Strona główna › Ułamki › Skracanie i rozszerzanie ułamków — dwie strony tej samej czynności

Skracanie i rozszerzanie ułamków — dwie strony tej samej czynności

Q: Na czym polega skracanie ułamków?

Na podzieleniu licznika i mianownika przez tę samą liczbę większą od 1. Wartość ułamka się nie zmienia, zmienia się tylko zapis: 6/9 = 2/3. Skracamy tak długo, aż licznik i mianownik nie będą już miały wspólnego dzielnika — wtedy ułamek jest nieskracalny.

Q: Na czym polega rozszerzanie ułamków?

Na pomnożeniu licznika i mianownika przez tę samą liczbę: 2/3 = 8/12. To ruch odwrotny do skracania. Robi się to głównie po to, żeby sprowadzić kilka ułamków do wspólnego mianownika — bez tego nie da się ich dodać ani łatwo porównać.

Q: Dlaczego wartość ułamka się nie zmienia?

Bo mnożenie licznika i mianownika przez tę samą liczbę to mnożenie całego ułamka przez 3/3, 4/4 i tak dalej — czyli przez jedynkę zapisaną inaczej. Mnożenie przez 1 nigdy nic nie zmienia. Ze skracaniem jest tak samo, tylko w drugą stronę.

Q: Skąd wiadomo, że ułamek jest już nieskracalny?

Gdy licznik i mianownik nie mają wspólnego dzielnika większego od 1. W praktyce sprawdza się trzy rzeczy: czy obie liczby są parzyste, czy sumy ich cyfr dzielą się przez 3 i czy obie kończą się na 0 albo 5. Jeśli wszystkie trzy próby zawiodą, ułamek jest zwykle gotowy.

Q: Jak rozszerzyć ułamek do konkretnego mianownika?

Podziel nowy mianownik przez stary — to daje liczbę, przez którą mnożysz. Żeby rozszerzyć 2/7 do mianownika 35: 35 : 7 = 5, więc 2 · 5/7 · 5 = 10/35. Jeśli dzielenie nie wychodzi całkowicie, rozszerzenie do takiego mianownika jest niemożliwe.

Q: Czy każdy ułamek da się skrócić?

Nie. 7/12, 3/4 czy 5/8 są już nieskracalne — ich liczniki i mianowniki nie mają wspólnego dzielnika większego od 1. „Nie da się skrócić” jest pełną i poprawną odpowiedzią, a nie znakiem, że coś się przeoczyło.

Q: Czy skracać przed mnożeniem ułamków, czy po?

Najlepiej przed — wtedy mnoży się małe liczby zamiast dużych. Przy mnożeniu wolno skracać także „na krzyż”, czyli licznik jednego ułamka z mianownikiem drugiego, bo po pomnożeniu i tak wszystkie liczniki trafią nad kreskę. Szczegóły na stronie o mnożeniu ułamków zwykłych.

Skracanie i rozszerzanie to jedna czynność wykonana w dwie strony: dzielenie albo mnożenie licznika i mianownika przez tę samą liczbę. Obie zmieniają zapis ułamka i obie zostawiają jego wartość bez zmian — i właśnie na tym zdaniu opiera się cała reszta działu, bo bez rozszerzania nie da się dodać ułamków o różnych mianownikach, a bez skracania nie da się podać poprawnej odpowiedzi.

Dział: UłamkiPoziom: klasa 5Zadań z E8: 7

Przejdź od razu do zadań (7) ↓

1Ta sama liczba, różne zapisy

Przetnij pizzę na $2$ części i weź jedną — masz $\frac{1}{2}$ . Przetnij taką samą pizzę na $4$ części i weź dwie — masz $\frac{2}{4}$ . Zjadłeś dokładnie tyle samo.

\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{50}{100}

Wszystkie te zapisy oznaczają tę samą liczbę. Różnią się tylko tym, na ile kawałków umownie podzieliliśmy całość. Ułamków o tej samej wartości jest nieskończenie wiele — i można się między nimi swobodnie poruszać w obie strony.

Dwa kierunki, jedna zasada

Skracanie — dzielimy licznik i mianownik przez tę samą liczbę (większą od $1$ ). Liczby robią się mniejsze.

\frac{6 : \textcolor{#16A06A}{3}}{9 : \textcolor{#16A06A}{3}} = \frac{2}{3}

Rozszerzanie — mnożymy licznik i mianownik przez tę samą liczbę (większą od $1$ ). Liczby robią się większe.

\frac{2 \cdot \textcolor{#16A06A}{4}}{3 \cdot \textcolor{#16A06A}{4}} = \frac{8}{12}

Zielona liczba musi być w obu miejscach ta sama — to jedyny warunek i cała tajemnica tego tematu.

