Strona główna › Potęgi i pierwiastki › Notacja wykładnicza

Notacja wykładnicza

Zapis 3 400 0003\,400\,000 i zapis 3,4⋅1063{,}4 \cdot 10^6 oznaczają tę samą liczbę, ale tylko drugi z nich da się porównać z innym jednym spojrzeniem. Notacja wykładnicza istnieje po to, żeby nie liczyć zer — a liczenie zer to czynność, w której ludzie mylą się częściej niż w jakimkolwiek rachunku. Cała technika sprowadza się do jednego warunku, który trzeba potraktować dosłownie.

Dział: Potęgi i pierwiastkiPoziom: klasy 7–8 i liceumZadań z matury: 3

Przejdź od razu do zadań (3) ↓

1Jeden warunek, który decyduje o wszystkim

To jest w podstawie programowej

Podstawa dla szkoły podstawowej, klasy VII i VIII, dział I. Potęgi o podstawach wymiernych, punkt 5 brzmi dosłownie: „odczytuje i zapisuje liczby w notacji wykładniczej a⋅10ka \cdot 10^k, gdy 1≤a≤101 \leq a \leq 10, kk jest liczbą całkowitą”.

Warto spojrzeć na prawą nierówność. W obiegu spotyka się dwa zapisy tego warunku — z nierównością nieostrą 1≤a≤101 \leq a \leq 10 i z ostrą 1≤a<101 \leq a < 10 — a poprawna jest ostra. Powód jest jeden i rozstrzygający: tylko przy niej zapis jest jednoznaczny, bo 10⋅10k10 \cdot 10^k to przecież po prostu 1⋅10k+11 \cdot 10^{k+1}, czyli ta sama liczba w dwóch postaciach. Na tej stronie trzymam się wersji z ostrą nierównością i tak samo radzę robić w zadaniach.

Zwróć uwagę, że warunek 1≤a<101 \leq a < 10 jest częścią definicji, a nie zaleceniem estetycznym. Wracam do niego w następnej sekcji, bo to on odpowiada za większość błędów.

Notacja wykładnicza to zapis liczby jako iloczynu a⋅10ka \cdot 10^k, w którym aa mieści się w przedziale od jedynki włącznie do dziesiątki wyłącznie, a kk jest liczbą całkowitą — dodatnią, ujemną albo zerem.

Liczba aa nosi nazwę mantysy, a kk — wykładnika albo rzędu wielkości.

liczbanotacja wykładniczamantysa aawykładnik kk
3 400 0003\,400\,0003,4⋅1063{,}4 \cdot 10^63,43{,}466
0,000720{,}000727,2⋅10−47{,}2 \cdot 10^{-4}7,27{,}2−4-4
555⋅1005 \cdot 10^05500
−2 500-2\,500−2,5⋅103-2{,}5 \cdot 10^32,52{,}533

Trzeci wiersz bywa zaskoczeniem: zwykła liczba jednocyfrowa też ma zapis w notacji wykładniczej, tylko z wykładnikiem zero. Czwarty pokazuje, że znak minus stoi przed całością — mantysa pozostaje dodatnia.

Po co to komu? Bo w naukach przyrodniczych i technice liczby są albo bardzo duże, albo bardzo małe, a zapis dziesiętny staje się wtedy nieczytelny. Masa elektronu to 0,000000000000000000000000000000910{,}00000000000000000000000000000091 kg albo 9,1⋅10−319{,}1 \cdot 10^{-31} kg — druga postać mówi to samo, a da się ją przeczytać.

2Dlaczego 1≤a<101 \leq a < 10 i co to znaczy w praktyce

Warunek na mantysę ma jeden powód: żeby każda liczba miała dokładnie jeden zapis. Bez niego ta sama liczba dałaby się zapisać na nieskończenie wiele sposobów i porównywanie przestałoby działać.

Doprowadzenie zapisu do poprawnej postaci nazywa się normalizacją. Zasada jest jedna i wynika wprost z praw działań na potęgach:

Normalizacja — bilans, który musi się zgadzać

Przesunięcie przecinka w mantysie o jedno miejsce w lewo (czyli podzielenie jej przez 1010) wymaga zwiększenia wykładnika o 11.

Przesunięcie o jedno miejsce w prawo (pomnożenie przez 1010) wymaga zmniejszenia wykładnika o 11.

Sens jest prosty: coś, co zabrałeś mantysie, musisz oddać potędze dziesiątki. Liczba ma zostać ta sama.

