Wzory spoza tablic — czego nie ma w karcie maturalnej

Q: Czy karta wzorów jest ta sama na poziomie podstawowym i rozszerzonym?

Tak, broszura „Wybrane wzory matematyczne” jest jedna i zawiera także wzory potrzebne wyłącznie na poziomie rozszerzonym — na przykład wzór Bayesa, schemat Bernoullego czy tabelę pochodnych. Zdający poziom podstawowy po prostu z części z nich nie skorzysta.

Q: Ile stron ma karta wzorów i co jest na ostatniej?

Trzydzieści cztery strony podzielone na siedemnaście działów. Na ostatniej, trzydziestej czwartej stronie jest tablica wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów od zera do dziewięćdziesięciu stopni, co jeden stopień, w trzech kolumnach: sinus, cosinus i tangens.

Q: Czy w karcie jest wzór na przekątną kwadratu?

Nie. Karta opisuje trójkąt równoboczny, trapez, równoległobok, romb i deltoid, ale kwadratu i prostokąta nie omawia w ogóle — nie ma tam ani ich pól, ani przekątnych. Przekątną kwadratu wyprowadza się z twierdzenia Pitagorasa w jednej linijce.

Q: Czy wolno korzystać ze wzorów, których nie ma w karcie?

Tak, oczywiście. Karta jest pomocą, a nie zamkniętą listą dopuszczonych narzędzi. Oceniane jest rozwiązanie zadania, a nie to, skąd wziąłeś wzór — musi być tylko poprawny i poprawnie zastosowany.

Q: Dlaczego w karcie nie ma cotangensa?

Podstawa programowa dla liceum wymienia w dziale trygonometrii wyłącznie sinus, cosinus i tangens, więc karta trzyma się tego samego zestawu. Cotangens jest odwrotnością tangensa i w razie potrzeby zapisuje się go jako jeden przez tangens.

Q: Czego jeszcze warto poszukać w karcie przed maturą?

Wzoru Herona i dwóch pozostałych wzorów na pole trójkąta przez promienie okręgów, twierdzenia o odcinkach siecznej i stycznej, wzoru na współrzędne środka ciężkości trójkąta oraz wzoru na pole trójkąta z współrzędnych wierzchołków. To rzeczy, o których wielu zdających nie wie, że ma je pod ręką.

Karta wzorów na maturze ma 34 strony i siedemnaście działów — ale kilku wzorów, których uczniowie szukają w niej najczęściej, po prostu tam nie ma. Poniżej pełna lista braków, sprawdzona strona po stronie w karcie CKE, i sposób na to, żeby żaden z nich nie zaskoczył na egzaminie.

Dział: MaturaPoziom: liceum — matura podstawowa i rozszerzona

1Co naprawdę jest w karcie wzorów

Na egzaminie maturalnym z matematyki dostajesz broszurę „Wybrane wzory matematyczne” wydawaną przez Centralną Komisję Egzaminacyjną. Ma 34 strony i dzieli się na siedemnaście działów:

wartość bezwzględna · potęgi i pierwiastki · logarytmy
silnia i współczynnik dwumianowy · wzór dwumianowy Newtona · wzory skróconego mnożenia
funkcja kwadratowa · ciągi · trygonometria
planimetria · geometria analityczna · stereometria
kombinatoryka · rachunek prawdopodobieństwa · parametry danych statystycznych
pochodna funkcji · tablica wartości funkcji trygonometrycznych (kąty od $0°$ do $90°$ co jeden stopień)

To bardzo dużo. Są tam wzory, których nikt nie spodziewa się w karcie: wzór Herona, wzór na pole trójkąta $P = 2R^2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$ , twierdzenie o odcinkach siecznej i stycznej, wzór Bayesa, wariancja w dwóch postaciach, a nawet wartość oczekiwana zmiennej losowej.

Zasada, która porządkuje całą tę stronę

Karta zawiera wzory do zastosowania, a nie definicje szkolne i zależności, które uznano za oczywiste. Dlatego znajdziesz w niej wzór na pole rombu przez przekątne, ale nie wzór na pole kwadratu.

Brak w karcie nie znaczy „nie wolno używać”. Znaczy: musisz to mieć w głowie albo umieć wyprowadzić w trzy sekundy.