Dlaczego wartość się nie zmienia? Bo rozszerzanie to mnożenie całego ułamka przez $\frac{3}{3}$ , $\frac{4}{4}$ i tak dalej — czyli przez jedynkę zapisaną w przebraniu. Mnożenie przez $1$ nigdy nic nie zmienia. Ze skracaniem jest tak samo, tylko w drugą stronę: dzielimy cały ułamek przez tę samą przebraną jedynkę, a dzielenie przez $1$ też niczego nie rusza.

\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{4} = \frac{8}{12}

To jest sedno, które warto powiedzieć dziecku wprost: nie zmieniamy liczby, zmieniamy tylko jej ubranie.

2Skracanie — jak to zrobić i kiedy przestać

Skrócić ułamek to znaleźć liczbę, przez którą dzielą się i licznik, i mianownik, i podzielić przez nią oba.

Weźmy $\frac{18}{24}$ . Obie liczby są parzyste, więc dzielą się przez $2$ :

\frac{18 : \textcolor{#16A06A}{2}}{24 : \textcolor{#16A06A}{2}} = \frac{9}{12}

$9$ i $12$ dzielą się przez $3$ , więc można dalej:

\frac{9 : \textcolor{#16A06A}{3}}{12 : \textcolor{#16A06A}{3}} = \frac{3}{4}

Teraz $3$ i $4$ nie mają już wspólnego dzielnika większego od $1$ — i to jest znak, żeby przestać.

Ułamek nieskracalny

Ułamek jest nieskracalny, gdy licznik i mianownik nie mają wspólnego dzielnika większego od $1$ . Mówi się też, że są względnie pierwsze.

Odpowiedź w zadaniu podaje się zawsze w postaci nieskracalnej — nawet jeśli polecenie o tym nie wspomina. To jest cichy standard, na którym wykłada się wielu uczniów: rachunek dobry, wynik $\frac{6}{8}$ , punkt niepełny, bo miało być $\frac{3}{4}$ .

Uwaga na częstą pomyłkę nazw: nieskracalny to nie to samo co właściwy. $\frac{7}{5}$ jest nieskracalny, ale niewłaściwy. $\frac{2}{4}$ jest właściwy, ale skracalny.

Krótsza droga: największy wspólny dzielnik

Można skracać stopniowo, jak wyżej — to zawsze działa i jest bezpieczne. Można też zrobić to jednym ruchem, dzieląc przez największy wspólny dzielnik (NWD) licznika i mianownika.

Dla $18$ i $24$ największym wspólnym dzielnikiem jest $6$ :

\frac{18 : \textcolor{#16A06A}{6}}{24 : \textcolor{#16A06A}{6}} = \frac{3}{4}

Ten sam wynik, jeden krok zamiast dwóch. Skracanie przez NWD od razu daje ułamek nieskracalny — i to jest jedyny powód, dla którego warto NWD w ogóle liczyć.

Jak go znaleźć bez wzoru: wypisz dzielniki obu liczb i weź największy wspólny. Dzielniki $18$ to $1, 2, 3, 6, 9, 18$ ; dzielniki $24$ to $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$ . Wspólne: $1, 2, 3, 6$ — największy z nich to $6$ .

Jeśli NWD nie widać od razu, nie szukaj go na siłę. Skracanie po kawałku — najpierw przez $2$ , potem przez $3$ — doprowadzi do tego samego miejsca i jest mniej ryzykowne niż zgadywanie.

Cechy podzielności skracają połowę roboty

Zanim zaczniesz szukać wspólnych dzielników, spójrz na liczby i sprawdź trzy rzeczy:

Obie parzyste? Dziel przez $2$ . To najczęstszy przypadek.
Obie kończą się na $0$ lub $5$ ? Dziel przez $5$ .
Sumy cyfr obu liczb dzielą się przez $3$ ? Dziel przez $3$ . Dla $18$ : $1+8 = 9$ ✓, dla $24$ : $2+4 = 6$ ✓

Te trzy sprawdzenia załatwiają zdecydowaną większość ułamków ze szkoły podstawowej. Pełny zestaw reguł jest na stronie o cechach podzielności.

3Rozszerzanie — po co robić ułamek „brzydszym”

Rozszerzanie wygląda na ruch w złą stronę: zamiast uprościć, komplikujemy. Ma jednak jeden bardzo konkretny powód.

Ułamki o różnych mianownikach da się dodać dopiero wtedy, gdy mianowniki są takie same. Rozszerzanie jest jedynym sposobem, żeby je zrównać, nie zmieniając wartości.

Chcemy policzyć $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ . Kawałki są różnej wielkości, więc nie da się ich zsumować. Rozszerzamy oba do mianownika $6$ :

\frac{1 \cdot \textcolor{#16A06A}{3}}{2 \cdot \textcolor{#16A06A}{3}} = \frac{3}{6} \qquad \frac{1 \cdot \textcolor{#E0453A}{2}}{3 \cdot \textcolor{#E0453A}{2}} = \frac{2}{6}

Teraz oba ułamki mówią o szóstych częściach i można je zsumować: $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$ .