Przykład: 25⋅103=2,5⋅10425 \cdot 10^3 = 2{,}5 \cdot 10^4 — mantysa zmalała dziesięciokrotnie, więc wykładnik urósł o jeden. Kontrola: obie strony to 25 00025\,000 ✓

Ta sama zasada rządzi zamianą zwykłego zapisu na notację. Wykładnik mówi, o ile miejsc przesunął się przecinek — dodatni w prawo, ujemny w lewo.

liczbagdzie stawiam przecinekile miejscwynik
3 400 0003\,400\,000między 33 a 4466 w lewo3,4⋅1063{,}4 \cdot 10^{6}
0,000720{,}00072między 77 a 2244 w prawo7,2⋅10−47{,}2 \cdot 10^{-4}
91,591{,}5między 99 a 1111 w lewo9,15⋅1019{,}15 \cdot 10^{1}

Skrót pamięciowy, który nie zawodzi: liczba duża ma wykładnik dodatni, liczba mała (mniejsza od jedynki) — ujemny. Jeśli wyszło odwrotnie, przecinek pojechał w złą stronę.

3Mnożenie i dzielenie — tu notacja naprawdę zarabia

Sekcja o tym, czego nie da się zrobić w zapisie dziesiętnym bez kalkulatora. Mantysy i potęgi liczy się osobno, bo mnożenie jest przemienne i wolno je pogrupować.

(a⋅10m)⋅(b⋅10n)=(a⋅b)⋅10m+n(a \cdot 10^{m}) \cdot (b \cdot 10^{n}) = (a \cdot b) \cdot 10^{m+n}
a⋅10mb⋅10n=ab⋅10m−n\frac{a \cdot 10^{m}}{b \cdot 10^{n}} = \frac{a}{b} \cdot 10^{m-n}

Wykładniki dodają się przy mnożeniu i odejmują przy dzieleniu — to nie nowa reguła, tylko prawa działań na potęgach zastosowane do podstawy 1010.

Przykład dzielenia: 4,5⋅10−81,5⋅102=4,51,5⋅10−8−2=3⋅10−10\frac{\textcolor{#16A06A}{4{,}5} \cdot 10^{\textcolor{#16A06A}{-8}}}{\textcolor{#16A06A}{1{,}5} \cdot 10^{\textcolor{#16A06A}{2}}} = \frac{\textcolor{#16A06A}{4{,}5}}{\textcolor{#16A06A}{1{,}5}} \cdot 10^{\textcolor{#16A06A}{-8}-\textcolor{#16A06A}{2}} = \textcolor{#E0453A}{3} \cdot 10^{\textcolor{#E0453A}{-10}}.

Zwróć uwagę, że −8−2=−10-8 - 2 = -10, a nie −6-6. Odejmowanie liczby dodatniej od ujemnej oddala od zera — to najczęstsze potknięcie w tym rachunku.

Po działaniu sprawdź mantysę

Wynik działania nie musi być w notacji wykładniczej, nawet jeśli oba składniki były.

(6⋅105)⋅(4⋅107)=24⋅1012(6 \cdot 10^5) \cdot (4 \cdot 10^7) = 24 \cdot 10^{12} — mantysa 2424 przekroczyła dziesiątkę, więc trzeba znormalizować: =2,4⋅1013= 2{,}4 \cdot 10^{13}.

2⋅1038⋅101=0,25⋅102\frac{2 \cdot 10^3}{8 \cdot 10^1} = 0{,}25 \cdot 10^{2} — mantysa spadła poniżej jedynki, więc =2,5⋅101= 2{,}5 \cdot 10^{1}.

Normalizacja jest ostatnim krokiem każdego działania, nie opcją. Wynik z mantysą poza przedziałem nie jest zapisany w notacji wykładniczej, choćby był liczbowo poprawny.

Przy potęgowaniu obie części podnosi się do potęgi osobno: (3⋅104)2=32⋅108=9⋅108(3 \cdot 10^4)^2 = 3^2 \cdot 10^{8} = \textcolor{#E0453A}{9} \cdot 10^{\textcolor{#E0453A}{8}}. Gdyby mantysa po podniesieniu wyszła powyżej dziesiątki, wynik znów trzeba znormalizować.

4Porównywanie: najpierw wykładnik, dopiero potem mantysa

To główny powód, dla którego notacja w ogóle powstała, i jednocześnie miejsce, w którym najłatwiej pójść na skróty.

Kolejność patrzenia

Krok 1 — porównaj wykładniki. Liczba o większym wykładniku jest większa. Koniec, mantysy nie trzeba nawet czytać.

Krok 2 — tylko przy równych wykładnikach porównaj mantysy.

Uwaga: reguła działa dla liczb dodatnich. Przy ujemnych, jak wszędzie, kolejność się odwraca.