2Czego w karcie nie ma — pełna lista

Sprawdziłem kartę dział po dziale. Poniżej wzory, po które uczniowie sięgają najczęściej, a których w broszurze nie znajdą:

Czego brakuje	Wzór do zapamiętania	Gdzie boli
Cotangens	$\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}$	karta definiuje wyłącznie sinus, cosinus i tangens — także w tablicy wartości i w tabeli pochodnych
Przekątna kwadratu	$d = a\sqrt2$	jest trójkąt równoboczny ( $h = \frac{a\sqrt3}{2}$ ), kwadratu nie ma
Przekątna sześcianu	$d = a\sqrt3$	stereometria podaje dla prostopadłościanu tylko $P_c$ i $V$
Pole kwadratu i prostokąta	$P = a^2$ , $P = ab$	są wzory na pole trapezu, rombu, deltoidu — tych dwóch nie ma
Suma kątów wewnętrznych $n$ -kąta	$(n-2)\cdot 180°$	brak, mimo że planimetria zajmuje siedem stron
Liczba przekątnych wielokąta	$\frac{n(n-3)}{2}$	brak
Pole powierzchni bocznej i całkowitej ostrosłupa	liczone z siatki, wzoru nie ma	walec i stożek mają $P_b$ i $P_c$ ; ostrosłup ma wyłącznie $V = \frac{1}{3}P_p h$
Wzory redukcyjne dla $270°$	$\sin(270° - \alpha) = -\cos\alpha$ itd.	karta podaje „wybrane” — tylko dla $90°\pm\alpha$ i $180°\pm\alpha$
Logarytm naturalny i jego pochodna	$\ln x = \log_e x$ , $(\ln x)' = \frac{1}{x}$	karta zna $\log$ i $\lg$ ; w tabeli pochodnych jest $e^x$ , ale nie $\ln x$
Nierówność trójkąta	$a + b > c$	brak
Dominanta (moda)	wartość najczęstsza	statystyka podaje cztery średnie, medianę i odchylenie — dominanty nie

Trzy pozycje z tej listy zaskakują najbardziej, bo wyglądają na „pewniaki”: cotangens, przekątna kwadratu i pole boczne ostrosłupa. Pierwszy nie istnieje w karcie w żadnej postaci. Drugi wygląda na przeoczenie, ale jest konsekwentny — karta w ogóle nie opisuje kwadratu. Trzeci to najczęstsze źródło straty czasu w zadaniach o bryłach.

3Pułapka odwrotna: w karcie jest więcej, niż wymaga podstawa

Warto wiedzieć, że karta nie jest lustrzanym odbiciem podstawy programowej. Idzie dalej — i to na Twoją korzyść.

Najlepszy przykład to wzór Herona:

P = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, \quad p = \frac{a+b+c}{2}

W podstawie programowej nie ma go ani razu. W karcie stoi jak byk, w dziale planimetrii, wśród siedmiu wzorów na pole trójkąta. Skoro leży na Twoim stoliku, wolno go użyć — a to jedyny wzór, który liczy pole trójkąta z samych trzech boków, bez szukania wysokości ani kąta.

Podobnie działa wzór na pole trójkąta przez promień okręgu opisanego ( $P = \frac{abc}{4R}$ ) i przez promień wpisanego ( $P = p\cdot r$ ) — oba są w karcie i oba potrafią skrócić rachunek o kilka linijek.

Wniosek praktyczny

Przed maturą przekartkuj kartę wzorów i zaznacz sobie te miejsca, o których nie wiedziałeś. Szukanie ich pierwszy raz w trakcie egzaminu kosztuje minuty, których nie ma.

4Jak nadrobić braki — trzy grupy, trzy strategie

Nie wszystkie brakujące wzory trzeba traktować tak samo.

Do zapamiętania na blachę — przekątna kwadratu $a\sqrt2$ , przekątna sześcianu $a\sqrt3$ , pole kwadratu i prostokąta. Są za krótkie, żeby je wyprowadzać, i wracają w co drugim zadaniu.
Do wyprowadzenia w locie — suma kątów $n$ -kąta (podziel wielokąt na $n-2$ trójkąty), liczba przekątnych, wzory redukcyjne dla $270°$ (narysuj ćwiartkę i sprawdź znak). Wyprowadzenie zajmuje kilkanaście sekund i jest pewniejsze niż zapamiętany wzór z pomylonym znakiem.
Do policzenia z siatki — pole boczne ostrosłupa. Zamiast szukać wzoru, policz pola ścian bocznych: w ostrosłupie prawidłowym to $n$ przystających trójkątów o podstawie $a$ i wysokości równej apotemie.

