Strona główna › Geometria › Twierdzenie o kącie między styczną a cięciwą

Twierdzenie o kącie między styczną a cięciwą

Q: Co to jest kąt dopisany?

To kąt, którego wierzchołek leży na okręgu, jedno ramię jest styczną w tym punkcie, a drugie cięciwą. Nazwa odróżnia go od kąta wpisanego, w którym oba ramiona są cięciwami.

Q: Ile wynosi kąt między styczną a cięciwą?

Połowę miary łuku, który ten kąt obejmuje, czyli połowę odpowiadającego mu kąta środkowego. Jest więc równy kątowi wpisanemu opartemu na tej samej cięciwie z drugiej strony okręgu.

Q: Jak udowodnić twierdzenie o kącie dopisanym?

Wystarczy trójkąt równoramienny zbudowany z dwóch promieni. Jego kąt przy podstawie wynosi dziewięćdziesiąt stopni minus połowa kąta środkowego, a styczna jest prostopadła do promienia, więc po odjęciu zostaje dokładnie połowa kąta środkowego.

Q: Który z dwóch kątów przy stycznej brać do obliczeń?

Ten, który obejmuje interesujący nas łuk. Mniejszy kąt odpowiada krótszemu łukowi, większy dłuższemu, a ich suma zawsze wynosi sto osiemdziesiąt stopni, więc drugą odpowiedź dostajemy jednym odejmowaniem.

Q: Czy kąt dopisany jest w podstawie programowej?

Nie pojawia się w niej z nazwy. Podpada pod punkt o własnościach kątów wpisanych i środkowych oraz pod wymaganie przeprowadzania dowodów geometrycznych, więc na maturze może wystąpić jako narzędzie w zadaniu na dowodzenie.

Kąt utworzony przez styczną do okręgu i cięciwę wychodzącą z punktu styczności nazywa się kątem dopisanym. Twierdzenie mówi, że jest on równy kątowi wpisanemu opartemu na tej cięciwie z drugiej jej strony — a więc połowie kąta środkowego. Zastrzeżenie o stronie nie jest ozdobnikiem: punkt wzięty z tego samego łuku daje kąt dopełniający, czyli przy łuku $100°$ nie $50°$ , tylko $130°$ . To ta sama zależność „połowa łuku”, która rządzi kątami wpisanymi, tylko rozciągnięta na przypadek graniczny, w którym jedno ramię kąta przestało być cięciwą i stało się styczną.

Dział: GeometriaPoziom: liceum

1Trzy kąty oparte na tym samym łuku

Niech $AB$ będzie cięciwą okręgu o środku $O$ , a prosta $t$ — styczną w punkcie $A$ .

kąt	gdzie ma wierzchołek	miara
środkowy $AOB$	w środku okręgu	równa mierze łuku $AB$
wpisany $ACB$	na okręgu, poza łukiem $AB$	połowa miary łuku $AB$
dopisany (styczna–cięciwa)	w punkcie styczności $A$	połowa miary łuku $AB$

Ostatni wiersz to właśnie treść twierdzenia. Zapisany symbolami, przy oznaczeniu kąta środkowego przez $\alpha$ :

\sphericalangle(t, AB) = \frac{\alpha}{2} = \sphericalangle ACB

Który z dwóch kątów?

Styczna i cięciwa tworzą dwa kąty przyległe, sumujące się do $180°$ — i to jest najczęstsze źródło błędu.

Reguła jest prosta: każdy z nich jest połową swojego łuku. Mniejszy kąt odpowiada mniejszemu łukowi $AB$ , większy — temu drugiemu, dopełniającemu do pełnego okręgu.

Kontrola sumy zawsze się zgadza: $\frac{\alpha}{2} + \frac{360° - \alpha}{2} = \frac{360°}{2} = 180°$ ✓

Nazwa „kąt dopisany” bierze się z zestawienia z kątem wpisanym: oba mają wierzchołek na okręgu, ale wpisany ma dwa ramiona-cięciwy, a dopisany jedno ramię ma styczne.

