Kolejność zdejmowania jest odwrotna do kolejności działań: najpierw dodawanie i odejmowanie, potem mnożenie i dzielenie.

Co zrobić, gdy szukana litera jest w mianowniku?

Pomnóż obie strony przez ten mianownik — wtedy litera przestaje być pod kreską i dalej idzie zwykłym odwijaniem. To pierwszy ruch we wzorach typu gęstość, prędkość czy stężenie, gdzie ułamek stoi sam. Jeśli obok ułamka jest jeszcze jakiś składnik, najpierw zdejmij jego, inaczej szukana wyląduje po obu stronach równania.

Jak sprawdzić, czy przekształcenie jest poprawne?

Podstaw otrzymany wzór z powrotem do oryginału i uprość — powinna wyjść tożsamość. Szybsza jest jednak kontrola wymiarowa: sprawdź, czy jednostki się zgadzają, bo długość wyznaczona z pola musi powstać przez dzielenie, nie mnożenie.

Co zrobić, gdy szukana litera występuje dwa razy?

Zbierz wszystkie jej wystąpienia po jednej stronie równania, wyłącz ją przed nawias i dopiero wtedy podziel przez to, co w nawiasie zostało. Dzielenie bez tego kroku usuwa tylko jedno wystąpienie i nie prowadzi do rozwiązania.

Po co przekształcać wzory, skoro są w karcie wzorów?

Bo karta podaje wzór w jednej postaci, a zadanie zwykle pyta o inną wielkość. Karta nie przekształci wzoru za ucznia — i to jest dokładnie ta część, którą sprawdza egzamin. Poza szkołą ta sama umiejętność jest podstawą pracy z formułami w fizyce, chemii i arkuszach kalkulacyjnych.

Czytaj dalej

Przekształcanie wzorów — zadania z egzaminu ósmoklasisty13 zadań z arkuszy CKE, w tym wzór Picka i trójki pitagorejskie Wyrażenia algebraiczne — teoriaWyłączanie czynnika przed nawias, bez którego trudniejsze wzory się nie poddają Prędkość, droga, czas — teoriaNajczęściej przekształcany wzór w całej szkole Egzamin ósmoklasisty z matematykiWszystkie działy, arkusze i sposób przygotowania

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.