Cotangens jest przypadkiem osobnym: skoro karta go nie zna, najprościej zamienić go na tangens już przy przepisywaniu zadania. Każde wyrażenie z $\operatorname{ctg}$ da się zapisać przez $\operatorname{tg}$ , a wtedy wszystko, co masz w karcie i w tablicy wartości, znów działa.

5Przykłady krok po kroku

Trzy sytuacje, w których uczeń traci czas na szukanie wzoru, którego w karcie nie ma — i co zrobić zamiast tego.

Przykład 1 Przekątna kwadratu — wzoru brak, wyprowadzenie trwa sekundę

Kwadrat ma bok $6$ cm. Oblicz długość jego przekątnej.

W karcie wzorów nie ma przekątnej kwadratu — jest tylko trójkąt równoboczny. Nie ma czego szukać.
Przekątna dzieli kwadrat na dwa trójkąty prostokątne o przyprostokątnych $a$ i $a$ .
Z twierdzenia Pitagorasa: $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$ , więc $d = a\sqrt2$ .
Podstawiam: $d = 6\sqrt2$ cm.
Kontrola sensu: przekątna musi być dłuższa od boku, ale krótsza od dwóch boków. $6 < 6\sqrt2 < 12$ , bo $\sqrt2 \approx 1{,}41$ ✓

Odpowiedź: $d = 6\sqrt2$ cm

Wynik zostaje w postaci dokładnej. Zaokrąglaj tylko wtedy, gdy polecenie wyraźnie tego żąda.

Przykład 2 Suma kątów w wielokącie — podziel na trójkąty

Oblicz sumę miar kątów wewnętrznych ośmiokąta wypukłego.

Wzoru $(n-2)\cdot 180°$ w karcie nie ma. Wyprowadzam go z rysunku.
Z jednego wierzchołka ośmiokąta poprowadzę wszystkie przekątne. Rozetną go na trójkąty.
Trójkątów jest zawsze o dwa mniej niż boków: dla $n = 8$ wychodzi $8 - 2 = 6$ trójkątów.
Każdy trójkąt wnosi $180°$ , a wszystkie ich kąty razem dają dokładnie kąty ośmiokąta: $6 \cdot 180° = 1080°$ .
Kontrola na figurze znanej: dla czworokąta $n = 4$ wzór daje $2 \cdot 180° = 360°$ ✓, a dla trójkąta $1 \cdot 180° = 180°$ ✓

Odpowiedź: $1080°$

Ten sam podział daje wzór na kąt wewnętrzny wielokąta foremnego: $\frac{(n-2)\cdot 180°}{n}$ — jego w karcie też nie ma.

Przykład 3 Pole boczne ostrosłupa — karta podaje tylko objętość

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma $6$ cm, a apotema (wysokość ściany bocznej) $5$ cm. Oblicz pole powierzchni bocznej.

W karcie przy ostrosłupie stoi wyłącznie $V = \frac{1}{3}P_p h$ . Pola bocznego tam nie ma — trzeba je policzyć z siatki.
Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma cztery przystające trójkąty równoramienne jako ściany boczne.
Każdy z nich ma podstawę równą krawędzi podstawy ( $6$ cm) i wysokość równą apotemie ( $5$ cm).
Pole jednej ściany: $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 = 15$ cm².
Pole boczne to cztery takie ściany: $P_b = 4 \cdot 15 = 60$ cm².
Kontrola: ten sam rachunek zapisany od razu jako $P_b = \frac{1}{2} \cdot \text{obwód podstawy} \cdot \text{apotema} = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 5 = 60$ cm² ✓

Odpowiedź: $P_b = 60$ cm²

Zapis przez obwód podstawy działa dla każdego ostrosłupa prawidłowego, niezależnie od liczby boków podstawy — i też nie ma go w karcie.

6Najczęstsze błędy

Cztery pomyłki, które biorą się wprost z tego, jak zbudowana jest karta wzorów.

Szukanie cotangensa w tablicy wartości.

Skąd się bierze: Tablica na ostatniej stronie karty ma trzy kolumny: sinus, cosinus i tangens. Cotangensa nie ma tam ani w definicjach, ani w tabeli pochodnych — uczeń przewraca strony, tracąc czas, i w końcu zgaduje.