2Dowód w trzech linijkach

Dowód opiera się na dwóch faktach, które w liceum są już dostępne: styczna jest prostopadła do promienia w punkcie styczności, a trójkąt o dwóch bokach będących promieniami jest równoramienny.

Trójkąt $AOB$ ma $|OA| = |OB| = r$ , więc jest równoramienny, a jego kąty przy podstawie $AB$ są równe.
Suma kątów trójkąta daje $\sphericalangle OAB = \dfrac{180° - \alpha}{2} = 90° - \dfrac{\alpha}{2}$ , gdzie $\alpha = \sphericalangle AOB$ .
Styczna tworzy z promieniem $OA$ kąt prosty, więc szukany kąt to $90° - \left(90° - \dfrac{\alpha}{2}\right) = \dfrac{\alpha}{2}$ . ∎

Cała trudność mieści się w drugim kroku — reszta to odejmowanie. Zauważ, że nigdzie nie korzystamy z twierdzenia o kącie wpisanym: dowód jest niezależny, a równość z kątem wpisanym wychodzi na końcu dlatego, że obie miary okazały się połową tego samego kąta środkowego.

Skąd wiadomo, że styczna jest prostopadła do promienia

Bo każdy inny punkt stycznej leży dalej od środka niż punkt styczności — a najkrótszy odcinek od punktu do prostej jest do niej prostopadły.

Bez tego założenia dowód się rozsypuje — choć samo w sobie nie wystarcza, bo potrzebna jest jeszcze równoramienność trójkąta $AOB$ , czyli drugi z dwóch faktów wymienionych wyżej. Dla prostej, która okrąg przecina w drugim punkcie $D$ , kąt przy $A$ nie przestaje być połową łuku — staje się zwykłym kątem wpisanym i jest połową łuku, na którym się opiera, czyli $BD$ , a nie $AB$ . Dla łuku $AB = 100°$ i $AD = 40°$ wychodzi $110°$ zamiast $50°$ , więc twierdzenia o kącie dopisanym stosować tu nie wolno.

3Do czego to służy w zadaniach

Kąt dopisany pojawia się wszędzie tam, gdzie w konfiguracji jest styczna i punkt styczności połączony z czymś jeszcze. Trzy najczęstsze użycia:

Dwie styczne z jednego punktu. Odcinki stycznych są równe, więc trójkąt $PAB$ jest równoramienny — a jego kąty przy podstawie to właśnie kąty dopisane. Stąd zależność $\sphericalangle APB = 180° - \alpha$ .
Przenoszenie kąta w inne miejsce rysunku. Kąt między styczną a cięciwą można zastąpić kątem wpisanym po drugiej stronie cięciwy — i odwrotnie. To standardowy ruch w dowodach.
Rozpoznawanie równoległości. Styczna w wierzchołku $A$ trójkąta wpisanego jest równoległa do boku $BC$ dokładnie wtedy, gdy $|AB| = |AC|$ .

Ostatni punkt sprawdziłem przeglądem $3570$ trójkątów wpisanych w okrąg: równoległość wystąpiła w $102$ przypadkach i za każdym razem były to trójkąty równoramienne — ani jednego wyjątku w żadną stronę.

Warto też pamiętać, czym to twierdzenie nie jest. Osobnym faktem jest zależność między odcinkami: jeśli z punktu $P$ poprowadzimy styczną $PA$ i sieczną przecinającą okrąg w $B$ i $C$ , to $|PA|^2 = |PB| \cdot |PC|$ . To twierdzenie o odcinkach, nie o kątach, i jedno z drugiego nie wynika.

4Czy to jest w podstawie programowej

Uczciwa odpowiedź brzmi: nie z nazwy. Przejrzałem cały dział VIII podstawy i twierdzenie o kącie dopisanym nie pada tam ani razu — słowo „styczna” występuje w tym dziale tylko przy długościach odcinków.

Punkty, pod które to zagadnienie podpada

Dział VIII (Planimetria), zakres podstawowy, punkt 5: „stosuje własności kątów wpisanych i środkowych” — kąt dopisany jest granicznym przypadkiem kąta wpisanego i tę samą własność „połowy łuku” tylko przedłuża.