Dlatego 1,2⋅1081{,}2 \cdot 10^{8} jest większe od 9,9⋅1079{,}9 \cdot 10^{7}, mimo że mantysa 1,21{,}2 wygląda przy 9,99{,}9 mizernie. Decyduje wykładnik, bo jedna dziesiątka to więcej niż cała różnica między mantysami — te mogą różnić się najwyżej dziesięciokrotnie, a rząd wielkości zmienia się dokładnie dziesięciokrotnie.

Stąd bierze się pojęcie rzędu wielkości: dwie liczby są tego samego rzędu, gdy mają ten sam wykładnik. Powiedzenie „różnią się o trzy rzędy wielkości” znaczy „jedna jest około tysiąc razy większa”.

wielkośćnotacja wykładniczarząd
średnica atomu wodoru1⋅10−101 \cdot 10^{-10} m−10-10
grubość kartki papieru1⋅10−41 \cdot 10^{-4} m−4-4
wzrost człowieka1,7⋅1001{,}7 \cdot 10^{0} m00
promień Ziemi6,4⋅1066{,}4 \cdot 10^{6} m66
odległość Ziemia–Słońce1,5⋅10111{,}5 \cdot 10^{11} m1111

Tabela pokazuje coś, czego zapis dziesiętny nie pokaże: od atomu do orbity Ziemi jest dokładnie 2121 rzędów wielkości, i to wystarczy odczytać z ostatniej kolumny, bez patrzenia na mantysy.

5Przykłady krok po kroku

Cztery przykłady: zamiana w obie strony, dwa działania z normalizacją, porównanie z życia i jeden sprytny rachunek z potęgami.

Przykład 1 Zamiana w obie strony

Zapisz w notacji wykładniczej liczby 3 400 000\textcolor{#16A06A}{3\,400\,000} oraz 0,00072\textcolor{#16A06A}{0{,}00072}. Następnie zapisz dziesiętnie liczbę 2,5⋅10−6\textcolor{#16A06A}{2{,}5} \cdot 10^{\textcolor{#16A06A}{-6}}.

  1. 3 400 000\textcolor{#16A06A}{3\,400\,000} — przecinek stawiam za pierwszą cyfrą, czyli między 33 a 44: mantysa to 3,43{,}4.
  2. Liczę, o ile miejsc przesunąłem przecinek: z końca liczby na drugą pozycję, czyli o 66 miejsc w lewo. Liczba jest duża, więc wykładnik dodatni: 3,4⋅106\textcolor{#E0453A}{3{,}4 \cdot 10^{6}}.
  3. Kontrola: 3,4⋅106=3,4⋅1 000 000=3 400 0003{,}4 \cdot 10^6 = 3{,}4 \cdot 1\,000\,000 = 3\,400\,000 ✓
  4. 0,00072\textcolor{#16A06A}{0{,}00072} — pierwsza cyfra znacząca to 77, więc mantysa to 7,27{,}2.
  5. Przecinek przesunąłem o 44 miejsca w prawo, a liczba jest mniejsza od jedynki, więc wykładnik ujemny: 7,2⋅10−4\textcolor{#2F80D8}{7{,}2 \cdot 10^{-4}}.
  6. Kontrola: 7,2⋅10−4=7,2:10 000=0,000727{,}2 \cdot 10^{-4} = 7{,}2 : 10\,000 = 0{,}00072 ✓
  7. W drugą stronę: 2,5⋅10−6\textcolor{#16A06A}{2{,}5} \cdot 10^{\textcolor{#16A06A}{-6}} — wykładnik −6-6 oznacza przesunięcie przecinka o 66 miejsc w lewo, czyli 0,0000025\textcolor{#8B5CF6}{0{,}0000025}.

Odpowiedź: 3,4⋅1063{,}4 \cdot 10^{6},   7,2⋅10−4\;7{,}2 \cdot 10^{-4},   0,0000025\;0{,}0000025.

Kontrola po każdej zamianie kosztuje kilka sekund i wychwytuje jedyny realny błąd w tym zadaniu — pomylony kierunek przesunięcia. Warto też zapamiętać, że liczba zer nie równa się wykładnikowi: w 0,000720{,}00072 są cztery zera po przecinku i wykładnik też wynosi −4-4, ale w 0,00720{,}0072 zer jest dwa, a wykładnik to −3-3.