Drugie zastosowanie jest równie częste: porównywanie. Które jest większe, $\frac{3}{5}$ czy $\frac{5}{8}$ ? Na oko nie widać. Po rozszerzeniu obu do mianownika $40$ — widać od razu:

\frac{3 \cdot \textcolor{#16A06A}{8}}{5 \cdot \textcolor{#16A06A}{8}} = \frac{24}{40} \qquad \frac{5 \cdot \textcolor{#E0453A}{5}}{8 \cdot \textcolor{#E0453A}{5}} = \frac{25}{40}

$\frac{25}{40}$ jest większe od $\frac{24}{40}$ , więc $\frac{5}{8} > \frac{3}{5}$ .

Trzecie zastosowanie pojawia się przy ułamkach dziesiętnych: żeby zamienić $\frac{3}{4}$ na postać dziesiętną bez dzielenia pisemnego, wystarczy rozszerzyć ułamek do mianownika $100$ .

\frac{3 \cdot \textcolor{#16A06A}{25}}{4 \cdot \textcolor{#16A06A}{25}} = \frac{75}{100}

A $\frac{75}{100}$ to po prostu $0{,}75$ . Ten sam trik działa dla każdego mianownika, który da się rozszerzyć do $10$ , $100$ albo $1000$ .

4Jak rozszerzyć ułamek do zadanego mianownika

Najczęstsze polecenie w zeszycie brzmi: *„rozszerz ułamek $\frac{2}{7}$ do mianownika $35$ ”*. Schemat jest zawsze ten sam i ma dwa kroki.

Krok 1 — przez ile? Podziel nowy mianownik przez stary: $35 : 7 = 5$ .
Krok 2 — pomnóż oba. Licznik i mianownik mnożysz przez tę piątkę.

\frac{2 \cdot \textcolor{#16A06A}{5}}{7 \cdot \textcolor{#16A06A}{5}} = \frac{10}{35}

Kluczowe jest to, że liczba z kroku 1 musi wyjść całkowita. Jeśli nowy mianownik nie dzieli się przez stary — rozszerzenie jest niemożliwe. Ułamka $\frac{2}{7}$ nie da się rozszerzyć do mianownika $30$ , bo $30 : 7$ nie jest liczbą całkowitą.

To samo dotyczy sytuacji odwrotnej, o której często się zapomina: nie każdy ułamek da się skrócić. $\frac{7}{12}$ jest już nieskracalny i żadna sztuczka tego nie zmieni — „nie da się” jest tu pełną, poprawną odpowiedzią.

Polecenie	Przez ile	Wynik
Rozszerz $\frac{3}{4}$ do mianownika $20$	$20 : 4 = 5$	$\frac{15}{20}$
Rozszerz $\frac{2}{5}$ do mianownika $45$	$45 : 5 = 9$	$\frac{18}{45}$
Rozszerz $\frac{5}{6}$ do mianownika $42$	$42 : 6 = 7$	$\frac{35}{42}$
Rozszerz $\frac{1}{8}$ do mianownika $100$	$100 : 8$ — nie wychodzi całkowicie	niemożliwe

Ostatni wiersz jest w tabeli celowo. Zadania z takim „hakiem” pojawiają się na sprawdzianach i sprawdzają dokładnie jedno: czy uczeń wykonuje krok 1, czy od razu zaczyna mnożyć.

5Skracanie ułamków z liczbami mieszanymi

Liczba mieszana ma część całkowitą i ułamkową, a skracanie dotyczy wyłącznie części ułamkowej. Całości zostają nietknięte.

3\frac{6}{8} = 3\frac{6 : \textcolor{#16A06A}{2}}{8 : \textcolor{#16A06A}{2}} = 3\frac{3}{4}

Można też zamienić liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy, skrócić i wrócić — wynik będzie ten sam, ale droga jest dłuższa:

3\frac{6}{8} = \frac{30}{8} = \frac{30 : \textcolor{#16A06A}{2}}{8 : \textcolor{#16A06A}{2}} = \frac{15}{4} = 3\frac{3}{4}

Skracaj części ułamkowej, nie mieszaj całości do rachunku. Najczęstsza wpadka w tym miejscu to podzielenie przez $2$ także trójki z przodu — a trójka nie stoi ani nad kreską, ani pod nią, więc nie bierze udziału w skracaniu.

6Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: skracanie do postaci nieskracalnej, rozszerzanie do zadanego mianownika i zadanie, w którym trzeba użyć obu czynności naraz.

Przykład 1 Doprowadzenie ułamka do postaci nieskracalnej

Skróć ułamek $\frac{42}{56}$ do postaci nieskracalnej.