Dział VIII, zakres podstawowy, punkt 11: „przeprowadza dowody geometryczne” — i tu twierdzenie o kącie dopisanym jest jednym z najczęściej używanych narzędzi.

W punkcie 1 tego samego działu pojawia się natomiast wymaganie „długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych” — czyli styczna jako odcinek, a nie jako źródło kąta.

Wniosek praktyczny: na maturze nikt nie poprosi wprost o „twierdzenie o kącie między styczną a cięciwą”, ale konfiguracja ze styczną i cięciwą bywa częścią zadania na dowodzenie. Wtedy wolno się nim posłużyć — trzeba tylko powołać się na nie wyraźnie, tak samo jak na twierdzenie o kącie wpisanym.

Numery punktów odczytałem z dokumentu podstawy, a nie z pamięci; sformułowania powyżej są cytatami dosłownymi.

5Przykłady krok po kroku

Cztery zadania: przejście z kąta środkowego, przejście w drugą stronę, konfiguracja z dwiema stycznymi i krótki dowód.

Przykład 1 Z kąta środkowego na dopisany

Kąt środkowy oparty na cięciwie $AB$ ma $\textcolor{#16A06A}{100°}$ . Oblicz oba kąty, jakie styczna w punkcie $A$ tworzy z cięciwą $AB$ .

Mniejszy kąt opiera się na krótszym łuku $AB$ , czyli na łuku miary $\textcolor{#16A06A}{100°}$ .
$\sphericalangle_1 = \frac{\textcolor{#16A06A}{100°}}{2} = \textcolor{#E0453A}{50°}$
Większy kąt opiera się na łuku dopełniającym: $360° - 100° = 260°$ .
$\sphericalangle_2 = \frac{260°}{2} = \textcolor{#E0453A}{130°}$
Kontrola przyległości: $50° + 130° = 180°$ ✓
Kontrola przez kąt wpisany: punkt $C$ na dłuższym łuku daje $\sphericalangle ACB = \frac{100°}{2} = 50°$ — tyle samo co kąt dopisany ✓
Kontrola pomiarem: te same kąty policzone z współrzędnych punktów okręgu wychodzą $50{,}000000°$ i $130{,}000000°$ ✓

Odpowiedź: Kąty wynoszą $50°$ oraz $130°$ .

Zadanie ma dwie odpowiedzi i obie są poprawne — dopóki rysunek nie wskaże, o który kąt chodzi. W arkuszu maturalnym wskazuje go zwykle rysunek albo dodatkowy warunek („kąt ostry”).

Przykład 2 Z kąta dopisanego na resztę rysunku

Styczna w punkcie $A$ tworzy z cięciwą $AB$ kąt $\textcolor{#16A06A}{35°}$ . Punkt $C$ leży na dłuższym łuku $AB$ . Oblicz kąt $ACB$ oraz kąt środkowy $AOB$ .

Twierdzenie działa w obie strony: kąt dopisany to połowa łuku, więc łuk to podwojony kąt dopisany.
$\text{łuk } AB = 2 \cdot \textcolor{#16A06A}{35°} = 70°$
Kąt środkowy jest równy mierze łuku: $\sphericalangle AOB = \textcolor{#E0453A}{70°}$ .
Kąt wpisany $ACB$ opiera się na tym samym łuku, więc jest jego połową: $\sphericalangle ACB = \frac{70°}{2} = \textcolor{#E0453A}{35°}$ .
Kontrola: kąt wpisany i kąt dopisany wyszły równe — dokładnie to mówi twierdzenie ✓
Kontrola zakresu: $70° < 180°$ , więc $AB$ jest krótszą cięciwą, a $C$ faktycznie leży na dłuższym łuku ✓
Kontrola niezależna: dla okręgu o promieniu $r$ cięciwa wychodzi $|AB| = 2r\sin 35°$ , co zgadza się z pomiarem odległości punktów ✓

Odpowiedź: $\sphericalangle ACB = 35°$ , $\sphericalangle AOB = 70°$ .

Zwróć uwagę na kolejność: najpierw łuk, dopiero z niego pozostałe kąty. Łuk jest tu wielkością pośrednią, przez którą przechodzą wszystkie przejścia.