Przykład 2 Dzielenie i mnożenie z normalizacją

Oblicz 4,5⋅10−81,5⋅102\dfrac{\textcolor{#16A06A}{4{,}5} \cdot 10^{\textcolor{#16A06A}{-8}}}{\textcolor{#16A06A}{1{,}5} \cdot 10^{\textcolor{#16A06A}{2}}} oraz (6⋅105)⋅(4⋅107)(\textcolor{#16A06A}{6} \cdot 10^{\textcolor{#16A06A}{5}}) \cdot (\textcolor{#16A06A}{4} \cdot 10^{\textcolor{#16A06A}{7}}). Wyniki podaj w notacji wykładniczej.

  1. Dzielenie. Rozdzielam mantysy i potęgi: 4,51,5⋅10−8−2\frac{\textcolor{#16A06A}{4{,}5}}{\textcolor{#16A06A}{1{,}5}} \cdot 10^{\textcolor{#16A06A}{-8} - \textcolor{#16A06A}{2}}.
  2. Mantysy: 4,51,5=3\frac{4{,}5}{1{,}5} = \textcolor{#E0453A}{3}.
  3. Wykładniki odejmuję: −8−2=−10\textcolor{#16A06A}{-8} - \textcolor{#16A06A}{2} = \textcolor{#E0453A}{-10}. Uwaga — odejmowanie dwójki od minus ósemki oddala od zera.
  4. Wynik: 3⋅10−10\textcolor{#E0453A}{3} \cdot 10^{\textcolor{#E0453A}{-10}}. Mantysa 33 mieści się w przedziale [1,10)[1, 10), więc normalizacja nie jest potrzebna ✓
  5. Mnożenie. Mantysy: 6⋅4=24\textcolor{#16A06A}{6} \cdot \textcolor{#16A06A}{4} = \textcolor{#2F80D8}{24}. Wykładniki dodaję: 5+7=12\textcolor{#16A06A}{5} + \textcolor{#16A06A}{7} = \textcolor{#2F80D8}{12}.
  6. Otrzymałem 24⋅1012\textcolor{#2F80D8}{24} \cdot 10^{\textcolor{#2F80D8}{12}} — ale 24≥1024 \geq 10, więc to jeszcze nie jest notacja wykładnicza.
  7. Normalizuję: przecinek w mantysie o jedno miejsce w lewo, wykładnik o jeden w górę: 2,4⋅1013\textcolor{#8B5CF6}{2{,}4} \cdot 10^{\textcolor{#8B5CF6}{13}}.
  8. Kontrola bilansu: mantysa zmalała dziesięciokrotnie, wykładnik urósł o 11 — liczba się nie zmieniła ✓

Odpowiedź: 3⋅10−103 \cdot 10^{-10} oraz 2,4⋅10132{,}4 \cdot 10^{13}.

Drugi rachunek pokazuje, dlaczego normalizacja jest krokiem obowiązkowym, a nie kosmetycznym. Odpowiedź 24⋅101224 \cdot 10^{12} jest liczbowo poprawna, ale nie jest zapisana w notacji wykładniczej — a zadanie prosiło właśnie o nią.

Przykład 3 Ile razy dalej jest Słońce niż Księżyc

Odległość Ziemi od Słońca to około 1,5⋅1011\textcolor{#16A06A}{1{,}5} \cdot 10^{\textcolor{#16A06A}{11}} m, a od Księżyca 3,84⋅108\textcolor{#16A06A}{3{,}84} \cdot 10^{\textcolor{#16A06A}{8}} m. Ile razy dalej jest Słońce?

  1. Pytanie „ile razy” to dzielenie: 1,5⋅10113,84⋅108\frac{\textcolor{#16A06A}{1{,}5} \cdot 10^{\textcolor{#16A06A}{11}}}{\textcolor{#16A06A}{3{,}84} \cdot 10^{\textcolor{#16A06A}{8}}}.
  2. Wykładniki: 11−8=3\textcolor{#16A06A}{11} - \textcolor{#16A06A}{8} = \textcolor{#E0453A}{3}.
  3. Mantysy: 1,53,84=0,390625\frac{\textcolor{#16A06A}{1{,}5}}{\textcolor{#16A06A}{3{,}84}} = \textcolor{#2F80D8}{0{,}390625} — dokładnie, bo 3,84⋅0,390625=1,53{,}84 \cdot 0{,}390625 = 1{,}5.
  4. Otrzymuję 0,390625⋅103\textcolor{#2F80D8}{0{,}390625} \cdot 10^{\textcolor{#E0453A}{3}}, ale mantysa jest mniejsza od jedynki — normalizuję, przesuwając przecinek o jedno miejsce w prawo i zmniejszając wykładnik o 11.
  5. Wynik dokładny: 3,90625⋅102\textcolor{#8B5CF6}{3{,}90625} \cdot 10^{2}.
  6. Zaokrąglam, bo pytanie jest praktyczne: około 390390 razy.
  7. Kontrola rzędem wielkości: różnica wykładników to 33, a mantysa Słońca jest mniejsza, więc wynik musi być poniżej tysiąca — i jest ✓

Odpowiedź: Około 3,9⋅1023{,}9 \cdot 10^{2}, czyli mniej więcej 390390 razy dalej.