Sprawdzam cechy podzielności. Obie liczby są parzyste, więc na pewno da się skrócić przez $2$ .
$\frac{42 : 2}{56 : 2} = \frac{21}{28}$
Teraz $21$ i $28$ nie są już parzyste. Sumy cyfr: $2+1 = 3$ dzieli się przez $3$ , ale $2+8 = 10$ nie — więc przez $3$ nie skrócę.
Sprawdzam siódemkę: $21 = 3 \cdot 7$ i $28 = 4 \cdot 7$ , więc dzielę oba przez $7$ : $\frac{21 : 7}{28 : 7} = \frac{3}{4}$ .
Czy to koniec? $3$ i $4$ nie mają wspólnego dzielnika większego od $1$ — tak, koniec.
Kontrola drogą przez NWD: największy wspólny dzielnik $42$ i $56$ to $14$ , a $\frac{42 : 14}{56 : 14} = \frac{3}{4}$ ✓ Ten sam wynik jednym krokiem.

Odpowiedź: $\frac{42}{56} = \frac{3}{4}$

Zwróć uwagę, że dwa kolejne skrócenia — przez $2$ , potem przez $7$ — to razem skrócenie przez $2 \cdot 7 = 14$ , czyli dokładnie przez NWD. Skracanie po kawałku i skracanie przez NWD nie są dwiema metodami, tylko jedną, rozpisaną drobniej albo grubiej.

Przykład 2 Rozszerzanie do wspólnego mianownika

Zapisz ułamki $\frac{3}{4}$ i $\frac{5}{6}$ z tym samym mianownikiem, a potem sprawdź, który z nich jest większy.

Szukam mianownika, który dzieli się i przez $4$ , i przez $6$ . Najmniejszy taki to $12$ (mnożąc $4$ przez $3$ albo $6$ przez $2$ ).
Pierwszy ułamek: $12 : 4 = 3$ , więc mnożę licznik i mianownik przez $3$ : $\frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}$ .
Drugi ułamek: $12 : 6 = 2$ , więc mnożę przez $2$ : $\frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{10}{12}$ .
Teraz oba mówią o dwunastych częściach i porównanie jest gołym okiem: $\frac{10}{12}$ ma więcej takich samych kawałków niż $\frac{9}{12}$ .
Kontrola sensu: $\frac{3}{4}$ to $0{,}75$ , a $\frac{5}{6}$ to około $0{,}83$ — zgadza się, drugi jest większy ✓

Odpowiedź: $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$ , $\frac{5}{6} = \frac{10}{12}$ , więc $\frac{5}{6}$ jest większy.

Wspólnym mianownikiem mógłby być też $24$ albo $48$ — wynik porównania byłby ten sam, tylko liczby większe. Dlatego szuka się najmniejszego wspólnego mianownika, a nie pierwszego lepszego.

Przykład 3 Obie czynności w jednym zadaniu

W klasie jest $30$ uczniów, z czego $18$ to dziewczynki. Jaką część klasy stanowią dziewczynki? Zapisz odpowiedź w postaci nieskracalnej, a potem podaj, ile to procent.

Ułamek układam wprost z treści: dziewczynki do wszystkich uczniów, czyli $\frac{18}{30}$ .
Skracam. Obie liczby są parzyste: $\frac{18 : 2}{30 : 2} = \frac{9}{15}$ . Sumy cyfr $9$ i $1+5 = 6$ dzielą się przez $3$ : $\frac{9 : 3}{15 : 3} = \frac{3}{5}$ .
$3$ i $5$ nie mają wspólnego dzielnika — postać nieskracalna to $\frac{3}{5}$ .
Rozszerzam, żeby dostać procenty. Procent to setne części, więc szukam mianownika $100$ : $100 : 5 = 20$ .
$\frac{3 \cdot 20}{5 \cdot 20} = \frac{60}{100}$ , czyli $60\%$ .
Kontrola: $60\%$ z $30$ uczniów to $18$ osób — zgadza się z treścią ✓

Odpowiedź: Dziewczynki stanowią $\frac{3}{5}$ klasy, czyli $60\%$ .

To jest typowy układ zadania egzaminacyjnego: najpierw skrócić, żeby dostać czytelną odpowiedź, potem rozszerzyć, żeby dostać procenty. Obie czynności w jednym rachunku i obie polegają na tej samej zasadzie — mnożeniu przez jedynkę w przebraniu.

7Najczęstsze błędy

Trzy z czterech błędów poniżej biorą się z jednego przeoczenia: że skracanie i rozszerzanie działa na całym liczniku i całym mianowniku naraz, a nie na wybranych liczbach w zapisie. Wyjątkiem jest trzeci — tam reguła jest zrozumiana dobrze, tylko robota przerwana w połowie.

Podzielenie tylko licznika albo tylko mianownika

Skąd się bierze: To najgroźniejszy błąd tego działu, bo wygląda jak skracanie i daje ładny wynik — tylko inną liczbę. Z $\frac{6}{9}$ po podzieleniu samego licznika przez $3$ robi się $\textcolor{#9b1c14}{\frac{2}{9}}$ , czyli dokładnie trzy razy mniej niż było. Prawidłowa odpowiedź to $\frac{2}{3}$ .