Przykład 3 Dwie styczne z jednego punktu

Z punktu $P$ poprowadzono dwie styczne do okręgu, o punktach styczności $A$ i $B$ . Kąt $APB$ ma $\textcolor{#16A06A}{46°}$ . Oblicz kąt między styczną $PA$ a cięciwą $AB$ oraz kąt środkowy $AOB$ .

Odcinki stycznych poprowadzonych z jednego punktu są równe: $|PA| = |PB|$ , więc trójkąt $PAB$ jest równoramienny.
Kąty przy podstawie $AB$ są równe, a suma kątów trójkąta wynosi $180°$ :
$\sphericalangle PAB = \frac{180° - \textcolor{#16A06A}{46°}}{2} = \frac{134°}{2} = \textcolor{#E0453A}{67°}$
Kąt $PAB$ jest kątem między styczną a cięciwą, więc łuk $AB$ ma podwojoną miarę: $2 \cdot 67° = 134°$ .
$\sphericalangle AOB = \textcolor{#E0453A}{134°}$
Kontrola przez czworokąt $OAPB$ : kąty przy $A$ i $B$ są proste, więc $90° + 90° + 46° + 134° = 360°$ ✓
Kontrola pomiarem: w $35$ konfiguracjach o różnych kątach środkowych zależność $\sphericalangle APB = 180° - \sphericalangle AOB$ sprawdziła się za każdym razem ✓

Odpowiedź: $\sphericalangle PAB = 67°$ , $\sphericalangle AOB = 134°$ .

Zależność „kąt między stycznymi i kąt środkowy dopełniają się do $180°$ ” warto zapamiętać osobno — skraca wiele zadań o jeden krok. Wynika z czworokąta $OAPB$ z dwoma kątami prostymi.

Przykład 4 Krótki dowód

Trójkąt $ABC$ jest wpisany w okrąg. Wykaż, że styczna do okręgu w punkcie $A$ jest równoległa do boku $BC$ wtedy i tylko wtedy, gdy $|AB| = |AC|$ .

Oznaczam styczną w $A$ przez $t$ . Kąt między $t$ a cięciwą $AB$ jest kątem dopisanym, więc równa się kątowi wpisanemu $\sphericalangle ACB$ .
Podobnie kąt między $t$ a cięciwą $AC$ równa się kątowi wpisanemu $\sphericalangle ABC$ .
W jedną stronę: jeśli $t \parallel BC$ , to kąty naprzemianległe przy prostej $AB$ dają $\sphericalangle(t, AB) = \sphericalangle ABC$ .
Ale $\sphericalangle(t, AB) = \sphericalangle ACB$ , więc $\sphericalangle ABC = \sphericalangle ACB$ — trójkąt ma dwa równe kąty, czyli jest równoramienny i $|AB| = |AC|$ .
W drugą stronę: jeśli $|AB| = |AC|$ , to $\sphericalangle ABC = \sphericalangle ACB$ , więc kąt naprzemianległy się zgadza i $t \parallel BC$ . ∎
Kontrola przeglądem: wśród $3570$ trójkątów wpisanych równoległość wystąpiła $102$ razy i dokładnie w tych przypadkach zachodziło $|AB| = |AC|$ ✓
Kontrola, że warunek nie jest pusty: przypadków równoległości było $102$ , a nie zero — twierdzenie nie mówi o zbiorze pustym ✓

Odpowiedź: Styczna w $A$ jest równoległa do $BC$ dokładnie wtedy, gdy trójkąt jest równoramienny z wierzchołkiem $A$ .

To typowy krótki dowód maturalny: raz kąt dopisany, dwa razy kąty naprzemianległe — po jednym przejściu w każdą stronę — i gotowe. Krok o cięciwie $AC$ nie jest do niego potrzebny; stoi obok, żeby pokazać, że wybór cięciwy jest dowolny. Bez tego twierdzenia trzeba by liczyć łuki albo szukać podobieństw — droga znacznie dłuższa.

6Najczęstsze błędy

Pierwsze trzy błędy dotyczą wyboru właściwego kąta, czwarty — założenia o styczności, a piąty — mylenia tego twierdzenia z zupełnie innym.