Ostatni krok to kontrola, którą warto robić zawsze: sama różnica wykładników daje zgrubny wynik (10310^3, czyli rząd tysiąca), a mantysy tylko go korygują. Gdyby wyszło 3939 albo 3 9003\,900, byłby to sygnał pomyłki o rząd wielkości.

Przykład 4 Ile cyfr ma liczba 214⋅5152^{14} \cdot 5^{15}

Liczba naturalna n=214⋅515n = \textcolor{#16A06A}{2^{14}} \cdot \textcolor{#16A06A}{5^{15}}. Ile cyfr ma jej zapis dziesiętny?

  1. Kusi, żeby liczyć obie potęgi — to droga przez mękę. Zamiast tego szukam par dwójka–piątka, bo 2⋅5=102 \cdot 5 = 10.
  2. Rozbijam większą potęgę: 515=514⋅5\textcolor{#16A06A}{5^{15}} = 5^{14} \cdot 5.
  3. Grupuję: n=214⋅514⋅5=(2⋅5)14⋅5=1014⋅5n = \textcolor{#16A06A}{2^{14}} \cdot 5^{14} \cdot 5 = (2 \cdot 5)^{14} \cdot 5 = \textcolor{#E0453A}{10^{14}} \cdot 5.
  4. Zapisuję w notacji wykładniczej: n=5⋅1014n = \textcolor{#2F80D8}{5 \cdot 10^{14}} — mantysa 55 mieści się w przedziale, więc zapis jest poprawny.
  5. Teraz odczytuję liczbę cyfr: to piątka, po której stoi 1414 zer.
  6. Cyfr jest zatem 1+14=151 + 14 = \textcolor{#8B5CF6}{15}.
  7. Kontrola na mniejszym przypadku: 22⋅53=4⋅125=500=5⋅1022^2 \cdot 5^3 = 4 \cdot 125 = 500 = 5 \cdot 10^2 — trzy cyfry, i rzeczywiście 1+2=31 + 2 = 3 ✓

Odpowiedź: Liczba n=5⋅1014n = 5 \cdot 10^{14} ma 1515 cyfr.

To zadanie w typie maturalnym i notacja wykładnicza jest w nim całą metodą, a nie ozdobnikiem. Ogólna zasada: liczba postaci a⋅10ka \cdot 10^k, w której aa jest jednocyfrowe, ma dokładnie k+1k+1 cyfr. Liczenie 2142^{14} i 5155^{15} osobno zajęłoby kwadrans i skończyło się błędem.

6Najczęstsze błędy

Pięć błędów. Trzy pierwsze biorą się z tego samego — z potraktowania warunku na mantysę jako sugestii.

Zostawienie mantysy poza przedziałem [1,10)[1, 10)

Skąd się bierze: Po pomnożeniu 6⋅1056 \cdot 10^5 przez 4⋅1074 \cdot 10^7 wychodzi 24⋅101224 \cdot 10^{12} i rachunek wydaje się skończony. Ale 24≥1024 \geq 10, więc to nie jest zapis w notacji wykładniczej — a zadanie zwykle prosi właśnie o nią. Ten sam problem od drugiej strony daje 0,25⋅1020{,}25 \cdot 10^2.

Jak zrobić dobrze: Traktuj normalizację jako ostatni, obowiązkowy krok każdego działania. Po zapisaniu wyniku spójrz na mantysę i zadaj sobie jedno pytanie: czy jest co najmniej 11 i mniej niż 1010? Jeśli nie — przesuń przecinek i popraw wykładnik o tyle samo w drugą stronę.

Przesunięcie przecinka bez poprawienia wykładnika

Skąd się bierze: Normalizując 24⋅101224 \cdot 10^{12} uczeń pisze 2,4⋅10122{,}4 \cdot 10^{12} — mantysę poprawił, wykładnika nie ruszył. Wynik zmalał dziesięciokrotnie i nie ma z pierwotną liczbą nic wspólnego, choć wygląda absolutnie poprawnie. To najgroźniejszy błąd na tej stronie, bo nie zostawia żadnego śladu.

Jak zrobić dobrze: Myśl o tym jak o bilansie: co zabrałeś mantysie, oddaj potędze. Mantysa w dół dziesięciokrotnie → wykładnik w górę o 11. Kontrola zajmuje chwilę: pomnóż z powrotem i sprawdź, czy wracasz do liczby sprzed normalizacji.