Jak zrobić dobrze: Powtarzaj przy każdym skracaniu jedno zdanie: „dzielę oba”. Pomaga też kontrola sensu — skrócony ułamek musi być tak samo duży jak przed skróceniem. $\frac{6}{9}$ to dokładnie $\frac{2}{3}$ całości, czyli wyraźnie więcej niż połowa; $\frac{2}{9}$ to ledwie ponad $\frac{1}{5}$ , więc od razu widać, że coś jest nie tak.

Skracanie przez różne liczby na górze i na dole

Skąd się bierze: Uczeń widzi, że licznik dzieli się przez $2$ , a mianownik przez $3$ , i dzieli każdy przez to, co pasuje. Z $\frac{8}{9}$ robi się wtedy $\textcolor{#9b1c14}{\frac{4}{3}}$ — ułamek większy od jedynki, choć zaczynaliśmy od czegoś mniejszego od całości. Skracanie musi być wykonane tą samą liczbą po obu stronach, bo tylko wtedy jest mnożeniem przez $1$ .

Jak zrobić dobrze: Najpierw znajdź liczbę wspólną dla licznika i mianownika, a dopiero potem dziel. Jeśli takiej nie ma — ułamek jest nieskracalny i to jest pełna odpowiedź, a nie porażka.

Zatrzymanie się przed postacią nieskracalną

Skąd się bierze: Uczeń skraca $\frac{24}{36}$ przez $2$ , dostaje $\frac{12}{18}$ , uznaje, że „skrócone” i kończy. Rachunek jest poprawny, ale odpowiedź niepełna: $\frac{12}{18}$ skraca się dalej przez $6$ do $\frac{2}{3}$ . Na sprawdzianie to zwykle punkt mniej, bo odpowiedzi podaje się w postaci nieskracalnej nawet bez wyraźnego polecenia.

Jak zrobić dobrze: Po każdym skróceniu zadaj jedno pytanie: „czy da się jeszcze?”. Sprawdź parzystość, potem sumę cyfr, potem piątkę. Dopiero gdy wszystkie trzy próby zawiodą, wynik jest gotowy. Skracanie przez NWD od razu omija ten problem, bo z definicji kończy się na postaci nieskracalnej.

Skracanie liczb, które nie są całym licznikiem i mianownikiem

Skąd się bierze: Gdy w ułamku pojawia się suma, na przykład $\frac{2 + 4}{4}$ , kusi, żeby skrócić czwórkę z czwórką i zostawić $\textcolor{#9b1c14}{\frac{2 + 1}{1}}$ . Tak nie wolno: skracanie dotyczy całej wartości licznika i całej wartości mianownika, a nie pojedynczych składników sumy. Tu trzeba najpierw dodać: $\frac{2 + 4}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ .

Jak zrobić dobrze: Zasada brzmi: najpierw wykonaj działania w liczniku i mianowniku, dopiero potem skracaj. Skracać wolno czynniki iloczynu, nigdy składniki sumy — dlatego $\frac{2 \cdot 4}{4}$ wolno skrócić do $2$ , a $\frac{2 + 4}{4}$ nie.

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — działania na ułamkach

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 1 zadanie z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.

Kolor pokazuje, co w co się zamienia. Przy sprowadzaniu do wspólnego mianownika widać, przez ile rozszerzamy pierwszy ułamek, a przez ile drugi. Przy dzieleniu przez ułamek kolorem zaznaczamy ten, który się odwraca. W zwykłych rachunkach liczby zostają czarne.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2025)1 pkttrudniejsze

Dane jest wyrażenie

\left(2{,}4 - 5\dfrac{1}{3}\right) : (-2)

. Dokończ zdanie.
Wartość tego wyrażenia jest równa

A. $-1\dfrac{8}{15}$
B. $-1\dfrac{7}{15}$
C. $1\dfrac{7}{15}$
D. $1\dfrac{8}{15}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Sprowadzamy obie liczby do ułamków zwykłych: $2{,}4 = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{12}{5}}$ , a $5\dfrac13 = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{16}{3}}$ (bo $5 \cdot 3 + 1 = 16$ ).
Wspólny mianownik dla 5 i 3 to 15. Rozszerzamy: pierwszy ułamek razy 3, drugi razy 5.
$\textcolor{#16A06A}{\dfrac{12}{5}} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{36}{15}}$ oraz $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{16}{3}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{80}{15}}$ .
Odejmujemy: $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{36}{15}} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{80}{15}} = -\dfrac{44}{15}$ .
Dzielimy przez $(-2)$ : $-\dfrac{44}{15} : (-2) = \dfrac{44}{30} = \dfrac{22}{15}$ .
Zamieniamy na liczbę mieszaną: $\dfrac{22}{15} = 1\dfrac{7}{15}$ — odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Kontrola znaku bez rachunków: w nawiasie od mniejszej liczby (2,4) odejmujemy większą ( $5\tfrac13$ ), więc wynik jest ujemny. Ujemna dzielona przez ujemną daje dodatnią — to od razu skreśla odpowiedzi A i B.