Jak zrobić dobrze: Zamień $\operatorname{ctg}\alpha$ na $\frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}$ od razu przy przepisywaniu zadania. Dla $\alpha = 40°$ odczytujesz $\operatorname{tg} 40° = 0{,}8391$ , więc $\operatorname{ctg} 40° = \frac{1}{0{,}8391} \approx 1{,}19$ .

Założenie, że skoro wzoru nie ma w karcie, to nie wolno go użyć.

Skąd się bierze: Karta jest pomocą, a nie listą dozwolonych narzędzi. Uczeń rezygnuje z najkrótszej drogi, bo „tego nie było w tablicach”, i liczy zadanie trzy razy dłużej.

Jak zrobić dobrze: Używaj każdego poprawnego wzoru, który umiesz uzasadnić. Ocenia się rozwiązanie, nie źródło wzoru.

Rezygnacja ze wzoru Herona, bo „nie ma go w podstawie”.

Skąd się bierze: To prawda — w podstawie programowej wzoru Herona nie ma. Ale w karcie maturalnej jest, w dziale planimetrii. Uczeń, który zna tylko podstawę, nie wie, że ma go na stoliku.

Jak zrobić dobrze: Gdy w zadaniu dane są trzy boki trójkąta i pytają o pole, sięgnij po Herona z karty. To jedyny wzór, który nie wymaga ani wysokości, ani kąta.

Szukanie pola bocznego ostrosłupa w dziale stereometrii.

Skąd się bierze: Walec i stożek mają w karcie komplet: $P_b$ , $P_c$ i $V$ . Przy ostrosłupie stoi sama objętość, więc uczeń zakłada, że przeoczył stronę, i szuka dalej.

Jak zrobić dobrze: Nie szukaj — policz z siatki. Pole boczne to suma pól ścian bocznych, a w ostrosłupie prawidłowym wszystkie są przystające.

7Pytania i odpowiedzi

Czy karta wzorów jest ta sama na poziomie podstawowym i rozszerzonym?

Tak, broszura „Wybrane wzory matematyczne” jest jedna i zawiera także wzory potrzebne wyłącznie na poziomie rozszerzonym — na przykład wzór Bayesa, schemat Bernoullego czy tabelę pochodnych. Zdający poziom podstawowy po prostu z części z nich nie skorzysta.

Ile stron ma karta wzorów i co jest na ostatniej?

Trzydzieści cztery strony podzielone na siedemnaście działów. Na ostatniej, trzydziestej czwartej stronie jest tablica wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów od zera do dziewięćdziesięciu stopni, co jeden stopień, w trzech kolumnach: sinus, cosinus i tangens.

Czy w karcie jest wzór na przekątną kwadratu?

Nie. Karta opisuje trójkąt równoboczny, trapez, równoległobok, romb i deltoid, ale kwadratu i prostokąta nie omawia w ogóle — nie ma tam ani ich pól, ani przekątnych. Przekątną kwadratu wyprowadza się z twierdzenia Pitagorasa w jednej linijce.

Czy wolno korzystać ze wzorów, których nie ma w karcie?

Tak, oczywiście. Karta jest pomocą, a nie zamkniętą listą dopuszczonych narzędzi. Oceniane jest rozwiązanie zadania, a nie to, skąd wziąłeś wzór — musi być tylko poprawny i poprawnie zastosowany.

Dlaczego w karcie nie ma cotangensa?

Podstawa programowa dla liceum wymienia w dziale trygonometrii wyłącznie sinus, cosinus i tangens, więc karta trzyma się tego samego zestawu. Cotangens jest odwrotnością tangensa i w razie potrzeby zapisuje się go jako jeden przez tangens.

Czego jeszcze warto poszukać w karcie przed maturą?

Wzoru Herona i dwóch pozostałych wzorów na pole trójkąta przez promienie okręgów, twierdzenia o odcinkach siecznej i stycznej, wzoru na współrzędne środka ciężkości trójkąta oraz wzoru na pole trójkąta z współrzędnych wierzchołków. To rzeczy, o których wielu zdających nie wie, że ma je pod ręką.

Czytaj dalej

Tablice wartości funkcji trygonometrycznychJak odczytać wartość z tablicy i jak znaleźć kąt, znając wartość Wzory na pole trójkątaWszystkie wzory i kiedy który — w tym te z karty maturalnej Jedynka trygonometryczna, tangens i cotangensSkąd się bierze cotangens i jak go zamienić na tangens Ostrosłup prawidłowy czworokątnyTrzy trójkąty prostokątne, na których stoi każde zadanie z tej bryły

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-02. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.