Mylenie kierunku przy ujemnym wykładniku

Skąd się bierze: Zapis 2,5⋅10−62{,}5 \cdot 10^{-6} bywa czytany jako 2 500 0002\,500\,000, bo szóstka kojarzy się z sześcioma zerami w prawo. Znak minus mówi jednak, że liczba jest mała — chodzi o 0,00000250{,}0000025. Pomyłka daje wynik różniący się dwanaście rzędów wielkości.

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj jedno zdanie: minus znaczy mała liczba. Zanim zaczniesz przesuwać przecinek, rozstrzygnij, czy wynik ma wyjść większy czy mniejszy od mantysy — a dopiero potem licz miejsca.

Mnożenie wykładników zamiast dodawania

Skąd się bierze: Przy mnożeniu (2⋅103)⋅(3⋅104)(2 \cdot 10^3) \cdot (3 \cdot 10^4) pojawia się odruch, żeby „pomnożyć wszystko”, i wychodzi 6⋅10126 \cdot 10^{12} zamiast 6⋅1076 \cdot 10^{7}. Odruch bierze się stąd, że działaniem nadrzędnym jest mnożenie — a wykładniki rządzą się własną regułą.

Jak zrobić dobrze: Wróć do sensu zapisu: 103⋅10410^3 \cdot 10^4 to trzy dziesiątki razy cztery dziesiątki, czyli siedem dziesiątek. Mnożenie potęg o tej samej podstawie dodaje wykładniki — to jedno z praw działań na potęgach, nie osobna reguła notacji.

Porównywanie mantys zamiast wykładników

Skąd się bierze: Zestawienie 1,2⋅1081{,}2 \cdot 10^{8} i 9,9⋅1079{,}9 \cdot 10^{7} kusi, żeby uznać drugą liczbę za większą, bo 9,9>1,29{,}9 > 1{,}2. Tymczasem większa jest pierwsza — 120120 milionów wobec 9999 milionów. Mantysa może różnić się najwyżej dziesięciokrotnie, a jeden rząd wielkości to właśnie dziesięciokrotność, więc wykładnik zawsze wygrywa.

Jak zrobić dobrze: Trzymaj kolejność: najpierw wykładniki, mantysy tylko przy remisie. Jeśli wykładniki się różnią, mantys nie musisz nawet czytać — dla liczb dodatnich decyzja jest już podjęta.

Zadania maturalne — notacja wykładnicza i liczba cyfr

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane w treści. Czerwone — to, co policzone po drodze. W notacji wykładniczej liczbę zapisujemy jako a⋅10na \cdot 10^n, gdzie 1⩽a<101 \leqslant a < 10. Dzielenie takich liczb rozpada się na dwa niezależne rachunki: liczby dzielimy przez siebie, a wykładniki dziesiątki odejmujemy. Nic się tu nie mnoży ze sobą krzyżowo.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2019)1 pkttrudniejsze

Liczba naturalna n=214⋅515n = 2^{14} \cdot 5^{15} w zapisie dziesiętnym ma
  • A. 1414 cyfr
  • B. 1515 cyfr
  • C. 1616 cyfr
  • D. 3030 cyfr
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Klucz do zadania: 2⋅5=102 \cdot 5 = 10, więc każdą parę dwójki i piątki można skleić w dziesiątkę. Ustawmy więc tyle par, ile się da.
  2. Krok 1 — rozbijamy piątkę, żeby wykładniki się zgadzały. Piątek jest o jedną więcej niż dwójek:
  3. 515=514⋅51\textcolor{#16A06A}{5^{15}} = 5^{14} \cdot 5^1
  4. Krok 2 — sklejamy pary w dziesiątki.
  5. 214⋅514⋅5=(2⋅5)14⋅5=1014⋅5\textcolor{#16A06A}{2^{14}} \cdot 5^{14} \cdot 5 = (2 \cdot 5)^{14} \cdot 5 = \textcolor{#E0453A}{10^{14}} \cdot 5
  6. Krok 3 — zapisujemy liczbę. Mnożenie przez 101410^{14} to dopisanie czternastu zer:
  7. n=5⋅1014=500 000 000 000 000n = 5 \cdot \textcolor{#E0453A}{10^{14}} = 500\,000\,000\,000\,000
  8. Krok 4 — liczymy cyfry. Jedna piątka plus czternaście zer:
  9. 1+14=151 + 14 = \textcolor{#E0453A}{15} cyfr
  10. Odpowiedź: 1515 cyfr, czyli B.