⚠ Dwa typowe błędy: (1) zamiana $5\tfrac13$ na $\tfrac{15}{3}$ zamiast $\tfrac{16}{3}$ (zapomniana jedynka); (2) zgubienie minusa przy dzieleniu i wybór odpowiedzi B.

Zadanie 2 (czerwiec 2023)1 pktśrednie

Z tasiemki o długości

\dfrac{2}{3}

m odcięto kawałek o długości pół metra. Dokończ zdanie.
Pozostała po odcięciu część tasiemki ma długość

A. mniejszą od 15 cm.
B. większą od 15 cm, ale mniejszą od 16 cm.
C. równą 16 cm.
D. większą od 16 cm, ale mniejszą od 17 cm.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Odejmujemy ułamki — wspólny mianownik dla 3 i 2 to 6.
$\textcolor{#16A06A}{\dfrac{2}{3}} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{4}{6}}$ (razy 2) oraz $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{2}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{6}}$ (razy 3).
$\textcolor{#16A06A}{\dfrac{4}{6}} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{6}} = \dfrac{1}{6}$ metra.
Zamieniamy na centymetry: $\dfrac{1}{6}$ m $= \dfrac{100}{6}$ cm $= 16\dfrac{2}{3}$ cm $\approx 16{,}67$ cm.
To liczba większa od 16, ale mniejsza od 17 — odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Nie zaokrąglaj za wcześnie. Gdyby ktoś przyjął $\tfrac23$ m $\approx 66$ cm, wyszłoby 16 cm i błędna odpowiedź C. Licz na ułamkach do samego końca.

⚠ Najczęstszy błąd: potraktowanie $\tfrac16$ m jako 16 cm (bo „szóstka”). $\tfrac16$ metra to $100 : 6 \approx 16{,}67$ cm — właśnie te dwie trzecie centymetra decydują o odpowiedzi.

Zadanie 3 (maj 2023)1 pktśrednie

Dostęp do pliku jest chroniony hasłem

* * T * *

złożonym z dwóch liczb dwucyfrowych oddzielonych literą T. Pierwsza liczba hasła to sześcian liczby 4, a druga to najmniejszy wspólny mianownik ułamków

\dfrac{1}{15}

\dfrac{1}{25}

. Jakie jest hasło do pliku?

A. $24\text{T}45$
B. $24\text{T}75$
C. $64\text{T}45$
D. $64\text{T}75$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Pierwsza liczba — sześcian liczby 4, czyli $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = \textcolor{#16A06A}{64}$ .
Druga liczba — najmniejszy wspólny mianownik ułamków $\tfrac{1}{15}$ i $\tfrac{1}{25}$ to po prostu $\mathrm{NWW}(15, 25)$ .
Rozkładamy: $15 = 3 \cdot 5$ , $25 = 5^2$ . Bierzemy każdy czynnik w najwyższej potędze: $3 \cdot 5^2 = \textcolor{#E0453A}{75}$ .
Sprawdzamy: $75 : 15 = 5$ ✓ oraz $75 : 25 = 3$ ✓ — 75 dzieli się przez oba mianowniki.
Hasło: $\textcolor{#16A06A}{64}\text{T}\textcolor{#E0453A}{75}$ — odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Wspólny mianownik zawsze da się uzyskać, mnożąc mianowniki ( $15 \cdot 25 = 375$ ) — ale najmniejszy to zwykle mniej. Tu 75, czyli pięć razy mniej.

⚠ Dwa typowe błędy: (1) policzenie $4^3$ jako $4 \cdot 3 = 12$ albo $4 \cdot 6 = 24$ (kusząca odpowiedź A i B); (2) podanie 45 jako wspólnego mianownika — 45 nie dzieli się przez 25.

Zadanie 4 (maj 2021)1 pktśrednie

Uzupełnij zdania.

Wartość wyrażenia

\dfrac{3}{7} + \dfrac{3}{5}

jest liczbą AB.

A. mniejszą od 1
B. większą od 1

Wartość wyrażenia

\dfrac{3}{7} - \dfrac{3}{5}

jest liczbą CD.

C. ujemną
D. dodatnią

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, C

Wspólny mianownik dla 7 i 5 to 35. Rozszerzamy: $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{3}{7}} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{15}{35}}$ (razy 5), a $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{5}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{21}{35}}$ (razy 7).
Suma: $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{15}{35}} + \textcolor{#E0453A}{\dfrac{21}{35}} = \dfrac{36}{35} > 1$ — odpowiedź B.
Różnica: $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{15}{35}} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{21}{35}} = -\dfrac{6}{35}$ — liczba ujemna, odpowiedź C.
Razem: B, C.

💡 Wskazówka: Można odpowiedzieć bez liczenia. Ułamki mają ten sam licznik, więc większy jest ten o mniejszym mianowniku: $\tfrac35 > \tfrac37$ . Skoro odejmujemy większy od mniejszego — wynik ujemny. A skoro $\tfrac35$ to ponad połowa i $\tfrac37$ też ponad jedną trzecią — suma przekracza 1.