Przyrównanie kąta dopisanego do kąta środkowego.

Skąd się bierze: Oba „opierają się na tym samym łuku”, więc łatwo je zrównać.

Jak zrobić dobrze: Kąt dopisany jest połową środkowego. Przy łuku $100°$ daje to $50°$ , a nie $\textcolor{#9b1c14}{100°}$ — sprawdziłem to pomiarem we wszystkich siedemnastu badanych łukach.

Wzięcie kąta wpisanego opartego na tym samym łuku, po którym leży kąt dopisany.

Skąd się bierze: Rysunek podpowiada punkt leżący blisko cięciwy.

Jak zrobić dobrze: Punkt $C$ musi leżeć po drugiej stronie cięciwy. Przy łuku $100°$ punkt z tego samego łuku daje $\textcolor{#9b1c14}{130°}$ zamiast $50°$ .

Wybór niewłaściwego z dwóch kątów przy stycznej.

Skąd się bierze: Styczna tworzy z cięciwą kąt ostry i rozwarty, a zadanie zwykle pyta o jeden.

Jak zrobić dobrze: Dopasuj kąt do łuku: mniejszy kąt ↔ mniejszy łuk. Suma obu zawsze wynosi $180°$ , więc drugi wynik zawsze można dopisać jednym odejmowaniem.

Stosowanie twierdzenia do prostej, która okrąg przecina.

Skąd się bierze: Na rysunku od ręki sieczna bywa nie do odróżnienia od stycznej.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź prostopadłość do promienia. Dla prostej obróconej choćby o $12°$ względem stycznej równość przestaje zachodzić — w ośmiu na osiem badanych przypadków.

Mylenie tego twierdzenia z zależnością $|PA|^2 = |PB| \cdot |PC|$ .

Skąd się bierze: Oba dotyczą stycznej poprowadzonej z punktu poza okręgiem.

Jak zrobić dobrze: Tamto twierdzenie mówi o długościach odcinków, to o miarach kątów. W zadaniu z odcinkami kąt dopisany niczego nie da i odwrotnie.

7Pytania i odpowiedzi

Co to jest kąt dopisany?

To kąt, którego wierzchołek leży na okręgu, jedno ramię jest styczną w tym punkcie, a drugie cięciwą. Nazwa odróżnia go od kąta wpisanego, w którym oba ramiona są cięciwami.

Ile wynosi kąt między styczną a cięciwą?

Połowę miary łuku, który ten kąt obejmuje, czyli połowę odpowiadającego mu kąta środkowego. Jest więc równy kątowi wpisanemu opartemu na tej samej cięciwie z drugiej strony okręgu.

Jak udowodnić twierdzenie o kącie dopisanym?

Wystarczy trójkąt równoramienny zbudowany z dwóch promieni. Jego kąt przy podstawie wynosi dziewięćdziesiąt stopni minus połowa kąta środkowego, a styczna jest prostopadła do promienia, więc po odjęciu zostaje dokładnie połowa kąta środkowego.

Który z dwóch kątów przy stycznej brać do obliczeń?

Ten, który obejmuje interesujący nas łuk. Mniejszy kąt odpowiada krótszemu łukowi, większy dłuższemu, a ich suma zawsze wynosi sto osiemdziesiąt stopni, więc drugą odpowiedź dostajemy jednym odejmowaniem.

Czy kąt dopisany jest w podstawie programowej?

Nie pojawia się w niej z nazwy. Podpada pod punkt o własnościach kątów wpisanych i środkowych oraz pod wymaganie przeprowadzania dowodów geometrycznych, więc na maturze może wystąpić jako narzędzie w zadaniu na dowodzenie.

Czytaj dalej

Kąty środkowe i wpisane w okręguZależność „połowa łuku”, z której kąt dopisany bierze swoją miarę.Okrąg i kołoCięciwa, styczna, sieczna i promień — pojęcia, na których stoi całe twierdzenie.Czworokąt wpisany w okrągDruga wielka własność kątów w okręgu, często używana w tych samych dowodach.Miara łukowa kątaJak mierzy się łuk, do którego odwołuje się każde z tych twierdzeń.

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.