💡 Wskazówka: W zadaniach z 2a⋅5b2^a \cdot 5^b zawsze szukaj par do sklejenia w dziesiątki — reszta zostaje jako mnożnik z przodu. Ogólna reguła: liczba a⋅10na \cdot 10^n, gdzie aa jest jednocyfrowe, ma n+1n+1 cyfr.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź A (1414 cyfr), czyli policzenie samych zer i zapomnienie o piątce z przodu. Drugi częsty: odpowiedź D (3030), z dodania wykładników 14+1514 + 15 — a wykładniki tu się nie dodają, bo podstawy są różne.

Zadanie 2 (sierpień 2018)1 pktśrednie

Dane są liczby x=4,5⋅10−8x = 4{,}5 \cdot 10^{-8} oraz y=1,5⋅102y = 1{,}5 \cdot 10^{2}. Wtedy iloraz xy\dfrac{x}{y} jest równy
  • A. 3⋅10−103 \cdot 10^{-10}
  • B. 3⋅10−63 \cdot 10^{-6}
  • C. 6,75⋅10−106{,}75 \cdot 10^{-10}
  • D. 6,75⋅10−66{,}75 \cdot 10^{-6}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Dzielenie liczb w notacji wykładniczej rozpada się na dwa osobne rachunki — liczby i potęgi dziesiątki.
  2. Krok 1 — dzielimy liczby z przodu.
  3. 4,51,5=3\dfrac{\textcolor{#16A06A}{4{,}5}}{\textcolor{#16A06A}{1{,}5}} = \textcolor{#E0453A}{3}
  4. Krok 2 — dzielimy potęgi dziesiątki: wykładniki odejmujemy.
  5. 10−8102=10 −8−2=10−10\dfrac{10^{\textcolor{#16A06A}{-8}}}{10^{\textcolor{#16A06A}{2}}} = 10^{\,-8 - 2} = \textcolor{#E0453A}{10^{-10}}
  6. Krok 3 — składamy wynik.
  7. xy=3⋅10−10\dfrac{x}{y} = \textcolor{#E0453A}{3} \cdot \textcolor{#E0453A}{10^{-10}}
  8. Odpowiedź: 3⋅10−103 \cdot 10^{-10}, czyli A.
  9. Sprawdzenie, czy wynik jest w poprawnej notacji: 1⩽3<101 \leqslant 3 < 10 ✓ — nie trzeba już nic przesuwać.

💡 Wskazówka: Rozdziel zadanie na dwa niezależne: „4,5:1,54{,}5 : 1{,}5” i „10−8:10210^{-8} : 10^{2}”. Tak się nie pomylisz, a przy okazji widać, że mnożenie liczb (4,5⋅1,5=6,754{,}5 \cdot 1{,}5 = 6{,}75) nie ma tu nic do rzeczy — a właśnie na to czekają odpowiedzi C i D.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź B (3⋅10−63 \cdot 10^{-6}), czyli odjęcie wykładników w złą stronę (−8+2-8 + 2 zamiast −8−2-8 - 2). Przy dzieleniu wykładnik mianownika odejmujemy — a mianownik ma tu +2+2, więc wykładnik maleje o 2, nie rośnie.

Zadanie 3 (maj 2018)1 pktśrednie

Dane są liczby a=3,6⋅10−12a = 3{,}6 \cdot 10^{-12} oraz b=2,4⋅10−20b = 2{,}4 \cdot 10^{-20}. Wtedy iloraz ab\dfrac{a}{b} jest równy
  • A. 8,64⋅10−328{,}64 \cdot 10^{-32}
  • B. 1,5⋅10−81{,}5 \cdot 10^{-8}
  • C. 1,5⋅1081{,}5 \cdot 10^{8}
  • D. 8,64⋅10328{,}64 \cdot 10^{32}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Krok 1 — dzielimy liczby z przodu.
  2. 3,62,4=1,5\dfrac{\textcolor{#16A06A}{3{,}6}}{\textcolor{#16A06A}{2{,}4}} = \textcolor{#E0453A}{1{,}5}
  3. Krok 2 — dzielimy potęgi dziesiątki. Oba wykładniki są ujemne, więc trzeba uważać na znaki:
  4. 10−1210−20=10 −12−(−20)=10 −12+20=108\dfrac{10^{\textcolor{#16A06A}{-12}}}{10^{\textcolor{#16A06A}{-20}}} = 10^{\,-12 - (-20)} = 10^{\,-12 + 20} = \textcolor{#E0453A}{10^{8}}
  5. Krok 3 — składamy wynik.
  6. ab=1,5⋅108\dfrac{a}{b} = \textcolor{#E0453A}{1{,}5} \cdot \textcolor{#E0453A}{10^{8}}
  7. Odpowiedź: 1,5⋅1081{,}5 \cdot 10^{8}, czyli C.
  8. Kontrola sensu bez rachunków: bb jest liczbą znacznie mniejszą od aa (wykładnik −20-20 wobec −12-12), a dzielenie przez mniejszą liczbę daje wynik duży. Więc wykładnik musi być dodatni — to od razu odsiewa odpowiedzi A i B.