⚠ Najczęstszy błąd: dodawanie „licznik do licznika, mianownik do mianownika” ( $\tfrac{3}{7} + \tfrac{3}{5} = \tfrac{6}{12}$ ). Tak się ułamków nie dodaje — potrzebny jest wspólny mianownik.

Zadanie 5 (grudzień 2017)1 pkttrudniejsze

Uzupełnij zdania.

Wartość wyrażenia

4{,}5 : 0{,}75

jest równa wartości wyrażenia AB.

A. $\dfrac{450}{75}$
B. $\dfrac{45}{75}$

Wartość wyrażenia

1{,}25 \cdot 0{,}4

jest równa wartości wyrażenia CD.

C. $\dfrac{125 \cdot 4}{100}$
D. $\dfrac{125 \cdot 4}{1000}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A, D

Pierwsze zdanie. Dzielenie zapisujemy jako ułamek: $4{,}5 : 0{,}75 = \dfrac{4{,}5}{0{,}75}$ .
Żeby usunąć przecinki, mnożymy licznik i mianownik przez tę samą liczbę — tu przez 100: $\dfrac{4{,}5 \cdot 100}{0{,}75 \cdot 100} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{450}}{\textcolor{#16A06A}{75}}$ — odpowiedź A.
(Sprawdzenie: $450 : 75 = 6$ , i rzeczywiście $4{,}5 : 0{,}75 = 6$ .)
Drugie zdanie. Tu mnożymy, więc liczymy miejsca po przecinku: $1{,}25$ ma dwa, $0{,}4$ ma jedno — razem trzy.
Zatem $1{,}25 \cdot 0{,}4 = \dfrac{125}{100} \cdot \dfrac{4}{10} = \dfrac{125 \cdot 4}{\textcolor{#E0453A}{1000}}$ — odpowiedź D.
(Sprawdzenie: $\dfrac{500}{1000} = 0{,}5$ , i rzeczywiście $1{,}25 \cdot 0{,}4 = 0{,}5$ .)
Razem: A, D.

💡 Wskazówka: Kluczowa różnica: przy dzieleniu mnożymy obie liczby przez to samo (wynik bez zmian), przy mnożeniu mianowniki się mnożą ( $100 \cdot 10 = 1000$ ).

⚠ Najczęstszy błąd w pierwszym zdaniu: pomnożenie tylko mianownika przez 100, a licznika przez 10 (odpowiedź B) — to zmienia wynik dziesięciokrotnie.

Zadanie 6 (kwiecień 2013, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Ile spośród liczb

\;\dfrac{2}{3}

\dfrac{1}{2}

\dfrac{10}{25}

\dfrac{1}{4}\;

spełnia warunek

\dfrac{2}{5} < x < \dfrac{3}{5}

A. Jedna liczba.
B. Dwie liczby.
C. Trzy liczby.
D. Cztery liczby.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Najwygodniej zamienić wszystko na ułamki dziesiętne. Granice: $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{2}{5}} = \textcolor{#16A06A}{0{,}4}$ oraz $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{5}} = \textcolor{#E0453A}{0{,}6}$ .
$\dfrac{2}{3} \approx 0{,}667$ — to więcej niż $\textcolor{#E0453A}{0{,}6}$ ✗
$\dfrac{1}{2} = 0{,}5$ — mieści się między $\textcolor{#16A06A}{0{,}4}$ a $\textcolor{#E0453A}{0{,}6}$ ✓
$\dfrac{10}{25} = \dfrac{2}{5} = \textcolor{#16A06A}{0{,}4}$ — to dokładnie granica, a nierówność jest ostra, więc nie liczy się ✗
$\dfrac{1}{4} = 0{,}25$ — mniej niż $\textcolor{#16A06A}{0{,}4}$ ✗
Warunek spełnia tylko jedna liczba — odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Warto znać na pamięć: $\tfrac15 = 0{,}2$ , $\tfrac14 = 0{,}25$ , $\tfrac13 \approx 0{,}33$ , $\tfrac12 = 0{,}5$ , $\tfrac23 \approx 0{,}67$ , $\tfrac34 = 0{,}75$ . Oszczędza mnóstwo czasu na egzaminie.

⚠ Najczęstszy błąd: zaliczenie $\tfrac{10}{25}$ . Po skróceniu to dokładnie $\tfrac25$ , czyli granica przedziału — a znak „ $<$ ” jej nie obejmuje.

Zadania otwarte

Zadanie 7 (maj 2021)2 pktśrednie

Paweł powiedział, że podzieli tabliczkę czekolady w taki sposób, że bratu przypadnie

\dfrac{1}{2}

całej tabliczki, siostrze

\dfrac{5}{12}

całej tabliczki, a jemu

\dfrac{1}{6}

całej tabliczki. Czy taki podział tabliczki czekolady jest możliwy? Uzasadnij swoją odpowiedź.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: Nie — części sumują się do 13/12, czyli więcej niż cała tabliczka

Cała tabliczka to jedna całość, czyli 1. Sprawdzamy więc, ile daje suma wszystkich trzech części.
Wspólny mianownik dla 2, 12 i 6 to 12. Rozszerzamy każdy ułamek:
$\textcolor{#16A06A}{\dfrac{1}{2}} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{6}{12}}$ (razy 6) · $\dfrac{5}{12}$ zostaje bez zmian · $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{6}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{2}{12}}$ (razy 2).
Sumujemy: $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{6}{12}} + \dfrac{5}{12} + \textcolor{#E0453A}{\dfrac{2}{12}} = \dfrac{13}{12}$ .
Otrzymaliśmy $\dfrac{13}{12} = 1\dfrac{1}{12}$ , czyli więcej niż całą tabliczkę.
Odpowiedź: taki podział nie jest możliwy — Pawłowi zabrakłoby $\dfrac{1}{12}$ tabliczki, bo obiecał łącznie więcej, niż ma.

💡 Wskazówka: W zadaniach „czy taki podział jest możliwy” zawsze sprawdzaj, czy części sumują się do dokładnie 1. Mniej niż 1 oznacza, że coś zostaje; więcej — że podział jest niewykonalny.

⚠ Za samą odpowiedź „nie” bez obliczeń komisja nie przyzna punktów. Trzeba pokazać sumę $\tfrac{13}{12}$ i wyraźnie napisać, że to więcej niż jedna całość.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. C	2. D	3. D	4. B, C	5. A, D	6. A
7. Nie — części sumują się do 13/12, czyli więcej niż cała tabliczka

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

8Pytania i odpowiedzi

Na czym polega skracanie ułamków?

Na podzieleniu licznika i mianownika przez tę samą liczbę większą od $1$ . Wartość ułamka się nie zmienia, zmienia się tylko zapis: $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ . Skracamy tak długo, aż licznik i mianownik nie będą już miały wspólnego dzielnika — wtedy ułamek jest nieskracalny.

Na czym polega rozszerzanie ułamków?

Na pomnożeniu licznika i mianownika przez tę samą liczbę: $\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$ . To ruch odwrotny do skracania. Robi się to głównie po to, żeby sprowadzić kilka ułamków do wspólnego mianownika — bez tego nie da się ich dodać ani łatwo porównać.

Dlaczego wartość ułamka się nie zmienia?

Bo mnożenie licznika i mianownika przez tę samą liczbę to mnożenie całego ułamka przez $\frac{3}{3}$ , $\frac{4}{4}$ i tak dalej — czyli przez jedynkę zapisaną inaczej. Mnożenie przez $1$ nigdy nic nie zmienia. Ze skracaniem jest tak samo, tylko w drugą stronę.

Skąd wiadomo, że ułamek jest już nieskracalny?

Gdy licznik i mianownik nie mają wspólnego dzielnika większego od $1$ . W praktyce sprawdza się trzy rzeczy: czy obie liczby są parzyste, czy sumy ich cyfr dzielą się przez $3$ i czy obie kończą się na $0$ albo $5$ . Jeśli wszystkie trzy próby zawiodą, ułamek jest zwykle gotowy.

Jak rozszerzyć ułamek do konkretnego mianownika?

Podziel nowy mianownik przez stary — to daje liczbę, przez którą mnożysz. Żeby rozszerzyć $\frac{2}{7}$ do mianownika $35$ : $35 : 7 = 5$ , więc $\frac{2 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{10}{35}$ . Jeśli dzielenie nie wychodzi całkowicie, rozszerzenie do takiego mianownika jest niemożliwe.

Czy każdy ułamek da się skrócić?

Nie. $\frac{7}{12}$ , $\frac{3}{4}$ czy $\frac{5}{8}$ są już nieskracalne — ich liczniki i mianowniki nie mają wspólnego dzielnika większego od $1$ . „Nie da się skrócić” jest pełną i poprawną odpowiedzią, a nie znakiem, że coś się przeoczyło.

Czy skracać przed mnożeniem ułamków, czy po?

Najlepiej przed — wtedy mnoży się małe liczby zamiast dużych. Przy mnożeniu wolno skracać także „na krzyż”, czyli licznik jednego ułamka z mianownikiem drugiego, bo po pomnożeniu i tak wszystkie liczniki trafią nad kreskę. Szczegóły na stronie o mnożeniu ułamków zwykłych.

Czytaj dalej

Działania na ułamkachHub działu: dodawanie, mnożenie, dzielenie i skracanie Ułamki zwykłe od podstawLicznik, mianownik, ułamek właściwy, niewłaściwy i nieskracalny Dodawanie i odejmowanie ułamkówGłówny powód, dla którego w ogóle rozszerzamy ułamki Mnożenie ułamków zwykłychTu skracanie robi się przed działaniem, nie po nim Cechy podzielnościPrzez co dzieli się liczba — bez tego skracanie idzie po omacku

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.