💡 Wskazówka: Zanim policzysz cokolwiek, oceń, czy wynik będzie duży czy mały. Tu dzielimy większą liczbę przez mniejszą, więc iloraz jest większy od 1 — a to znaczy dodatni wykładnik dziesiątki. Taka kontrola zajmuje sekundę i odrzuca połowę odpowiedzi.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź B (1,5⋅10−81{,}5 \cdot 10^{-8}), czyli odjęcie wykładników w odwrotnej kolejności (−20−(−12)-20 - (-12)). Drugi częsty: odpowiedzi A i D, czyli pomnożenie liczb z przodu (3,6⋅2,4=8,643{,}6 \cdot 2{,}4 = 8{,}64) zamiast podzielenia.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. B2. A3. C

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

7Pytania i odpowiedzi

Co to jest notacja wykładnicza?

To sposób zapisania liczby jako iloczynu dwóch części: mantysy z przedziału od jedynki włącznie do dziesiątki wyłącznie oraz potęgi dziesiątki o całkowitym wykładniku. Dzięki temu każda liczba ma dokładnie jeden taki zapis, a bardzo duże i bardzo małe wielkości dają się porównywać bez liczenia zer.

Dlaczego mantysa musi być mniejsza od dziesięciu?

Żeby zapis był jednoznaczny. Bez tego warunku liczbę dwadzieścia pięć tysięcy dałoby się zapisać jako dwadzieścia pięć razy dziesięć do trzeciej, dwa i pół razy dziesięć do czwartej albo na wiele innych sposobów. Wtedy porównywanie po wykładniku przestałoby cokolwiek znaczyć.

Jak zamienić zwykłą liczbę na notację wykładniczą?

Trzeba postawić przecinek zaraz za pierwszą cyfrą znaczącą, a potem policzyć, o ile miejsc się go przesunęło. Ta liczba miejsc jest wykładnikiem. Dla liczb dużych wykładnik jest dodatni, a dla liczb mniejszych od jedynki ujemny.

Jak mnożyć i dzielić liczby zapisane w notacji wykładniczej?

Mantysy mnoży się albo dzieli zwyczajnie, a wykładniki odpowiednio dodaje albo odejmuje. Na końcu trzeba sprawdzić, czy otrzymana mantysa nadal mieści się w wymaganym przedziale, i w razie potrzeby znormalizować wynik. Ten ostatni krok jest obowiązkowy.

Która liczba jest większa, jeśli obie są w notacji wykładniczej?

Dla liczb dodatnich decyduje wykładnik: większy wykładnik oznacza większą liczbę, niezależnie od tego, jak wyglądają mantysy. Mantysy porównuje się dopiero wtedy, gdy wykładniki są równe. Dlatego jeden i dwie dziesiąte razy dziesięć do ósmej bije dziewięć i dziewięć dziesiątych razy dziesięć do siódmej.

Co oznacza rząd wielkości?

To wykładnik przy dziesiątce w zapisie wykładniczym. Dwie wielkości są tego samego rzędu, gdy mają ten sam wykładnik, a stwierdzenie, że różnią się o trzy rzędy, znaczy w przybliżeniu tysiąckrotną różnicę. Pojęcie jest wygodne wszędzie tam, gdzie dokładna wartość mniej się liczy niż skala zjawiska.

Czy notacja wykładnicza jest w podstawie programowej?

Tak, w szkole podstawowej dla klas siódmej i ósmej, w dziale poświęconym potęgom o podstawach wymiernych. Punkt piąty mówi o odczytywaniu i zapisywaniu liczb w tej postaci, wraz z warunkiem na mantysę. W liceum zapis wraca przy zadaniach z potęgami i przy naukach przyrodniczych.

Czytaj dalej

PotęgiPrawa działań, z których biorą się reguły na wykładnikiPotęgowanie i pierwiastkowanieWykładnik ujemny i wymierny w ujęciu licealnymPotęgi na egzaminie ósmoklasistyCzego wymaga egzamin i jak porównywać potęgi bez liczeniaLiczby naturalneZapis dziesiętny, od którego zaczyna się notacja
Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.